湖北省宜昌市点军区达标名校2023-2024学年中考四模数学试题含解析

湖北省宜昌市点军区达标名校2023-2024学年中考四模数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．在2018年新年贺词中说道：“安得广厦千万间，大庇天下寒士俱欢颜！2017年我国3400000贫困人口实现易地扶贫搬迁、有了温暖的新家．”其中3400000用科学记数法表示为（）A．0.34×107 B．3.4×106 C．3.4×105 D．34×1052．去年某市7月1日到7日的每一天最高气温变化如折线图所示，则关于这组数据的描述正确的是()A．最低温度是32℃ B．众数是35℃ C．中位数是34℃ D．平均数是33℃3．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是弧AC的中点，则∠D的度数是()A．60° B．35° C．30.5° D．30°4．关于x的一元二次方程x2－4x+k=0有两个相等的实数根,则k的值是（）A．2 B．－2 C．4 D．－45．不等式2x﹣1＜1的解集在数轴上表示正确的是（）A． B．C． D．6．如图，BD为⊙O的直径，点A为弧BDC的中点，∠ABD＝35°，则∠DBC＝（）A．20° B．35° C．15° D．45°7．若一次函数的图像过第一、三、四象限,则函数（）A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值8．若关于的方程的两根互为倒数，则的值为()A． B．1 C．－1 D．09．将（x+3）2﹣（x﹣1）2分解因式的结果是（）A．4（2x+2） B．8x+8 C．8（x+1） D．4（x+1）10．根据下表中的二次函数的自变量与函数的对应值，可判断该二次函数的图象与轴（）．

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…A．只有一个交点 B．有两个交点，且它们分别在轴两侧C．有两个交点，且它们均在轴同侧 D．无交点二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小等于__________度.12．如图是我区某一天内的气温变化图，结合该图给出的信息写出一个正确的结论：________．13．二次函数的图象与y轴的交点坐标是________．14．若一次函数y=kx﹣1（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三、四象限，则是k的值可以是_____．（写出一个即可）．15．分式方程的解为__________．16．已知函数是关于的二次函数，则__________．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）P是⊙O内一点，过点P作⊙O的任意一条弦AB，我们把PA•PB的值称为点P关于⊙O的“幂值”（1）⊙O的半径为6，OP=1．①如图1，若点P恰为弦AB的中点，则点P关于⊙O的“幂值”为_____；②判断当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P关于⊙0的“幂值”的取值范围；（2）若⊙O的半径为r，OP=d，请参考（1）的思路，用含r、d的式子表示点P关于⊙O的“幂值”或“幂值”的取值范围_____；（3）在平面直角坐标系xOy中，C（1，0），⊙C的半径为3，若在直线y=x+b上存在点P，使得点P关于⊙C的“幂值”为6，请直接写出b的取值范围_____．18．（8分）解方程：3x2﹣2x﹣2＝1．19．（8分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O是Rt△ABC的外接圆，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点E，BD⊥CE于点D，连接DO交BC于点M.(1)求证：BC平分∠DBA；(2)若，求的值．20．（8分）当x取哪些整数值时，不等式与4﹣7x＜﹣3都成立？21．（8分）如图所示：△ABC是等腰三角形，∠ABC=90°．（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，垂足为H．（保留作图痕迹，不写作法）；（2）垂直平分线l交AC于点D，求证：AB=2DH．22．（10分）如图，在Rt△ABC中，，CD⊥AB于点D，BE⊥AB于点B，BE=CD，连接CE，DE．（1）求证：四边形CDBE为矩形；（2）若AC=2，，求DE的长．23．（12分）将一个等边三角形纸片AOB放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点B（6，0）．点C、D分别在OB、AB边上，DC∥OA，CB=2．（I）如图①，将△DCB沿射线CB方向平移，得到△D′C′B′．当点C平移到OB的中点时，求点D′的坐标；（II）如图②，若边D′C′与AB的交点为M，边D′B′与∠ABB′的角平分线交于点N，当BB′多大时，四边形MBND′为菱形？并说明理由．（III）若将△DCB绕点B顺时针旋转，得到△D′C′B，连接AD′，边D′C′的中点为P，连接AP，当AP最大时，求点P的坐标及AD′的值．（直接写出结果即可）．24．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？

参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、B【解析】

解：3400000=.故选B.2、D【解析】分析：将数据从小到大排列，由中位数及众数、平均数的定义，可得出答案．详解：由折线统计图知这7天的气温从低到高排列为：31、32、33、33、33、34、35，所以最低气温为31℃，众数为33℃，中位数为33℃，平均数是=33℃．故选D．点睛：本题考查了众数、中位数的知识，解答本题的关键是由折线统计图得到最高气温的7个数据．3、D【解析】

根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB=∠AOC，再根据圆周角定理即可解答.【详解】连接OB，∵点B是弧的中点，∴∠AOB＝∠AOC＝60°，由圆周角定理得，∠D＝∠AOB＝30°，故选D．【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，解题关键在于利用好圆周角定理.4、C【解析】

对于一元二次方程a+bx+c=0，当Δ=-4ac=0时，方程有两个相等的实数根.即16-4k=0，解得：k=4.考点：一元二次方程根的判别式5、D【解析】

先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【详解】移项得，2x＜1+1，合并同类项得，2x＜2，x的系数化为1得，x＜1．在数轴上表示为：．故选D．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键．6、A【解析】

根据∠ABD＝35°就可以求出的度数，再根据，可以求出,因此就可以求得的度数，从而求得∠DBC【详解】解：∵∠ABD＝35°，∴的度数都是70°，∵BD为直径，∴的度数是180°﹣70°＝110°，∵点A为弧BDC的中点，∴的度数也是110°，∴的度数是110°+110°﹣180°＝40°，∴∠DBC＝＝20°，故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形性质、圆周角定理，主要考查学生的推理能力．7、B【解析】

解：∵一次函数y=（m+1）x+m的图象过第一、三、四象限，∴m+1＞0，m＜0，即-1＜m＜0，∴函数有最大值，∴最大值为，故选B．8、C【解析】

根据已知和根与系数的关系得出k2=1，求出k的值，再根据原方程有两个实数根，即可求出符合题意的k的值．【详解】解：设、是的两根，由题意得：，由根与系数的关系得：，∴k2=1，解得k=1或−1，∵方程有两个实数根，则，当k=1时，，∴k=1不合题意，故舍去，当k=−1时，，符合题意，∴k=−1，故答案为：−1．【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及相反数的定义，熟知根与系数的关系是解答此题的关键．9、C【解析】

直接利用平方差公式分解因式即可．【详解】（x＋3）2−（x−1）2＝[（x＋3）＋（x−1）][（x＋3）−（x−1）]＝4（2x＋2）＝8（x＋1）．故选C．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．10、B【解析】

根据表中数据可得抛物线的对称轴为x=1，抛物线的开口方向向上，再根据抛物线的对称性即可作出判断.【详解】解：由题意得抛物线的对称轴为x=1，抛物线的开口方向向上则该二次函数的图像与轴有两个交点，且它们分别在轴两侧故选B.【点睛】本题考查二次函数的性质，属于基础应用题，只需学生熟练掌握抛物线的对称性，即可完成.二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、45【解析】试题解析：设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°-∠ACE=90°-x-y．∵AE=AC，∴∠ACE=∠AEC=x+y，∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°-x-y+x=90°-y．在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=180°，∴x+（90°-y）+（x+y）=180°，解得x=45°，∴∠DCE=45°．考点：1.等腰三角形的性质；2.三角形内角和定理.12、这一天的最高气温约是26°【解析】

根据我区某一天内的气温变化图，分析变化趋势和具体数值，即可求出答案．【详解】解：根据图象可得这一天的最高气温约是26°，故答案为：这一天的最高气温约是26°．【点睛】本题考查的是函数图象问题，统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．13、【解析】

求出自变量x为1时的函数值即可得到二次函数的图象与y轴的交点坐标．【详解】把代入得：，∴该二次函数的图象与y轴的交点坐标为，故答案为．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，在y轴上的点的横坐标为1．14、1【解析】

由一次函数图象经过第一、三、四象限，可知k＞0，﹣1＜0，在范围内确定k的值即可．【详解】解：因为一次函数y=kx﹣1（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三、四象限，所以k＞0，﹣1＜0，所以k可以取1．故答案为1．【点睛】根据一次函数图象所经过的象限，可确定一次项系数，常数项的值的符号，从而确定字母k的取值范围．15、-1【解析】【分析】先去分母，化为整式方程，然后再进行检验即可得.【详解】两边同乘（x+2）(x-2)，得：x-2﹣3x=0，解得：x=-1，检验：当x=-1时，（x+2）(x-2)≠0，所以x=-1是分式方程的解，故答案为：-1.【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键.16、1【解析】

根据一元二次方程的定义可得：，且，求解即可得出m的值．【详解】解：由题意得：，且，解得：，且，∴故答案为：1．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握“未知数的最高次数是1”且“二次项的系数不等于0”．三、解答题（共8题，共72分）17、（1）①20；②当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”为定值，证明见解析；（2）点P关于⊙O的“幂值”为r2﹣d2；（3）﹣3≤b≤.【解析】【详解】（1）①如图1所示：连接OA、OB、OP．由等腰三角形的三线合一的性质得到△PBO为直角三角形，然后依据勾股定理可求得PB的长，然后依据幂值的定义求解即可；②过点P作⊙O的弦A′B′⊥OP，连接AA′、BB′．先证明△APA′∽△B′PB，依据相似三角形的性质得到PA•PB=PA′•PB′从而得出结论；（2）连接OP、过点P作AB⊥OP，交圆O与A、B两点．由等腰三角形三线合一的性质可知AP=PB，然后在Rt△APO中，依据勾股定理可知AP2=OA2-OP2，然后将d、r代入可得到问题的答案；（3）过点C作CP⊥AB，先求得OP的解析式，然后由直线AB和OP的解析式，得到点P的坐标，然后由题意圆的幂值为6，半径为1可求得d的值，再结合两点间的距离公式可得到关于b的方程，从而可求得b的极值，据此即可确定出b的取值范围．【详解】（1）①如图1所示：连接OA、OB、OP，∵OA=OB，P为AB的中点，∴OP⊥AB，∵在△PBO中，由勾股定理得：PB==2，∴PA=PB=2，∴⊙O的“幂值”=2×2=20，故答案为：20；②当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”为定值，证明如下：如图，AB为⊙O中过点P的任意一条弦，且不与OP垂直，过点P作⊙O的弦A′B′⊥OP，连接AA′、BB′，∵在⊙O中，∠AA′P=∠B′BP，∠APA′=∠BPB′，∴△APA′∽△B′PB，∴，∴PA•PB=PA′•PB′=20，∴当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”为定值；（2）如图3所示；连接OP、过点P作AB⊥OP，交圆O与A、B两点，∵AO=OB，PO⊥AB，∴AP=PB，∴点P关于⊙O的“幂值”=AP•PB=PA2，在Rt△APO中，AP2=OA2﹣OP2=r2﹣d2，∴关于⊙O的“幂值”=r2﹣d2，故答案为：点P关于⊙O的“幂值”为r2﹣d2；（3）如图1所示：过点C作CP⊥AB，，∵CP⊥AB，AB的解析式为y=x+b，∴直线CP的解析式为y=﹣x+．联立AB与CP，得，∴点P的坐标为（﹣﹣b，+b），∵点P关于⊙C的“幂值”为6，∴r2﹣d2=6，∴d2=3，即（﹣﹣b）2+（+b）2=3，整理得：b2+2b﹣9=0，解得b=﹣3或b=，∴b的取值范围是﹣3≤b≤，故答案为：﹣3≤b≤.【点睛】本题综合性质较强，考查了新定义题，解答过程中涉及到了幂值的定义、勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的性质和判定、一次函数的交点问题、两点间的距离公式等，依据两点间的距离公式列出关于b的方程，从而求得b的极值是解题的关键．18、【解析】

先找出a，b，c，再求出b2-4ac=28，根据公式即可求出答案．【详解】解：x＝=即∴原方程的解为.【点睛】本题考查对解一元二次方程-提公因式法、公式法，因式分解法等知识点的理解和掌握，能熟练地运用公式法解一元二次方程是解此题的关键．19、(1)证明见解析；（2）【解析】分析：（1）如下图，连接OC，由已知易得OC⊥DE，结合BD⊥DE可得OC∥BD，从而可得∠1=∠2，结合由OB=OC所得的∠1=∠3，即可得到∠2=∠3，从而可得BC平分∠DBA；（2）由OC∥BD可得△EBD∽△EOC和△DBM∽△OCM，由根据相似三角形的性质可得得，由，设EA=2k，AO=3k可得OC=OA=OB=3k，由此即可得到.详解：(1)证明：连结OC，∵DE与⊙O相切于点C，∴OC⊥DE.∵BD⊥DE，∴OC∥BD..∴∠1=∠2，∵OB=OC，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，即BC平分∠DBA..(2)∵OC∥BD，∴△EBD∽△EOC，△DBM∽△OCM，.∴，∴，∵，设EA=2k，AO=3k，∴OC=OA=OB=3k.∴.点睛：（1）作出如图所示的辅助线，由“切线的性质”得到OC⊥DE结合BD⊥DE得到OC∥BD是解答第1小题的关键；（2）解答第2小题的关键是由OC∥BD得到△EBD∽△EOC和△DBM∽△OCM这样利用相似三角形的性质结合已知条件即可求得所求值了.20、2，1【解析】

根据题意得出不等式组，解不等式组求得其解集即可．【详解】根据题意得，解不等式①，得：x≤1，解不等式②，得：x＞1，则不等式组的解集为1＜x≤1，∴x可取的整数值是2，1．【点睛】本题考查了解不等式组的能力，根据题意得出不等式组是解题的关键．21、(1)见解析；（2）证明见解析.【解析】

（1）利用线段垂直平分线的作法，分别以A，B为端点，大于为半径作弧，得出直线l即可；

（2）利用利用平行线的性质以及平行线分线段成比例定理得出点D是AC的中点，进而得出答案．【详解】解：(1)如图所示：直线l即为所求；

(2)证明：∵点H是AB的中点，且DH⊥AB，∴DH∥BC，∴点D是AC的中点，∵∴AB=2DH.【点睛】考查作图—基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的性质.22、(1)见解析；（2）1【解析】

分析：(1)根据平行四边形的判定与矩形的判定证明即可;(2)根据矩形的性质和三角函数解答即可.详解：（1）证明：∵CD⊥AB于点D，BE⊥AB于点B，∴．∴CD∥BE．又∵BE=CD，∴四边形CDBE为平行四边形．又∵，∴四边形CDBE为矩形．（2）解：∵四边形CDBE为矩形，∴DE=BC．∵在Rt△ABC中，，CD⊥AB，可得．∵，∴．∵在Rt△ABC中，，AC=2，，∴．∴DE=BC=1．点睛：本题考查了矩形的判定与性质，关键是根据平行四边形的判定与矩形的判定解答.23、（Ⅰ）D′（3+，3）;（Ⅱ）当BB'=时，四边形MBND'是菱形,理由见解析;（Ⅲ）P（）．【解析】

（Ⅰ）如图①中，作DH⊥BC于H．首先求出点D坐标，再求出CC′的长即可解决问题；（Ⅱ）当BB'=时，四边形MBND'是菱形．首先证明四边形MBND′是平行四边形，再证明BB′=BC′即可解决问题；（Ⅲ）在△ABP中，由三角形三边关系得，AP＜AB+BP，推出当点A，B，P三点共线时，AP最大.【详解】（Ⅰ）如图①中，作DH⊥BC于H，∵△AOB是等边三角形，DC∥OA，∴∠DCB=∠AOB=60°，∠CDB=∠A=60°，∴△CDB是等边三角形，∵CB=2，DH⊥CB，∴CH=HB=，DH=3，∴D（6﹣，3），∵C′B=3，∴CC′=2﹣3，∴DD′=CC′=2﹣3，∴D′（3+，3）．（Ⅱ）当BB'=时，四边形MBND'是菱形，理由：如图②中，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABO=60°，∴∠ABB'=180°﹣∠ABO=120°，∵BN是∠ACC'的角平分线，∴∠NBB′'=∠ABB'=60°=∠D′C′B，∴D'C'∥BN，∵AB∥B′D′∴四边形MBND'是平行四边形，∵∠ME'C'=∠MCE'=60°，∠NCC'=∠NC'C=60°，∴△MC′B'和△NBB'是等边三角形，∴MC=CE'，NC=CC'，∵B'C'