中考一轮复习-第21讲-矩形、菱形、正方形

第21讲矩形、菱形、正方形考点梳理自主测试考点一矩形考点梳理自主测试考点梳理自主测试考点二菱形

考点梳理自主测试考点梳理自主测试考点三正方形考点梳理自主测试考点四平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系

考点梳理自主测试1.如图,矩形ABCD中,AB=5,AD=3.动点P满足S△PAB=S矩形ABCD.则点P到A,B两点距离之和PA+PB

的最小值为(

)D考点梳理自主测试解析:设△ABP中AB边上的高是h.∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上,如图,作A关于直线l的对称点E,连接AE,连接BE,则BE的长就是所求的最短距离.考点梳理自主测试2.如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4,点E在AB上,点F在CD上,点G,H在对角线AC上.若四边形EGFH是菱形,则AE的长是(

)C考点梳理自主测试考点梳理自主测试3.如图,正方形ABCD的对角线BD长为2,若直线l满足:①点D到直线l的距离为;②A,C两点到直线l的距离相等.则符合题意的直线l的条数为(

)A.1 B.2 C.3 D.4B考法1考法2考法3矩形的性质和判定例1(2018·合肥行知学校模拟)如图,已知▱ABCD,延长AB到E使BE=AB,连接BD,ED,EC,若ED=AD.(1)求证:四边形BECD是矩形;(2)连接AC,若AD=4,CD=2,求AC的长.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∵BE=AB,∴BE=CD,∴四边形BECD是平行四边形.∵AD=BC,AD=DE,∴BC=DE,∴▱BECD是矩形.

考法1考法2考法3(2)连接AC,∵CD=2,∴AB=BE=2.∵AD=4,∠ABD=90°,考法1考法2考法3方法总结1.矩形判定的一般思路首先判定是否为平行四边形,再找直角或者对角线的关系.若角度容易求,则证明其一角为90°,便可判定是矩形;若对角线容易求,则证明其对角线相等即可判定其为矩形.2.应用矩形性质计算的一般思路(1)根据矩形的四个角都是直角,一条对角线将矩形分成两个直角三角形,用勾股定理或三角函数求线段的长.(2)矩形对角线相等且互相平分,矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形,在利用矩形性质进行相关的计算时,可利用面积法,建立等量关系.考法1考法2考法3对应练1(课本习题改编)下列命题,其中是真命题的为(

)A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线相等的四边形是矩形D.一组邻边相等的矩形是正方形D考法1考法2考法3对应练2(2019·内蒙古通辽)如图,在矩形ABCD中,AD=8,对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD,垂足为点E,且AE平分∠BAC,则AB的长为

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解析:∵四边形ABCD是矩形,∴AO=CO=BO=DO,∵AE平分∠BAO,∴∠BAE=∠EAO,且AE=AE,∠AEB=∠AEO,∴△ABE≌△AOE(ASA),∴AO=AB,且AO=OB,∴AO=AB=BO=DO,∴BD=2AB,∵AD2+AB2=BD2,∴64+AB2=4AB2,考法1考法2考法3对应练3(2018·甘肃白银)已知矩形ABCD中,E是AD边上一个动点,点F,G,H分别是BC,BE,CE的中点.(1)求证:△BGF≌△FHC;(2)设AD=a,当四边形EGFH是正方形时,求矩形ABCD的面积.(1)证明:∵点F是BC边上的中点,∴BF=FC.∵点F,G,H分别是BC,BE,CE的中点,∴GF,FH是△BEC的中位线.∴GF=HC,FH=BG.∴△BGF≌△FHC(SSS).

考法1考法2考法3(2)解:当四边形EGFH是正方形时,∠BEC=90°,FG=GE=EH=FH.∵FG,FH是△BEC的中位线,∴BE=CE.∴△BEC是等腰直角三角形.连接EF,考法1考法2考法3菱形的性质与判定例2(2018·辽宁本溪)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BA=BC,BD平分∠ABC.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)过点D作DE⊥BD,交BC的延长线于点E,若BC=5,BD=8,求四边形ABED的周长.分析:(1)根据平行线的性质得到∠ADB=∠CBD,根据角平分线定义得到∠ABD=∠CBD,等量代换得到∠ADB=∠ABD,根据等腰三角形的判定定理得到AD=AB,根据菱形的判定即可得到结论;(2)由垂直的定义得到∠BDE=90°,等量代换得到∠CDE=∠E,根据等腰三角形的判定得到CD=CE=BC,根据勾股定理得到考法1考法2考法3(1)证明:∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∴∠ADB=∠ABD,∴AD=AB,∵BA=BC,∴AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∵BA=BC,∴▱ABCD是菱形;

考法1考法2考法3(2)解:∵DE⊥BD,∴∠BDE=90°,∴∠DBC+∠E=∠BDC+∠CDE=90°,∵CB=CD,∴∠DBC=∠BDC,∴∠CDE=∠E,∴CD=CE=BC,∴BE=2BC=10,∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB=BC=5,∴四边形ABED的周长=AD+AB+BE+DE=26.

考法1考法2考法3方法总结1.菱形判定的一般思路首先判定是平行四边形,然后根据邻边相等的平行四边形是菱形来判定,这是判定菱形的最常见思路.也可以考虑其他判定方法,例如若能证明对角线互相垂直平分,也能判定该四边形是菱形.2.应用菱形性质计算的一般思路因菱形的四条边相等,菱形对角线互相垂直,故常借助对角线垂直和勾股定理来求线段长.也可以根据菱形既是轴对称图形,又是中心对称图形,结合它的对称性得出的一些结论来计算.考法1考法2考法3对应练4(原创题)菱形不具备的性质是(

)A.四条边都相等

B.对边平行C.对角线一定相等

D.对角线互相垂直C考法1考法2考法3对应练5(2019·广西北部湾)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点A作AH⊥BC于点H,已知BO=4,S菱形ABCD=24,则AH=

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考法1考法2考法3对应练6(2018·北京)如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连接OE.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)若AB=,BD=2,求OE的长.考法1考法2考法3(1)证明:∵AB∥CD,∴∠OAB=∠DCA,∵AC为∠DAB的平分线,∴∠OAB=∠DAC,∴∠DCA=∠DAC,∴CD=AD=AB.∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AD=AB,∴▱ABCD是菱形.

(2)解:∵四边形ABCD是菱形,∴OA=OC,BD⊥AC,∵CE⊥AB,∴OE=OA=OC,考法1考法2考法3正方形的性质与判定例3(2018·湖北十堰)已知正方形ABCD与正方形CEFG,M是AF的中点,连接DM,EM.(1)如图1,点E在CD上,点G在BC的延长线上,请判断DM,EM的数量关系与位置关系,并直接写出结论;(2)如图2,点E在DC的延长线上,点G在BC上,(1)中结论是否仍然成立?请证明你的结论;(3)将图1中的正方形CEFG绕点C旋转,使D,E,F三点在一条直线上,若AB=13,CE=5,请画出图形,并直接写出MF的长.考法1考法2考法3解:(1)结论:DM⊥EM,DM=EM.(2)结论仍然成立.DM⊥EM,DM=EM.理由:如图1中,延长EM交DA的延长线于H.∵四边形ABCD是正方形,四边形EFGC是正方形,∴∠ADE=∠DEF=90°,AD=CD,∴AD∥EF,∴∠MAH=∠MFE.∵AM=MF,∠AMH=∠FME,∴△AMH≌△FME.∴MH=ME,AH=EF=EC,∴DH=DE.∵∠EDH=90°,∴DM⊥EM,DM=ME.图1考法1考法2考法3图2图3考法1考法2考法3方法总结对于与正方形性质相关的计算问题,要合理应用其性质及由性质得到的一些结论:(1)四角相等均为90°以及四边相等.(2)对角线垂直且相等.(3)对角线平分一组对角得到45°角.(4)边长与对角线的长度比为1∶

.考法1考法2考法3对应练7(2019·广西河池)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,BE=CF,则图中与∠AEB相等的角的个数是(

)A.1 B.2 C.3 D.4C

解析:∵四边形ABCD是正方形,∴AB∥CD,AD∥BC,AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°,在△ABE和△BCF中,AB=BC,∠ABE=∠BCF,BE=CF,∴△ABE≌△BCF(SAS),∴∠BFC=∠AEB,∵AD∥BC,AB∥CD,∴∠DAE=∠AEB,∠BFC=∠ABF,故图中与∠AEB相等的角的个数是3.故选C.考法1考法2考法3对应练8我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”〔如图(1)〕,图(2)由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3,若正方形EFGH的边长为2,则S1+S2+S3=

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12考法1考法2考法3

解析:∵图中的八个直角三角形全等,∴设每个三角形的面积为S,则S1-S2=4S,S2