2022-2023学年河北省秦皇岛市成考专升本数学(理)自考真题(含答案)

2022-2023学年河北省秦皇岛市成考专升本

数学(理)自考真题(含答案)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(30题)

1.已知圆(x+2)2+(y—3)2=1的圆心与一抛物线的顶点重合，则此抛物

线的方程为()

A.A,y=(x+2)2—3B,y=(x+2)2+3C,y=(x-2)2—3D,y=(x-2)2+3

2.已知cos2a=5/13(3兀/4<(1<兀)，贝!Jtana等于()

A.A.-3/2B.-2/3C.2/3D.3/2

3.已知函数f(x)=ax?+b的图像经过点(1,2),且其反函数Q(x)的图像经

过点(3,0),则函数f(x)的解析式是()

A.f(x)=l/2x2+3/2

B.f(x)=-x2+3

C.f(x)=3x2+2

D.f(x)=x2+3

4.不等式x>6—x。的解集是()

A.[-2,3]B.(-oo,-2]U[3,+oo)C.[-3,2]D.(-oo,-3]U[2,+oo)

5.下列函数的周期是兀的是()

A.f(x)=cos22x-sin22x

B.f(x)=2sin4x

C.f(x)=sinxcosx

D.f(x)=4sinx

6.过M(3,2),且与向量a=(—4,2)垂直的直线方程为()

A.A,2x+y-4=0B.2x-y+4=0C.2x-y-4=0D.2x+y+4=0

7.已知bibb,b4成等差数列,且bl,b4为方程2x2-3x+l=0的两个根,则

b2+b3的值为

A.1/2B.-3/2C.-1/2D.3/2

Ll知集-2.3.4)..则

(A>{0.1.2!(B)|l.2|<C)<D){1.0,1.2}

8.

9.已知f(x)是偶函数，且其图像与x轴有四个交点，则方程f(x)=0的所

有根之和为

A.4B,2C,1D,0

L不等式组f“一":3的解集为-2<工则”的取值范围是(

10.Io-2x>0

A.A.a<-4B.a>-4C.a>8D.n<8

11.从6名男大学生和2名女大学生中选取4名做上海世博会的志愿

者，2名女大学生全被选中的概率为()

A.A.1/3B.3/14C,2/7D.5/14

12.下列函数中，为偶函数的是（）。

A.》=log2xB.丁=工2

4

C.y=D.»=/+N

7

直线/U+8y+C=0通过第一、二、三象限时.)

(A)4B<Q,BC<0(B)4fi>Q,BC>0

(C)4=Q,BC<0(D)C=O,AB>0

n八纹/fj平血Mfh.则在平itaM内*n的flit

<A）行无数条（B）只"一条

]4，C）柒<D）小〃日

15.若1名女生和3名男生随机地站成一列，则从前面数第2名是女生

17.

在一张纸上有5个白色的点，7个红色的点，其中没有3个点在同一条

直线上，由不同颜色的两个点所连直线的条数为()

A.-E

B.

C.1

心…)

18.已知复数z=a+bi其中a,b£R,且b/)则()

A.|/IXIz=炉B.|«*|=|z|2=

C.|dI=Iz12KzzD.|I=#Is12

19.如果不共线的向量a和b有相等的长度，贝!|(a+b)(a-b)=()

A.OB.lC.-lD.2

已知"=6/川=4,41与5夹角为60。，则(<1+劫)・(°_35)等于()

(A)72,(B)-60

20.(C)-72(D)60

21.已知tana、tan0是方程2x2―4x+l=0的两根，贝IJtan(a+0)=()

A.4B.-4C.4/3D.8

22.

第14题曲线|x|+|y|=I所围成的正方形的面积为()

A.2B.J2

C.ID.4互

23.已知«np=a,b_L0在a内的射影是b',那么b'和a的关系是()

A.b7/aB.b，_LaC.b，与a是异面直线D.b，与a相交成锐角

24.已知向量a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2),则a・(b+c)=

()

A.A.8

B.9

C.13

D.

在RtZUBC中，已知C=90。,8=75=c=4,则6等于()

(A)而+Q(B)用-二

25.(C)2"+2(D)24-2

26.圆锥的轴截面顶角是2兀/3,过顶点的截面面积的最大值是4,则它

的侧面积是()

A.4n

B.2武兀

C.8兀

D.8%

27.

第4题函数，=叫X4x-3)的定义域是()

A.3/4<x<lB.x<lC.x>3/4D.x>3/4

28.在aABC中，已知aABC的面积=(a2+b2-c2)/4,则NC=()

A.n/3B.n/4C.TT/6D.2n/3

用0」,2,3这四个数字,组成的没有重复数字的四位数共有()

(A)24个'(B)18个

29.(C)12个(D)10个

3O.Y=xex,则Y，=()

A.A.xexB.xex+xC.xex+exD.ex+x

二、填空题(20题)

31.设离散型随机变量f的分布列如下表所示，那么，的期望等于1

1-

e10090

k----------------1

0.50»3

1。，

32.正方体的全面积是a2,它的顶点都在球面上，这个球的表面积是

33.设离散型随机变量X的分布列为X-1012Pc2c3c4c则c=

34.

不等式|x—1|<1的解集为

35.函数f(x)=x?+bx+c的图像经过点(-1,0),(3,0),则f(x)的最小值为

36.(18)向岫环。互相垂宜,且"I=1,则Q•(，+b)=•

37.

pN-1

如日=-------------

38.C•<--C'<'

39.如果二次函数的图像经过原点和点(-4,0),则该第二次函数图像的

对称轴方程为.

40.过点MQ,-1)且与向量a=(-3,2)垂直的直线方程是_____.

41.设八“+1)=“+2右十1,则函数f(x)=.

42.

某射手有3发子弹，射击一次，命中率是0.8,如果命中就停止射击,

否则一直射到子弹用完为止，那么这个射手用子弹数的期望值是

已知大球的表面积为*,另一小球的体积是大球体枳心.则小球的半径

43.

44.已知/⑺一…则娓）=

AB+JC4-c7B-a4=

•—1一h_*,

46.向量a=(4,3)与b=(x,-12)互相垂直,则x=

^±2>

47.不等式的解集为112/0

48.已知”=4.W«60o.MI«-»lJ>

49.

sin200cos20"cos400

mTO°

50.

已知直线1和x-y+l=0关于直线x=-2对称，则1的斜率为

三、简答题（10题）

（25）（本小题满分13分）

已知抛物线』=会，0为坐标原点/为抛物线的焦点・

（I）求10砌的值；

（n）求抛物线上点P的坐标，使的面积为差

51.

52.（本小题满分12分）

在AABC中,A8=8=45°,C=60。.求AC.8c

53.（本小题满分12分）

分别求曲线y=-3x2+2x+4上满足下列条件的点

⑴过这些点的切线与x轴平行；

⑵过这些点的切线与直线y=x平行.

54.

（24）（本小题满分12分）

在△ABC中,4=45。,8=60。,他=2,求△4BC的面积.（精确到0.01）

55.（本小题满分12分）

已知点4（%,j）在曲线y=上.

（1）求*0的值；

（2）求该曲线在点,4处的切线方程.

56.（本小题满分12分）

椭圆2x2+y2=98内有一点A（-5,0）,在椭圆上求一点B,使|AB|最大.

57.

（本小题满分12分）

已知叁数方程

'x=+e''）cosd.

y=:（e'"c''）8*n^-

（I）若，为不等于零的常量,方程表示什么曲线？

（2）若由8射y.AwN.）为常量.方程表示什么曲线？

（3）求证上述两个方程所表示的曲线有相同的焦点•

58.

（本小题满分12分）

已知函数〃X）=—1吟求（1次动的单调区间；（2）〃工）在区间片,2］上的最小值.

59.（本小题满分12分）

设两个二次函数的图像关于直线X=1对称，其中一个函数的表达式为

Y=x2+2x-l,求另一个函数的表达式

60.（本小题满分12分）

已知等比数列；a1中,%=16.公比g=-L.

(1)求数列la.l的通项公式；

(2)若数列h”的前n项的和S,=124.求n的值.

四、解答题(10题)

已知点4(3,J)在曲线y=$上・

(1)求厢的值；

61(2)求该曲线在点4处的切线方程.

1

已知函数/(♦)■?♦S«*♦(3-6<i)«-12a-4{aeR).

(1)证明：曲线在*•。处的切纹过点(2,2);

(2)若在*处取格极小值•(1,3).求a的取值范黑

62.

63(20)(本小品羯分II分)

(I)把下面衣中*的角度值化为逐度值,计算y=的假并填入&中:

*的角度值0,9・18。27・36*45*

X的气度值

10

ystanx-sinK的值

0.0159

（精确到o.oooi）

(0)参照上表中的数热,在下面的平面直角堂标系中•出函《ty=-,inx在区间

1。于上的图象.

己知梅图(?：*■+£=1(a>b>0)的离心率为;，且炉，2小，从成笠比数列.

(I)求。的方程：

64.(H)设c上山户的横坐标为I,后、鸟为c的左、右羔点,求△/¥；鸟的面积.

65.已知椭圆的短轴长是4,中心与抛物线y2=4x的顶点重合，一个焦

点与抛物线的焦点重合.求：

(I)椭圆的标准方程；

(II)椭圆的准线方程.

66.某城有东西方向的街道七条，相邻两街的距离为b,南北方向的街道

八条，相邻两街的距离为a,形成-个矩形.

(I)从A到D的最短途径有多少条？

(II)从A经B和C到D的最短途径有多少条？

67.已知二次函数y=ax+bx+c的图像如右图所示

(I)说明a、b、c和b-4ac的符号

(H)求OA*OB的值

(ID)求顶点M的坐标

68.

已知函数/(M)=XJ-3/+桁在［-2,2］上有最大值5,试确定常数m,并求这个函数

在该闭区间上的最小值.

69.

(本小题满分12分)

已知函数f(x尸X3+X2-5X-1。求:

⑴f(x)的单调区间；

(2)f(x)零点的个数。

70.

三角形两边之和为10,其夹角的余弦是方程2--3x-2=0的根，求这个三角形周长

的最小值.

五、单选题(2题)

71.某学校为新生开设了4门选修课程，规定每位新生至少要选其中3

门，则一位新生不同的选课方案共()O

A.7种B.4种C.5种D.6种

巳它的焦点坐标为

/4・

户。）B（W。）

C.（•考D.（。,耳）

A.如图B.如上图C.如

上图所示D.如上图示

六、单选题（1题）

有6人站成一排,其中有亲姐妹3人恰好相邻的概率为（）

（A谛（B）y

（C）5（D）信

73.120

参考答案

1.B

2.B

/过《1,2），其反曲数了1（工）过（3,0）,卯；f（"又过点

（0,3）,所以有八1）=2,f（O）=3.得<x0+b=3—‘3=3'

3.BT+3.

4.D

不等式x*-x，等价于x，+x-6K）.利用因式分解法可得（x+3）（x-2）K）.所以

x&3或史2,即原不等式的解集为（心，-3]U[2,+◎.

5.C求三角函数的周期时，一般应将函数转化为y=Asin®x+a）或：

y=Acos®x+a)型，然后利用正弦、余弦型的周期公式T=2TT/|(O|求

解.A,f(x)=cos22x-

sin22x=cos(2x2x)=cos4x,T=7r/2B,f(x)=2sin4x,T=2n/4=7r/2.C,f(x)=sinxcosx

=l/2xsin2x,T=27r/2=n.D,f(x)=4sinx,T=2兀/1=2兀.

6.C

设PCr.y)为所求直线上任一点，茄=Cr-3,y-2).

因为痴」明所以有而即1Q—3)+2(＞一2)=0,

则所求段线方程为2工一9—4：0.(答案为C)

7.D由根与系数关系得bi+b4=3/2,由等差数列的性质得b2+b3=bi+b4=3/

2

8.B

9.D

设f(x)=o的实根为,X2.13

•・"(I)为偶函数，

/•X|.J・£.两两成对出现(知用).

X|+工？++*!=0.

10.C

11.B

2名女大学生全被选中的概率为=孕=捍高、答案*B)

12.B

该小题主要考查的知识点为偶函数的性质.【考试指导】

A项，log?”KIog2（-z）,故A项不是

偶函数（/‘9KS•故c项不是偶函数；D项.

［十zW（_1尸一1•故D项也不是偶函数；而B项

中"=（一工/.故B项是偶函数.

13.A

14.D

15.A

该小题主要考查的知识点为随机事件的概率.【考试指导】设A表示

_L=JL

第2名是女生，P（A）=「1'

16.C

17.C

18.C

注意区分|/|与

,:z=a+6i.

义•复敬之的模为：|z|=+从«

复数模的平方为/=|'=a2+62•

而e1=（a+6i）（a+fei）=a2+2a6i+〃i，=（a"-

If＞叶2ab\«

IX2|夏数的平方的模为，|/|=

A2-*!）I+（2afc）1=/+凡

19.A(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2,V|a|=|b|,.\|a|2-|b|2=0.

20.C

21.A

22.A

23.Banp=a,b_L0,Vb±a,又;a包含于a,.•.由三垂线定理的逆

定理知，b在a内的射影b，J_a

24.B

25.A

26.C

设圆锥母线长为i,底面圆半径为r,高为h,有

r罪

7=sinnr・

»J

h_K

T-co*y

.73.,I

另设过II点的轴级面为

则•即3・2r•>>-

购户=替又&,=十•2W/="〃=K•号”

7316j.

"五8K.

27.A

28.B余弦定理是解斜三角形的重要公式，本题利用余弦定理及三角形面

积公式(S△ABC=l/2bcsinA=l/2acsinB=l/2absinC)求出角.丁

cosC=(a2+b2-c2)/2ab=4S△ABC/2ab(BSAABC=(a2+b2-c2)/4)SA

ABC=l/2abcosC,①又•.^△ABC=l/2absinC,②由①②得cosC=sinC,/.

ZC=n/4.

29.B

30.C

31.89E（Q=100x0.2+90x0.5+80x0.3=89.

32.

设正方体的校长为H,6X*=“：，H=?，因为正方体的大对角线为球体的直径.布2r-V3j

V6

=容,即一£所以这个球的表面积是S=4+=4「降）’一件.（答案为济）

33.

3【解析】c+2c+3c+4c=10c=l,，c=^.

34.

{x|0<x<2}

|x-l|〈l=>-"x-"l=>(Kx<2,故不等式IX—1|<1的解集为{x|0<x<2}.

35.-4

由于函数开口向上，故其在对称轴处取得最小值，又函数过点(-1,

0),(3,0),故其对称轴为x=fmin(l)=l+b+C,而f(-l)由1-

b+c=0,f(3)=9+3b+c=0,得b=-2,c=-3,故fmin(1)=123=4

36.(18)1

31.(答案为

39.

40.

设为所求直缝上任一点，则讲因为前_La.

则M3•a=(i-2,y+l)•(-3.2)=-3(x-2)4-2(y-t-l)=0.

即所求直线的方程为3工一2y—8-0.(答案为3r-2g-8=0)

41.

工+2y/z—\

/〃—+2QT-2kT.N/(x)-x+2

42.

43.

45.

【答案】3AB

AB+AC+CB-BA

AB+AB-BA

=2AB+AB=3AB.

46.

47.

【答案】《工1一3〈工<3}

2x4-1|2x+l>0

①或

ll-2x>0

f2x+1<0

.3

tl-2x<0

①的解集为一；VhV)■.②的斛集为0.

(川一+0<十}U0=(*1—4Ov}}

48.

12U析；141■(4ib)•(fl*|a,-24*b*'APs16-2*44*4u.12.

49.

11sin40，，cos40sin80

sin20.co520cos4007*T'1,*-1、

coalO,COSCSO*-0)*)sin80*4'4J

50.

【答案】-1

【解析】该小题主要考查的知识点为直线的性质.

【考试指导】

/•r—1+1=0..一〜

°得交点(-2,-1),

lx=-2,

取直线i-y+l=。上一.鼠(0,1),则该点关于直

殁x=-2对称的点坐标为(一4・1).则直线/的斜

(25)解：(I)由已知得F(4-,0),

O

所以IOFI=J.

O

(口)设P点的横坐标为3("0)

则P点的纵坐标为《或一4,

△OFP的面积为

11/^1

爹“正x=了，

解得N=32,

51.故P点坐标为(32,4)或(32,-4).

52.

由巳知可得4=75。,

又SU1750=sin(45°+306)=sin45ocos300+«»45o8in30o=...4分

在△ABC中,由正弦定理得

上一匹=&£……8分

sin45°-sin750sin600,

所以4c=16.8C=86+8.……12分

53.

（1）设所求点为（工。.）（1）.

=-6父+2，=-6x©+X

£

由于“轴所在直线的斜率为。,则+2=0.&T

因此%=-3.（打+2.»4=号.

又点（"用不在x轴上，故为所求.

（2）设所求为点（%.%）,

由（l），j=-6%+2，

••・4

由于y=x的斜率为1.则-6*o+2=1,与=/.

因此九="•白+2•/+4耳

又点（看，?）不在直线>='上•故为所求.

（24）解：由正弦定理可知

»ABxsin45°22

8C=-7—=^-="7="=:2(6-1).

sm75。R+丘

-4~

SA4SC=^-xBCxABxsinB

«^-X2(7T-1)X2X^

=3-4

54.727.

55.

(1)因为;=二\,所以与=1・

⑵…岛产LV

曲线r=-11在其上一点（1.；）处的切线方程为

X4-12

y-f=-彳（，->

即为+4y-3=0.

56.解

设点8的坐标为（刈，x）,则

1,

MBI=y（»t+5）+y1①

因为点B在椭圆上.所以2xJ+y「=98

y,1=98-2*,2②

将②代人①，得

33

1481=y（xt+5）+98-2X1

=/-（的为0阳+25）+148

=^-（*,-5）57148

因为-3-5尸W0,

所以当盯=5时，-（与-5）'的值最大，

故M8I也最大

当％=5时.由②.得y产±4有

所以点8的坐标为（5.4万）或（5.-46）时1481最大

57.

（1）因为20,所以¥+6~”04-广10.因此原方程可化为

卜产=C08g,①

e+c

；=siM②

,e-，--"＜e

这里e为参数.①1+②1,消去参数明得

所以方程表示的曲线是椭圆.

（2）由8卷、keN.知co**"。，M"0.而t为参数，原方程可化为

因为2¥鼠'=2/=2,所以方程化篇为

扁-扁

因此方程所表示的曲线是双曲线.

⑶证由（1）知，在椭圆方程中记》=必*匕/=小费

则J=1-6、1.c=1,所以焦点坐标为(±1,0).

由(2)知，在双曲线方程中记£=86%,炉=6i«%.

■则J=a'+/=1,c=l.所以焦点坐标为(±1,0).

因此(I)与(2)中的两方程所表示的曲线有相同的焦点.

(I)函数的定义域为(0,+8).

/(«)=1-y.令人动=0,得工=1.

可见.在区间(0.1)上JG)<0;在区间(1,+8)上/(x)>0.

则/(*)在区间(01)上为减函数;在区间(1.+8)上为增函数•

(2)由(I)知，当x=l时取极小值,其值为#1)=1-Ini=1.

又=4--In=4-+ln2J(2)=2-ln2.

58由干In、<•<In2(Inj

即:<ln2VL则J(2)>〃1).

因眼(外在区间;.2］上的最小值及1.

59.

由巳知，可设所求函数的表达式为y=(M-m)'+n.

而y=x、2H-l可化为y=(x+l)'-2.

又如它们图像的顶点关于直线彳=1对称.

所以n=-2,m=3,

故所求函数的表达式为>=(工-3)'-2.即y=x'-6x+7・

60.

(1)因为%=%g2,即16=a,x；,得a,=64.

4

所以.该数列的通项公式为4=64x(/)z.

T)依(14)

(2)由公式§)得124=-----春一.

1~91_JL

2

化简得2"=32,解得n=5.

解（1）因为t=—^7,所以*o=l.

（2）/=一1/7"I=一"

（x+1）*».14

曲线,=±在其上一点（1，/）处的切线方程为

y-y=_/（*T），

61.即x+4y-3=0.

62.

・（1）/*（«）*Io*IU»-1-6«

fh/（。）・12・-4/（。）・3-&•拈曲&,w/U）在…。蛇帽咖t方餐为r

*4-12«

由此知曲豉，・人。：/,=（）处的切线6（22）

（2）由八*）-0修J・2«»T-L-OL

①才-丹-l£・w"-l时«,）没*版小值：

②1或。<-々-I时.南/（・）・。得

*1■-a-♦2。1■«I八：.2«-1.

故<»=&-日■设却1<-*♦/u*2*-1<1

当”犷1时.不等式1<-・・/•'♦2・-1<3无”

-1a<-71-1时.■不等大1<-•♦/,'♦2a-I<\卷--^-<a<-1.

踪台出②碍口的取值重圉是

63.

(20)本小题满分II分,

M：(I)

X的角度做()♦9・!«•27"%♦45*

>ir3,.V分

X的弧度值0…3

201020TT

yeUnx-sinx的值

00.00190.01590.05550.13880.2929

(精•列o.oooi)•••8分

(0)

II分

64.

解：(I)由

2

得/=4,b=3・

所以C的方程为鸟+==1.….”6分

43

(II)设P(L%)，代入C的方程得|y0|=1.又因国=2.

所以△"；骂的面积S=；x2xg=g.……12分

65.

(I)桶圈的短半轴长为6=2.

抛物线y=Lr的顶点为原点,故精圜的中心为原点.

抛物线的焦点FU.O)即为椭圆的右焦点.

即1,a=+7=，外4^7^.

所求椭圆的标准方程为1+卜1.

(II)桶册的鹿线方程为r=±5.

66.

(I)每一条呆短途径有6段^及7段

因此从A到D的♦短途径共招嗫］■】716条*

(n)同理♦从A到8再到C.・后到D的最融途柱共

从