考点09二分法与求方程近似解（5种题型与基础、易错）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（新高考地区专用）（解析版）

考点09二分法与求方程近似解(5种题型与基础、易错专练)

Q—、2022真题抢先刷，考向提前知

选择题(共1小题)

，3

1.(2020•天津)已知函数f(x)={X'X/U,若函数g(x)=/(x)-|扇-2石(*6R)恰有4个零点，

-x,x0.

则攵的取值范围是()

A.(-8,-A)U(2&，+8)B.(-8,-A)U(0,2近)

C.(…，0)u(0,2&)D.(-8,0)u(2&，+8)

【分析】问题转化为/(x)=|阮2-2x|有四个根，=>y=f(%)与(x)=|扇-2x|有四个交点，再分三

种情况当％=0时，当％<0时，当％>0时，讨论两个函数是否能有4个交点，进而得出左的取值范围.

【解答】解：若函数g(x)=f(x)-\kj?-2x\(依R)恰有4个零点，

则/(x)=|^有四个根，

即y=/(x)与y=/?(x)=|fc?-2卫有四个交点，

当攵=0时，y=f(x)与y=|-2叶=2|川图象如下：

两图象只有两个交点，不符合题意，

当上V0时，y=|/2-2%|与x轴交于两点幻=0,X2=—(%2<xi)

图象如图所示,

kk

所以两图象有4个交点，符合题意，

当攵＞0时，

y=|履2-2x|与x轴交于两点xi=0,X2=—（x2＞xi）

在［0,2）内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，

k

只需＞=丁与丫=去2-2x在（2,4-00）还有两个交点，即可，

k

即二=去2-21在（2,+8）还有两个根，

k

即左=1+2在（2,4-co）还有两个根，

xk

函数y=X+222j，，（当且仅当x=2，即时，取等号）,

XX

所以0＜2＜&,且女＞2点’

k

所以攵＞2近,

故选：D.

【点评】本题考查函数的零点，参数的取值范围，关键利用分类讨论思想，分析函数的交点，属于中档

题.

二.填空题(共2小题)

2.(2020•上海)设“ER,若存在定义域为R的函数f(x)同时满足下列两个条件：

(1)对任意的xoeR,f(xo)的值为xo或Xi?；

(2)关于x的方程/(x)无实数解，

则a的取值范围是(-8,o)u(0,1)u(1,+8).

【分析】根据条件(1)可知xo=O或1,进而结合条件(2)可得a的范围

【解答】解：根据条件(1)可得/(0)=0或7(1)=1,

又因为关于x的方程f(x)=“无实数解，所以“W0或1,

故“6(-«>,0)U(0,I)U(1,+8),

故答案为：(-8,o)u(o,1)U(1,+8).

【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，属于基础题.

3.(2022•天津)设aCR,对任意实数x,记/(x)—min[\x\-2,x2-ax+3a-5}.若/(x)至少有3个零点，

则实数a的取值范围为“0,+8).

【分析】设g(x)—x1-ar+3a-5,h(x)=|x|-2,分析可知函数g(x)至少有一个零点，可得出A2

0,求出”的取值范围，然后对实数a的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数a的不等式,

综合可求得实数〃的取值范围.

【解答】解：设g(x)=J?-ax+3a-5,h(x)=\x\-2,由|x|-2=0可得x=±2.

要使得函数/(x)至少有3个零点，则函数g(x)至少有一个零点，

贝l」A=q2-4(3a-5)20,

解得“W2或“》10.

要使得函数/(x)至少有3个零点，则m<-2,

A<.

所以，｛22，解得花0；

g(-2)=5a-l>0

③当a=10时，g(x)=?-10x+25,作出函数g(x)、h(x)的图象如图所示:

④当a>10时，设函数g(x)的两个零点分别为期、刈(X3VX4),

要使得函数/(x)至少有3个零点，则X3》2,

可得12，解得a>4,此时a>10.

g(2)=a-l>0

综上所述，实数。的取值范围是[10,+8).

故答案为：[10,+°°).

【点评】本题考查了函数的零点、转化思想、分类讨论思想及数形结合思想，属于中难题.

三.解答题(共2小题)

4.(2022•上海)已知函数/(x)的定义域为R,现有两种对/(x)变换的操作：(p变换：f(x)-f(x-f)；

3变换：\f(x+t)-f(x)I，其中r为大于0的常数.

(1)设f(x)=2，，r=l,g(x)为f(x)做①变换后的结果，解方程：g(x)=2；

(2)设/(x)=f,h(x)为/(x)做3变换后的结果，解不等式：/(x)(x)；

(3)设/(x)在(-8,0)上单调递增，/(x)先做<p变换后得到u(x),u(x)再做3变换后得到

/?i(x)；f(%)先做3变换后得到v(x),v(x)再做<p变换后得到hl(x).若h\(x)—hi(x)恒成立，

证明：函数/(x)在R上单调递增.

【分析】(1)推导出g(X)=/(尤)(x-1)=2*-2厂1=2厂1=2,由此能求出x.

(2)推导出％2冽(x+r)2-3=|2n+尸],当xW-主时，f(x)2/i(x)恒成立；当x>-主时，2a+户小

22

了,由此能求出f(X)2/7(X)的解集.

(3)先求出u(x)—f(x)-/(x-r),从而h\(x)—\f(x+r)-f(x)-[f(x)-/(%-/)]|,先求出

v(x)=\f(x+z)-f(x)I，从而hi(x)=\f(x+Z)-f(x)I-\f(x)-f(x-t)I，由〃1(x)=hi(x),

得(x+f)-f(x)-[f(x)-/(JC-/)J|=|/(x+t)-f(JC)I-\f(x)-f(X-/)I，再由f(x)在(-8,

0)上单调递增，能证明函数f(x)在R上单调递增.

【解答】解：(I)V/(x)=2X,t=\,g(x)为『(x)做中变换后的结果，g(x)=2,

：.g(x)=f(x)=2工-2厂1=2厂1=2,

解得x=2.

(2)'.'f(x)=2,h(x)为f(x)做3变换后的结果，f(x)，/7(x),

冽(x+f)2-/|=|2fx+P|,

当xW-主时，f(x)》/?(x)恒成立；

2

当x>-主时，2fx+产</,

2

解得x2(1+J5)i,或xW(1-a)3

综上，不等式：f(x)(x)的解集为(-8,(1-72)r]U[(1+V2)t,+8).

(3)证明：/(X)先做(P变换后得到〃(x),U(X)再做3变换后得到加(X),

Aw(x)=f(x)-f(x-r),h\(x)=[/*(x+r)-f(x)-\f(尤)-f(x-/)

/(x)先做3变换后得到v(x),V(x)再做<p变换后得到hl(x),

v(x)=|/(x+r)-f(x)I，hi(x)=|/'(1+，)-/(x)I-\f(x)-/(x-r)

V//i(x)=h2(x),/G)在(-8,o)上单调递增，

/.[/(x+f)-f(x)-1/(x)-/(x-/)]|=|/(x+r)-/(x)I-\f(x)-f(x7)I，

'f(x+t)-f(x)>f(x)-f(x-t)

.If(x+t)-f(x)>0对，>0恒成立，

f(x)>f(x-t)

・・.函数/G)在R上单调递增.

【点评】本题考查方程、不等式的解的求法，考查函数是增函数的证明，考查函数变换的性质、抽象函

数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

5.(2022•乙卷)已知函数/(x)=ln(1+x)+axex.

(1)当。=1时，求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)若/(x)在区间(-1,0),(0,+8)各恰有一个零点，求。的取值范围.

【分析】(1)将。=1代入，对函数/(x)求导，求出/(0)及/(0),由点斜式得答案；

(2)对函数/(x)求导，分及。<0讨论，当。20时容易判断不合题意，当〃<0时，设g(x)=

(1-x2),利用导数判断g(x)的性质，进而判断得到函数/(x)的单调性并结合零点存在性定理即

可得解.

【解答】解：(1)当a—\时，f(x)=ln(1+x)+xe则f，()=——+-x--x,

x1+xexe

：.f(0)=1+1=2,

又/(0)=0,

・••所求切线方程为y=2x；

x2

(2)f，(x)=.J+a(l-x)=e+a(l2x),1

xx

—ee(l+x)

若当-1<XV0时，f(x)>0,f(x)单调递增，则/(x)<f(0)=0,不合题意；

设g(x)=炉+。(1-x2),g'(x)="-2O¥,

当-1WQ<0时，在(0,+°°)上，g(x)>e°+心0,f(x)>0,f(x)单调递增，无零点，不合题

-«V-

悬；

当a<-1时，当x>0时，gr(x)>0,则g(x)在(0,+°°)上单调递增，g(0)=l+tz<0,g(1)

=e>0,

所以存在唯一的xo€(0,1),使得g(xo)=0,且/(x)在(0,刈)上单调递减，在(xo,+8)上单调

递增，f(xo)</(0)=0,

先证当%>0时，

设h(x)吟Tnx，贝"h’(x)4'二*，

22x2x

易知当0Vx<2时，hf(x)<0,h(x)单减，当x>2时，hf(x)>0,h(x)单增，

所以h(x)》h(2)号Tn2=lTn2>0则当x>°时，lnx,

所以x>21nx,6，>乂2，〈工

exx

再证lnx'l-L

x

设m(x)=lnx-l」，则(x)一V=Xf

xxd

易知当OVxVl时，(x)<0,m(x)单减，当x>l时，m'(x)>0,m(x)单增，

所以加(x)2m(1)=0,即

x

则由aV-1,可得axe-x>2，

x

贝ij当x>l+〃2时，f(x)=ln(1+x)+axe-x>ln(1+x)J>。，

x

此时/(x)在(0,+oo)上恰有一个零点，

当-IVxVO时，/(X)在(-1,0)上单调递增，父(-l)』+2a<0，g，(0)=1>0»

e

故存在唯一的xie(-1,0),使得g'(xi)=0,且g(x)在(-1,xi)上单调递减，在(xi,0)上

单调递增，

g(X])<g(O)=l+a<0，g(-l)+>0，

故存在唯一的JV26(-1,XI),使得g(X2)=0,

所以f(x)在(-1,X2)上单调递增，在(X2,0)上单调递减，

x--1时，/(x)--8,/(0)=0,此时/(x)在(-1,0)上恰有一个零点，

综上，实数。的取值范围为(-8,-1).

【点评】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，零点问题，考查分类讨论思想及

运算求解能力，属于难题.

u二、考点清单

函数的零点

一般地，对于函数y=/(x)(x€R),我们把方程/(x)=0的实数根x叫作函数(x)(xG£))的零

点.即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值.函数的零点不是一个点，而是一个实数.

【解法一一二分法】

①确定区间［a,b］,验证/(a)*f(b)<0,给定精确度；②求区间(a,b)的中点xi；③计算/(xi)；

④若f(xi)=0,则xi就是函数的零点；⑤若/(a)/(可)<0,贝ij令b=xi(此时零点x(£(a,xi))；

⑥若/(xi)/(8)<0,则令a=xi.(此时零点(xi,b)⑦判断是否满足条件，否则重复(2)〜

(4)

【总结】

零点其实并没有多高深，简单的说，就是某个函数的零点其实就是这个函数与x轴的交点的横坐标，另

外如果在(a,b)连续的函数满足/(a"/")<0,则(a,b)至少有一个零点.这个考点属于了解性的，

知道它的概念就行了.

二.函数零点的判定定理

1、函数零点存在性定理：

一般地，如果函数y=/(x)在区间以，切上的图象是连续不断的一条曲线，并且有<0,那么

函数y=/(x)在区间(a,b)内有零点，即存在ce(a,b),使得/(c)=0,这个c也就是f(x)=0的

根.

特别提醒：

(1)根据该定理，能确定/(x)在(a,b)内有零点，但零点不一定唯一.

(2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(〃，〃)

上没有零点，例如，函数，(x)=/-3》+2有/(0)・_/'(3)>0,但函数f(x)在区间(0,3)上有两个零

点.

(3)若f(x)在［〃，加上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a).f(b)<0,则/(x)在(a,b)上

有唯一的零点.

2、函数零点个数的判断方法：

(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数(x)的图象联系起来，并利用函数的性质

找出零点.

特别提醒：

①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程？-2x+l=0在［(),2］上有两

个等根，而函数f(x)=/-2_r+l在［0,2］上只有一个零点；

②函数的零点是实数而不是数轴上的点.

(2)代数法：求方程/(X)=0的实数根.

三.函数的零点与方程根的关系

函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的.但是，他们

的解法其实质是一样的.

【解法】

求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了.我们重

点来探讨一下函数零点的求法(配方法).

例题：求函数f(x)=/+5/-277-101x-70的零点.

解：,:f(x)-27?-101%-70

=(x-5)#(x+7)>(x+2)*(x+l)

二函数/(x)=•?+5/-27/-101X-70的零点是：5、-7、-2、-1.

通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次

函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可.

【考查趋势】

考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可.

四.二分法的定义与应用

二分法即一分为二的方法.设函数/(x)在［小力上连续，且满足了(“)•/(6)<0,我们假设/(a)

<0,f(b)>0,那么当xi=等时，若/(加)=0,这说用为零点；若不为0,假设大于0,那么继续在

［xi,句区间取中点验证它的函数值为0,一直重复下去，直到找到满足要求的点为止.这就是二分法的基本

概念.

【二分法的应用】

我们以具体的例子来说说二分法应用的一个基本条件：

例题：下列函数图象均与x轴有交点，其中能用二分法求函数零点的是

解：能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，

有图象可得，只有③能满足此条件，

故答案为③.

在这个例题当中，所要求的能力其实就是对概念的理解，这也是二分法它惯用的考查形式，通过这个例

题，希望同学们能清楚二分法的概念和常考题型.

【二分法求方程的近似解】

二分法在高中主要属于了解性的内容，拿二分法求近似解思路也比较固定，这里我们主要以例题来做讲

解.

例：用二分法求方程lnx=」在［1，2］上的近似解，取中点c=1.5,则下一个有根区间是11.5,2］.

X

解：令函数/(x)—Inx--1由于/(1.5)—In(1.5)--1_=▲(/nl.52-2)<—Une2-2)=0,

x1.533

即/(1.5)<0,

而/(2)—ln2--=ln2-Iny/-e=ln-^=—ln—>—lnl=O,即/(2)>0,

2Ve2e2

故函数/(x)在［1.52］上存在零点，故方程必乂二』在“、2］上有根，

x

故答案为［1.5,2］.

通过这个例题，我们可以发现二分法的步奏，第一先确定<0的a,b点;第二，寻找区

间(a,b)的中点，并判断它的函数值是否为0；第三，若不为0,转第一步.

五.函数与方程的综合运用

函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程思想，是从问题的数量关系入

手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组)，然后通过

解方程(组)或不等式(组)来使问题获解.有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的

目的.笛卡尔的方程思想是：实际问题一数学问题一代数问题一方程问题.宇宙世界，充斥着等式和不等式.

田三、题型方法

一.函数的零点(共4小题)

'1,x>0

1.（2023•乌鲁木齐三模）定义符号函数sgnx=0,x=0,则方程/^^=5犬-6的解是（）

-1,x<0

A.2或-6B.3或-6C.2或3D.2或3或-6

【分析】根据符号函数的意义，分段解方程作答.

【解答】解：依题意，当x>0时，方程/sg〃x=5x-6为：x2=5x-6,解得x=2或x=3,因此x=2或

x—3,

当x=O时，方程/sg/ir=5x-6为：0=5x-6,解得乂四，于是无解，

5

当x〈0时，方程Wsg"x=5x-6为：-7=5x-6,解得x=-6或x=l,因此x=-6,

所以方程/sgnx=5x-6的解是x=2或x=3或尤=-6.

故选：D.

【点评】本题主要考查了分段函数的应用，属于基础题.

x+1,x40

2.（2023•北京模拟）f（x）=40的零点为-1,2.

,x^-4,x>0

【分析】利用方程的根求解函数的零点即可.

【解答】解：当xWO时，x+l=O,解得x=-l；

x>0时，x2-4=0,解得x=2,

函数的零点为：-1，2.

故答案为：-1,2.

【点评】本题考查函数的零点的求法，是基础题.

3.（2023•毕节市模拟）给出下列命题：

①函数=2*恰有两个零点；

②若函数f（x）（a>0）在（°，+8）上的最小值为4,贝!]“=4；

x

③若函数f（x）满足/（x）■+/（1-x）=4,贝！Jf+f（2）+…+f（_5_）=18；

101010

④若关于x的方程2卜1-,"=0有解，则实数，"的取值范围是（0,1].

其中正确的是（）

A.①③B.②④C.③④D.②③

【分析】根据函数的基本性质，逐一分析选项，即可得出答案.

【解答】解：对于①：当x>0时，/(x)=2*-/有2个零点，2和4,

作出y=f和y=2'的图像，当x<0时，函数f(x)=2'-/有1个零点,

函数fG)=28-/有3个零点,

故①错误;

对于②：f（x）=x，（a>0>即2\/^=4，则〃=4,故②正确；

x

对于③：f（J+f（2）+…+f（_L）=18①，f（_L）+f（*）+..•+f（J=18②,

io'iohoy'io，'io，io，

V/（x）tf（l-x）=4,

Y*看*）=4,f啥）+f端）=4,…，f吟）+f（*=4,

・•・①+②=4X9=36,

Af(―)+f(—)+•••+£(―)=18>故③正确；

10710710

对于④：若关于x的方程亦1-机=0有解，贝！]，〃=2叫

V|x|^O,故④错误,

故选：D.

【点评】本题考查命题的真假判断和函数的基本性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力,

属于中档题.

4.(2023•汉中模拟)设幻，X2分别是函数/CO=x-“F和g(x)=xlog«x-1的零点(其中”>1),则

X1+4A2的取值范围是()

A.[4,+8)B.(4,+8)C.15,+8)D.(5,+<»)

【分析】函数的零点即方程的解，将其转化为图象交点问题，又由函数图象特点，得到交点的对称问题，

从而求解

【解答】解：由设XI,X2分别是函数/(x)—X-和g(x)=xk>g“x-1的零点(其中4>1),

可知XI是方程aX=L的解；X2是方程工=iogX的解；

xxa

则XI,XI分别为函数y」的图象与函数y=y=0r和函数y=1ogd的图象交点的横坐标;

设交点分别为A(xi,—),B(%2,—)

X1x2

由a>1,知0Vxi<l；X2>1;

又因为和)，=log”以及y」的图象均关于直线)，=x对称，

所以两交点一定关于y=x对称，

由于点A(xi,」_),关于直线y=x的对称点坐标为(」一，xi),

X1X1

有X1X2=1,

而XI

则XI+4X2=XI+%2+3X2》.X[X2+3X2>2+3=5

即XI+4X2€(5,+°°)

故选：D.

【点评】本题考查了函数的概念与性质、对数函数以及指数函数.

二.函数零点的判定定理(共7小题)

5.(2023•西安模拟)己知="+配什2,若xo是方程/(x)-/(x)=e的一个解，则xo可能存在的

区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【分析】根据题意，求出g(x)的解析式，分析g(x)的单调性，结合函数零点判定定理分析可得答案.

【解答】解：已知/(x)=ex+lnx+2,则()=xx>0,

xex

设g(x)—f(x)-f(x)-e,

则g(x)=lnx--+2-e»

x

易得y=g(x)(0，+8)上为增函数，

又g(2)VO而g(3)>0,则则刈可能存在的区间是(2,3).

故选：C.

【点评】本题考查导数的计算，涉及函数与方程的关系，属于中档题.

6.(2023•重庆一模)函数f(x)=/nx+2x-6的零点所在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【分析】判断函数的单调性，由/(2)<0,/(3)>0,结合函数零点判定定理得答案.

【解答】解：函数/(x)=/nx+2x-6在(0,+8)上单调递增，

V/(2)=/n2-2<0,f(3)="3>0,

函数/GO=/〃x+2x-6的零点所在的区间是(2,3).

故选：C.

【点评】本题考查函数零点判定定理的应用，是基础题.

7.(2023•海南一模)函数f(x)△-：Lnx+2的零点所在的大致区间为()

X

A.(1,e)B.(e,e2)C.",e3)D.(?,e4)

【分析】根据零点存在性定理，即可得出答案.

【解答】解：f(x)』-lnx+2在(°，+8)连续不断，且单调递减，

X

23

f(l)=3>0.f(e)=-^-+1>0,f(e)=A->0,f(e)0,f(e,)0，

P/jq

Deee

函数f(x)』_inx+2的零点所在的大致区间为"，e3),

X

故选：C.

【点评】本题考查函数零点的判定定理，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

8.(2023•洪山区校级模拟)已知函数/(X)="+(1+a)x-2(a>0且。云1),若函数/(x)恰有一个零

点，则实数a的取值范围为_(1,+8)u}—•

【分析】根据指数函数的性质，得到/(0)=0,然后分别讨论“>1或时，函数的单调性，进

行判断即可.

【解答】解：(x)=〃+(1+«)x-2(a>0且aWl),

...当x=0时，/(0)=a°+(1+a)°-2=1+1-2=0,即。是『(x)的一个零点，

若函数f(x)恰有一个零点，

则等价为当xWO时，/(x)W0,即可.

当。>1时，由指数函数的性质可知：/(X)在R上单调递增，此时只有一个零点，满足题意；

xx

当0<〃<1时，f(x)=alna+(1+a)ln(1+a),则函数，(x)在R上单调递增，

由于limf7(x)f-8,limf'(x)=Q，

故，（x）存在唯一零点，若/（无）只有一个零点x=0,此时也必为极值点,

又此时Hf(x)=limf?(x)=£O，则只需/(0)=lna+ln(1+a)=0,解得-1.

ma=2

X—+8

综上所述，则实数”的取值范围为（1,+8）U{Y^L}.

故答案为：（1,+co）u.

【点评】本题主要考查函数零点的判断，利用指数函数的性质，利用分类讨论思想进行求解是解决本题

的关键，是中档题.

9.（2023•桃城区校级模拟）已知函数f（*）=1+2x+/n在区间【2,4］上有零点，则dm?+/的最

小值为_盟.ln2._.

—ln2一

【分析】根据函数零点性质，结合点到直线距离公式，通过构造新函数，利用导数求出最值即可.

-,

【解答】解：设a为/（x）在［2,4］上的一个零点，则+2a+-^n=0

所以P（/«,〃）在直线■h^y+2a=0上，

又二:=7(m-o)2+(n-o)2=|0P|,0为坐标原点，

|0-X0+2a|

2a

易知|0P|>

令g(x)-/：x(2<x44>则g'(x)=2"x；>o,

VInx—

(lnx)2

所以g(x)在［2,4］上单调递增，所以gG).=g(2)->4•

4

所以11n2+门2的最小值为.

-ln2

故答案为：生Z1返.

ln2

【点评】本题考查函数零点，距离公式等知识点，根据点到直线距离公式，结合两点间距离公式，再构

造函数求最值是解题的关键，考查转化思想以及运算求解能力，属于中档题.

—,x<1,

m

10.（2023•荔湾区校级模拟）设函数f（x）=g(x)=f(x)-4元-1.若函数g

,-l<x<0,

m(x+l)

（x）在区间（-1,1）上有且仅有一个零点，则实数机的取值范围是（）

A.{-1}U[1,+8)B.(-co,-1]U[A,一)

c{-ijutf.g)D.1)

x,04x<l

【分析】构造函数〃（X）=4_*/，则问题转化为人（x）=4如+胆在区间（-1,1）上有

舟Y-1《＜。

且仅有一个根，进一步转化为函数y=〃（x）的图象与直线＞=4加什,”在区间（-1,1）只有一个交点,

利用导数研究曲线的切线问题，确定边界状态的机的值，结合图象求解即可得到答案.

x,O《x＜l

【解答】解：令h（x）=《

A"

三，0<x<1

m

则f(x)=—h(X))

E一《。m

令g(x)=/(x)-4x-1,即/(x)=奴+1，故》（x）=4x+l，

所以/?(x)—4m>c+m,

作出函数人（%）的图象如图所示,

函数g（x）的零点个数即为函数y=/?（x）的图象与直线y=4,〃x+,”的交点个数,

直线y=4/nr+,〃过定点0)>

当直线y=4mr+机过点（1,1）时,m——

5

当直线y=4〃ur+/n与曲线一1］-1(-l<x<0)相切时,

1

设切点坐标为（x

O'x0+l-1)，

由y-——\，

(x+1)2

故切线的斜率为卜=---------不

（x0+l）2

]

-1-0

1X[j+1

所以-：—,解得Xn」

102

(x0+l)X0

则4m=_---------------=-4，解得/〃=

f产

结合图象可知，当■或m=-l时，函数y=/z（x）的图象与直线只有一个交点,

5

即函数g（X）在区间（-1,1）上有且仅有一个零点,

所以实数小的取值范围是{-1}U［看，X#>

【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有:

（1）方程法（直接解方程得到函数的零点）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程+

图象法（令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解）.属于中档题.

c、2

II.（2023•杭州模拟）函数八无）=犬+加+匕在区间［1,3］上存在零点，则J+y的最小值为一

~2~

【分析】设零点为f,则有0+6=-£,由柯西不等式可得e"=⑷+b・l］2w（屋+/）（尸+1）,进而得“2+必

巴，利用导数求出g（?）=gL,正［1,3］的最小值即可.

t2+lt2+l

【解答】解：设零点为f,则£+af+b=0,

所以at+b--e1,

由柯西不等式可得0=卬+611W（/+必）（Ai）,

所以J+/N工工

2

t+l

2t

令g⑺=渴一,re[L3],

t2+l

⑺_2e2t(t2-t+l)_2e3

所以g'>0,

1+1)2(t2+l)

所以g（r）在月［1,3］上单调递增,

2

所以g（f）min=g（1）=—,

2

2

所以

2

2

所以J+户的最小值为C_.

2

2

故答案为：e_.

2

【点评】本题考查了转化思想、导数的综合运用及柯西不等式的应用，属于中档题.

三.函数的零点与方程根的关系（共18小题）

12.（2023•海淀区校级模拟）己知函数/（X）=|X2-4X+4,X<2方程，（*）-r=o有两个实数解，分

kx-2k,x>2

别为XI和X2,当1<，<3时，若存在，使得Xl+X2=4成立，则々的取值范围为（）

A-F）B.（1,V3）C.（亨，3）D.（«,3）

【分析】作出函数图象，结合函数的对称性将问题转化为）=履-2%与y=7-4x+4在xe（3,2+遍）

内有交点，分离参数计算即可.

【解答】解：如图所示，作出函数y=f（x）与）=（1</<3）的图象，

易得两函数交点位于x=2两侧，不妨设xiV2VX2,

若存在才使得Xl+X2=4成立，

即x?一4xi+4=t=kxi-2k,

A1

又y=J?-4x+4关于x=2对称，

故-4无］+4=(4一X2)2-4(4-X2)+4=丫2-4x2+4=t=kx2-2k,

X1x2

因为l<r<3,

所以m-4x2+46(1,3),

A2

所以X2€(3,2+加)，

即x|-4x2+4=/=fcc-2k在X2W(3,2+我)有解,

y_—AY八+4

则----1-=X2-26(1,V3).

x2-2

故选：B.

【点评】本题考查了函数的零点、转化思想、数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题.

log(x+2)~a,0<x<3.5

13.(2023•龙华区校级模拟)关于函数f(x)={29，其中a,人6R,给出下列

b-x,x〉3.5

四个结论：

甲：5是该函数的零点.

乙：4是该函数的零点.

丙：该函数的所有零点之积为0.

T：方程/(X)=1有两个不等的实根.

若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误的结论是()

A.甲B.乙C.丙D.丁

【分析】由已知函数的单调性判断甲、乙中有一个错误，假设甲正确，结合丙正确求得〃与〃的值，得

到函数解析式，再说明丁正确，则答案可求.

【解答】解：当淤［0,3.5］时，f(x)=log2(x+2)-a为增函数，

当x€［3.5,+8)时，f(x)=b-x为减函数，故5和4只有一个是函数的零点,

即甲乙中有一个结论错误，一个结论正确，而丙、丁均正确.

由两零点之积为0，则必有一个零点为0,则/(0)=log22-q=0,得a=l,

若甲正确，则/(5)=0,即b-5=0,b=5,

log(x+2)_l>04x<3.5

可得f(x)={29,

5-x,x)3.5

由/(x)=1,

，

0<x<3.5、x〉3.5

可得或.

log2(x+2)-l=l5-x=l

解得x=2或x=4,方程/(x)=1有两个不等实根，故丁正确.

故甲正确，乙错误.

故选:B.

【点评】本题考查命题的真假判断与应用，函数的零点与方程根的关系，考查逻辑思维能力与推理论证

能力，考查运算求解能力，是中档题.

14.(2023•山西模拟)已知函数f(x)“T7TTWTMT-3,g(x)=ln(庐i-|x|)，则/(X)

与g(x)图象的交点个数是()

A.6B.4C.3D.2

【分析】首先判断两个函数的单调性，再结合端点值，即可判断选项.

【解答】解：两个函数的定义域为R,

因为f(-x)|-x-lIW|-x+lI-3=4Ix+1IWIx-1I-3=f(x)»所以函数/(x)为偶函数,

因为g(-x)=lnUT击?-|-x|)=ln(4诟-|x|)=g(x>所以函数g⑴是偶函数，

2

g(x)=ln(7x+l-x)=ln(~i-——)，根据复合函数单调性可知，在(0,+8)函数g(x)单调

Vx2+l+x

递减，

当X>1时，f函数f(x)单调递增,

-11正^所以函数

当0Vx<l时，f(X)=VT^+V7^-3,f'(x)+

2V1-x2\l1+x2Vl-x2

单调递减，

/(O)=-1,g(0)=0,f(1)=V2-3.g(l)=ln(V2-l)>lrA>(1)e(-1,0),

e

所以/(0)<g(0),/(1)<g(1),

所以/(x)与g(x)图象在(0,+8)有1个交点，

根据偶函数的性质，在(-8,0)上也有1个交点，所以两个函数共有2个交点.

故选：D.

【点评】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性，属于中档题.

15.(2023•阿勒泰地区三模)已知f(x)=sin号*4)，若函数/⑴在区间(筌，9)上有且只有

3个零点，则e的范围为（）

A.岑<e<2兀B.2兀<84等C.e<¥D,用<845兀

00000

【分析】将3x」L看作一个整体，，使用整体思想，由正弦函数y=sinr的零点（即对称中心的横坐标）

44

求解即可.

【解答】解：（x）=sinC|x4）在区间（斗，8）上有且只有3个零点，

.人3兀当l,2兀aw厂，3兀38兀、

••令ix==t，Sx€（―>8）时，t€（―>丁=）'

•V（x）在区间得二，9）上有且只有3个零点，即y=sim在区间（耳二，昔玲）上有且只有3

个零点,

又•.•y=sim的零点（即对称中心的横坐标）为t=kn,kwZ,

・半7_八口由J.Ck/3兀36兀、HA/-1□-+—■尸/3兀30兀、

••考％=0时，t=0€（-----,---+—）,当％=1时，t=兀C（----，-----+—），

444444

>（/J_n-p__--/3兀36兀、*□n-U1/3冗39TC、

当上一2n时，工=2兀€当2—3时，t=3兀E

当k=4时，t=4兀医（旦上，自旦4^三），

444

；♦3兀<*^-个弓-44兀，解得1?<845兀•

故选：D.

【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题.

IIn（-x）|<x<C0

16.（2023•烟台模拟）已知函数f（x）=x,0<x<l,若f（x）="存在四个不相等的实根xi,

X-1.X>1

必X3,X4（XI〈尢2Vx3Vx4）,则4Xj+X]X?X4的最小值是3

【分析】作函数/（X）与y=m图象，结合图象可得XLT2=1,X3=xj，再利用基本不等式求最值即可.

'IIn（-x）|,x<0

【解答】解：作函数f（x）=<X,0<x《l与尸皿