2019中考数学真题分类汇编 圆的基本性质 含解析

圆的基本性质

一、选择题

1.（2019•嘉兴）如图，已知。。上三点4B,C,半径OC=LZABC^30°,切线必交"延长线于点

P,则PA的长为（

A.2B.MC.V2D-1

2.（2019•杭州）如图，P为。。外一点，PA、PB分别切。。于A、B两点，若PA=3,则PB二

（）

A.2B.3C.4D.5

3.（2019•烟台）如图，A8是。的直径，直线。E与。相切于点C,过点A,8分别作

BELDE,垂足为点。，E,连接AC,BC.若AD=出,CE=3,则AC的长为（）.

A..与

4.（2019•威海）

如图，。尸与x轴交与点A（—5,0）,B（1,0）,与y轴的正半轴交于点C,若

ZACB=60°,则点C的纵坐标为

A.V13+>/3B.2A/2+A/3C.48D.2a+2

5.（2019•青岛）如圈，结段A2经过。。的圆心，AC30分别与。。相切于点D若AC=BO=4,

NA=45°,则圆弧CD的长度为

及/

B.2JTC.2

6.（2019•益阳）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B,PO交AB于点C,PO的延长线交

圆O于点D,下列结论不一定成立的是（）

A.PA=PBB.ZBPD=ZAPDC.AB±PDD.AB平分PD

A

第9题图

7.（2019•黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB）,点。是这段弧所在圆的圆心，AB=40〃z,

点C是A8的中点，点。是AB的中点，且C£）=10m.则这段弯路所在圆的半径为（）

A.25mB.24mC.30mD.60m

8.（2019•陇南）如图，点A,B,S在圆上，若弦A8的长度等于圆半径的加倍，则NASB的度数是（）

A

A.22.5°B.30°C.45°D.60°

9.（2019•滨州）如图，A5为。。的直径，为。。上两点，若N5CD=40°,则NA5。的大小为（

C.40°D.20°

10.（2019•聊城）如图,BC是半圆O的直径,D,E是BC上两点，连接BD,CE并延长交于点A,连接ODQE,如

果NA=70°,那么NDOE的度数为

A.35°B.38°C.40°D.42°

IL（2019•潍坊）如图，四边形ABC。内接于。O,A3为直径，AD=CD.过点。作。E_LAB于点连

3

接AC交。E于点？若sinNCAB=丁DF=5,则BC的长为（）

A.8B.10C.12D.16

12.（2019•凉山）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段

最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦.其中，真命题的个数（▲）

A.1B.2C.3D.4

13.（2019•眉山）如图，的直径AB垂直于弦CD垂足是点E,ZCAO=22.5°,OC=6,

则CD的长为

14.（2019衢州）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A,B,C在。O上,CD垂直平分AB于点D.现测得AB=8dm,

DC=2dm,则圆形标志牌的半径为（A）

A.6dmB.5dmC.4dmD.3dm

15.（2019•泰安）如图,Z\ABC是O的内接三角形,/A=119°,过点C的圆的切线交BO于点P,则/P的

度数为

A.320B.310C.29°D.610

二、填空题

16.（2019•嘉兴）如图，已知。。上三点4B,C,半径%=1,ZABC=3Q°,切线融交/延长线于点

P,则PA的长为（）

1

c.V2D.

2

17.（2019•杭州）如图，P为。。外一点，PA、PB分别切。。于A、B两点，若PA=3,贝ijPB=

18.（2019•烟台）如图，是。的直径，直线DE与。相切于点C,过点A,B分别作

BE工DE,垂足为点DE,连接AC,BC.若AD=也,CE=3,则AC的长为（

A.平B,与c凡D."

33

第12题答图

19.（2019喽底）如图（9）,C、D两点在以AB为直径的圆上,AB=2,/ACD=30°,则AD

图（9）

20.（2019•衡阳）已知圆的半径是6,则圆内接正三角形的边长是.

21.（2019•安徽）如图，Z\ABC内接于。O,ZCAB=30°，ZCBA=45°,CD_LAB于点D,若。。的

半径为2,则CD的长为.

22.（2019•株洲）如图所示，AB为。O的直径，点C在。。上，＞OCXAB,过点C的弦CD与线段

OB相交于点E,满足NAEC=65。，连接AD,则/BAD=度.

第16题

23.（2019•凉山州）如图所示，是。。的直径，弦于H,ZA=30°,CD=2有,则。。的

半径是

c

AB

H

D

24.（2019•泰州）如图,。O的半径为5,点P在。O上，点A在。O内，且AP=3,过点A作AP的垂线交于。O

点、B、C设PB=x,PC=y,JJ!!jy与x的函数表达式为.

第16题图

25.（2019•嘉兴）如图，在。。中，弦/夕=1,点。在Z6上移动，连结％,过点。作⑦，冗交。。于点

D,则切的最大值为.

26.（2019•盐城）如图，点A、B、C、D、E在。。上，且弧A3为50。，则NE+NC=

三、解答题

27.（2019浙江省温州市，22,10分）（本题满分10分）

如图，在AABC中，NBAC=90°,点E在BC边上，且CA=CE,过A,C,E三点的。。交AB于另一点F,

作直径AD,连结DE并延长交AB于点G,连结CD,CF.

（1）求证：四边形DCFG是平行四边形；

3

（2）当BE=4,CD=—AB时，求。。的直径长.

8

28.（2019年浙江省绍兴市，第21题，10分）在屏幕上有如下内容：

如图，△ABC内接于圆O,直径AB的长为2,过点C的切线交AB的延长线于点D.

张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答0

（1）在屏幕内容中添加条件ND=30。，求AD的长，请你解答.

（2）以下是小明，小聪的对话：

）卜［小听，牛

17吁小加彳必*出J.人。a的发

小切的条件4’的£/4=30・.逆.

小星।体这徉大一单了.「R占公干.

参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（可以添线、添字母），并解答.

29.（2019江苏盐城卷，24,10）如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,CD是斜边AB上的中线，以CD为

直径的。。分别交AC、BC于点M.N,过点N作垂足为E.

R

D

⑴若°。的半径为I‘4=6,求'的长,第24期图

（2）求证：NE与。O相切.

30.（2019•山西）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：

莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式

和定理，下面就是欧拉发现的一个定理:在4ABC中,R和r分别为外接圆和内切圆的半径,O和I分别为其外

心和内心，则OI2=R2-2Rr.

B

如图l,®0和。I分别是4ABC的外接圆和内切圆,©I与AB相切于点F,设OO的半径为R,®I的半径为

r,外心0（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离0I=d，则有

cf2=R2-2Rr.

下面是该定理的证明过程（部分）：

延长AI交OO于点D,过点I作©O的直径MN,连接DM,AN.

VZD=ZN,ZDMI=ZNAI（同弧所对的圆周角相等），

.•.△MDI^AANLA—=—IA7IDIM1IN.①

IAIN

如图2,在图1（隐去MD,AN）的基础上作G>O的直径DE,连接BE,BD,BI,IF.

：DE是。O的直径,.•.NDBE=90°与AB相切于点F,.\ZAFI=90°ZDBE=ZIFA.

VZBAD=ZE（同弧所对的圆周角相等）,.\AAIF^AEDB.

：.生=里IA?BDDE1IF.②

DEBD

任务：

（1）观察发现:IM=R+r,IN=（用含R,d的代数式表示）；

（2）请判断BD和ID的数量关系,并说明理由；

（3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1）,（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余

部分；

（4）应用:若4ABC的外接圆的半径为5cm,内切圆的半径为2cm,则4ABC的外心与内心之间的距离为

cm

AEA

DD

图1图2

第21题图

31.（2019•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，AABC的顶点A在格点上，B是小正

方形边的中点，ZABC=50°,ZBAC=30°,经过点A,B的圆的圆心在边AC上，

（1）线段AB的长等于二

（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P,使其满足NPAC=NPBC=/PCB,并简

要说明点P的位置是如何找到的（不需要证明）

32.（2019•湖州）已知一条弧所对的圆周角的度数为15°,则它所对的圆心角的度数是

4.（2019•台州）如图,AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接

AE,若/ABC=64°,则NBAE的度数为.

C

D

33.(2019•苏州，26,12)如图，48为。。的直径，C为。。上一点，。是弧的中点，8c与A。、

,1

分别交于点E、F.(1)求证：DO//AC；(2)求证：DE-DA=DC■；(3)若tan/CAO=-,求sin

2

ZCDA的值.

第26题图

34.(2019安徽，19题号，10分)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1,明朝科学家徐光启在

《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆.已

知圆心在水面上方,且圆被水面截得的弦AB的长为6米，NOAB=4L3°.若点C为运行轨道的最高点(C,

O的连线垂直于AB).求点C到弦AB所在直线的距离.

(参考数据：sin41.3°七0.66,cos41.3°-0.75,tan41.3°心0.88)

C

图1图2

35.(2019•宁波汝口图1,O经过等边三角形ABC的顶点A,C(圆心O在4ABC内),分别与AB,CB的延长

线交于点D,E,连接DE,BF，EC交AE于点F.

(1)求证:BD=BE;

⑵当AF:EF=3:2,AC=6时，求AE的长；

AF

(3)设——=x,tanNDAE=y.

EF

①求y关于x的函数表达式；

②如图2,连接OF,OB,若4AEC的面积是^OFB面积的10倍，求y的值.

36.（2019•自贡）如图，＜3。中，弦A8与CD相交于点E,AB=CD,连接AD、BC,

第21题图

求证：(1)AD=BC；(2)AE=CE.

37.（2019•攀枝花）在平面直角坐标系xOy中，已知A（0,2）,动点尸在y=彳-x的图象上运动（不

与。重合），连接AP,过点尸作尸。，4尸，交x轴于点。，连接A。。

（1）求线段AP长度的取值范围；

（2）试问：点尸运动过程中，/QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由。

（3）当AOP。为等腰三角形时，求点。的坐标.

38.（2019•济宁）

如图，A2是。。的直径，C是。。上一点，。是弧AC的中点，E为。。延长线上一点，ZCAE=2

ZC,AC与BD交于点H,与。£交于点儿

（1）求证：AE是。。的切线；

3

（2）若。H=9,tanC=一，求直径AB的长.

4

39.（2019•无锡）如图1,在矩形ABC。中，BC=3,动点尸从3出发，以每秒1个单位的速度，沿射线

方向移动，作APA3关于直线PA的对称APA3',设点P的运动时间为1s）.

（1）若AB=26,①如图2,当点8落在AC上时，显然△PC3'是直角三角形，求此时f的值；

②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB’是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的/的值？若

不存在，请说明理由；

(2)当尸点不与C点重合时，若直线尸8与直线相交于点且当/<3时存在某一时刻有结论NB4M=45°

成立，试探究：对于>3的任意时刻,结论NR1M=45°是否总是成立？请说明理由.

图1图2备用

第28题图

40.(2019•怀化)如图,A、B、C、D、E是。0上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA,得到一

个五角星图形和五边形MNFGH.

(1)计算/CAD的度数；

(2)连接AE,证明：AE=ME；

(3)求证：ME2=BM-BE.

CD

圆的基本性质

一、选择题

1.（2019•嘉兴）如图，已知。。上三点4B,C,半径0C=l,ZABC^30°,切线必交"延长线于点

A.2B.V3C.V2D.A-

【答案】B

【解析】连接OA,因为NABC=30°,所以NAOC=60°,又因为PA为切线，所以/OAP=90°,因为

OC=1,所以PA=百.

2.（2019•杭州）如图，P为。。外一点，PA、PB分别切。。于A、B两点，若PA=3,则PB=

（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】因为融和P8与。。相切，根据切线长定理，可知：PA=PB^„故选B.

3.（2019•烟台）如图，AB是。的直径,直线。E与。相切于点C,过点A,8分别作

BE工DE,垂足为点。，E,连接AC,BC.若AD=#）,CE=3,则AC的长为（

C6

C-------71D.----7t

323

【答案】D第12题答图

【解题过程】连接OC,

因为AD_L£)E,BEVDE,

所以ZADC=ZCEB=90°

所以ZDAC+ZACD=90°

因为AB是。的直径,

所以NAC3=90。，

所以ZBCE+ZACD=90°,

所以ZBCE=ZDAC,

在△4OC与△CE。，

因为ZADC=ZCEB=90°,ZBCE=ADAC

所以△4Z>CS/\CEZ),

BCCE3rr

所以一=——=7=J3

ACAD43

BCr-

在RtAACB中，sinABAC=——=个3,

AC

所以NR4c=60。，

又因为。4=OC,

所以△40C是等边三角形，

所以NACO=60°,

因为直线。E与。相切于点C,

所以

因为AD_L£)E,OC±DE,

所以4D〃0C,

所以ZDAC=ZACO=60°,

所以NACD=90°-ZDAC=30°,

所以4。=24)=2百，

所以△AOC是等边三角形，

所以O4=AC=2A/5,ZAOC=60°,

所以的的长为吆需包竿

4.(2019•威海)

如图，。尸与尢轴交与点A(—5,0),B(1,0),与〉轴的正半轴交于点G若

ZACB=60°,则点。的纵坐标为

B.而+、/5B.2、/5+、/5。.4贬。.2^2+2

【答案】D

【解题过程】连接B4、尸5、PC,过点尸分别作PZUAB,PE±OC,垂足为F,E.

由题意可知：四边形PFOE为矩形，

/.PE=OF,PF=OE.

•・•ZACB=60°,

：.ZAPB=120°.

'：PA=PB,

：.ZPAB=ZPBA=30°.

•；PF_LAB,

：.AF=BF=3.

，PE=0F=2.

PFAF

Vtan30°=-----,cos30°=------

AFAP

:.PF=6AP=2百.

：.0E=s/3,PC=2行

在RTAPEC中，CE=dPC?—PE2=20,

OC=CE+EO=2>j2+2.

5.（2019•青岛）如圈，结段AB经过。。的圆心，ACBD分别与。。相切于点D.若AC=BD=4,

A.nB.2五C.2及万D.4〃

【答案】B

【解析】连接CO,DO,因为AC,8。分别与。。相切于C,。,所以NACO=

ZDBO=90°,所以/AOC=ZA=45°,所以CO=AC=4,因为

AC=BD,CO=DO,所以△ACOg△BDO,所以NDOB=NAOC=45°,所以

907rx4

Z£>OC=180°ZZ)OB-ZAOC=180°—45°-45°=90°,CD=----------

180

=2），故选B.

6.（2019•益阳）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B,PO交AB于点C,PO的延长线交

圆。于点D,下列结论不一定成立的是（）

A.PA=PBB.ZBPD=ZAPDC.AB1PDD.AB平分PD

第9题图

【答案】D

【解析】：PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B,PO交AB于点C,PO的延长线交圆O于点D,

；.PA=PB,ZBPD=ZAPD,故A、B正确；

'.•PA=PB,ZBPD=ZAPD,APDXAB,PD平分AB,但AB不一定平分PD,故C正确，D错误.

7.（2019•黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB）,点。是这段弧所在圆的圆心，AB=40〃z,

点。是AB的中点,点。是A3的中点，且CD=10九则这段弯路所在圆的半径为（）

A.25mB.24mC.30mD.60m

【答案】A

【解析】连接。。，由垂径定理可知。，C,。在同一条直线上，设半径

为r,则OC=OA=r,AD=2Q,OD=OA~CD=r~10,在RtAA£）。，由勾股定理

知：^=202+（r-10）2,解得r=25.

8.（2019•陇南）如图，点A,B,S在圆上，若弦48的长度等于圆半径的加倍，则NASB的度数是（

A.22.5°B.30°C.45°D.60°

【答案】C

【解析】作AB的垂直平分线，交圆与点C,D,设圆心为O,CD与AB交于点

「也OAr

E,•「ABn^/^OA,,*.AE=—^OAfsinAAOE=——--------=—,

2OAOA2

/.ZAOE=45°,ZAOB=90°,；.NASB=45°,故选：C.

9.（2019•滨州）如图，AB为。。的直径，C,。为（DO上两点，若NBCD=40°,则/AB。的大小为（）

【答案】B

【解析】如图，连接AD,：AB为。O的直径，.../ADB=90。.和/BCD都是弧BD所对的圆周角,

:./A=/BCD=40°,AZABD=90°—40°=50°.故选B.

10.（2019•聊城）如图,BC是半圆O的直径,D,E是BC上两点，连接BD,CE并延长交于点A,连接OD,OE,如

果NA=70°，那么NDOE的度数为

A.35°B.38°C.40°D.42°

【答案】C

【解析】；/A=70°ZB+ZC=110°,；./BOE+/COD=220°ZDOE=ZBOE+ZCOD-180°=

40°,故选C.

11.（2019•潍坊）如图，四边形ABC。内接于。O,AB为直径，AD=CD.过点。作。于点£.连

3

接AC交DE于点况若sin/CAB=《，DF=5,则3c的长为（）

A.8B.10C.12D.16

【答案】C

【解析】连接BD.

"：AD=CD,：.ZDAC=ZACD.

为直径，ZADB=ZACB=90°.：.ZDAB+ZABD=90°.

DE.LAB,：.ZDAB+ZADE=90°.：.ZADE=ZABD.

'：ZABD=ZACD,：.ZDAC=ZADE.：.AF=DF=5.

EF3

在尸中，sinZCAB=——=-

AF5

：・EF=3,AE=4.・・・QE=3+5=8.

O石2g2

由OE2=AE・EB,得BE=------=—=16.

AE4

.,.48=16+4=20.

BC3

在阳△AABC中，sinNCAB=——=-

AB5

：.BC=12.

12.（2019•凉山）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段

最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦.其中，真命题的个数（▲）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；两点之间线段最短；在同圆或等

圆中，相等的圆心角所对的弧相等；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，所以只有①是对的，故选A.

13.（2019•眉山）如图，。。的直径A3垂直于弦CD垂足是点E,ZCAO=22.5°,OC=6,

则CD的长为

A.6A/2B.3A/2C.6D.12

【答案】A

【解析】VZA=22.5°,.,.ZCOE=45°,V(DO的直径AB垂直于弦CD,OC=6,

/T

:.ZCEO=90°，,:ZCOE=45°，:.CE=OE=—OC=3A/2,/.CD=2CE=6&,

2

故选D.

14.（2019徜州）一块圆形宣传标志牌如图所示,点A,B,C在。O上,CD垂直平分AB于点D.现测得AB=8dm,

DC=2dm,则圆形标志牌的半径为（A）

A.6dmB.5dmC.4dmD.3dm

【答案】B

【解析】连接OD,OB,则O,C,D三点在一条直线上，因为CD垂直平分AB,AB=8dm,所以BD=4dm,OD=

（r-2）dm,由勾股定理得42+（r-2）2=r2,r=5dm,故选B.

15.（2019•泰安）如图,ZiABC是O的内接三角形,/A=H9°,过点C的圆的切线交BO于点P,则/P的

度数为

A.320B.310C.290D.61°

B

【答案】A

【解析】连接CO,CF,VZA=119°ZBFC=61°ZBOC=122°,

.\ZCOP=58°,VCP与圆相切于点C,；.OC_LCP,.•.在RtAOCP中,NP

=90°-/COP=32°,故选A.

、填空题

16.（2019•嘉兴）如图，已知。。上三点4B,C,半径0C=l,ZABC^30°,切线以交%延长线于点

P,则PA的长为（）

B.MC.V2

【答案】B

【解析】连接OA,因为NABC=30°,所以NAOC=60°,又因为PA为切线，所以NOAP=90°,因为

oc=i,所以PA=JL

17.（2019•杭州）如图，P为。。外一点，PA、PB分别切。。于A、B两点，若PA=3,则PB=

【答案】B

【解析】因为出和尸8与。。相切，根据切线长定理，可知：B4=PB=3,故选B.

18.（2019•烟台）如图，A8是。的直径，直线。E与。相切于点C,过点A,3分别作

BELDE,垂足为点。，E,连接AC,BC.若AD=出,CE=3,则AC的长为（）.

第12题答图

【答案】D

【解题过程】连接0C,

因为AD_L£)E,BE工DE,

所以ZADC=ZCEB=90°

所以ZDAC+ZACD=90°

因为AB是。的直径,

所以NAC3=90。，

所以ZBCE+ZACD=90°,

所以ZBCE=ZDAC,

在△4OC与△CED,

因为ZADC=ZCEB=90°,ZBCE=ZDAC

所以△4OCS2XCED,

BCCE3后

所以一=—=7=J3

ACAD出

在中，sinN3AC=——=6

AC

所以ZBAC=60。，

又因为Q4=OC,

所以△AOC是等边三角形，

所以NACO=60°,

因为直线。E与。相切于点C,

所以OCLOE,

因为AD_L£)E,OCLDE,

所以AD//OC,

所以ZDAC=ZACO=60°,

所以NACD=90°-ZDAC=30°,

所以AC=2AZ)=2G，

所以△AOC是等边三角形，

所以OL4=AC=2若，ZAOC=60°,

所以前的长为60r需包竽

19.(2019喽底)如图(9),C、D两点在以AB为直径的圆上,AB=2,NACD=30°,则AD=

【解析】如图，图9—1,连结AD,

•.•由AB为。0的直径，

.../ADB=90°,

又•.•在。0中有NACD=30。，

.•.NB=NACD=30°,

Z.AD=-AB=-x2=l.

22

20.（2019•衡阳）已知圆的半径是6,则圆内接正三角形的边长是.

【答案】6G

【解析】如图，作。。_LBC于。，IOB=6,N0BD=3U,：.BD

:.BC=6出,故答案为6省.

21.（2019•安徽）如图，AABC内接于。O,ZCAB=30°,ZCBA=45°,CD_LAB于点D,若。O的

半径为2,则CD的长为.

【答案】V2

【解析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是

解题的关键.连接CO并延长交。O于E,连接BE,于是得到/E=/A=30°,ZEBC=90°,解直角三角

形即可得到结论.连接CO并延长交。。于E,连接BE,

贝！J/E=/A=30°,ZEBC=90°,：G）O的半径为2,；.CE=4,；.BC=LcE=2,：CD_LAB,ZCBA=45°,

2

/.CD=—BC=V2,故答案为行.

2

E

22.（2019•株洲）如图所示，AB为。O的直径，点C在。。上，且OC_LAB,过点C的弦CD与线段

OB相交于点E,满足NAEC=65。，连接AD,则/BAD=度.

第16题

【答案】20。

【解析】如图，连接D0,因为C0_LAB,所以/C0B=90°,：/AEC=65°/C=25°,

V0D=0C,.*.Z0DC=ZC=25o,ADCO中，ZD0C=130°,.*.ZD0B=40o,.\2ZBAD=

ZDOB,.,.ZBAD=20°。

23.（2019•凉山州）如图所示，AB是。。的直径，弦于X,ZA=30°,CD=273,则。。的

半径是______________

【答案】2

【解析】连接。C,贝iJOA=OC,，/A=NACO=30°,.•./COH=60°,•.•08_LC。，CD=2g,CH=Q,

：.OH=1,：.OC=2.

24.（2019•泰州）如图,。O的半径为5,点P在。O上，点A在。O内，且AP=3,过点A作AP的垂线交于。O

点B、C.设PB=x,PC=y，则y与x的函数表达式为.

第16题图

【答案】y=-

X

【解析】过点0作ODLPC于点D连接OP,OC,因为PC=y，由垂径定理可得DC=，因为OP=OC,所以/

11pARP

COD=-NPOC,由圆周角定理,NB=上NPOC,所以NCOD=NB,所以△CODS/\PBA,W=J，即

22CDOC

-=-，整理可得函数表达式为:y=—.

25

2

25.（2019•嘉兴）如图，在。。中，弦26=1,点。在26上移动，连结。C,过点。作切，%交。。于点

D,则切的最大值为.

【解析】连接OD,因为CDLOC,则有CD=，Or>2—OC?,根据题意可知圆半径一定，故当OC最小

时则有CD最大，故当OC_LAB时CD=BC=L最大.

2

26.（2019•盐城）如图，点A、B、C、D、E在。。上，且弧A8为50。，则NE+NC=

【答案】155。

【解析】如图，连结。4、OB,AE,由弧42为50。可知，ZAOB=50°,又NAOB

和NAE8分别为弧AB所对的圆心角和圆周角，故NAO1,即

2

/AEB=25。,又四边形AEDC是©。的内接四边形，所以NACO+/AEO=180。，

又ZAEB=25。，可得ZACD+ZBED=180°-25°=155°.

三、解答题

27.（2019浙江省温州市，22,10分）（本题满分10分）

如图，在△ABC中，NBAC=90°,点E在BC边上，且CA=CE,过A,C,E三点的。。交AB于另一点F,

作直径AD,连结DE并延长交AB于点G,连结CD,CF.

（1）求证：四边形DCFG是平行四边形；

3

（2）当BE=4,CD=—AB时，求。。的直径长.

8

【解题过程】(1)连接AE.：NBAC=90°,，CF是。。的直径.

AC=EC,；.CF_LAE.：AD为。。的直径，AZAED=90°,即GD_LAE,；.CF〃DG.

,/AD为。。的直径，.\ZACD=90°,.'.ZACD+ZBAC=180°,；.AB〃CD,...四边形DCFG为平行

四边形；

3

(2)由CD--AB,可设CD=3x,AB=8x,.,.CD=FG=3x.

8

,/ZA0F=ZC0D,；.AF=CD=3x,.,.BG=8x-3x-3x=2x.

BEBG2

GE〃CF,/.AABGE^AACDE,——=——=-.

EGGF3

又：BE=4,；.AC=CE=6,/.BC=6+4=10,/.AB=J102-62=8=8x,/.x=l.

在Rt^ACF中，AF=3,AC=6,ACF=732+62=37?,即。。的直径长为3

28.（2019年浙江省绍兴市，第21题，10分）在屏幕上有如下内容：

如图，△ABC内接于圆O,直径AB的长为2,过点C的切线交AB的延长线于点D.

张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答0

（3）在屏幕内容中添加条件/D=30。，求AD的长，请你解答.

（4）以下是小明，小聪的对话：

）段下是小男

A。”.

・30・.通・

公私

参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（可以添线、添字母），并解答.

【解题过程】

29.(2019江苏盐城卷，24,10)如图，在RtZXABC中，ZACB=9Q°,CD是斜边AB上的中线，以为

直径的。。分别交4C、8C于点M,N,过点N作NELA8,垂足为E.

⑴若°。的半径为|'"=6’求AV的长,

(2)求证：NE与。O相切.

解:(1)','OD=OC=-,二CD=5

2

:•N4C3=90。，CD是斜边上的中线

,45=28=10

BD=CD=5

:NC=6

二.在联义照中，BC=NAB，_"2=8

（2）为。。上一点，连结M?

又,：BD=CD

4=0

OC=ON

连接ON,如图

z\二c

:.8为直径&二c

二ZDN20QNOIIAB

•：N为3c中点（等腰三角形三线合一）

NE人AB

1NO1NE

.\BN=-BC=4

2NE与0O相切

30.（2019•山西）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：

莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式

和定理，下面就是欧拉发现的一个定理:在4ABC中,R和r分别为外接圆和内切圆的半径,O和I分别为其外

心和内心，则。/2=火2-2Rr

如图1,®O和。I分别是AABC的外接圆和内切圆,©I与AB相切于点F,设©O的半径为R,®I的半径为

r,外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI=d，则有

/=火

2_2Rr.

下面是该定理的证明过程（部分）：

延长AI交©O于点D,过点I作©O的直径MN,连接DM,AN.

：/D=/N,/DMI=/NAI（同弧所对的圆周角相等），

.•.△MDI^AANLA—=—IA7IDIM1IN.①

IAIN

如图2,在图1（隐去MD,AN）的基础上作©O的直径DE,连接BE,BD,BI,IF.

：DE是。O的直径,.•.NDBE=90°.:刨与AB相切于点F,.\ZAFI=90°ZDBE=ZIFA.

V