第7章假设检验 综合讲练

第7章假设检验综合讲练

概率论与数理统计第7章假设检验（§7.1〜§7.4）

综合讲练要览

一、假设检验概述（§7.1）

1、假设检验（单参数假设检验）

2、假设检验的基本思想

3、假设检的拒绝域

4、假设检验的一般步骤

5、假设检验可能产生的两类错误

6、双侧检验与单侧检验

二、单正态总体的假设检验（§7.2）

三、双正态总体的均值与方差的假设检验（§7.3）

四、一般总体均值的大样本假设检验（§7.4）

1.一个总体均值的大样本假设检验

2.两个总体均值的大样本假设检验

（共55页）

概率论与数理统计第7章假设检验（§7.1〜§7.4）

综合讲练

•提示-根据题目所问，准确选择检验方法

（1）右侧检验;

2）左侧检验；

（3）双侧检验.

-熟记假设检验的拒绝域表

•辨析

一、假设检验概述（§7.1）

•在实际问题中，常常需要对一些问题作出“是”与“否”的抉择；

•假设检验就是根据样本对总体的某个命题（称为原假设），作出是

否拒绝该

命题的统计推断（在概率意义下）；

•假设检验是数理统计的一个重要内容.

1、假设检验（单参数假设检验）

先对总体分布函数的形式或分布函数中的参数提出假设，然后通过抽

样并根据样本提供的信息对假设的正确性进行推断，作出接受或拒绝假设

的决策，这一过程称为假设检验.

（共55页）

概率论与数理统计第7章假设检验（§7.1〜§7.4）

综合讲练

设总体的分布类型是已知的，未知的只是其中一个（或多个）参数,

如果统计假设只与未知参数有关，则称该统计假设为参数假设，相应的检

验称为单参数假设检验（或多参数假设检验）.

设总体的分布类型是未知的，如果直接针对总体分布的具体形式或总

体分布的某些特征提出统计假设，则称该统计假设为非参数假设，相应的

检验称为非参数假设检验

本课程主要介绍参数假设检验.

2、假设检验的基本思想

P177

假设检验的基本思想实质上是带有某种概率性质的反证法.

通常称提出的待检验假设为原假设（或零假设，基本假设），记为H0；

与之相对立的假设称为备择假设（或对立假设）

，记为H1.

注：假设检验中所谓“不合理”，并非逻辑中的绝对矛盾，而是基于人

们在实践中广泛采用的原则，即小概率事件在一次试验中是几乎不发生的.

但概率小到什么程度才能算作“小概率事件”，显然，“小概率事件”的

概率越小，否定原假设H0就越有说服力.常记这个概率值为a（O<；a

称为检验的显著性水平.对不同的问题，检验的显著性水平a不一

定相同，但一般应取为较小的值，如0.1,0.05或0.01等.

（共55页）

概率论与数理统计第7章假设检验（§7.1〜§7.4）

综合讲练

3、假设检的拒绝域

设Xl,X2,,Xn是来自总体X的一个样本，其观察值

xl,x2,,xn,选取适当的检验统计量（通常由枢轴量确定）

U(X1,X2,,Xn)（其观察值为u（xl,x2,,xn））在原假设H0成

立的条件下，U(X1,X2,,Xn)的分布是已知的，事先给定一个较小的概率值(又

称为显著性水平)a(O<a<l),确定集合

W={(xl,x2,,xn)U(xl,x2,,xn)满足的不等式}

使

P{f(Xl,X2,,Xn)GWHO为真}<a

小概率事件

则称集合W为假设检验的拒绝域.

4、假设检验的一般步骤

(1)作出原假设H0及备择假设H1；

(2)选择检验统计量U(Xl,X2,,Xn),并确定检验的拒绝域

W={(xl,x2,,xn)u(xl,x2,,xn)满足的不等式}?P{U(X1,X2,,Xn)eWH0为真}

Wa

小概率事件

可简化表示为

u(xl,x2,,xn)满足的不等式

(3)由来自总体X的一个样本Xl,X2,,Xn的观察值xl,x2,,xn,计算出

检验统计量U(X1,X2,,Xn)的观察值

u(xl,x2,,xn)

(4)作出统计推断(数理统计反证法)

①若u(xl,x2,,xn)落入拒绝域W(小概率事件发生了)

(共55页)

概率论与数理统计第7章假设检验(§7.1〜§7.4)

综合讲练？u（xl,x2,,xn）满足相应的不等式

?拒绝原假设H0（即，接受备择假设H1）

②若u（xl,x2,,xn）未落入拒绝域C（小概率事件未发生）

?u（xl,x2,,xn）不满足相应不等式

?接受原假设H0（即，拒绝备择假设H1）

5、假设检验可能产生的两类错误

P178

（1）第一类错误（“弃真错误”）

若原假设H0成立（为真），但检验结果为：拒绝H0；犯此类错误的

概率为P{U（Xl,X2,,Xn）金WHO为真}Wa（a为显著性水平）

（2）第二类错误（“取伪错误”）

若原假设H0不成立（不真），但检验结果为：接受H0；犯此类错误

的概率为

P{U（X1,X2,,Xn）?WHO不真}=8（难以求出）

若原假设为H0,备择假设为H1

注：当样本容量n一定时，a与B不能同时减少：减少其中一个，另

一个往往就会增大；要同时减少a与B,只有增加样本容量n。

（共55页）

概率论与数理统计第7章假设检验（§7.1〜§7.4）

综合讲练

在实际问题中，总是注意控制犯第一类错误的概率a,通常取a=0.1,

0.05,0.025,0.01等较小的数值，a取多大数值，这还要视具体问题而定.

6、双侧检验与单侧检验

设。为总体的待检验参数，00为已知常数，则定义

二、单正态总体的假设检验(§7.2)了解拒绝域

的推导

设X1,X2,,Xn是来自正态总体X~N(口,o2)的一个样本，其观察值为

xl,x2,,xn,记

总体均值U=EX

总体方差o2=DX

In样本均值X=£

Xini=l样本方差S=2(Xi-X)2,

Sli=l

In(共55页)

概率论与数理统计第7章假设检验(§7.1〜§7.4)

综合讲练

?S(xii=ln-)2=(n-l)s2,

记拒绝域

W={(xl,x2,,xn)u(xl,x2,,xn)满足的不等式}?P{U(X1,X2,,Xn)WWHO为真}

Wa

可简化表示为

u(xl,x2,,xn)满足的不等式

1、总体方差。2已知条件下，总体均值口的假设检验(u-检验)

(1)双侧检验

・检验假设原假设HO：U=U0；备择假设Hl：nWRO

•枢轴量

UO=~N(O,1)X-U•检验统计量

U=

?X-U(当HO为真时)

u==uo=控制？

P{UO=>ua}=a2

(O<a<l)

•拒绝域

?P{P{U=X-n>；uaHO为真}=a

2

可简化表示为不等式表示

(共55页)

概率论与数理统计第7章假设检验(§7.1〜§7.4)

综合讲练

(2)单侧检验(右侧检验)

•检验假设原假设HO：UW

U0；备择假设Hl：U>P0

•枢轴量

UO=~N(O,1)•

检验统计量

U=x-|i

?X-n

UO=2U=(当HO为真时，U偏小)？控制

P{UO=>ua}=a(O<a&|t;l)•拒绝域(共55页)

概率论与数理统计第7章假设检验(§7.1〜§7.4)

综合讲练?P(U=X-U>uaHO为真}=a

•推断

•图示

(3)单侧检验(左侧检验)

・检验假设原假设H0：口2口0；备择假设Hl：U<U0

•

枢轴量U0=-N(0,l)•

检验统计量U=

X-|i

?X-11UO=WU=(当HO为真时，U偏大)

?控制<-ua}=a

P{UO=(0<；a&|t;l)

(共55页)

概率论与数理统计第7章假设检验(§7.1〜§7.4)

综合讲练•拒绝域

X-U?P{U=<-uaHO为真}=a

•推断

•图示

2、总体方差。2未知条件下，总体均值口的假设检验(t-检验)

(1)双侧检验

・检验假设原假设H0：口=口0；备择假设Hl：UU0

枢轴量TO=-t(n-l)X-U•

检验统计量T=

X-|i

?T==TO=(当HO为真时)(共55页)

概率论与数理统计第7章假设检验(§7.1〜§7.4)

综合讲练？

P{TO=>ta(n-l)}2

控制

=a

(O<a<l)

•拒绝域

?P{T=X-|i>ta(n-l)HO

为真}=a

(2)单侧检验(右侧检验)

・检验假设原假设HO：uWnO；备择假设Hl：U>U0

•枢轴量TO=~t(n-l)(共55页)

概率论与数理统计第7章假设检验(§7.1〜§7.4)

综合讲练•检验统计量

T=X-n

?X-H(当HO为真时，T偏小)

TO=2T=控制？

P{TO=>ta(n-l)}=a(O<a<l)

•拒绝域

X-|i

?P{T=>；ta(n-l)HO为真}=a

可简化表示为不等式表示

•推断

•图示

(3)单侧检验(左侧检验)

・检验假设原假设H0：口2U0；备择假设Hl：U<U0

(共55页)

概率论与数理统计第7章假设检验(§7.1〜§7.4)

综合讲练•枢轴量

TO=~t(n-l)X-U•检验统计量

T=

?X-H(当HO为真时，T偏大)

T0=WT=?控制

P{TO=<-ta(n-l)}=a(O<a&|t;l)

•拒绝域

X-n

?P{T=<-ta(n-l)HO为真}=a

•推断

•图示(共55页)

概率论与数理统计第7章假设检验(§7.1〜§7.4)

综合讲练

3、总体均值P未知条件下，总体方差。2的假设检验(x2-检

验)

(1)双侧检验

22•检验假设原假设HO：o2=o0；备择假设H1：。2W。0

29枢轴量x0=i=12Z(Xi-X)n

a2

n-X(n-l)2

i=l,检验统计量x2=2Z(Xi-X)2o0

?n22E(Xi-X)£(Xi-X)(n-l)S22i=12i=lx==x0==222oo0oOn

(当HO为真时)

?2222=P{xO<xa(n-1)或xO>xa(n-1)}

1-22控制=a(0<；a&|t;l)

(共55页)

概率论与数理统计第7章假设检验(§7.1〜§7.4)

综合讲练•拒绝域

22P{x2<xa(n-1)或x2>xa(n-l)HO为真}=a

1-22?

可简化表示为不等式表示

•推断

其中

•图示

(2)单侧检验(右侧检验)

22•检验假设原假设H0：。2或。0；备择假设Hl：o2>o0

(共55页)

概率论与数理统计第7章假设检验(§7.1〜§7.4)

综合讲练

29枢轴量x0=i=12Z(Xi-X)n

an~x(n-l)2

i=l>检验统计量x2=2E(Xi-X)2o0

?n22L(xi-x)E(xi-x)i=12i=lx0=^x2=(当HO为真时，x2偏小)2

o2oOn

?222P{x2>xa(n-l)}^P{xO>xa(n-1)}控制

=a(O<a<l)

小概率事件

2?P{x2>；xa(n-l)HO为真}=a

可简化表示为不等式表示

2x2>xa(n-l)

•推断

•图示

(共55页)

概率论与数理统计第7章假设检验(§7.1〜§7.4)

综合讲练

(3)单侧检验(左侧检验)

22•检验假设原假设H0：。22。0；备择假设Hl：o2<o0

29枢轴量xO=i=12S(Xi-X)n

an~x(n-l)2

i=l,检验统计量x2=2£(Xi-X)o0

i=l其观察值为x2=2£(xi-x)。On?n22£(Xi-X)E(Xi-X)i=12i=lx0=W

x2=x2偏大)(当HO为真时，oo0

222P{x2<x1-a(n-l)}^P{xO<x1-a(n-l)}n?控制

=a(O<a<l)

小概率事件

?2P{x2<x1-a(n-l)HO为真}=a

可简化表示为不等式表示

(共55页)

概率论与数理统计第7章假设检验(§7.1〜§7.4)

综合讲练

2x2<xl-a(n-l)

•推断

•图示

4、单个正态总体的均值与方差的假设检验的拒绝域表

熟记、对比P194表7-3-1

(共55页)

概率论与数理统计第7章假设检验(§7.1〜§7.4)

综合讲练

注：

(1)检验的拒绝域用不等式表示

W={(xl,x2,,xn)u(xl,x2,,xn)满足的不等式}?P{U(X1,X2,,Xn)eWHO为真}

Wa

小概率事件可简化表示为

u(xl,x2,,xn)满足的不等式

(2)统计量的观察值用小写字母表示

(共55页)

概率论与数理统计第7章假设检验(§7.1〜§7.4)

综合讲练

X-U统计量11=

=(数值)

统计量T=

n=x-u(数值)

i=l统计量x2=2E(Xi-X)2o0=i=lx2=2E(xi-x)2o0n=(n-l)s22。0(数值)

三、双正态总体的均值与方差的假设检验(§7.3)

了解

22)与Y-N(li2,o2)是两个相互独立的正态总体，设X-N(U1,o1

(XI,X2,,Xn)与(Y1,Y2,,Yn)分别是取自总体X与Y的样本，其观察12

值分别为(xl,x2,,xn)与(yl,y2,,yn),它们的样本均值与样本方差12

分别为

11X=Z

Xnli=lilY=YjZn2j=l

1122Sl=(Xi-X)

Enl-li=12122S2=(Yj-Y)£n2-lj=l

nn2nn2=Sw22(nl-l)Sl+(n2-l)S2

nl+n2-2

(共55页)

概率论与数理统计第7章假设检验(§7.1〜§7.4)

综合讲练

1、双正态总体的均值差的假设检验(均值的差异性检验)

22(1)方差。1已知情形,02

提出检验假设：

HO:U1-U2=UO;H1:U1-口2W口0双侧检验H0:

U1-U2WUO;H1:U1-U2>口0右侧检验

HO:U1-U2^UO;H1:U1-U2<U0左侧检

验其中HO为已知常数，拒绝域如双正态总体的均值与方差的假设检验的

拒绝域表

了解、对比P194表7-3-1

2222(2)方差。1未知，但。1,。2=。2=。2

提出检验假设：

HO:U1-U2=UO;H1:U1-U2WU0双侧检验HO:

U1-U2W口O;H1:U1-U2>口0右侧检验

HO:Ul-U2^UO;H1:U1-U2<U0左侧检

验其中U0为已知常数，拒绝域如双正态总体的均值与方差的假设检验的

拒绝域表

了解、对比P194表7-3-1

2222,。2#。2(3)方差。1未知，但。1

提出检验假设：

HO:U1-U2=UO;H1:U1-U2^HO双侧检验HO:

U1-U2WUO;H1:U1-U2>口0右侧检验

HO:Hi-U2^UO;H1:U1-U2<U0左侧检

验其中U0为已知常数，拒绝域如双正态总体的均值与方差的假设检验的

拒绝域表

了解、对比P194表7-3-1

2、双正态总体的方差相等的假设检验(方差的差异性检验)

提出检验假设:

2222H0:ol=o2;H1：O1Wo2双侧检验

2222H0:。。2;H1:ol>o2右侧检验

(共55页)

概率论与数理统计第7章假设检验(§7.1〜§7.4)

综合讲练

2222HO:ol^o2;H1:ol<o2左侧检验

其中U0为已知常数，拒绝域如双正态总体的均值与方差的假设检验

的拒绝域表

了解、对比P194表7-3-1

双正态总体的均值与方差的假设检验的拒绝域表

了解、对比P194表7-3-1

(共55页)

概率论与数理统计第7章假设检验(§7.1〜§7.4)

综合讲练

2S1

注：f=nl

S1

nl(nl-l)++2S2n2S2

n2(n2-l)

四、一般总体均值的大样本假设检验(§7.4)了

解

1.一个总体均值的大样本假设检验

设Xl,X2,,Xn是来自总体X的一个样本，其观察值为

,其中xl,x2,,xn，总体X〜一般分布(非正态总体)

总体均值U=EX

总体方差。2=DXIn样本均值X=£

Xini=l样本方差S2=ln2Z(Xi-X)n-li=l?i=122Z(Xi-X)=(n-l)S

n则可得一个总体均值的大样本假设检验的拒绝域表

补充、了解

(共55页)

概率论与数理统计第7章假设检验(§7.1〜§7.4)

综合讲练

2.两个总体均值的大样本假设检验

(XI,X2,,Xn)与(Y1,Y2,,Yn)设X与Y是两个相互独立的总体，12

分别是取自总体X与Y的样本，其观察值分别为(xl,x2,,xn)与1

(yl,y2,,yn),它们的样本均值与样本方差分别为2

11X=£

Xnli=lil2Y=S

Yn2j=ljll22Sl=(Xi-X)E

nl-li=12122S2=(Yj-Y)E

n2-lj=lnnnn(共55页)

概率论与数理统计第7章假设检验(§7.1〜§7.4)

综合讲练

2=Sw22(nl-l)Sl+(n2-l)S2

nl+n2-2

则可得两个总体均值的大样本假设检验的拒绝域表

补充、了解

注：其中,Pl=nnl/nl,P2=un2/n2,P=（unl+un2）/（nl+n2）,口nl是nl

次独立重复试验中事件A发生（即X=l）的次数，Rn2是n2次独立重复试验

中事件B发生（即Y=l）的次.

（共55页）

概率论与数理统计第7章假设检验（§7.1〜§7.4）

综合讲练

概率论与数理统计第7章假设检验（§7.1〜§7.4）

一、假设检验概述（§7.1）

1、假设检验（单参数假设检验）

2、假设检验的基本思想

3、假设检的拒绝域

4、假设检验的一般步骤

5、假设检验可能产生的两类错误

6、双侧检验与单侧检验

二、单正态总体的假设检验（§7.2）

三、双正态总体的均值与方差的假设检验（§7.3）

四、一般总体均值的大样本假设检验（§7.4）

1.一个总体均值的大样本假设检验

2.两个总体均值的大样本假设检验

•提示

-根据题目所问，准确选择检验方法

（1）右侧检验；

（2）左侧检验；

（3）双侧检验.

-熟记假设检验的拒绝域表

•辨析

一、假设检验概述（§7.1）

•在实际问题中，常常需要对一些问题作出“是”与“否”的抉择；

•假设检验就是根据样本对总体的某个命题（称为原假设），作出是

否拒绝该

命题的统计推断（在概率意义下）；

（共55页）

概率论与数理统计

第7章假设检验（§7.1〜§7.4）

综合讲练假设检验是数理统计的一个重要内容.

1、假设检验（单参数假设检验）

2、假设检验的基本思想

P177

假设检验的基本思想实质上是带有某种概率性质的反证法.

通常称提出的待检验假设为原假设（或零假设，基本假设），记为H0；

与之相对立的假设称为备择假设（或对立假设），记为H1.

3、假设检的拒绝域

设Xl,X2,,Xn是来自总体X的一个样本，其观察值

xl,x2,,xn,选取适当的检验统计量(通常由枢轴量确定)

U(Xl,X2,,Xn)(其观察值为u(xl,x2,,xn))在原假设HO成

立的条件下，U(Xl,X2,,Xn)的分布是已知的，事先给定

(共55页)

概率论与数理统计第7章假设检验(§7.1〜§7.4)

综合讲练一个较小的概率值(又称为显著性水平)a(0<；a&|t;l),确

定集合

W={(xl,x2,,xn)U(xl,x2,,xn)满足的不等式}

使

P{f(Xl,X2,,Xn)GWHO为真}Wa

小概率事件

则称集合W为假设检验的拒绝域.

4、假设检验的一般步骤

(1)作出原假设H0及备择假设H1；

(2)选择检验统计量U(Xl,X2,,Xn),并确定检验的拒绝域

W={(xl,x2,,xn)u(xl,x2,,xn)满足的不等式}?P{U(Xl,X2,,Xn)£WH0为真}

Wa

小概率事件

可简化表示为

u(xl,x2,,xn)满足的不等式

（3）由来自总体X的一个样本Xl,X2,,Xn的观察值xl,x2,,xn,计算出

检验统计量U（X1,X2,,Xn）的观察值

u（xl,x2,,xn）

（4）作出统计推断（数理统计反证法）

①若u（xl,x2,,xn）落入拒绝域W（小概率事件发生了）

?u（xl,x2,,xn）满足相应的不等式

?拒绝原假设H0（即，接受备择假设H1）

②若u（xl,x2,,xn）未落入拒绝域C（小概率事件未发生）

?u（xl,x2,,xn）不满足相应不等式

?接受原假设H0（即，拒绝备择假设H1）

5、假设检验可能产生的两类错误

P178

（1）第一类错误（“弃真错误”）

（共55页）

概率论与数理统计第7章假设检验（§7.1〜§7.4）

综合讲练

若原假设H0成立（为真），但检验结果为：拒绝H0；犯此类错误的

概率为P{U（Xl,X2,,Xn）金WHO为真}Wa（a为显著性水平）

（2）第二类错误（“取伪错误”）

若原假设H0不成立（不真），但检验结果为：接受H0；犯此类错误

的概率为

P{U(X1,X2,,Xn)?WHO不真}=B（难以求出）

若原假设为HO,备择假设为Hl

6、双侧检验与单侧检验

设。为总体的待检验参数，。0为已知常数，则定义

(共55页)

概率论与数理统计第7章假设检验(§7.1〜§7.4)

综合讲练

二、单正态总体的假设检验(§7.2)了解拒绝域

的推导

设X1,X2,,Xn是来自正态总体X~N(口，。2)的一个样本，其观察值为

xl,x2,,xn,其中

总体均值U=EX

总体方差o2=DXIn样本均值X=£

Xini=l样本方差S2=ln2Z(Xi-X)n-li=l?i=122Z(Xi-X)=(n-l)S

n则可得单个正态总体的均值与方差的假设检验的拒绝域表

熟记、对比P194表7-3-1

(共55页)

概率论与数理统计第7章假设检验(§7.1〜§7.4)

综合讲练

注：

(1)检验的拒绝域用不等式表示

W={(xl,x2,,xn)u(xl,x2,,xn)满足的不等式}?P{U(X1,X2,,Xn)£WHO为真}

Wa

小概率事件可简化表示为

u(xl,x2,,xn)满足的不等式

(2)统计量的观察值用小写字母表示

(共55页)

概率论与数理统计第7章假设检验(§7.1〜§7.4)

综合讲练

x-口统计量U=

=(数值)

统计量T=

n=x-口(数值)

i=l统计量x2=2E(Xi-X)2oO=i=lx2=2E(xi-x)2o0n=(n-l)s22。0(数值)

三、双正态总体的均值与方差的假设检验(§7.3)

了解

22)与Y-N(H2,o2)是两个相互独立的正态总体,设X~N(U1,o1

(Xl,X2,,Xn)与(Y1,Y2,，丫n)分别是取自总体X与Y的样本，其观察12

值分别为(xl,x2,,xn)与仅l,y2,,yn),它们的样本均值与样本方差12

分别为

11X=S

Xnli=lilY=YjSn2j=l

1122Sl=(Xi-X)

£nl-li=12122S2=(Yj-Y)£n2-lj=l

nn2nn2=Sw22(nl-l)Sl+(n2-l)S2

nl+n2-2

(共55页)

概率论与数理统计第7章假设检验(§7.1〜§7.4)

综合讲练双正态总体的均值与方差的假设检验的拒绝域表

了解、对比P194表7-3-1

2S1

注:f=nl

4S1

nl(nl-l)++2S2n24S2

n2(n2-l)

四、一般总体均值的大样本假设检验(§7.4)

了解

1.一个总体均值的大样本假设检验

(共55页)

概率论与数理统计第7章假设检验(§7.1〜§7.4)

综合讲练

设Xl,X2,,Xn是来自总体X的一个样本，其观察值为

,其中xl,x2,,xn，总体X〜一般分布(非正态总体)

总体均值U=EX

总体方差。2=DXIn样本均值X=£

Xini=l样本方差S2=ln2Z(Xi-X)n-li=l?i=122Z(Xi-X)=(n-l)S

n则可得一个总体均值的大样本假设检验的拒绝域表

补充、了解

(共55页)

概率论与数理统计第7章假设检验(§7.1〜§7.4)

综合讲练

2.两个总体均值的大样本假设检验

(XI,X2,,Xn)与(Y1,Y2,,Yn)设X与Y是两个相互独立的总体，12

分别是取自总体X与Y的样本，其观察值分别为(xl,x2,,xn)与1

(yl,y2,,yn),它们的样本均值与样本方差分别为2

11X=Z

Xnli=linl2Y=YjZ

n2j=lnS12112=(X-X)Z

inl-li=ln2122S2=(Yj-Y)Z

n2-lj=ln2=Sw22(nl-l)Sl+(n2-l)S2

nl+n2-

2

则可得两个总体均值的大样本假设检验的拒绝域表

补充、了解

(共55页)

概率论与数理统计第7章假设检验(§7.1〜§7.4)

综合讲练

注：其中,Pl=nnl/nl,P2=un2/n2,P=(unl+un2)/(nl+n2),口nl是nl

次独立重复试验中事件A发生(即X=l)的次数，口n2是n2次独立重复试验

中事件B发生(即Y=l)的次.

(共55页)

概率论与数理统计第7章假设检验(§7.1〜§7.4)

综合讲练

【补例7.1】(教材P182例2)有一工厂生产一种灯管，已知灯管的寿

命X服从正态分布N(,40000).根据以往的生产经验，知道灯管的平均寿命

不会超过1500小时.为了提高灯管的平均寿命，工厂采用了新的工艺.为

了弄清楚新工艺是否真的能提高灯管的平均寿命，他们测试了采用新工艺

生产的25只灯管的寿命，其平均值是1575小时;尽管样本的平均值大于

1500小时，试问:

(1)可否由此判定这恰是新工艺的效应，而非偶然的原因使得抽出的

这25只灯管的平均寿命较长呢？

(2)可否由此判定这恰是新工艺的效应，而非偶然的原因使得抽出的

这25只灯管的平均寿命较短呢？

(3)可否由此判定这恰是新工艺的效应，而非偶然的原因使得抽出的

这25只灯管的平均寿命不变呢？【提示】

-根据题目所问，准确选择

检验方法

(1)右侧检验；

(2)左侧检验；

(3)双侧检验.

-熟记单个正态总体的均值与方差的假设检验的拒绝域表

（共55页）

概率论与数理统计第7章假设检验（§7.1〜§7.4）

综合讲练

【解】

设灯管的寿命为X（小时），且总体X〜N（乙。2）（总体均值U=EX未

知，总体方差。2=DX=40000已知），依题意

（1）可否由此判定这恰是新工艺的效应，而非偶然的原因使得抽出的

这25只灯管的平均寿命较长呢？

问题类型：正态总体，总体方差o2=DX=40000已知，对总体均值U=EX

进行假设检验（右侧检验）

由单个正态总体的均值与方差的假设检验的拒绝域表知，可利用U检

验检验假设

HO:口WUO?H1:U>UO（H0=1500）右侧检验

（共55页）

概率论与数理统计第7章假设检验（§7.1〜§7.4）

综合讲练•枢轴量

U0=~N（0,l）X-H•检验统计量

U=

①

•检验

由题设，取：

样本容量n=25

显著性水平a=0.05

待检总体均值为口0=1500

总体方差。2=40000?总体标准差。=200In样本均值的观察值x=£

xi=1575ni=l

求出：

由①(ua)=1-a=1-0.05=0.95

查附表3得，

①(1.64)=0.9495,①(1.65)=0.9505

?分位数u

a=u0.05=1.64+1.65=1.6452

X-U代入上述数据，得检验统计量U=u满足

u=

x-U==1.875(即，u值落入拒绝域①中)•推断

拒绝原假设H0(即，接受备择假设H1)

(共55页)

概率论与数理统计第7章假设检验(§7.1〜§7.4)

综合讲练

即，可以认为：由此判定这恰是新工艺的效应，而非偶然的原因使得

抽出的这25只灯管的平均寿命较长.

(2)可否由此判定这恰是新工艺的效应，而非偶然的原因使得抽出的

这25只灯管的平均寿命较短呢？

问题类型：正态总体，总体方差。2=DX=40000已知，对总体均值U=EX

进行假设检验(左侧检验)

由单个正态总体的均值与方差的假设检验的拒绝域表知，可利用U检

验•检验假设

HO:U2口O?H1:U<UO(U0=1500)左侧检验

•枢轴量

U0=~N(0,l)X-U•检验统计量

U=

①

•检验

由题设，取：

样本容量n=25

显著性水平a=0.05

待检总体均值为口0=1500

总体方差。2=40000?总体标准差。=200In样本均值的观察值x=£

xi=1575ni=l

求出：

由①(ua)=1-a=1-0.05=0.95

查附表3得，

0(1.64)=0.9495,0(1.65)=0.9505

?分位数ua=u0.05=1.64+1.65=1.6452

(共55页)

概率论与数理统计第7章假设检验(§7.1〜§7.4)

综合讲练

X-U代入上述数据，得检验统计量U=u满足

X-UU===1.875检验

(即，u值未落入拒绝域①中)

•推断

接受原假设H0(即，拒绝备择假设H1)即，可以认为：由此判定

这恰是新工艺的效应，而非偶然的原因使得抽出的这25只灯管的平均寿

命较长.

(3)可否由此判定这恰是新工艺的效应，而非偶然的原因使得抽出的

这25只灯管的平均寿命不变呢？

问题类型：正态总体，总体方差。2=DX=40000已知，对总体均值U=EX

进行假设检验(双侧检验)

由单个正态总体的均值与方差的假设检验的拒绝域表知，可利用U检

验•检验假设

HO:U=UO?H1:uU0(U0=1500)双侧检验

•枢轴量

U0=~N(0,l)X-H•检验统计量

U=

•检验①由题设，取：

样本容量n=25

显著性水平a=0.05

待检总体均值为U0=1500

(共55页)

概率论与数理统计第7章假设检验(§7.1〜§7.4)

综合讲练总体方差。2=40000?总体标准差o=200In样本均值的观察值

x=£xi=1575ni=l

求出：由①(ua)=1-

2a2=1-0.050.05=0.975=0.975=1-22

查附表3得，

0(1.96)=0.975?分位数ua=u0.05=u0.025=1.96

22

代入上述数据，得检验统计量U=X-11的观察值u满足

x-|iu===1.875

(即，u值未落入拒绝域①中)•推断

接受原假设H0(即，拒绝备择假设H1)即，可以认为：由此判定

这恰是新工艺的效应，而非偶然的原因使得抽出的这25只灯管的平均寿

命不变.

•本题检验方法的合理性

-ua<-ua<ua<u<ua

22

双侧检验

?u<ua

2?接受U=U0,拒绝口W口0

右侧检验

?u>ua

左侧检验

?u>-ua?接受u>；U0,拒绝UWU0?接受U2H0,拒绝u<u

0????????????????接受口2Ho

即，可以认为：由此判定这恰是新工艺的效应，而非偶然的原因使得

抽出的这25只灯管的平均寿命较长.

(共55页)

概率论与数理统计第7章假设检验(§7.1〜§7.4)

综合讲练

【补例7.2](教材P184例4)一公司声称某种类型的电池的平均寿命

至少为21.5小时.有一实验室检验了该公司制造的6套电池，得到如下的

寿命小时数：

19,18,22,20,16,25

(假定：电池的寿命服从正态分布N(U,。2),显著性水平a=0.05).

问：

(1)这些结果是否表明，这种类型的电池的寿命高于该公司所声称的

寿命？

(2)这些结果是否表明，这种类型的电池的寿命低于该公司所声称的

寿命？

(3)这些结果是否表明，这种类型的电池的寿命等于该公司所声称的

寿命？【提示】

-根据题目所问，准确选择检验方法

(1)右侧检验；

(2)左侧检验；

(3)双侧检验.

-熟记单个正态总体的均值与方差的假设检验的拒绝域表

【解】

设该种类型的电池的寿命为X(小时)，且总体X〜N(U,o2)(总体均

值U=EX未知，总体方差。2=DX未知)，依题意

(1)这些结果是否表明，这种类型的电池的寿命高于该公司所声称的

寿命？问题类型：正态总体，总体方差o2=DX未知，对总体均值U=EX

进行假设检验(右侧检验)

由单个正态总体的均值与方差的假设检验的拒绝域表知，可利用T检

验•检验假设

HO：|1

WUO?H1:U>UO(U0=21.5)右侧检验

•枢轴量T

0=~t(n-l)X-H•检验统计量

T=

•拒绝域

可简化表示为不等式表示

????????????????①

•检验

(共55页)

概率论与数理统计第7章假设检验(§7.1〜§7.4)

综合讲练

由题设，取：

样本容量n=6

显著性水平a=0.05

待检总体均值为U0=21.5

求出：lnl样本均值的观察值x=£xi=(19+18+22+20+16+25)=20ni=16

样本方差的观察值s2=ln2122£(xi-x)=[(19-20)+(18-20)n-li=15

+(22-20)2+(20-20)2+(16-20)2+(25-20)2]=10

样本方差的观察值s=查附表4得，

n=6,a=0.05查附表4

=t0.05(5)=2.015

分位数ta(n-l)代入上述数据，得检验统计量T=

x-uX-ut满足

t===-1.161895004?«-1.1619检验

•接受原假设H0(即，拒绝备择假设H1)

即，可以认为：这种类型的电池的寿命低于该公司所声称的寿命.

(2)这些结果是否表明，这种类型的电池的寿命低于该公司所声称的

寿命？问题类型：正态总体，总体方差o2=DX未知，对总体均值U=EX进

行假设检验(左侧检验)

由单个正态总体的均值与方差的假设检验的拒绝域表知，可利用T检

验•检验假设

HO:UUO?H1:U<UO(U0=21.5)左侧检验

(共55页)

概率论与数理统计第7章假设检验(§7.1〜§7.4)

综合讲练•枢轴量

TO=~t(n-l)X-U•检验统计量

T=

?????????????①

•检验

由题设，取：

样本容量n=6显著性水平a=0.05

待检总体均值为口0=21.5

求出：

lnl样本均值的观察值x=£xi=(19+18+22+20+16+25)=20ni=16

样本方差的观察值s2=ln2122E(xi-x)=[(19-20)+(18-20)n-li=15

+(22-20)2+(20-20)2+(16-20)2+(25-20)2]=10

样本方差的观察值s=

查附表4得，

n=6,a=0.05查附表4

=t0.05(5)=2.015分位数ta(n-

1)代入上述数据，得检验统计量T=

x-|iX-|i

t满足

t===-1.161895004^-1.1619检验

(共55页)

概率论与数理统计第7章假设检验(§7.1〜§7.4)

综合讲练・推断

接受原假设H0(即，拒绝备择假设H1)

即，可以认为：这种类型的电池的寿命高于该公司所声称的寿命.

(3)这些结果是否表明，这种类型的电池的寿命等于该公司所声称的

寿命？问题类型：正态总体，总体方差。2=DX未知，对总体均值U=EX进

行假设检验(双侧检验)

由单个正态总体的均值与方差的假设检验的拒绝域表知，可利用T检

验•检验假设

HO:U=UO?H1:uU0(U0=21.5)双侧检验

•枢轴量

T0=~t(n-l)X-U•检验统计量

T=

•检验??????????????①由题设，取：

样本容量n=6

显著性水平a=0.05

待检总体均值为口0=21.5

求出：

lnl样本均值的观察值x=£xi=(19+18+22+20+16+25)=20ni=16样本方

差的观察值s2=ln2122Z(xi-x)=[(19-20)+(18-20)n-li=15

+(22-20)2+(20-20)2+(16-20)2+(25-20

)2]=10

样本标准差的观察值s=

查附表4得，(共55页)

概率论与数理统计第7章假设检验(§7.1〜§7.4)

综合讲练

n=6,a=0.05查附表4

分位数ta(n-l)=t0.025(5)=2.5706

2

代入上述数据，得检验统计量T=

X-uX-ut满足

t===-1.161895004^-1.1619

接受原假设H0(即，拒绝备择假设H1)

即，可以认为：这种类型的电池的寿命等于该公司所声称的寿命.

•本题检验方法的合理性

-ta(n-l)<-ta(n-l)<t<ta(n-l)<ta(n-l)

22

双侧检验

a(n-l)?接受U=U0,拒绝HW口0

2

右侧检验

a(n-l)?接受口W艮0,拒绝U>H0

左侧检验

?t>-ta（n-1）?接受R2口0,拒绝U<U0????????????????接受U=

U0

即，可以认为：这种类型的电池的寿命等于该公司所声称的寿命.

【补例7.31（教材P185例6）某工厂生产金属丝，产品指标为折断力.

折断力的方差被用作工厂生产精度的表征.方差越小，表明精度越高.以

往工厂一直把该方差保持在64（kg2）及64以下.最近从一批产品中抽取10

根作折断力试验，测得的结果（单位为千克）如下：

578,572,570,568,572,570,572,596,584,570.

由上述样本数据算得：

x=575.2,s2=75.74

为此，厂方怀疑金属丝折断力的方差是否变大了.如确实增大了，表明

生产精度

（共55页）

概率论与数理统计第7章假设检验（§7.1〜§7.4）

综合讲练不如以前，就需对生产流程作一番检验，以发现生产环节中存

在的问题.（假定：金属丝折断力服从正态分布N（U,。2）,显著性水平a

=0.05）.问：

（1）金属丝折断力的方差是否变大？

（2）金属丝折断力的方差是否变小？

（3）金属丝折断力的方差是否不变？【提示】

-根据题目所问，准确选择

检验方法

（1）右侧检验；

（2）左侧检验；

（3）双侧检验.

-熟记由单个正态总体的均值与方差的假设检验的拒绝域表

（共55页）

概率论与数理统计第7章假设检验（§7.1〜§7.4）

综合讲练

【解】

设该种类型的电池的寿命为X（小时），且总体X〜N（11,。2）（总体均

值口=EX未知，总体方差。2=DX未知），依题意

（1）金属丝折断力的方差是否变大？

问题类型：正态总体，总体均值R=EX未知，对总体方差。2=DX进行

假设检验（右侧检验）

由单个正态总体的均值与方差的假设检验的拒绝域表知，可利用X2

检验检验假设

（共55页）

概率论与数理统计第7章假设检验（§7.1〜§7.4）

综合讲练

2H0:。2W。O2?H1:o2>。02（。0=64）右侧检验

i=12,枢轴量x0=2E（Xi-X）no2

n=(n-l)S2a2-x(n-l)2

i=ie检验统计量x2=2Z(Xi-X)2oO=(n-l)S22o0

•拒绝域

可简化表示为不等式表示

2x2>xa(n-1)???????????????????①•检验

由题设，取：

样本容量n=10

显著性水平a=0.05

待检总体方差为。0=64

In样本均值的观察值x=£xi=575.2ni=12

样本方差的观察值s2=

求出：

查附表5得，ln2Z(xi-x)=75.74n-li=l

n=10,a=0.05查附表52=x0.05(9)=16.919分位数xa(n-l)2

i=l代入上述数据，得检验统计量x2=2Z(Xi-X)2。On的观察值x2满

足

(共55页)

概率论与数理统计第7章