山东省济南市长清第十五中学高三数学理测试题含解析

山东省济南市长清第十五中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的值为31，则等于（

）A．

B.

C.

D.

参考答案：C2.已知函数，则“”是“函数的最小正周期为”的（

）A．必要不充分条件

B．充要不必要条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件参考答案：B3.已知函数的图象如下面右图所示，则函数的图象是(

）参考答案：A4.若、为两条不重合的直线，、为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的个数是

①若、都平行于平面，则、一定不是相交直线；

②若、都垂直于平面，则、一定是平行直线；

③已知、互相垂直，、互相垂直，若，则；

④、在平面内的射影互相垂直，则、互相垂直.

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：A略5.钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A．充分条件 B．必要条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件．【解答】解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”?“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选B6.己知．其中i为虚数单位，则a+b=

A.-1

B.1

C.2

D．3参考答案：B略7.已知命题；命题，则()A．是假命题

B．是真命题C．是真命题

D．是真命题参考答案：A略8.定义集合称为集合与集合的差集．又定义称为集合的对称差集．记表示集合所含元素个数．现有两个非空有限集合，若=1，则的最小值为（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：C9.设，，且，，，则

的值（

）

A.一定大于零

B.一定小于零

C.小于或等于零

D.正负均有可能参考答案：B略10.已知定义在R上的奇函数f(x)的导函数为，当x<0时，f（x）满足，则f(x)在R上的零点个数为（

）A.1

B.3

C.5

D.1或3参考答案：A试题分析：因为当时,满足,所以当时,满足，令，在上单调递增,,即时,,，又仅一个零点.故选A.考点：1、函数的求导法则；2、利用导数研究函数的单调性及构造函数解不等式.【方法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题根据，构造函数然后证明递增进而得到结论的.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.等比数列的前项和为，，若，则

．参考答案：12.给出下列命题：①不等式成立的充要条件是；②已知函数在处连续，则；③当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是；④将函数的图象按向量平移后，与函数的图象重合，则的最小值为.你认为正确的命题是

．（写出所有正确命题的序号）参考答案：①②略13.已知则=________.参考答案：

14.已知函数在区间上单调递减，在上单调递增，则实数a的取值范围是______．参考答案：[－2,0]【分析】利用二次函数的图像和性质，结合对数函数的图像和性质分析得到实数a的取值范围.【详解】因为二次函数在区间上单调递减，所以a≤0.由x+2＞0，所以x＞-2.所以.故a的取值范围为.【点睛】本题主要考查二次函数和对数函数的图像和性质，考查函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.设函数在内可导，且，则=

。参考答案：2略16.设函数f：R→R，满足f(0)=1，且对任意x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)－f(y)－x+2，则f(x)=

；参考答案：x+1解：令x=y=0，得，f(1)=1－1－0+2，Tf(1)=2．令y=1，得f(x+1)=2f(x)－2－x+2，即f(x+1)=2f(x)－x．①又，f(yx+1)=f(y)f(x)－f(x)－y+2，令y=1代入，得f(x+1)=2f(x)－f(x)－1+2，即f(x+1)=f(x)+1．②比较①、②得，f(x)=x+1．17.已知点A、B、C、D在同一个球面上，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若，，，则B、C两点间的球面距离是

。参考答案：

【解析】由题设易知AD的中点O为球心，且OB=OC=4，又在直角△ABC中，，∴，∴B、C两点间的球面距离为。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°．（Ⅰ）求∠AEC的大小；（Ⅱ）求AE的长．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）先连接AB，根据切线的性质以及已知条件得到：∠AOB=60°；再结合OA=OB以及∠ABC=∠AEC即可得到结论；（Ⅱ）分两段，先根据直角三角形中的有关性质求出AD，再结合相交弦定理求出DE，二者相加即可．【解答】解：（Ⅰ）连接AB，因为：∠APO=30°，且PA是⊙O的切线，所以：∠AOB=60°；∵OA=OB∴∠AB0=60°；∵∠ABC=∠AEC∴∠AEC=60°．（Ⅱ）由条件知AO=2，过A作AH⊥BC于H，则AH=，在RT△AHD中，HD=2，∴AD==．∵BD?DC=AD?DE，∴DE=．∴AE=DE+AD=．19.已知函数 （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在[1，4]上是减函数，求实数的取值范围．参考答案：解：（1）函数的定义域为（0，+∞）。 当时，

的单调递减区间是单调递增区间是。

（2）由，得

又函数为[1，4]上的单调减函数。则 在[1，4]上恒成立，所以不等式在[1，4]上恒成立， 即在[1，4]上恒成立。

设，显然在[1，4]上为减函数， 所以的最小值为 的取值范围是略20.如图，在四棱锥中，，，两两垂直，，且，.（1）求二面角的余弦值；（2）已知点为线段上异于的点，且，求的值.参考答案：以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系.则，，，，（1）由题意可知，，.设平面的法向量为，则即令，则，.所以.平面的法向量为，所以，由题意可知，，，设，则，因为，所以，化简得，所以或.又因为点异于点，所以.21.（13分）已知函数，

①若在区间上单调递减，求实数的取值范围。②若过点可作函数图象的三条切线，求实数的取值范围。③设点，，记点，求证：在区间内至少有一实数，使得函数图象在处的切线平行于直线。参考答案：解析：①在上增，上减，上增，

……4分②设切点为，斜率则切线方程为：代入点坐标有：关于的方程有三个不等根方程有两个不为1的不等根。上方程化为：。由有

，或将代入求得，实数的取值范围是

……8分③直线的斜率为在处的切线斜率为，即考查关于的方程在区间内的根的情况令，对称轴⑴当时，，方程区间内有一实根⑵当时，，方程区间内有一实根⑶当时，，方程区间内有一实根综上，方程在区间内至少有一实根，故在区间内至少有一实数，使得函数图象在处的切线平行于直线。……13分22.若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1mm时，则视为合格品，否则视为不合格品。在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5000件进行检测，结果发现有50件不合格品。计算这50件不合格品的直径长与标准值的差（单位：mm）,将所得数据分组，得到如下频率分布表：分组频数频率[-3,-2）0．10[-2,-1）8（1,2]0．50（2,3]10（3,4]合计501．00（Ⅰ）将上面表格中缺少的数据填在答题卡的相应位置；（Ⅱ）估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间（1,3]内的概