2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测93几何概型

[课时跟踪检测][基础达标]1．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为()A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析：因为|x|≤1，所以－1≤x≤1，所以所求的概率为eq\f(1－－1,2－－1)＝eq\f(2,3).答案：A2．(2017届广州市五校联考)四边形ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为()A.eq\f(π,4) B．1－eq\f(π,4)C.eq\f(π,8) D．1－eq\f(π,8)解析：如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的面积比，即所求概率P＝eq\f(S阴影,S长方形ABCD)＝eq\f(2－\f(π,2),2)＝1－eq\f(π,4).答案：B3．已知正棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点P，使得VP－ABC<eq\f(1,2)VS－ABC的概率是()A.eq\f(3,4) B.eq\f(7,8)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)解析：由题意知，当点P在三棱锥的中截面以下时，满足VP－ABC<eq\f(1,2)VS－ABC，故使得VP－ABC<eq\f(1,2)VS－ABC的概率：P＝eq\a\vs4\al(\f(大三棱锥的体积－小三棱锥的体积,大三棱锥的体积)＝,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝\f(7,8).)答案：B4．(2017届山东师大附中模拟)设x∈[0，π]，则sinx<eq\f(1,2)的概率为()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析：由sinx<eq\f(1,2)且x∈[0，π]，借助于正弦曲线可得x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))，∴P＝eq\f(\f(π,6)×2,π－0)＝eq\f(1,3).答案：C5．(2016年全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.eq\f(7,10) B.eq\f(5,8)C.eq\f(3,8) D.eq\f(3,10)解析：如图，若该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为eq\f(25,40)＝eq\f(5,8)，故选B.答案：B6．如图所示，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC都不小于15°的概率为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析：依题意可知∠AOC∈[15°，75°]，∠BOC∈[15°，75°]，故OC活动区域为与OA，OB构成的角均为15°的扇形区域，可求得该扇形圆心角为(90°－30°)＝60°.P(A)＝eq\f(OC活动区域的圆心角度数,∠AOB的度数)＝eq\f(60°,90°)＝eq\f(2,3).答案：D7．在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(4,5)解析：根据题意求出矩形的面积为32时，线段AC或线段BC的长，然后求出概率．设AC＝x，则CB＝12－x，所以x(12－x)＝32，解得x＝4或x＝8.所以P＝eq\f(4＋4,12)＝eq\f(2,3).答案：C8．(2017届贵阳市监测考试)在[－4,4]上随机取一个实数m，能使函数f(x)＝x3＋mx2＋3x在R上单调递增的概率为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,8)C.eq\f(5,8) D.eq\f(3,4)解析：由题意，得f′(x)＝3x2＋2mx＋3，要使函数f(x)在R上单调递增，则3x2＋2mx＋3≥0在R上恒成立，即Δ＝4m2－36≤0，解得－3≤m≤3，所以所求概率为eq\f(3－－3,4－－4)＝eq\f(3,4)，故选D.答案：D9．已知平面区域D＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，在区域D内任取一点，则取到的点位于直线y＝kx(k∈R)下方的概率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：由题设知，区域D是以原点为中心的正方形，直线y＝kx将其面积平分，如图，所求概率为eq\f(1,2).答案：A10．(2018届盐湖区校级模拟)在区间(0,4)上任取一实数x，则2<2x－1<4的概率是________．解析：解不等式2<2x－1<4得2<x<3，所以P＝eq\f(3－2,4－0)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)11.(2018届岳阳模拟)如图是半径分别为1,2,3的三个同心圆，现随机向最大圆内抛一粒豆子，则豆子落入图中阴影部分的概率为________．解析：图中阴影部分的面积为π×22－π×12＝3π，豆子落入图中阴影部分的概率为P＝eq\f(3π,π×32)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)12．已知f(x)＝ax＋b－1，若a，b都是从区间[0,2]任取的一个数，则f(1)<0成立的概率为________．解析：由题意得f(1)＝a＋b－1<0⇒a＋b<1，如图所示，A(1,0)，B(0,1)，则S△ABO＝eq\f(1,2)，所以f(1)<0成立的概率为P＝eq\f(\f(1,2),2×2)＝eq\f(1,8).答案：eq\f(1,8)13．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M(1)求四棱锥M－ABCD的体积小于eq\f(1,6)的概率；(2)求M落在三棱柱ABC－A1B1C1解：(1)正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M－ABCD的高为h，则eq\f(1,3)×S四边形ABCD×h＝eq\f(1,6)，∵S四边形ABCD＝1，∴h＝eq\f(1,2).若体积小于eq\f(1,6)，则h<eq\f(1,2)，即点M在正方体的下半部分，∴P＝eq\f(\f(1,2)V正方体,V正方体)＝eq\f(1,2).(2)∵V三棱柱＝eq\f(1,2)×12×1＝eq\f(1,2)，∴所求概率P1＝eq\f(V三棱柱,V正方体)＝eq\f(1,2).[能力提升]1．在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2)))上随机取一个数x，则sinx＋cosx∈[1，eq\r(2)]的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,4)C.eq\f(3,8) D.eq\f(5,8)解析：因为x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2)))，所以x＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(3π,4)))，由sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))∈[1，eq\r(2)]，得eq\f(\r(2),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))≤1，所以x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，故所求的概率为eq\f(\f(π,2)－0,\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6))))＝eq\f(3,4).答案：B2．(2015年福建卷)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,－\f(1,2)x＋1，x<0))的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,8) D.eq\f(1,2)解析：依题意得，点C的坐标为(1,2)，所以点D的坐标为(－2,2)，所以矩形ABCD的面积S矩形ABCD＝3×2＝6.阴影部分的面积S阴影＝eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2)，根据几何概型的概率求解公式，故所求的概率P＝eq\f(S阴影,S矩形ABCD)＝eq\f(\f(3,2),6)＝eq\f(1,4)，故选B.答案：B3．(2017届重庆适应性测试)在区间[1,4]上任取两个实数，则所取两个实数之和大于3的概率为()A.eq\f(1,18) B.eq\f(9,32)C.eq\f(23,32) D.eq\f(17,18)解析：依题意，记从区间[1,4]上取出的两个实数为x，y，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤x≤4，,1≤y≤4))表示的平面区域的面积为(4－1)2＝9，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤x≤4，,1≤y≤4，,x＋y>3))表示的平面区域的面积为(4－1)2－eq\f(1,2)×12＝eq\f(17,2)，因此所求的概率为eq\f(\f(17,2),9)＝eq\f(17,18)，故选D.答案：D4．(2018届赤峰模拟)已知直线l的方程为ax＋2y－3＝0，且a∈[－5,4]，则直线l的斜率不小于1的概率为________．解析：由ax＋2y－3＝0得到y＝－eq\f(a,2)x＋eq\f(3,2)，故直线的斜率为－eq\f(a,2)，∵直线l的斜率不小于1，∴－eq\f(a,2)≥1，即a≤－2，∵a∈[－5,4]，∴－5≤a≤－2，∴直线l的斜率不小于1的概率为eq\f(－2－－5,4－－5)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)5．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个，若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是eq\f(1,2).(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.①记“2≤a＋b≤3”为事件A，求事件A②在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．解：(1)依题意共有小球n＋2个，标号为2的小球n个，从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球概率为eq\f(n,n＋2)＝eq\f(1,2)，得n＝2.(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个小球，(a，b)所有可能的结果为(0,1