2024年初二下册数学期末考试专项复习406525反比例函数全章复习与巩固（提高）知识讲解

2024年初二下册数学期末考试专项复习反比例函数全章复习与巩固（提高）【学习目标】1．使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，能判断一个给定函数是否为反比例函数；2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式；3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的性质，能利用这些性质分析和解决一些简单的实际问题.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂406878反比例函数全章复习知识要点】要点一、反比例函数的概念一般地，形如(为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.要点诠释：在中，自变量的取值范围是，()可以写成()的形式，也可以写成的形式.要点二、反比例函数解析式的确定反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.要点三、反比例函数的图象和性质1.反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．要点诠释：观察反比例函数的图象可得：和的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．①的图象是轴对称图形，对称轴为两条直线；②的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；③(k≠0)在同一坐标系中的图象关于轴对称，也关于轴对称.注：正比例函数与反比例函数，当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.2.反比例函数的性质（1）图象位置与反比例函数性质当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大.（2）若点()在反比例函数的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.

（3）正比例函数与反比例函数的性质比较正比例函数反比例函数解析式图像直线有两个分支组成的曲线（双曲线）位置，一、三象限；

，二、四象限，一、三象限

，二、四象限增减性，随的增大而增大

，随的增大而减小，在每个象限，随的增大而减小

，在每个象限，随的增大而增大（4）反比例函数y＝中的意义①过双曲线(≠0)上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.②过双曲线(≠0)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.要点四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点

1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.【典型例题】类型一、确定反比例函数的解析式【高清课堂406878反比例函数全章复习例1】1、（2015•上城区一模）在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0，k＞0）的图象经过点A（m，n），B（2，1），且n＞1，过点B作y轴的垂线，垂足为C，若△ABC的面积为2，求点A的坐标．【思路点拨】根据图象和△ABC的面积求出n的值，根据B（2，1），求出反比例函数的解析式，把n代入解析式求出m即可．【答案与解析】解：∵B（2，1），∴BC=2，∵△ABC的面积为2，∴×2×（n﹣1）=2，解得：n=3，∵B（2，1），∴k=2，反比例函数解析式为：y=，∴n=3时，m=，∴点A的坐标为（，3）．【总结升华】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，用待定系数法求出k、根据三角形的面积求出n的值是解题的关键，解答时，注意数形结合思想的准确运用．举一反三：【高清课堂406878反比例函数全章复习例2】【变式】已知反比例函数与一次函数的图象都经过点P(2，－1)，且当时，这两个函数值互为相反数，求这两个函数的关系式.【答案】因为双曲线经过点P(2，－1)，所以．所以反比例函数的关系式为，所以当时，．当时，由题意知，所以直线经过点(2，－1)和(1，2)，所以有解得所以一次函数解析式为．类型二、反比例函数的图象及性质2、已知反比例函数(＜0)的图象上有两点A()，B()，且，则的值是()．A．正数B．负数C．非负数D．不能确定【思路点拨】一定要确定了A点和B点所在的象限，才能够判定的值.【答案】D；【解析】分三种情形作图求解．(1)若，如图①，有，＜0，即是负数；(2)若，如图②，有，＞0，即是正数；(3)若，如图③，有，＜0，即是负数．所以的值不确定，故选D项．【总结升华】根据反比例函数的性质，比较函数值的大小时，要注意相应点所在的象限，不能一概而论.举一反三：【变式】已知，点P（）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C；提示：由，点P（）在反比例函数的图象上，知反比例函数经过二、四象限，所以，直线经过一、二、四象限.3、（2016•淄博）反比例函数y=（a＞0，a为常数）和y=在第一象限内的图象如图所示，点M在y=的图象上，MC⊥x轴于点C，交y=的图象于点A；MD⊥y轴于点D，交y=的图象于点B，当点M在y=的图象上运动时，以下结论：①S△ODB=S△OCA；②四边形OAMB的面积不变；③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点．其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【思路点拨】①由反比例系数的几何意义可得答案；②由四边形OAMB的面积=矩形OCMD面积﹣（三角形ODB面积+面积三角形OCA），解答可知；③连接OM，点A是MC的中点可得△OAM和△OAC的面积相等，根据△ODM的面积=△OCM的面积、△ODB与△OCA的面积相等解答可得．【答案】D．【解析】解：①由于A、B在同一反比例函数y=图象上，则△ODB与△OCA的面积相等，都为×2=1，正确；②由于矩形OCMD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形MAOB的面积不会发生变化，正确；③连接OM，点A是MC的中点，则△OAM和△OAC的面积相等，∵△ODM的面积=△OCM的面积=，△ODB与△OCA的面积相等，∴△OBM与△OAM的面积相等，∴△OBD和△OBM面积相等，∴点B一定是MD的中点．正确；故选：D．【总结升华】本题考查了反比例函数y=（k≠0）中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．4、反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）【答案】C；【解析】一次函数是经过定点（1，0）,排除掉B、D答案；选项A中的符号自相矛盾，选项C符合要求.【总结升华】还可以按照＞0，＜0分别画出函数图象，看哪一个选项符合要求.举一反三：【高清课堂406878反比例函数全章复习例7】【变式】已知,且则函数与在同一坐标系中的图象不可能是().【答案】B；提示：因为从B的图像上分析，对于直线来说是，则，对于反比例函数来说，，所以相互之间是矛盾的，不可能存在这样的图形.类型三、反比例函数与一次函数综合5、如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数(≠0)的图象与反比例函数(≠0)的图象相交于A、B两点．求：(1)根据图象写出A、B两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出：当为何值时，一次函数值大于反比例函数值．【答案与解析】解：(1)由图象可知：点A的坐标为(2，)，点B的坐标为(－1，－1)．∵反比例函数的图象经过点A(2，)，∴＝1．∴反比例函数的解析式为：．∵一次函数的图象经过点A，点B(－1，－1)，∴解得：∴一次函数的解析式为．(2)由图象可知：当＞2或－l＜＜0时一次函数值大于反比例函数值．【总结升华】一次函数值大于反比例函数值从图象上看就是一次函数的图象在反比例函数的图象上方的部分，这部分图象的横坐标的范围为所求.举一反三：【变式】如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点P，PA⊥轴于点A，PB⊥轴于点B，一次函数的图象分别交轴、轴于点C、点D，且，．(1)求点D的坐标；(2)求一次函数与反比例函数的表达式；(3)根据图象写出当取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？【答案】解：(1)由一次函数可知：D(0，3)(2)设P(，)，则OA＝，，得．由点C在直线上，得，＝－9，DB＝3－b＝3－(＋3)＝－＝9，BP＝．由，∴＝6，∴，＝－6，＝－36．∴一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为．(3)根据图象可知：当＞6时，一次函数的值小于反比例函数的值．类型四、反比例函数的实际应用6、制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作，设该材料温度为(℃)，从加热开始计算的时间为．据了解，设该材料加热时，温度与时间成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度与时间成反比例关系(如图)．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5min后温度达到60℃．(1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，与的函数关系式；(2)根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？【思路点拨】（1）首先根据题意，材料加热时，温度与时间成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度与时间成反比例关系；将题中数据代入用待定系数法可得两个函数的关系式；（2）把＝15代入中，进一步求解可得答案．【答案与解析】解：依题意知两函数图象的交点为(5，60)(1)设材料加热时，函数解析式为．有∴(0≤≤5)．设进行制作时函数解析式为．则，∴(≥5)．(2)依题意知＝15，＝20．∴从开始加热到停止操作共经历了20min．【总结升华】把握住图象的关键点，根据反比例函数与一次函数的定义，用待定系数法求解析式，并利用解析式解决实际问题.【巩固练习】一.选择题1.已知函数的反比例函数，且图象在第二、四象限内，则的值是（）．A．2B．－2C．±2D．2.如图是三个反比例函数、、在轴上方的图象，由此观察得到的大小关系（）.A．B．C．D．3.如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB＝AC＝2，直角顶点A在直上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于轴、轴，若双曲线(≠0)与有交点，则的取值范围是（）A． B． C． D．4.（2015•眉山）如图，A、B是双曲线y=上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（）A．B．C．3D．45.（2016•宜昌）函数y=的图象可能是（）A． B． C． D．6.如图所示，在同一直角坐标系中，函数和函数(是常数且≠0)的图象只可能是()．7.如图所示，反比例函数的图象与直线的交点为A，B，过点A作轴的平行线与过点B作轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为（）．A．8B．6C．4D．28.如图，反比例函数的图象经过点A(－1,－2).则当＞1时，函数值的取值范围是（）A.＞1B.0＜＜1C.＞2D.0＜＜2二.填空题9.直线与双曲线交于A（），B（）两点，则＝___________．10.已知与成正比例(比例系数为)，与成反比例(比例系数为)，若函数的图象经过点(1，2)，(2，)，则的值为________.11.在函数（为常数）的图象上有三个点（－2，），(－1，)，（，），函数值，，的大小为_________.12.已知点A(，5)，B(2，)关于轴对称，若反比例函数的图象经过点C(，)，则这个反比例函数的表达式为____________.13.已知（），（），（）是反比例函数的图象上的三个点，并且，则的大小关系是.14．设有反比例函数，(，)，(，)为其图象上两点，若，，则的取值范围是_______．15．（2015•齐齐哈尔）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为3，则这个反比例函数的解析式为．16．如图所示是一次函数和反比例函数的图象，观察图象写出当时，的取值范围为________．三.解答题17.（2016•吉林）如图，在平面直径坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象上有一点A（m，4），过点A作AB⊥x轴于点B，将点B向右平移2个单位长度得到点C，过点C作y轴的平行线交反比例函数的图象于点D，CD=（1）点D的横坐标为（用含m的式子表示）；（2）求反比例函数的解析式．18.如图所示，已知双曲线，经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB交于点C，DE⊥OA，，求反比例函数的解析式．19.如图所示，一次函数的图象经过点B(－1，0)，且与反比例函数(为不等于0的常数)的图象在第一象限交于点A(1，)．求：(1)一次函数和反比例函数的解析式；(2)当1≤≤6时，反比例函数的取值范围．20.（2015•绵阳）如图，反比例函数y=（k＞0）与正比例函数y=ax相交于A（1，k），B（﹣k，﹣1）两点．（1）求反比例函数和正比例函数的解析式；（2）将正比例函数y=ax的图象平移，得到一次函数y=ax+b的图象，与函数y=（k＞0）的图象交于C（x1，y1），D（x2，y2），且|x1﹣x2|•|y1﹣y2|=5，求b的值．【答案与解析】一.选择题1.【答案】B；【解析】由题意可知解得＝－2．2.【答案】B；3.【答案】C；【解析】双曲线经过点A和BC的中点，此时或，当时，双曲线与有交点.4.【答案】B；【解析】过点B作BE⊥x轴于点E，∵D为OB的中点，∴CD是△OBE的中位线，即CD=BE．设A（x，），则B（2x，），CD=，AD=﹣，∵△ADO的面积为1，∴AD•OC=1，（﹣）•x=1，解得y=，∴k=x•=y=．故选B．5.【答案】C.【解析】函数y=是反比例y=的图象向左移动一个单位，即函数y=是图象是反比例y=的图象双曲线向左移动一个单位．故选C.6.【答案】B；【解析】可用排除法确定选项．由函数的解析式可知，其图象应过点(0，1)，所以可排除C、D两项；A项中，函数的图象可知＜0，而由函数的图象可知＞0，这是一个矛盾，可排除A项．7.【答案】A；【解析】设点B的坐标为()，由对称性知点A的坐标为．∴．∵点B()在双曲线上，∴．∴．∴．8.【答案】D；【解析】在第一象限，随的增大而减小，且＞0，所以当＞1时，0＜＜2.二.填空题9.【答案】20；【解析】由题意，所以.10.【答案】9；【解析】由题意，解得，，.11.【答案】；【解析】因为，图象在二、四象限，因为－2＜－1，所以，而.12.【答案】；【解析】由题意，，设反比例函数为，∴，∴.13.【答案】；【解析】在第二象限，反比例函数的值随着的增大而增大.14.【答案】；【解析】由题意可判断函数图象在一、三象限，所以，得.15.【答案】y=﹣；【解析】过A点向x轴作垂线，如图：根据反比例函数的几何意义可得：四边形ABCD的面积为3，即|k|=3，又∵函数图象在二、四象限，∴k=﹣3，即函数解析式为：y=﹣．16.【答案】或；【解析】由图象观察，找图象中一次函数图象在反比例函数上方的部分.三.解答题17.【解析】解：（1）∵A（m，4），AB⊥x轴于点B，∴B的坐标为（m，0），∵将点B向右平移2个单位长度得到点C，∴点C的坐标为：（m+2，0），∵CD∥y轴，∴点D的横坐标为：m+2；故答案为：m+2；（2）∵CD∥y轴，CD=，∴点D的坐标为：（m+2，），∵A，D在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴4m=（m+2），解得：m=1，∴点a的横坐标为（1，4），∴k=4m=4，∴反比例函数的解析式为：y=．18.【解析】解：过点D作DM⊥AB于点M．∴DM∥OA，∴∠BDM＝∠BOA．在△BDM和△EOD中∴△BDM≌△DOE(AAS)，∴，．设D()，则B()．∵，∴．即，解得：．∴反比例函数的解析式为．19.【解析】解：(1)将点B(－1，0)代入得：0＝－1＋，∴＝1．∴一次函数的解析式是．∴点A(1，)在一次函数的图象上，将点A(1，)代入得：＝2．即点A的坐标为(1，2)，代入得：，解得：＝2．∴反比例函数的解析式是．(2)对于反比例函数，当＞0时，随的增大而减少，而当＝l时，＝2；当＝6时，，∴当1≤≤6时，反比例函数的取值范围是．20.【解析】解：（1）据题意得：点A（1，k）与点B（﹣k，﹣1）关于原点对称，∴k=1，∴A（1，1），B（﹣1，﹣1），∴反比例函数和正比例函数的解析式分别为y=，y=x；（2）∵一次函数y=x+b的图象过点（x1，y1）、（x2，y2），∴，②﹣①得，y2﹣y1=x2﹣x1，∵|x1﹣x2|•|y1﹣y2|=5，∴|x1﹣x2|=|y1﹣y2|=，由得x2+bx﹣1=0，解得，x1=，x2=，∴|x1﹣x2|=|﹣|=||=，解得b=±1．二次根式（基础）知识讲解【学习目标】1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论：≥0，（≥0），（≥0），（≥0），并利用它们进行计算和化简．【要点梳理】要点一、二次根式及代数式的概念

1.二次根式：一般地，式子(a≥0)叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数．

要点诠释：

二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.2.代数式：形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.要点二、二次根式的性质

1.≥0，（≥0）；

2.（≥0）；

3..

要点诠释：

1.二次根式(a≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即.2.与要注意区别与联系：（1）的取值范围不同，中≥0，中为任意值.（2）≥0时，==；<0时，无意义，=.【典型例题】类型一、二次根式的概念

1.当为实数时，下列各式，，，属于二次根式的有________个.【答案】3.【解析】这三个式子满足无论取何值，被开方数都大于零.【总结升华】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．举一反三：【变式】（2015春•开封）下列式子中二次根式的个数有（）.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）（x＞1）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B.【高清课堂：二次根式及其乘除法（上）例1（1）(2)】2.x取何值时，下列函数在实数范围内有意义？（1）；（2）y=－；【思路点拨】二次根式有意义的条件是：被开方数是非负数．【答案与解析】解：（1）≥0，所以x≥1.（2）≥0,≥0,所以≤x≤；【总结升华】当解析式中有多个二次根式时，注意要使每个二次根式都要有意义.举一反三：

【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（）.A.B.C.D.【答案】B类型二、二次根式的性质

3.计算下列各式：(1)(2)【思路点拨】（a≥0）.【答案与解析】解：(1).(2).【总结升华】二次根式性质的运用.举一反三：【高清课堂：二次根式及其乘除法（上）例3（2）（3）】

【变式】（1）=_____________.（2）=_____________.【答案】(1)10；(2)0.4.（2016春•日照期中）已知a，b，c在数轴上如图所示，化简：．【思路点拨】根据数轴a，b，c的位置得出a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0，根据二次根式的性质和绝对值进行化简得出﹣a+a+b+c﹣a﹣b﹣c，再合并即可．【答案与解析】解：∵从数轴可知：a＜b＜0＜c，∴a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0，∴﹣|a+b|++|b+c|=﹣a+a+b+c﹣a﹣b﹣c=﹣a．【总结升华】本题考查了二次根式的性质，实数、数轴的应用，关键是能得出﹣a+a+b+c﹣a﹣b﹣c．举一反三：

【变式】若整数满足条件则的值是___________.【答案】=0或=-1.二次根式（基础）巩固练习【巩固练习】一．选择题1.（2015春•安顺）下列各式①；②；③；④；⑤，其中二次根式的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2.若,化简().A.B.C.D.3.下列说法正确的是（）A．是一个无理数B．函数的自变量x的取值范围是x≥1C．8的立方根是D.若点关于x轴对称，则的值为5.4.若a不等于0，a、b互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一对数是().

A.与B.与C.与D.与5.（2016春•巨野县期末）下列的式子一定是二次根式的是（）A． B． C． D．6.已知，化简二次根式的正确结果为（）.

A.B.C.D.二.填空题7.（2015•鄂州）若使二次根式有意义，则x的取值范围是．8.=_____