突破高中数学圆锥曲线必做题

90题突破高中数学圆锥曲线

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1.如图，已知直线L：X=M》+1过椭圆C:J+4=l（q>Z）>0）的右焦点F,且交椭圆C于A、B两点，点

ah

A、B在直线G:x=/上的射影依次为点D、Eo

（1）若抛物线/=4岛的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；

（2）（理）连接AE、BD,试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定

点N?若交于定点N,请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由。

a2+1—•—

（文）若'（三」,0）为x轴上一点,求证：=

2.如图所示，已知圆C:（x+1）2+J?=8,定点A（1,0）,M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满

足力川=24尸,稗/阳=0->^^的轨迹为曲线£。

（1）求曲线E的方程；

（2）若过定点F（0,2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足河=力而，求2的

取值范围。

4.设椭圆［+£=1（。>6〉0）的离心率为e=*

（1）椭圆的左、右焦点分别为件、L、A是椭圆上的一点，且点A到此两焦点的距离之和为4,求椭圆的方程.

（2）求b为何值时,过圆x?+y2=t2上一点M（2,41）处的切线交椭圆于。、Q?两点，而且OQ」OQz.

5.已知曲线c上任意一点P到两个定点FK-石，0）和0）的距离之和为4.

（1）求曲线c的方程；

（2）设过（0,-2）的直线/与曲线c交于C、D两点，且而.丽=0（0为坐标原点），求直线，的方程.

6.已知椭圆一+4=1（0<6<1）的左焦点为F,左、右顶点分别为A、C,上顶点为8.过F、B、C作。P,其中圆

b

心P的坐标为（m,n）.

（I）当m+n>0时，求椭圆离心率的范围；

（II）直线AB与。P能否相切？证明你的结论.

7.有如下结论："圆，+/=八上一点尸（%,为）处的切线方程为》了+为丁=『2"，类比也有结论：，，椭圆

X；+=1(。>6>0)上一点尸(x0/o)处的切线方程为誓+岑=1",过椭圆C：二+/=1的右准线/

a'b'a'b~4

上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为A、B.

(1)求证：直线AB恒过一定点；

(2)当点M在的纵坐标为1时，求^ABM的面积

22

8.已知点P(4,4),圆C：(x-⑼2+丁=5(加<3)与椭圆邑4=有一个公共点A(3,1),%、

/bL

F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PFi与圆C相切.

(I)求m的值与椭圆E的方程；

(II)设Q为椭圆E上的一个动点，求万•通的取值范围.

9.椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为4(0,2),右焦点厂与点8(0,JE)的距离为2。

(1)求椭圆的方程；

(2)是否存在斜率4#0的直线/：歹=任-2,使直线/与椭圆相交于不同的两点M,N满足|=|ZN

若存在，求直线/的倾斜角a；若不存在，说明理由。

10.椭圆方程为之+4=1(。>6〉0)的一个顶点为4(0,2),离心率e=—。

a'b3

(1)求椭圆的方程；

(2)直线/：歹=丘一2(4中0)与椭圆相交于不同的两点M,N满足赤=丽，春•加=0,求人。

11.已知椭圆x2+2T=l(0<6<l)的左焦点为F,左右顶点分别为A,C上顶点为B,过F,B,C三点作P,其中

b

圆心P的坐标为(加,〃).

(1)若椭圆的离心率6=立，求P的方程；

2

(2)若P的圆心在直线x+y=0上，求椭圆的方程.

x2V2

12.已知直线/:y=x+l与曲线"+彳=1(“>0,6〉0)交于不同的两点4,8,。为坐标原点.

a~b

(I)若|04|=|08I，求证：曲线C是一个圆；

(H)若。当且。€［乎,半］时，求曲线。的离心率e的取值范围.

13.设椭圆。：「+二=1(。>0)的左、右焦点分别为《、F2,A是椭圆C上的一点，且丽•而=0,坐标

a2

原点。到直线/大的距离为:|OGI.(1)求椭圆C的方程；(2)设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线/交x

轴于点尸(-1,0),较y轴于点M,若远=2万，求直线/的方程.

14.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，过其上一点P(Xo/o)(x。=0)的切线方程为

V-乂)=2方()(x-％)(。为常数).

(I)求抛物线方程；

(II)斜率为占的直线PA与抛物线的另一交息曳A,笆为左2的直线PB与抛物线的另一交点为B(A、B两点

不同)，且满足&+瓶।=0(4工0"/-1),若瓦瓦=/1而，求证线段PM的中点在y轴上；

(III)在(II)的条件下，当;1=1,匕<0时，若P的坐标为(1,-1),求NPAB为钝角时点A的纵坐标的取

值范围.

15.已知动点A、B分别在x轴、y轴上，且满足|AB|=2,点P在线段AB上，且万=/为。是不为零的常数).设

点P的轨迹方程为Co

(1)求点P的轨迹方程C；

3

(2)若t=2,点M、N是C上关于原点对称的两个动点(M、N不在坐标轴上)，点Q坐标为(,,3),求ACIMN

的面积S的最大值。

16.设4玉,%),8区/2)是椭圆=+与=1(。>8>0)上的两点，已知沅=(2,")，万=(?,匹)，若

ahbaba

而•万=0且椭圆的离心率e=—,短轴长为2,0为坐标原点.

2

(I)求椭圆的方程；

(II)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c),(c为半焦距)，求直线AB的斜率k的值；

(III)试问：AAOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由

x22

17.如图，F是椭圆=+vJ=l/a>b>0)的一个焦点，4,8是椭圆的两个顶点,

ab-

椭圆的离心率为点C在x轴上，BC±BF,B,C,F三点确定的圆M恰

2

好与直线/i：工+百卜+3=0相切.

(I)求椭圆的方程：

(II)过点A的直线L与圆M交于PQ两点，且而•荻=一2,求直线

/2的方程.

18.如图，椭圆长轴端点为48，。为椭圆中心，咒为椭圆的右焦点，且

万・丽=1口万卜1.(1)求椭圆的标准方程；(2)记椭圆的上顶点为"，

直线/交椭圆于P,。两点，问：是否存在直线/,使点E恰为APQM的垂

心？若存在，求出直线/的方程;若不存在，请说明理由.

19.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为且，且经过

2

点”(4,1).直线/:丁=%+加交椭圆于48两不同的点.

⑴求椭圆的方程；

(2)求机的取值范围；

(3)若直线/不过点加■，求证：直线A仍与x轴围成•个等腰三角形.

20.设厂(1,0),点/在x轴上，点尸在y轴上，且MN=2MP,PMLPF

(1)当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹。的方程；

(2)设图2,乂),6(》2，%),。(》3，月)是曲线。上的点，月」万1，1丽1，1加1成等差数列，当的垂直平

分线与x轴交于点E(3,0)时，求8点坐标.

21.已知点8(-1,0),C(l,0),P是平面上一动点，且满足|京|•|前|=丽・丽

(1)求点P的轨迹C对应的方程；

(2)已知点4加,2)在曲线C上，过点N作曲线C的两条弦/。和ZE,且判断：直线0E是否

过定点？试证明你的结论.

22.已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过2(—2,0)、8(2,0)、三点.

(1)求椭圆E的方程：

(2)若点。为椭圆E上不同于N、3的任意一点，F(-l,0),7/(l,0),当内切圆的面积最大时。

求内切圆圆心的坐标；

(3)若直线I:y=k(x—l)(k*0)与椭圆E交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4

上.

23.过直角坐标平面中的抛物线丁2=2px(p〉0)的焦点E作条倾斜角为5的直线与抛物线相交于A,B

两点。,

(1)用p表示A,B之间的距离；

(2)证明：NN08的大小是与p无关的定值，并求出这个值。*X

24.设耳，鸟分别是椭圆C：1r+方=1(。>6>0)的左右焦点一■

(1)设椭圆C上的点(G,等)到耳，工两点距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标。

(2)设K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段时的中点B的轨迹方程。

(3)设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M,N两点，当直线PM,PN的斜率都存在，

并记为kpM，KpN试探究爆材.KpN的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论。

25.已知椭圆G：/+(•=1(。>6>0)的离心率为y,直线/：丁=X+2与以原点为圆心、以椭圆&的短半轴

长为半径的圆相切.

(I)求椭圆G的方程；

(II)设椭圆G的左焦点为6,右焦点与，直线4过点大且垂直于椭圆的长轴，动直线12垂直4于点尸，线段里

垂直平分线交4于点〃，求点〃的轨迹G的方程；

(III)设。2与X轴交于点。，不同的两点RS在G上，且满足班•丽=0,求|0耳的取值范围.

26.如图所示，已知椭圆C：三+4=1（a>b>0）,K、鸟为其左、

ab

右焦点，/为右顶点，/为左准线，过大的直线//：1=冲-c与椭圆

—>—>1

相交于尸、。两点，且有：AP-AQ^-（a+c）2（c为椭圆的半焦距）

（1）求椭圆。的离心率e的最小值；

12

（2）若ee（一,一），求实数机的取值范围；

（3）若4PC]I=M,4QCI=N,求证：M、N两点的纵坐标之积为定值;

27.已知椭圆X?+乙=l（be（0,1））的左焦点为R,左右顶点分别为4C,上顶点为8,过尸,8,。三点作圆尸,

b~

其中圆心P的坐标为（利,〃）

（1）当〃?+〃>0时，椭圆的离心率的取值范围

（2）直线Z8能否和圆尸相切？证明你的结论

28.已知点A（-1,0）,B（1,-1）和抛物线.C:_/=4x,。为坐标原点，

过点A的动直线/交抛物线C于/W、P,直线M8交抛物线C于另一点Q,如

图.

（I）证明：西•而为定值；

5----—*

（II）若△POM的面积为一，求向量。〃与OP的夹角；

2

（III）证明直线PQ恒过一个定点.

29.已知椭圆C：y+^-=1上动点尸到定点M（相,0）淇中0（根<2的距离归根的最小值为1.

（1）请确定M点的坐标。

（2）试问是否存在经过M点的直线/，使/与椭圆C的两个交点A、B满足条件|刀+砺卜«司（0为原点），

若存在，求出/的方程，若不存在请说是理由。

30.已知椭圆/+3/=5,直线/:y=Hx+l）与椭圆相交于46两点.

（I）若线段48中点的横坐标是一!，求直线Z8的方程；

2

（II）在x轴上是否存在点〃（朋,0）,使必•砺的值与左无关？若存在，求出加的值；若不存在，请说明理

由.

31.直线人13过抛物线/=20（?>0）的焦点F,并与其相交于A、B两点。Q是线段AB的中点，M是抛物线的

准线与y轴的交点.0是坐标原点..

（I）求忘•标的取值范围；

（II）过A、B两点分别作此撒物线的切线，两切线相交于N点.求证：MNOF^O,NQ//OF

（Ill）若P是不为1的正整数，当前•蕨=4尸2,AABN的面积的取值范围为（56,206］时，求该抛物线

的方程.

32.如图，设抛物线弓：y2=4mx（加>0）的准线与x轴交于片，焦点为石；以片、鸟为焦点，离心率e=g的

椭圆与抛物线G在x轴上方的一个交点为P.

（I）当机=1时，求椭圆的方程及其右准线的方程；

（II）在（1）的条件下，直线/经过椭圆C2的右焦点用，与抛物线J交于4、4,如果以线段44为直径作

圆，试判断点P与圆的位置关系，并说明理由；

（III）是否存在实数加，使得的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数阴；若不存在，请说明

理由.

33.已知点/（—1,0）,8（1,0）和动点尸满足：4P8=26,且存在正常数相，使得归4归却0052。=*

（1）求动点P的轨迹C的方程。

（2）设直线/:y=x+l与曲线C相交于两点E,F,且与y轴的交点为D。若无=（2+J5）而，求加的值。

34.已知椭圆=+4=1（。>6>0）的右准线4:x=2与x轴相交于点D,右焦点F到上顶点的距离为V2,

ab~

点C（仪0）是线段OF上的一个动点.

（I）求椭圆的方程；

（II）是否存在过点尸且与x轴不垂直的直线/与椭圆交于A、6两点，使得（B+而）_L互彳,并说明理由.

35.已知椭圆C：―j-+=1（47>>0）.

ab

73

（1）若椭圆的长轴长为4,离心率为求椭圆的标准方程；

2

（2）在（1）的条件下，设过定点M（0,2）的直线/与椭圆C交于不同的两点2、B,且4。8为锐角（其中。

为坐标原点），求直线/的斜率k的取值范围；

X2v2

(3)如图，过原点O任意作两条互相垂直的直线与椭圆彳+彳=1(。>6>0)相交于尸,5,凡0四点，设原点。

到四边形PQSH-边的距离为d,试求d=1时。力满足的条件.

36.已知7=(1,0),"=(0,J5),若过定点4。,、历)、以彳一茂(aeR)为法向量的直线4与过点5(0,-V2)以

"+应为法向量的直线6相交于动点P.

(1)求直线4和4的方程；

(2)求直线4和12的斜率之积％他的值，并证明必存在两个定点E,F,使得|而|+1所卜恒为定值：

⑶在(2)的条件下，若MN是/:x=2j^上的两个动点，且两•丽=0,试问当|MV|取最小值时，向量

前+丽与丽是否平行，并说明理由。

37.已知点5(0,/),点C(0,/—4)(其中0〈/<4),直线P8、PC都是圆〃：(x-+/=i的切线.

(I)若APBC面积等于6,求过点P的抛物线;/=2px(p>0)的方程；

(II)若点尸在丁轴右边，求AP8C面积的最小值.

38.我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到宜线的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有类似

的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题。

22

(1)设F］、F2是椭圆“：3—+匕=1的两个焦点，点Fi、F2到直线£：、历X—J+6=0的距离分别为必、

259

d2,试求d「d2的值，并判断直线L与椭圆M的位置关系。

2V2

(2)设h、F2是椭圆M:%-方+彳=1(。>6〉0)的两个焦点，点Fl、F?到直线A：mx++P=0(m、n不

同时为0)的距离分别为山、d2,且直线L与椭圆M相切，试求d「d2的值。

(3)试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明。

(4)将(3)中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论(不必证明)。

39.已知点尸为抛物线C：V=4x的焦点，点尸是准线/上的动点，直线尸产交,y

抛物线C于48两点，若点P的纵坐标为〃7(加/0),点。为准线/与X轴的X

交点.

(I)求直线PP的方程；(H)求AZX48的面积S范围；一书F

(III)设#=/1而，万=〃而，求证;1+〃为定值.、

40.已知椭圆G：5+方=1(。〉6>0)的离心率为券，直线/：y=x+2与以

原点为圆心、以椭圆£的短半轴长为半径的圆相切.

(I)求椭圆G的方程；

(II)设椭圆G的左焦点为片，右焦点鸟，直线4过点与且垂直于椭圆的长轴，动直线乙垂直6于点尸，线

段垂直平分线交4于点/，求点”的轨迹G的方程；

(III)设G与X轴交于点。，不同的两点R,s在G上，且满足赤•丽=0,求软可的取值范围.

41.已知以向量v=(l,；)为方向向量的直线/过点(0,j),抛物线C：/=2px(p〉0)的顶点关于直线/的对

称点在该抛物线的准线上.

(1)求抛物线C的方程；

(2)设4、8是抛物线。上的两个动点，过工作平行于x轴的直线机，直线。8与直线机交于点N,若

OAOB+p2=0(O为坐标原点，A,8异于点O),试求点N的轨迹方程。

42.如图，设抛物线G：y2=4wx(加＞0)的准线与x轴交于耳，焦点为鸟；以片、鸟为焦点，离心率e=g的

椭圆外与抛物线q在x轴上方的一个交点为P.

(I)当加=1时，求椭圆的方程及其右准线的方程；

(II)在(I)的条件下，直线/经过椭圆G的右焦点玛，

与抛物线q交于4、4,如果以线段44为直径作圆，

试判断点P与圆的位置关系，并说明理由；

(III)是否存在实数加，使得A/记月的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数〃?；若不存在，请说明

理由.

2

43.设椭圆C:，+^=1(。〉6〉0)的一个顶点与抛物线C.X=4岛的焦点重合，K，F2分别是椭圆的左、

右焦点，且离心率e=，•且过椭圆右焦点8的直线/与椭圆C交于A/、N两点.

2

(I)求椭圆C的方程；_

(II)是否存在直线/,使得丽・丽=-2.若存在，求出直线/的方程；若不存在，说明理由.

(III)若是椭圆C经过原点0的弦，MNHAB,求证：L以为定值.

\MN\

44.设F是抛物线/=4m＞0)的焦点，过点M(—1,0)且以］=(2,1)为方向向量的直线顺次交抛物线于A,B

两点。

..?TT

(I)当2=2时，若F4与EB的夹角为二,求抛物线的方程；

3

(II)若点46满足成=；(而+而)，证明加不为定值，并求此时的面积

45.已知点H(-3,0),点P在y轴上，点0在x轴的正半轴上，点〃在直线尸0上，且满足

2PM++MQ=0,RPPM^0.

(I)当点尸在y轴上移动时，求点〃的轨迹C的方程；

(II)设N(x”必)、8(》2，%)为轨迹。上两点，且七＞1,弘＞0,N(l,0),求实数九，使凝=2赤，且

16

AB

T

v-22

22

46.已知椭圆G:=+J=Ka>方〉0)的右焦点为F,上顶点为A,P为C।上任一点,MN是圆C2,x+(y-3)=1

ab

的一条直径，若与AF平行且在y轴上的截距为3-正的直线/恰好与圆G相切。

(1)已知椭圆£的离心率；

(2)若丽•丽的最大值为49,求椭圆C1的方程.

47.已知直线/与曲线C：三+以=1交于48两点，48的中点为若直线Z8和为坐标原点)的

mn

n

斜率都存在，则•坛M=-一.这个性质称为有心圆锥曲线的“垂径定理”.

m

(I)证明有心圆锥曲线的“垂径定理”；

(II)利用有心圆锥曲线的“垂径定理”解答下列问题：过点尸(1,1)作直线/与椭圆?+券=1交于48两点，

求48的中点A1的轨迹用的方程；过点P(1,1)作直线/'与有心圆锥曲线。'：丘2+/=1(%/0)交于£、F两

点，是否存在这样的直线/'使点P为线段"的中点？若存在，求直线/'的方程；若不存在，说明理由.

48.椭圆的中心为原点。，焦点在歹轴上，离心率6=白，过P(0,l)的直线/与椭圆交于4、8两点，且

~AP=2PB,求ZU08面积的最大值及取得最大值时椭圆的方程.

49.椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在y轴上，离心率e=坐，椭圆上的点到焦点的最短距离为be,直线1与

y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A、B,且AP=APB.

(1)求椭圆方程；

(2)若正+丸加=40P,求加的取值范围.

50.已知点A是抛物线/=2px(p>0)上一点，F为抛物线的焦点，准线，与x轴交于点K,已知IAK|=&|

AF|,三角形AFK的面积等于8.

(1)求p的值；

(2)过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线人4，与抛物线相交得两条弦，两条弦的中点分别为G,H.求

IGHI的最小值.

51.已知点火(-3,0),点P在y轴上，点0在x轴的正半轴上，点M

在直线尸0上，且满足2丽++荻=0,而•丽=0.

(I)当点尸在y轴上移动时，求点〃的轨迹C的方程；

(II)设N(X],必)、8(》2，%)为轨迹。上两点，且X]>1,

%>0,N(l,0),求实数几，使4B=兀4N,且

52.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1),平行于0M的直

线L在y轴上的截距为L交椭圆于A、B两个不同点。

(1)求椭圆的方程；

(2)求m的取值范围；

(3)求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。

53.已知椭圆j+2r=1(。〉3>0)上的点到右焦点F的最小距离是血-1,E到上顶点的距离为拉，点

ah

C(/M,0)是线段。口上的一个动点.

(I)求椭圆的方程；

(II)是否存在过点P且与x轴不垂直的直线/与椭圆交于4、8两点，使得(*+在)_1或，并说明理也

54.已知椭圆二+匕=1的上、下焦点分别为M、N,点尸为坐标平面内的动点，满足

1216

\MN\-\MP\+MN-NP^0

(1)求动点尸的轨迹。的方程；

(2)过点N(3,-2)作曲线G的两条切线，切点分别为“、/，求直线印的方程：

(3)在直线/:x-y=0上否存在点。，过该点作曲线C的两条切线，切点分别为6、C,使得

\QB+QC^\QB-QC\，若存在，求出该点的坐标；若不存在，试说明理由。

55.已知抛物线刀2=8少的焦点为/，/、6是抛物线上的两动点，且万：=几而(九>0),过Z、8两点分别作抛

物线的切线，设其交点为加

(1)证明线段尸M被x轴平分

⑵计算前•前的值

(3)求证

X2/

56.已知4,4,8是椭圆7+F=1(。>6>0)的顶点(如图)，直线/

与椭圆交于异于顶点的P,Q两点,且/〃4儿若椭圆的离心率是巨

且|“|=6

(1)求此椭圆的方程；(2)设直线4P和直线8。的倾斜角分

别为a,£.试判断a+尸是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.

相⑼、°《三点•过椭圆的右焦点

57.已知椭圆E中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过/(-2,0)、

F任做一与坐标轴不平行的直线/与椭圆£交于A/、N两点，与8N所在的直线交于点Q.

(1)求椭圆E的方程：

(2)是否存在这样直线加，使得点Q恒在直线加上移动？若存在，求出直线加方程，若不存在,请说明理由.

58.已知方向向量为v=(1,V3)的直线I过点(0,-2JJ)和椭圆C:q=1(。〉6〉0)的右焦点，且椭圆的离

ah

心率为---.

3

(I)求椭圆。的方程；

(H)若已知点。(3,0),点M,N是椭圆。上不重合的两点，且两=4而，求实数丸的取值范围.

22

59.已知件小是椭圆C:三+2r=1(a〉b〉0)的左、右焦点，点P(-四,1)在椭圆上，线段PH与y轴的交点

a'b~

M满足两+可7=0。

(1)求椭圆C的方程。

(2)椭圆C上任一动点M(x。，为)关于直线y=2x的对称点为此(xby,)，求3x「4yi的取值范围。

一

60.已知4民。均在椭圆“：=+/=1(。＞1)上，直线48、NC分别过椭圆的左右焦点修、F2,当

a

,一.，，一...2

NC•大乙=0时，有9AFI，AF2=AF].

(I)求椭圆加的方程；

(II)设尸是椭圆M上的任一点，跖为圆N:，+。-2)2=1的任一条直径，求而•丽的最大值.

4

61.已知离心率为w的椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为

2国。

(I)求椭圆及双曲线的方程；

(II)设椭圆的左、右顶点分别为4B,在第二象限内取双曲线上一点尸，连结8尸交椭圆于点连结P4

并延长交椭圆于点N,若询=丽。求四边形NN8M的面积。

62.已知椭圆C：/+工-=1,过点M(0,3)的直线/与椭圆C相交于不同的两点A、8.

4

(I)若/与x轴相交于点N,且A是/WN的中点，求直线/的方程；

(II)设P为椭圆上一点，且0N+砺=/1而(。为坐标原点).求当时，实数4的取值范围.

2

63.已知椭圆C：/+匕=1,过点M(O,1)的直线/与椭圆C相交于两点4B.

4

(I)若/与x轴相交于点P,且P为AM的中点，求直线/的方程；

(II)设点N(0,；),求|丽+丽|的最大值.

64.已知£，尸?分别为椭圆：+与=1的左、右焦点，直线乙过点大且垂直于椭圆的长轴，动直线G垂直于直

线垂足为。，线段。B的垂直平分线交72于点

(I)求动点M的轨迹C的方程;

(II)过点与作直线交曲线C于两个不同的点P和Q,设品=2品，若26[2,3],求品・品的取值范

围。

3

65.已知椭圆C中心在原点，焦点在坐标轴上，直线夕=5》与椭圆C在第一象限内的交点是"，点河在x轴

——■——•9

上的射影恰好是椭圆C的右焦点与，另一个焦点是片，且儿阴・“£=1。

(1)求椭圆。的方程；

(2)直线/过点(-1,0),且与椭圆。交于尸,。两点，求转。。的内切圆面积的最大值

22

66.椭圆*•+%=1(。〉6〉0)的长轴为短轴的后倍，直线V=x与椭圆交于A、B两点，C为椭圆的右项点，

—*—,3

OAOC=~.

2

(I)求椭圆的方程；

(II)若椭圆上两点E、F使瓦+而=45^"e(0,2),求AOEF面积的最大值

67.已知椭圆£：4+匚=1(<7功>0),以以(匕0)为圆心，以a-c为半径作圆日，过点(0力)作圆色的两条切

a2b2

线，设切点为M,N.

⑴若过两个切点M、N的直线恰好经过点Bi(0,-b)时，求此椭圆的离心率；

(2)若直线的斜率为-1,且原点到直线MN的距离为4(VI-1)，求此时的椭圆方程；

(3)是否存在椭圆E,使得直线M/V的斜率k在区间(-变，-五)内取值？若存在，求出椭圆E的离心率e的

23

取值范围；若不存在，请说明理由.

68.已知4B是抛物线》2=2外(p>0)上的两个动点，O为坐标原点,

非零向量满足向+得=向-西.

(I)求证：直线经过一定点；

(II)当N8的中点到直线y-2x=0的距离的最小值为芈时，求p的值

69.如图，已知直线/：歹=去一2与抛物线C：/=一2"(p〉0)交于A,B两点，O为坐标原点,

04+05=(-4,-12)«

(I)求直线/和抛物线C的方程；

(II)抛物线上动点P从A到B运动时，求△ABP面积最大值.

70.已知椭圆「的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点B恰好是抛物线片LX?

4

的焦点，离心率等于且.直线/与椭圆「交于M,N两点.

2

(I)求椭圆r的方程；

(II)椭圆1、的右焦点E是否可以为的垂心？若可以，求出直线/的方程;若不可以,请说明理由.

71.记平面内动点M到两条相交于原点。的直线4,12的距离分别为4,内,研究满足下列条件下动点M的轨迹

方程C.

(1)已知直线/一，2的方程为：y=±—x,

(a)若d：+d；=6,指出方程C所表示曲线的形状；

(b)若4+出=4,求方程C所表示的曲线所围成区域的面积；

(c)若44=12,研究方程C所表示曲线的性质，写出3个结论.

(2)若d；+d；=2/,试用。力表示常数d及直线4,4的方程，使得动点”的轨迹方程C恰为椭圆的标准方

2V2

程Fx+J=1(a>b>0).

a2b2

72.已知椭圆c：£+《=ig>6>o)的离心率为孚，并且直线尸x+6是抛物线/=4x的一条切线。

a"b2

(I)求椭圆的方程；

(II)过点S(0,-；)的动直线L交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T,使得以AB为

直径的圆恒过点T?若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理山。

73.已知点P(4,4),圆C：(x-%>+y2=5(机<3)与椭圆E.

.22

$■+方=1(。>0,6〉0)的一个公共点为A(3,1),F1，F2分别是椭圆的左、右

焦点，直线尸耳与圆C相切。

(1)求m的值与椭圆E的方程；

(2)设D为直线PF1与圆C的切点，在椭圆E上是否存在点Q，使△PDQ是以PD为底的等腰三角形？若存在,

请指出共有几个这样的点？并说明理由。

x2V21

74.已知椭圆G：*•+方=1(。>6>0)的长轴长为4,离心率为6,用分别为其左右焦点.一动圆过点与，

且与直线x=-l相切.

(1)(i)求椭圆G的方程；(打)求动圆圆心轨迹C的方程；

(H)在曲线。上有四个不同的点M,N,P,0,满足丽与近共线，丽

求四边形尸及QN面积的最小值.

x2v21

75.如图，已知椭圆二+方=1(。>6〉0)长轴长为4,高心率为万.过点

(0,-2)的直线/交椭圆于48两点、交x轴于P点，点Z关于x轴的对称点

为C,直线3C交x轴于。点。

(I)求椭圆方程；

(II)探究：|OP|・|O0|是否为常数？

76.设椭圆。:三+5=1(。〉6〉0)的上顶点为Z,椭圆C上两点P,。在x轴上的射影分别为左焦点F1和右焦

ah~

3

点工，直线尸。的斜率为5，过点/且与//垂直的直线与x轴交于点8,的外接圆为圆用.

(1)求椭圆的离心率；

⑵直线3x+4y+z1a.2=o与圆〃相交于瓦尸两点，且——〃可---放--二一万1片、,求椭圆方程；

(3)设点N(0,3)在椭圆C内部，若椭圆C上的点到点N的最远距离不大于6及，求椭圆C的短轴长的取值范

围.

77.已知直线/：y=kx+2(左为常数)过椭圆［+与=1(a>b>0)

a2b2

的上顶点B和左焦点F,直线/被圆+y2=4截得的弦长为d.

(1)若d=26,求人的值；

(2)若dN3也,求椭圆离心率e的取值范围.

y>0

78.已知可行域卜—③+2»0的外接圆C与x轴交于点A1、A］,椭圆C|以线段A1A2为长轴，离心率

yf3x+y_2V3W0

V2

e=——

2

(I)求圆C及椭圆G的方程；

(II)设椭圆Cl的右焦点为F,点P为圆C上异于A1、A2的动点，过原点0作直线PF的垂线交直线X

=2夜于点Q,判断直线PQ与圆C的位置关系，并给出证明.

79.若椭圆£:0+4=1和椭圆之：［+4=1满足

a；b；-a}b；

幺=h=m(根>0),则称这两个椭圆相似，山称为其相似比。

a2b2

L2y2

(1)求经过点(2,而)，且与椭圆X彳+；=1相似的椭圆方程。

(2)设过原点的一条射线/分别与(1)中的两个椭圆交于A、B两点(其

中点A在线段OB上)，求\OA\+：--r的最大值和最小值.

11|(?5|

5

80.椭圆C的中心为坐标原点0,焦点在y轴上，离心率e=",椭圆上的点到焦点的最短距离为l-e,直线/与

2

y轴交于P点(0,m),与椭圆C交于相异两点A、B,且4P=4PB.

(1)求椭圆方程;(2)若。1+408=40尸，求利的取值范围.

81.设i,/为直角坐标系中的单位向量，a=xi+(y+2)j,b=xi+(y-2)j,|a|+|^|=8(>

(1)求动点"(xj)的轨迹C的方程;

(2)过点(0,3)作直线/与曲线C交于A、B两点，若丽二次+砺，是否存在直线/使得。4尸8为矩形?若存

在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.

82.如图，中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率e=E,/、8分别是椭圆的长轴、短轴的端点，原点。

2

到直线N8的距离为y—。

(I)求椭圆的标准方程；

(II)已知E(3,0),设点四、N是椭圆上的两个动点,

满址EMLEN,求丽•丽的取值范围.

83.已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为A(0,-1)。若右焦点到直线工-卜+2啦=0的距离为3.

(1)求椭圆的方程；

(2)设椭圆与直线N=丘+〃?(左#0)相交于不同的两点乂、N.当=时，求m的取值范围.

84.已知直线L过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F,且与抛物线交于A,B两点，Q是线段AB的中点，M是抛物线的准

线与y轴的交点，0是坐标原点

(1)若直线L与x轴平行，且直线与抛物线所围区域的面积为6,求p的值.

(2)过A,B两点分别作该抛物线的切线，两切线相交于N点，求证：NQ//OF,MN1OF

(3)若p是不为1的正整数，当访•标=4p2,4ABN的面积的取值范围为卜0,200］时，求：该抛物线

的方程.

85.已知曲线C的方程为/