《工程力学：第七章+圆轴扭转时的应力变形分析与强度和刚度设计》

第7章圆轴扭转时的应力变形分析与强度和刚度设计§7-1圆轴在工程中的应用§7-2受扭圆轴的扭转变形§7-3剪应力互等定理§7-6结果与讨论§7-4圆轴扭转时横截面上的剪应力分析§7-5圆轴扭转时的强度和刚度设计背景材料背景材料一、扭转的概念受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力偶作用面垂直于杆的轴线。变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。主要发生扭转变形的杆——轴。Me主动力偶阻抗力偶复习圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩。扭矩大小可利用截面法来确定。11TTMe

Me

AB11BMe

AMe

11x复习mm

T1、扭转杆件的内力（截面法）mmT取右段为研究对象：内力偶矩——扭矩取左段为研究对象：二、扭转杆件的内力——扭矩及扭矩图复习：2、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为负值。扭转变形时，截面产生扭转和剪应变。圆轴的横截面和纵截面将产生剪应力。剪应变：直角的改变量。截取一微小的正六面体单元体——xyzabOcddxdydzt'ttt'7.3

切应力互等定理Me

Me

扭转变形时，圆轴不仅在横截面产生剪应力，而且在纵截面也将产生剪应力。注意区分：横截面、纵截面和柱截面。xyzabOcddxdydzt'ttt'得横截面上剪应力为，这一对面上的剪应力与作用面的面积的乘积为一绕Z轴的力偶，其矩为结果表明：如果在微元的一对面上存在剪应力，与此剪应力作用线相互垂直的另一对面上必存在与其大小相等、方向相对（箭头方向相对）或方向相背（箭头方向相背）的剪应力。即剪应力互等定理。7.4圆轴扭转时横截面上的剪应力分析7.4.1变形协调方程在dx长度上，虽然所有圆柱的两端面均转过相同的角度dφ，但半径不等的圆柱上产生的剪应变各不相同，半径越小，剪应变越小。7.4.2弹性范围内剪应力—剪应变关系7.4.3静力学方程横截面上——抗扭截面系统，整个圆轴上——等直杆：三、公式的使用条件：1、等直的圆轴，2、弹性范围内工作。Ip—截面的极惯性矩，单位：二、圆轴中τmax的确定单位：四、圆截面的极惯性矩Ip和抗扭截面系数Wp实心圆：空心圆：例1：P＝7.5kW,n=100r/min。实心圆轴的直径d1，空心圆轴的内外直径之比

=0.5。试确定实心轴与空心圆轴截面上的最大切应力解：由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩实心轴：空心轴：面积之比：例9-2：P1＝14kW,n1=n2=120r/min,z1=36,

z3=12;d1=70mm,d2=50mm,d3=35mm.求:各轴横截面上的最大切应力。3P1=14kW,P2=P3=P1/2=7kWn1=n2=120r/min解：计算各轴的功率与转速Mx1=T1=1114N.mMx2=T2=557N.mMx3=T3=185.7N.m各轴的扭矩计算各轴的横截面上的最大切应力§9-4扭转时圆轴的强度和刚度计算韧性材料低碳钢轴向拉伸时的四个阶段:弹性阶段屈服阶段强化阶段颈缩阶段延伸率脆性材料大多数，从开始加载直至试样被拉断，变形都很小。只有断裂时的应力值－强度极限塑性材料：≥5%;脆性材料：

<5%韧性材料在压缩时,弹性阶段，屈服阶段均与拉伸时大致相同脆性材料如铸铁，压缩时特点：2：破坏面大约为450的斜面。强度、刚度材料的力学性质回顾1、强度条件：2、强度条件应用：1）校核强度:≤≥2）设计截面尺寸:3）确定外荷载:≤一、扭转强度计算等截面圆轴:变截面圆轴:1、扭转变形：（相对扭转角）扭转角单位：弧度（rad）GIP——抗扭刚度。——单位长度的扭转角二、扭转杆的变形计算扭转变形与内力计算式扭矩不变的等直轴各段扭矩为不同值的阶梯轴2、刚度条件：3、刚度条件应用：1)、校核刚度；≤3)、确定外荷载:2)、设计截面尺寸:例2

汽车发动机将功率通过主传动轴AB传给后桥，驱动车轮行驶。设主传动轴所承受的最大外力偶矩为Me＝1.5kN·m，轴由45号钢无缝钢管制成，外直径D＝90mm，壁厚δ＝2.5mm，

＝60Mpa。试:

1．试校核主传动轴的强度；2.

若改用实心轴，在具有与空心轴相同的最大剪应力的前提下，试确定实心轴的直径；3.确定空心轴与实心轴的重量比。解：

1．校核空心轴的强度根据已知条件，主传动轴横截面上的扭矩Mx＝Me＝1.5kN·m，轴的内直径与外直径之比

因为轴只在两端承受外加力偶，所以轴各横截面的危险程度相同，轴的所有横截面上的最大剪应力均为

由此可以得出结论：主传动轴的强度是安全的。2．确定实心轴的直径根据实心轴与空心轴具有同样数值的最大剪应力的要求，实心轴横截面上的最大剪应力也必须等于50.9MPa。若设实心轴直径为d1，则有

据此，实心轴的直径

3．计算空心轴与实心轴的重量比由于二者长度相等、材料相同，所以重量比即为横截面的面积比，即例3。已知：钢制空心圆轴的外直径D＝100mm，内直径d＝50mm。若要求轴在2m长度内的最大相对扭转角不超过1