2024年江苏省连云港市连云区中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年江苏省连云港市连云区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）下列各数绝对值最大的是（）A． B． C．﹣π D．﹣20242．（3分）如图所示是机器零件的立体图，其左视图是（）A． B． C． D．3．（3分）下列计算正确的是（）A．a3+a＝a4 B．a6÷a2＝a3 C．（a2）3＝a5 D．a3•a＝a44．（3分）如图，直线AB，CD被直线CE所截，∠C＝50°，则∠1的度数为（）A．40° B．50° C．130° D．150°5．（3分）东海县是闻名中外的“世界水晶之都”．现辖2个街道、19个乡镇场、1个省级开发区、1个省级高新区和1个省级农高区，346个行政村，总面积2037平方公里．其中数据“2037”用科学记数法可表示为（）A．2.037×103 B．2.037×102 C．0.2037×104 D．20.37×1026．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧（点P不与点C重合），则∠CPD＝（）A．45° B．36° C．35° D．30°7．（3分）要在已知△ABC上用直尺和圆规截取出一个新的三角形，使之与原△ABC相似．以下是甲、乙两人的作法：甲：如图1，分别以点A，C为圆心，交AB，BC，D，E；以F点为圆心，以D，与先画的弧交于点G；作射线AG；乙：如图2，分别以点A，B，C为圆心的同样长度为半径画弧，所画弧分别交于点D、E，F，G，直线DE和FG分别交AB，AC于点M，N，下列判断正确的是（）A．甲、乙两人的作法都正确 B．甲、乙两人的作法都错误 C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．甲的作法错误，乙的作法正确8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DEC，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，则图中阴影部分的面积是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分。不需写出解答过程；请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是．10．（3分）因式分解：4x﹣4x3＝．11．（3分）如图是一个长方体纸盒的展开图，则这个纸盒的体积是．（单位：cm3）12．（3分）边数为7的正7边形内角和为．13．（3分）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，多14竿；每人8竿，根据题意，可列方程为．14．（3分）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为．15．（3分）若a，b是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两个实数根，则的值为．16．（3分）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则．17．（3分）如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，连结AO，BO°．18．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），点B（x2，y2）在双曲线y＝上，且0＜x1＜x2，分别过点A，点B作x轴的平行线，与双曲线y＝（k＞3），点D．若△AOB的面积为，则的值为．三、解答题（本大题共有10小题，共96分。请在题卡指定区域内作答解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1）计算：+（2cos60°）2020﹣（）﹣2﹣|3+2|；（2）先化简，再求值：（x﹣）÷，其中x＝，y＝．20．解方程：．21．（10分）某中学在“世界读书日”知识竞赛活动，800名七年级学生全部参赛，从中随机抽取n名学生的竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）：A：50≤x＜60；B：60≤x＜70；C：70≤x＜80；E：90≤x≤100．并绘制了七年级竞赛成绩频数分布直方图，部分信息如下：已知C组的全部数据如下：71，73，70，76，78，77，76，79．请根据以上信息，完成下列问题．（1）n＝，抽取的n名学生竞赛成绩的中位数是；（2）若将抽取的n名学生成绩绘制成扇形统计图，则D组所在扇形的圆心角为°；（3）学校将对80分以上（含80分）的学生授予“小书虫”称号，请根据以上统计信息估计该校七年级被授予“小书虫”称号的学生数．22．在一个不透明的布袋中装有相同的三个小球，其上面分别标注数字1、2、3、，现从中任意摸出一个小球；将球放回袋中搅匀，再从中任意摸出一个小球（1）写出点M坐标的所有可能的结果；（2）求点M在直线y＝x上的概率；（3）求点M的横坐标与纵坐标之和是偶数的概率．23．如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF．（1）求证：四边形ABEF为菱形；（2）AE，BF相交于点O，若BF＝6，求AE的长．24．习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆．求每辆B型汽车进价是多少万元？25．如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上任意一点，PD切⊙O于点D，连接CD交AB于点E．求证：（1）PD＝PE；（2）PE2＝PA•PB．26．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点2+bx+c与x轴交于点A，B两点，它的对称轴直线x＝1交抛物线于点M，连接BC，已知点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）动点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，其中﹣1＜m＜1．①若∠POA＝∠QBO，请求此时点Q的坐标；②在线段BC上是否存在一点D，使得以C，P，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在；若不存在，说明理由．27．定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是4：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．（1）如图1，在△ABC中，AC＝8，∠ACB＝30°，试判断△ABC是否是“准黄金”三角形（2）如图2，△ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”，AD交BC的延长线于点E，若点C恰好是△ABD的重心，求（3）如图3，l1∥l2，且直线l1与l2之间的距离为4，“准黄金”△ABC的“金底”BC在直线l2上，点A在直线l1上，＝，若∠ABC是钝角，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C1于点D．当点B′落在直线l1上时，则的值为．

2024年江苏省连云港市连云区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）下列各数绝对值最大的是（）A． B． C．﹣π D．﹣2024【解答】解：∵，，|﹣π|＝π，∴，∴绝对值最大的是﹣2024．故选：D．2．（3分）如图所示是机器零件的立体图，其左视图是（）A． B． C． D．【解答】解：机器零件的左视图是一个矩形，中间有1条横着的虚线．故选：C．3．（3分）下列计算正确的是（）A．a3+a＝a4 B．a6÷a2＝a3 C．（a2）3＝a5 D．a3•a＝a4【解答】解：A选项，a3与a不是同类项，不能合并；B选项，原式＝a4，故该选项不符合题意；C选项，原式＝a8，故该选项不符合题意；D选项，原式＝a4，故该选项符合题意；故选：D．4．（3分）如图，直线AB，CD被直线CE所截，∠C＝50°，则∠1的度数为（）A．40° B．50° C．130° D．150°【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1+∠C＝180°，∴∠1＝180°﹣∠C＝180°﹣50°＝130°．故选：C．5．（3分）东海县是闻名中外的“世界水晶之都”．现辖2个街道、19个乡镇场、1个省级开发区、1个省级高新区和1个省级农高区，346个行政村，总面积2037平方公里．其中数据“2037”用科学记数法可表示为（）A．2.037×103 B．2.037×102 C．0.2037×104 D．20.37×102【解答】解：2037＝2.037×103．故选：A．6．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧（点P不与点C重合），则∠CPD＝（）A．45° B．36° C．35° D．30°【解答】解：如图，连接OC，∵ABCDE是正五边形，∴∠COD＝＝72°，∴∠CPD＝∠COD＝36°，故选：B．7．（3分）要在已知△ABC上用直尺和圆规截取出一个新的三角形，使之与原△ABC相似．以下是甲、乙两人的作法：甲：如图1，分别以点A，C为圆心，交AB，BC，D，E；以F点为圆心，以D，与先画的弧交于点G；作射线AG；乙：如图2，分别以点A，B，C为圆心的同样长度为半径画弧，所画弧分别交于点D、E，F，G，直线DE和FG分别交AB，AC于点M，N，下列判断正确的是（）A．甲、乙两人的作法都正确 B．甲、乙两人的作法都错误 C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．甲的作法错误，乙的作法正确【解答】解：根据甲的作法可知，∠BAH＝∠BCA，∵∠ABH＝∠CBA，∴△HBA∽△ABC．故甲的作法正确．根据乙的作法可知，直线DE为线段AB的垂直平分线，∴点M为AB的中点，点N为AC的中点，∴MN为△ABC的中位线，∴MN∥BC，∴△AMN∽△ABC．故乙的作法正确．∴甲、乙两人的作法都正确．故选：A．8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DEC，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，则图中阴影部分的面积是（）A． B． C． D．【解答】解：由题知，∵AB＝4，∠A＝60°，∴．在Rt△ABC中，sinA＝，∴BC＝．同理可得，AC＝2．∴．∵，∴S阴影＝S扇形CBE﹣（S扇形ABF﹣S△ABC）＝．故选：D．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分。不需写出解答过程；请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是x≠2．【解答】解：依题意得：2﹣x≠0，解得x≠6．故答案为：x≠2．10．（3分）因式分解：4x﹣4x3＝4x（1+x）（1﹣x）．【解答】解：原式＝4x（1﹣x2）＝4x（1+x）（7﹣x），故答案为：4x（1+x）（4﹣x）．11．（3分）如图是一个长方体纸盒的展开图，则这个纸盒的体积是24cm3．（单位：cm3）【解答】解：由题意可得，把长方体的展开图折回长方体，宽3cm，体积：4×8×2＝24（cm3）故答案为：24cm7．12．（3分）边数为7的正7边形内角和为900°．【解答】解：（7﹣2）×180°＝900°，即正七边形为900°，故答案为：900°．13．（3分）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，多14竿；每人8竿，根据题意，可列方程为6x+14＝8x．【解答】解：设有牧童x人，依题意得：6x+14＝8x．故答案为：5x+14＝8x．14．（3分）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为48π．【解答】解：设圆锥的母线长为R，∵圆锥的底面圆半径为4，∴圆锥的底面周长为8π，即侧面展开图扇形的弧长为8π，∴＝8π，解得：R＝12，∴圆锥的侧面展开图面积＝＝48π，故答案为：48π．15．（3分）若a，b是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两个实数根，则的值为5．【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2﹣5x﹣8＝0的两个实数根，∴a+b＝5，a5﹣5a﹣2＝7，即：a2＝5a+6，∴，故答案为：5．16．（3分）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则．【解答】解：如图：由题意得：AC2＝14+22＝6，BC2＝27+42＝20，AB7＝32+32＝25，∴AC2+BC5＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴AC＝，AB＝5，∵BE＝EF，DE∥AF，∴BD＝AD，∴CD＝BD＝AB，∴∠CBD＝∠BCD，∵∠CDA＝∠BCD+∠CBD，∴∠CDA＝7∠CBD，∴＝sin∠CBD＝＝，故答案为：．17．（3分）如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，连结AO，BO60°．【解答】解：由图可知：∠P＝30°，∵＝，∴∠AOB＝2∠P＝60°，故答案为：60°．18．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），点B（x2，y2）在双曲线y＝上，且0＜x1＜x2，分别过点A，点B作x轴的平行线，与双曲线y＝（k＞3），点D．若△AOB的面积为，则的值为．【解答】解：过点A作AE⊥y轴，交y轴于点E，交x轴于点F，交AC于点G，∴四边形OEGF为矩形，∴，，G（x2，y1），S△AOB＝矩形OEGF面积﹣S△OEA﹣S△OFB﹣S△ABG＝＝＝，∵，∴，∴，设，则，∴6m2+3m﹣4＝0，∴，或m＝﹣2，∵0＜x4＜x2，∴m＝﹣2不符合题意，经检验，是原方程的解，∴，，，∴，，∴，三、解答题（本大题共有10小题，共96分。请在题卡指定区域内作答解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1）计算：+（2cos60°）2020﹣（）﹣2﹣|3+2|；（2）先化简，再求值：（x﹣）÷，其中x＝，y＝．【解答】解：（1）原式＝3+（4×）2020﹣22﹣（3+3）＝3+1﹣4﹣2﹣2＝﹣6；（2）原式＝•＝•＝x﹣y．当x＝+1时，原式＝+1﹣＝4．20．解方程：．【解答】解：两边乘x﹣2得到，1+8（x﹣2）＝x﹣1，6+3x﹣6＝x﹣3，x＝2，∵x＝2时，x﹣3＝0，∴x＝2是分式方程的增根，原方程无解．21．（10分）某中学在“世界读书日”知识竞赛活动，800名七年级学生全部参赛，从中随机抽取n名学生的竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）：A：50≤x＜60；B：60≤x＜70；C：70≤x＜80；E：90≤x≤100．并绘制了七年级竞赛成绩频数分布直方图，部分信息如下：已知C组的全部数据如下：71，73，70，76，78，77，76，79．请根据以上信息，完成下列问题．（1）n＝50，抽取的n名学生竞赛成绩的中位数是77.5；（2）若将抽取的n名学生成绩绘制成扇形统计图，则D组所在扇形的圆心角为108°；（3）学校将对80分以上（含80分）的学生授予“小书虫”称号，请根据以上统计信息估计该校七年级被授予“小书虫”称号的学生数．【解答】解：（1）n＝6+10+11+15+8＝50，将这50名学生的成绩从小到大排列，处在第25＝77.5（分），故答案为：50；77.5；（2）360°×＝108°，故答案为：108；（3）800×＝368（名），答：该校七年级300名被授予“小书虫”称号的学生数大约为368名．22．在一个不透明的布袋中装有相同的三个小球，其上面分别标注数字1、2、3、，现从中任意摸出一个小球；将球放回袋中搅匀，再从中任意摸出一个小球（1）写出点M坐标的所有可能的结果；（2）求点M在直线y＝x上的概率；（3）求点M的横坐标与纵坐标之和是偶数的概率．【解答】解：（1）∵1221（1，8）（1，2）（6，3）2（3，1）（2，8）（2，3）8（3，1）（3，2）（3，4）∴点M坐标的所有可能的结果有九个：（1，1），3），3），1），2），3），1），3），3）．（2）P（点M在直线y＝x上）＝P（点M的横、纵坐标相等）＝＝．（3）∵523423523453556∴P（点M的横坐标与纵坐标之和是偶数）＝．23．如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF．（1）求证：四边形ABEF为菱形；（2）AE，BF相交于点O，若BF＝6，求AE的长．【解答】（1）证明：由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB＝AF，∠BAE＝∠FAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝FA，∴四边形ABEF为平行四边形，∵AB＝AF，∴四边形ABEF为菱形；（2）解：∵四边形ABEF为菱形，∴AE⊥BF，BO＝，AE＝7AO，在Rt△AOB中，AO＝，∴AE＝2AO＝4．24．习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆．求每辆B型汽车进价是多少万元？【解答】解：设每辆B型汽车进价是x万元，则每辆A型汽车进价是1.5x万元，根据题意得：﹣＝20，解得：x＝10，经检验，x＝10是所列方程的解．答：每辆B型汽车进价是10万元．25．如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上任意一点，PD切⊙O于点D，连接CD交AB于点E．求证：（1）PD＝PE；（2）PE2＝PA•PB．【解答】证明：（1）连接OC、OD，∵C是半圆ACB的中点∴∠COA＝∠COB∵∠COA+∠COB＝180°∴∠COA＝∠COB＝90°∴OD⊥PD，OC⊥AB．∴∠PDE＝90°﹣∠ODE，∠PED＝∠CEO＝90°﹣∠C，又∵OC＝OD，∴∠C＝∠ODE，∴∠PDE＝∠PED．∴PE＝PD．（2）连接AD、BD，∴∠ADB＝90°．∵∠BDP＝90°﹣∠ODB，∠A＝90°﹣∠OBD，又∵∠OBD＝∠ODB，∴∠BDP＝∠A，∵∠P＝∠P，∴△PDB∽△PAD．∴，∴PD2＝PA•PB．∴PE2＝PA•PB．26．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点2+bx+c与x轴交于点A，B两点，它的对称轴直线x＝1交抛物线于点M，连接BC，已知点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）动点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，其中﹣1＜m＜1．①若∠POA＝∠QBO，请求此时点Q的坐标；②在线段BC上是否存在一点D，使得以C，P，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）由抛物线的表达式知，点B，0），4），3），设点P（m，﹣m2+2m+7），则点Q（m+12+3），①由点BQ的坐标得，直线BQ的表达式为：y＝﹣（m+2）（x﹣3），∵∠POA＝∠QBO，则BQ∥OP，则直线OP的表达式为：y＝﹣（m+6）x，联立上式和抛物线的表达式得：﹣x2+2x+8＝﹣（m+2）x，解得：x＝＝xP＝m，解得：m＝﹣，则点Q的坐标为：（，）；②存在，理由：由点B、C的坐标得x+4，当CD为对角线时，由中点坐标公式得：，解得：m＝（不合题意的值已