北京第五十六中学高三数学理月考试题含解析

北京第五十六中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.湖面上飘着一个小球，湖水结冰后讲球取出，冰面上留下一个半径为，深的空穴，则取出该球前，球面上的点到冰面的最大距离为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B【知识点】球的截面性质G8解析：设球半径为R，则有,解得R=10，所以球面上的点到冰面的最大距离为R+R－2=18cm，则选B.【思路点拨】一般遇到球的截面问题，通常利用球的截面性质寻求截面圆的半径与球半径的关系进行解答.2.函数的部分图象为

（

）．

参考答案：A3.函数的图象（部分）大致是

(A) (B) (C) (D)参考答案：C4.如图所示的程序框图是为了求出满足的最大正整数n的值，那么在和两个空白框中，可以分别填入（

）A.“”和“输出”B.“”和“输出”C.“”和“输出”D.“”和“输出”参考答案：D【详解】由于程序框图是为了求出满足的最大正整数的值，故退出循环的条件应为，由于满足后，（此时值比程序要求的值多1），又执行了一次，故输出的应为的值．故选：D．【点睛】本题考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.在△ABC中，有命题:①；②；③若，则△ABC是等腰三角形；④若，则△ABC为锐角三角形．上述命题正确的是…………（

）

(A)②③

(B)①④

(C)

①②

(D)②③④参考答案：A因为，所以①错误。排除B,C.②正确。由得，即，所以△ABC是等腰三角形，所以③正确。若，则，即为钝角，所以△ABC为钝角三角形，所以④错误，所以上述命题正确的是②③，选A.6.执行如图所示的程序框图,输出的S值为时，则输入的的值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】程序框图L1D设，第一次循环，，；第二次循环，，；第三次循环，，；循环终止，此时，，，故选D.【思路点拨】按条件依次循环，当循环终止时，，即可求解.7.若命题“使得”为假命题，则实数的取值范围是（

）A．[2，6] B．[-6，-2] C．（2，6） D．（-6，-2）

参考答案：略8.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在处有一棵树与两墙的距离分别是米、4米，不考虑树的粗细．现在想用米长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃．设此矩形花圃的面积为平方米，的最大值为，若将这棵树围在花圃内，则函数的图象大致是（

）

参考答案：C9.若平面区域的面积为3，则实数的值为A. B．

C． D．参考答案：B10.已知是虚数，则计算

（

）A.

B.

C.

D.1参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数，则的值域为

.参考答案：略12.已知数集中有3个元素，则实数不能取的值构成的集合为

________________

．参考答案：13.已知正实数，记m为和中较小者，则m的最大值为

__________。参考答案：略14.当满足时，则的最小值是

；参考答案：15.如图，F1，F2是双曲线C：(a＞0，b＞)的左、右焦点，过F1的直线与的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|:

|BF2|:

|AF2|＝3:4:

5，则双曲线的离心率为

.参考答案：略16.执行如图所示的伪代码，最后输出的a的值__________．参考答案：4【分析】模拟执行程序代码，依次写出每次循环得到的i，的值，当i＝3时，不满足条件退出循环，输出的值即可．【详解】模拟执行程序代码，可得i＝1，＝2满足条件i，执行循环体，＝2，i＝2满足条件i，执行循环体，＝2，i＝3不满足条件i，退出循环，输出的值为4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i，的值是解题的关键，属于基础题．17.已知i是虚数单位，复数__________．参考答案：2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ax3+bx2lnx，若f（x）在点（1，0）处的切线的斜率为2.（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在[，e]上的单调区间和最值．参考答案：试题解析：解：（1）由f（x）=ax3+bx2lnx，得f′（x）=3ax2+2bxlnx+bx，∴，解得a=0，b=2.∴f（x）=2x2lnx（2）f′（x）=4xlnx+2x，由f′（x）=0，得，当x∈时，f′（x）＜0，当x∈时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为；∵，f（e）=2e2，．∴f（x）在[，e]上的最大值为2e2，最小值为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．点评：本题考查利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求函数的最值，属中档题．19.（本小题满分14分）

如图，四边形是正方形，△与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形，

点是的中点，点是边上的任意一点.（1）求证：；（2）求二面角的平面角的正弦值.参考答案：（1）证明：∵是的中点，且，

∴.

……1分

∵△与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形，

∴，.

∵，平面，平面，

∴平面.

∵平面，

∴.

……2分

∵四边形是正方形，

∴.

……3分

∵，平面，平面，

∴平面.

∵平面，

∴.

………4分

∵，平面，平面，

∴平面.

………5分

∵平面，

∴.

………6分（2）解法1：作于，连接，∵⊥平面，平面∴.

………7分∵，平面，平面，∴⊥平面.

………8分∵平面，∴.

……………………9分∴∠为二面角的平面角.…………………10分设正方形的边长为，则，，在Rt△中，，

…11分在Rt△中，，，………………12分在Rt△中，.………………13分∴二面角的平面角的正弦值为.

……14分解法2：以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，

建立空间直角坐标系，设，则，，,.……………7分∴，.设平面的法向量为，由得

…8分令，得，

∴为平面的一个法向量.

…………9分∵平面，平面，∴平面平面.连接，则.∵平面平面，平面，∴平面.

………………10分∴平面的一个法向量为.………………11分设二面角的平面角为，

则.

……………12分∴.

………………13分∴二面角的平面角的正弦值为.

……14分20.如图所示，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且2PA=AD,E、F、G、H分别是线段PA、PD、CD、BC的中点.（Ⅰ）求证：BC∥平面EFG；（Ⅱ）求证：DH⊥平面AEG；（Ⅲ）求三棱锥E-AFG与四棱锥P-ABCD的体积比.

参考答案：解：（Ⅰ）∵BC∥AD,AD∥EF,∴BC∥EF．．．．．．．．．．2分∥平面EFG．．．．．．．．．．．．3分（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DH，即AE⊥DH．．．．．．．．．．5分

∵△ADG≌△DCH，∴∠HDC=∠DAG，∠AGD+∠DAG=90°∴∠AGD+∠HDC=90°∴DH⊥AG又∵AE∩AG=A，∴DH⊥平面AEG．．．．．．．．．．．．8分（Ⅲ）．．．．．．．．．．．．．．．10分．．．．．略21.设f（x）=|x﹣1|+|x+1|． （1）求f（x）≤x+2的解集； 参考答案：【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法． 【分析】（1）运用绝对值的含义，对x讨论，分x≥1，﹣1＜x＜1，x≤﹣1，去掉绝对值，得到不等式组，解出它们，再求并集即可得到解集； （2）运用绝对值不等式的性质，可得不等式右边的最大值为3，再由不等式恒成立思想可得f（x）≥3，再由去绝对值的方法，即可解得x的范围． 【解答】解：（1）由f（x）≤x+2得： 或或， 即有1≤x≤2或0≤x＜1或x∈?， 解得0≤x≤2， 所以f（x）≤x+2的解集为[0，2]；

（2）=|1+|﹣|2﹣|≤|1++2﹣|=3， 当且仅当（1+）（2﹣）≤0时，取等号． 由不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立， 可得|x﹣1|+|x+1|≥3，即或或， 解得x≤﹣或x≥， 故实数x的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）． 【点评】本题考查绝对