河北省承德市县第一中学高三数学理联考试题含解析

河北省承德市县第一中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.要得到函数的图像，只要将函数的图像(

)A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度参考答案：C2.已知，(0，π)，则=（

）A．

B

－1

C

D

1参考答案：B略3.已知集合，，则RA=（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A4.若tan（θ+）=﹣3，则=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2参考答案：D【考点】两角和与差的正切函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦．【分析】由条件利用两角和差的正切公式求得tanθ，再利用二倍角的余弦、正弦公式化简所给的式子，可得结果．【解答】解：∵tan（θ+）==﹣3，∴tanθ=2，则==tanθ=2，故选：D．5.设随机变量ξ服从正态分布，若=，则c的值是（

）A.4 B.3

C.2 D.1命题意图:考查正态分布基础知识，基础题.参考答案：B6.如图，它们都表示的是输入所有立方小于1000的正整数的和的程序框图，那么判断框内应分别补充的条件是

（

）

A． B．

C．

D．

参考答案：答案：C7.三个数之间的大小关系是（

）。A.

B.

C.

D..参考答案：C8.已知集合，若，则实数a满足的集合为(

)A.{1} B.{－1} C.{－1,1} D.参考答案：D【分析】由可得，解得，将它分别代入集合A，再检验是否成立即可得解。【详解】因为，所以则，解得：当时，，此时，这与已知矛盾。当时，，此时，这与已知矛盾。所以这样的不存在。故选：D【点睛】本题主要考查了交集的概念与运算，还考查了分类思想，属于基础题。9.已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（

）A.

B.

C.或

D.

或7参考答案：C10.等比数列中，，，则（

）A．－4

B．4

C．±4

D．－5参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量，，则在方向上的投影等于

．参考答案：

在方向上的投影为．12.已知函数的定义域是，则的值域是

参考答案：略13.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为

参考答案：或略14.若对于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为．参考答案：[，+∞）【考点】函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由x＞0，=，运用基本不等式可得最大值，由恒成立思想可得a的范围．【解答】解：由x＞0，=≤=，当且仅当x=2时，取得最大值．所以要使不等式≤a恒成立，则a≥，即实数a的取值范围为[，+∞）．故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查函数的恒成立问题的解法，注意运用基本不等式求得最值，考查运算能力，属于中档题．15.在中，，若,则的值为______参考答案：16.若等比数列的各项均为正数,且,则

.参考答案：试题分析：由等比数列的性质得，，所以.考点：1.等比数列等而性质；2.对数的性质.17.观察下列各等式：，，，…，则的末四位数字为

．参考答案：3125三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f(x)=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值.

（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；（Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤4；

（Ⅲ）若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.参考答案：（I）f′(x)=3ax2+2bx－3，依题意，f′(1)=f′(－1)=0，

即

解得a=1，b=0.

∴f(x)=x3－3x.

（II）∵f(x)=x3－3x,∴f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，当－1<x<1时，f′(x)<0，故f(x)在区间[－1，1]上为减函数，fmax(x)=f(－1)=2，fmin(x)=f(1)=－2∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)||f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)|=2－(－2)=4

（III）f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，

∵曲线方程为y=x3－3x，∴点A（1，m）不在曲线上.设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足因，故切线的斜率为，整理得.∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，∴关于x0方程=0有三个实根.设g(x-0)=，则g′(x0)=6，由g′(x0)=0，得x0=0或x0-=1.∴g(x0)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.∴函数g(x0)=的极值点为x0=0，x0=1∴关于x0方程=0有三个实根的充要条件是，解得－3<m<－2.故所求的实数a的取值范围是－3<m<－2.略19.已知椭圆的左焦点为F，A，B是椭圆上关于原点O对称的两个动点，当点A的坐标为时，的周长恰为．（1）求椭圆的方程；（2）过点F作直线l交椭圆于C，D两点，且，求面积的取值范围．参考答案：（1）（2）【分析】（1）求出AB，得到a，然后求解b，即可得到椭圆方程;（2）当直线AB的斜率不存在时，求解三角形面积，设直线CD的方程为y＝k（x+2）（k≠0）．由消去y整理得：（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣8＝0，△＞0，设C（x1，y1），D（x2，y2），利用弦长公式求解CD，然后求解三角形面积，推出范围即可．【详解】（1）当点的坐标为时，，所以．由对称性，，所以，得将点代入椭圆方程中，解得，所以椭圆方程为.（2）当直线的斜率不存在时，，此时．当直线的斜率存在时，设直线的方程为．由消去整理得：．显然，设，则故．因为，所以，所以点到直线的距离即为点到直线的距离，所以，因为，所以，所以．综上，．【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．20.已知函数＝－４，点（，０），过点作x轴的垂线交抛物线Ｃ：y＝于点，过作抛物线Ｃ：y＝的切线与x轴交于点（，０），过点作x轴的垂线交抛物线Ｃ：y＝于点，过点作抛物线Ｃ：y＝的切线交x轴于点（，０）┉依次下去，得到、、┉，，其中>０，（１）求与的关系式ks5u（２）若>２，记，证明数列是等比数列（３）若＝，求数列的前n项和

参考答案：解：（1）∵＝２∴切线Ｌ的方程为令y＝０得┉┉┉┉┉┉５分（２）∴∴数列是首项为公比为２的等比数列┉９分（３）∵＝∴＝１∴∴＝＋２＝∴－＝＋－＝ks5u∴＝┉┉┉┉┉┉１４分

略21.

设全集，集合，集合(Ⅰ)求集合与；

(Ⅱ)求、参考答案：(Ⅰ)，不等式的解为，，(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，，

，22.（本小题满分12分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0~50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50~100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100~150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150~200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200~300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．2015年1月某日某省x个监测点数据统计如下：空气污染指数（单位：μg/m3）监测点个数1540y10（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；

（2）若A市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？参考答案：（1）

……2分

……5分（2）设A市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为1，2，3，空气质量状况属于良的2个监测点为4,5,从中任取2个的基本事件分别为(1,2),(1,3),(1,