高中数学第三章函数的应用3.2.2.2指数型对数型函数模型的应用举例省公开课一等奖新名师获奖P

第2课时指数型、对数型函数模型应用举例1/632/63类型一指数型函数模型应用实例【典例1】(1)(·菏泽高一检测)每次用同体积水清洗一件衣物,且每次能洗去污垢,若洗x次后存留污垢在1%以下,则x最小值是________.3/63(2)设在海拔xm处大气压强是yPa,y与x之间函数关系式是y=cekx,其中c,k为常量,已知某地某天在海平面大气压为1.01×105Pa,1000m高空大气压为0.90×105Pa,求600m高空大气压强(结果保留3个有效数字).4/63【解题指南】(1)依据题意建立指数函数模型求解.(2)依据已经有函数模型,由题中条件先确定c,k,进而可求出600m高空大气压强.5/63【解析】(1)每次洗去污垢,就是存留了,故洗x次后,还有原来(x∈N*),故有<1%,所以5x>100,解得x最小值为3.答案:36/63(2)将x=0,y=1.01×105,x=1000,y=0.90×105分别代入函数式y=cekx,得所以c=1.01×105,将c=1.01×105代入0.90×105=ce1000k,所以k=7/63由计算器得k=-1.15×10-4,所以y=1.01×105×将x=600代入上述函数式得y=1.01×105×由计算器算得y=0.943×105.所以600m高空大气压强约为0.943×105Pa.8/63【方法总结】指数型函数模型在生活中应用(1)在实际问题中,相关人口增加、银行利率、细胞分裂等增加率问题常能够用指数型函数模型表示.通常能够表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增加率,x为时间)形式.9/63(2)增加率问题多抽象为指数函数形式,当由指数函数形式来确定相关量值要求不严格时,能够经过图象近似求解.用函数图象求解未知量值或确定变量取值范围,是数学惯用方法之一.10/63【赔偿训练】1.(1)(·金华高一检测)衣柜里樟脑丸,会伴随时间挥发而体积缩小,刚放入衣柜新樟脑丸体积为a,经过t天后体积与天数t关系式为V=a·e-kt,若新樟脑丸经过50天后,体积变为a;若一个新樟脑丸体积变为a,则需经过天数为()A.75B.100C.125D.15011/63(2)某种商品进价为每个80元,零售价为每个100元,为了促销,采取买一个这种商品赠予一个小礼品方法.实践表明:礼品价格为1元时,销售量增加10%,且在一定范围内,礼品价格为(n+1)元时,比礼品价格为n(n∈N*)时销售量增加10%.设未赠予礼品时销售量为m.12/63①写出礼品价格为n元时,利润yn(元)与n(元)函数关系式;②请你设计礼品价格,以使商店取得最大利润.13/63【解析】(1)选A.依据题意可知a=a·e-50k,所以=e-50k,所以-50k=ln①.令a=a·e-kt,所以e-kt=,-kt=ln,结合①式可知,t==75,故选A.14/63(2)①当礼品价格为n元时,销售量为m(1+10%)n件,故利润yn=(100-80-n)·m·(1+10%)n=(20-n)·m·1.1n(0<n<20,n∈N*).②令yn+1-yn≥0,即(19-n)·m·1.1n+1-(20-n)·m·1.1n≥0,解得n≤9.所以y1<y2<y3<…y9=y10.15/63令yn+1-yn+2≥0,即(19-n)·m·1.1n+1-(18-n)·m·1.1n+2≥0,解得n≥8.所以y9=y10>y11>y12>y13>…>y19.所以礼品价格为9元或10元时,商店取得最大利润.16/632.某城市现在人口总数为100万人,假如年自然增加率为1.2%,试解答下面问题:(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)函数关系式.(2)计算10年后该城市人口总数(准确到0.1万人).(3)计算大约多少年以后该城市人口将到达120万人(准确到1年).17/63【解题指南】处理这类题关键是依据题意建立函数模型.解题流程为“审、设、列、解、答”,即审题→设未知量→列出函数关系式→求解→作答.在求解过程中要注意所设未知量实际意义.18/63【解析】(1)1年后该城市人口总数为y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%).2年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2.19/633年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2×1.2%=100×(1+1.2%)3.…故x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x.20/63(2)10年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)10=100×1.01210≈112.7(万人).(3)设大约n年后该城市人口将到达120万人,即100×(1+1.2%)n≥120,n≥log1.012=log1.0121.20≈15.3.故大约16年以后该城市人口将到达120万人.21/63类型二对数函数模型应用【典例2】燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子科学家发觉,两岁燕子飞行速度能够表示为函数v=5log2,单位是m/s,其中Q表示燕子耗氧量.22/63(1)求燕子静止时耗氧量是多少个单位?(2)当一只燕子耗氧量是80个单位时,它飞行速度是多少?23/63【解题指南】(1)燕子静止时耗氧量即v=0时Q值.(2)两岁燕子耗氧量是80个单位时,求它飞行速度,即为当Q=80时v值.24/63【解析】(1)由题意,当燕子静止时,它速度v=0,代入题中给出公式可得:0=5log2,解得Q=10.即燕子静止时耗氧量是10个单位.(2)将耗氧量Q=80代入题中给出公式得:v=5log2=5log28=15(m/s).25/63【延伸探究】1.本例中“函数v=5log2”若换为“v=5log2”,其它条件不变,试求燕子静止时耗氧量.26/63【解析】由题意,当燕子静止时,它速度v=0,所以0=5log2,解得Q=100,则燕子静止时耗氧量是100个单位.27/632.本例条件不变,则当燕子飞行速度为v=5(m/s)时耗氧量是多少?【解析】因为v=5log2,v=5,所以5log2=5,即log2=1,故=2,所以Q=20.28/63【方法总结】对数函数应用题基本类型和求解策略(1)基本类型:相关对数函数应用题普通都会给出函数解析式,然后依据实际问题再求解.(2)求解策略:首先依据实际情况求出函数解析式中参数,或给出详细情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后依据数值回答其实际意义.29/63【赔偿训练】载人飞船是经过火箭发射.已知某型号火箭起飞重量Mt是箭体(包含搭载飞行器)重量mt和燃料重量xt之和.在不考虑空气阻力条件下,假设火箭最大速度ykm/s关于x函数关系为y=k[ln(m+x)-ln(m)]+4ln2(其中k≠0,lnx是以e为底x对数).当燃料重量为(-1)mt时,该火箭最大速度为4km/s.30/63(1)求此型号火箭最大速度ykm/s与燃料重量xt之间函数解析式.(2)若此型号火箭起飞重量是479.8t,则应装载多少吨燃料(准确到0.1t,取e=2.718)才能使火箭最大飞行速度到达8km/s,顺利地把飞船发送到预定椭圆轨道?31/63【解析】(1)由题意,得4=k{ln[m+(-1)m]-ln(m)}+4ln2,解得k=8,所以y=8[ln(m+x)-ln(m)]+4ln2=8ln32/63(2)由已知,得M=m+x=479.8,则m=479.8-x.将y=8代入(1)中所得式中,得8=8ln解得x≈303.3.答:应装载303.3t燃料,才能使火箭最大飞行速度到达8km/s,顺利地把飞船送到预定椭圆轨道.33/63类型三拟合型函数模型应用【典例3】(·重庆高一检测)某学习小组在暑期社会实践活动中,经过对某商场一个品牌服装销售情况调查发觉:该服装在过去一个月内(以30天计)每件销售价格P(x)(百元)与时间x(天)函数关系近似满足P(x)=1+(k为正常数),日销售量Q(x)(件)与时间x(天)部分数据以下表所表示:34/63已知第10天日销售收入为121(百元).x(天)10202530Q(x)(件)11012012512035/63(1)求k值.(2)给出以下四种函数模型:①Q(x)=ax+b,②Q(x)=a|x-25|+b,③Q(x)=a·bx,④Q(x)=a·logbx.36/63请你依据表中数据,从中选择你认为最适当一个函数来描述日销售量Q(x)(件)与时间x(天)改变关系,并求出该函数解析式.(3)求该服装日销售收入f(x)(百元)最小值.37/63【解题指南】(1)依据题中条件求k值.(2)选择一个函数模型,依据待定系数法求其解析式.(3)借助(2)中函数解析式求其最值.38/63【解析】(1)依题意知第10天日销售收入为P(10)·Q(10)=×110=121,解得k=1.(2)由表中数据知,当初间改变时,日销售量有增有减并不单调,故只能选②Q(x)=a|x-25|+b.从表中任意取两组值代入可求得Q(x)=125-|x-25|(1≤x≤30,x∈N*).39/63(3)由(2)知Q(x)=125-|x-25|=所以f(x)=P(x)·Q(x)=40/63当1≤x<25时,y=x+在[1,10]上是减函数,在[10,25)上是增函数,所以当x=10时,f(x)取得最小值,f(x)min=121;41/63当25≤x≤30时,y=-x为减函数,所以当x=30时,f(x)取得最小值f(x)min=124.总而言之,当x=10时,f(x)取得最小值f(x)min=121.所以该服装日销售收入最小值为121百元.42/63【方法总结】数据拟合问题三种求解策略(1)直接法:若由题中条件能显著确定需要用数学模型,或题中直接给出了需要用数学模型,则可直接代入表中数据,问题即可获解.(2)列式比较法:若题所包括是最优化方案问题,则可依据表格中数据先列式,然后进行比较.43/63(3)描点观察法:若依据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型,则可依据表中数据在直角坐标系中进行描点,作出散点图,然后观察这些点位置改变情况,确定所需要用数学模型,问题即可顺利处理.44/63【拓展延伸】数据拟合过程中假设作用普通情况下数学建模,是离不开假设,假设作用主要表现在以下几个方面:45/63(1)深入明确模型中需要考虑原因和它们在问题中作用,通常初步接触一个问题,会以为围绕它原因非常多,经仔细分析筛选,发觉有原因并无实质联络,有原因是无关紧要,排除这些原因,问题则越发清楚明朗,在假设时对这些原因就不需考虑.46/63(2)降低解题难度,经过适当假设就都能够有能力建立数学模型,而且得到对应解.(3)普通情况下,是先在最简单情形下组建模型,然后经过不停地调整假设使模型尽可能地靠近实际,从而得到更满意解.47/63【赔偿训练】1.北京某企业常年生产一个出口产品,依据需求预测:自从举行奥运会以来,前8年在正常情况下,该产品产量将平稳增加.已知年为第一年,前4年年产量f(x)(万件)以下表所表示:x1234f(x)4.005.587.008.4448/63(1)画出～年该企业年产量散点图.(2)建立一个能基本反应(误差小于0.1)这一时期该企业年产量改变函数模型,并求之.(3)年(即x=8)因受到某国对我国该产品反倾销影响,年产量应降低30%,试依据所建立函数模型,确定年年产量为多少?49/63【解析】(1)如图所表示.50/63(2)由散点图知,可选取一次函数模型.设f(x)=ax+b,由已知得解得a=1.5,b=2.5,所以f(x)=1.5x+2.5.检验:f(2)=5.5,|5.58-5.5|=0.08<0.1;f(4)=8.5,|8.44-8.5|=0.06<0.1,所以一次函数模型f(x)=1.5x+2.5能基本反应年产量改变.51/63(3)f(8)=(1.5×8+2.5)×(1-30%)=10.15,年年产量应为10.15万件.52/632.某个体经营者把开始六个月试销A,B两种商品逐月投资与所获纯利润列成下表:投资A种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.651.391.8521.841.40投资B种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.250.490.7611.261.5153/63该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品,但不知投入A,B两种商品各多少万元才合算.请你帮助制订一个资金投入方案,使得该经营者能取得最大利润,并按你方案求出该经营者下月可取得最大纯利润(结果保留两位有效数字).54/63【解题指南】制订投资方案时,首先应确定好两种商品投资金额与纯利润之间函数关系,而题目未明确给出其满足函数关系,仅仅给定了两个表格说明二者之间数量关系,极难看出其满足函数模型,所以可画出对应散点图,依据散点图特征找到其满足函数关系.55/63【解析】以投资额为横坐标,纯利润为纵坐标,在平面直角坐标系中画出散点图,如图所表示.56/63观察散点图能够看出,A种商品