1月大数据模拟卷04（江苏专用）（解析版）高中数学

1月大数据精选模拟卷04(江苏专用)

数学

本卷满分150分，考试时间120分钟

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的.

1.已知复数z的共软复数为〉若2=。-0，(。>0),且zi=4,则。=()

A.1B.72C.2D.V6

【答案】B

【详解】

•rz=a(a>0),.G=a+后,

所以，z-z=[a-41i^-(a+\[2i^=er+2=4,

-.-a>0,因此，a=41-

2.若集合A={x|--4<0},B={x|lgx<0},则AD8=()

A.(-2,1)B.(-2,2)C.(0,1)D.(0,2)

【答案】C

【详解】

解：A={x|幺_4<0}=(-2,2),

B={x|lgx<0}=(0,l),

故An8=(0,l),故选：C.

3.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤

城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”

的()

A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】A

【详解】

由题意，“返回家乡”可推出“攻破楼兰”，但“攻破楼兰”不一定"返回家乡”，

1

所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.

4.函数的部分图象大致为()

【答案】D

【详解】

因为函数/(x)的定义域为R,且/(一九)=[3(-x)-(-X)3-sin(-x)=(3x-x3)-sinx=/(x),

所以函数/(x)为偶函数，排除B.

由/(x)=工(3--卜inx,可知当xe(0,e)时，/(%)>0；

当xe(省,句时，〃x)<0.所以D选项符合.

5.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的

面积等于().

A.1+72B.2+>/2C.-J-+—D.1+也

222

【答案】B

【详解】

如图，恢复后的原图形为一直角梯形,

2

所以5=,(1+及+1)、2=2+血.

2

6.声强是表示声波强度的物理量，记作/.由于声强/的变化范围非常大，为方便起见，引入声强级的概念，

规定声强级L=lg：,其中/o=lO3°W/m2,声强级的单位是贝尔，士贝尔又称为1分贝.生活在30分

1010

贝左右的安静环境有利于人的睡眠，而长期生活在90分贝以上的噪音环境中会严重影响人的健康.根据所

给信息，可得90分贝声强级的声强是30分贝声强级的声强的()

A.3倍B.1()3倍C.1()6倍D.1()9倍

【答案】C

【详解】

90分贝为9贝尔，30分贝为3贝尔，

1](y”

令4=9,则人=109/0=10-“；令4=3,则/2=10"0=1(尸7，；.j=而7=1°6，

即9()分贝声强级的声强是30分贝声强级的声强的1倍.

无2V2

7.已知椭圆E:工+乙=1的左、右焦点分别为K，F,,P为椭圆上一个动点，。为圆

95-

M：/+>2_10犬-8>+40=0上一个动点，则归耳|+伊。|的最大值为()

A.12B.765+1C.IID.18

【答案】A

【详解】

由题意得：?(—2,0),F2(2,0),根据椭圆的定义可得忸%|+归/2|=勿=6，

所以|PFj=6_|P尸21，

又圆“：/+>2-10厂8)>+40=0,变形可得(x-5)2+(y-4)2=l,即圆心M(5,4),半径r=1，

3

所求|尸制+|P0的最大值，即求|P£|+\PM\+r的最大值,

\PF^+\PM\=6-\PF^+\PM\,

如图所示：

当P,0M共线时，|9日尸61有最大值，且为优M|=J(5—2)2+42=5,

所以忸制+|尸闾=6-/闾+|加|的最大值为5+6=11,

所以|尸制+|PQ|的最大值,即|PK|+|PM|+r的最大值为11+1=12,

8.若方程/一2℃+。+2+|/-1|=0在区间(0,3)内有两个不等实根，则实数。的取值范围为()

A.(2,/)B.(-%-3)U(1+G,£)

C.(F,1-G)U0+石,£)D.11+6,

【答案】D

【详解】

令g(x)=V—2以+Q+2+I-1|,

当了2—1之0时，即国21时，8(X)=212一2依+。+1,

当我-IvO时,即|乂＜1时，g(x)=-2ax+a+3f

由方程/―2以+。+2+|/一1|=。在区间(0,3)内有两个不等实根，

即X£(0,l)时，g(x)=-2t2X+4+3,

xe[l,3)01，g(x)=2x2-2ar+o+l,

4

3,xG(0,1)

如果a=0，g(x)=<显然g(x)无零点;

2^2+l,xe[l,3)

所以。肯定不为0,

所以g(x)=-2tzx+a+3为一次函数，最多有一个零点,

所以两个零点有两种情况，设入<々，

①一次函数提供苞，二次函数提供马，

/z(x),xe(O,l)

设g(x)="

r(x),xe[l,3)

即=-2依+〃+3,r(x)=2x2-2cix+a+\,

/?(0)-/?(1)<0

所以《

,(1),，(3卜0'

(3+a)(3-a)v0

代入得《

(3-tz)(19-5^z)<0,

19

解得：3<aV,

"检验:a=上19时，(点％=一4点成工

5-5

所以

②一次函数部分无零点，二次函数提供王，x2,

即(尤)=2d—2公+a+1在［1,3)内有两个不同的零点,

△=(-2〃)2-4x2x(6f+l)>0

—2a

1<-----<3

4

所以《

中)>0

/(3)>0

/z(0)-/2(l)>0

代入解得：1+Ji<a43,

5

由①得：

综上所得：实数。的取值范围为（1+6,£

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.4月23日为世界读书日，已知某高校学生每周阅读时间X服从正态分布X~N（9,4）,则（）

（附：X~N.d）,P（〃-cr<X<M+CF）=0.683,P（〃-2cr<X<"+2cr）=0.955,

P（〃—3b<X<"+3b）=0.997.）

A.该校学生每周平均阅读时间为9小时；

B.该校学生每周阅读时间的标准差为4；

C.该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数占0.3%；

D.若该校有1000（）名学生，则每周阅读时间在3-5小时的人数约为210.

【答案】AD

【详解】

因为E（x）=9,£>（x）=4,所以平均数是9,标准差为2,A正确，B不正确；

因为尸（7<X<11）=0.683,尸（5<X<13）=0.955,P（3<X<15）=0.997.

结合正态曲线的对称性可得，该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数占

1-P（3<X<15）1-0.997,0丁丁依

---------------==1.<50/%，C不正确；

2-----2

XE、，、，Q〃，尸（3<X<15）—P（5<X<13）

每周阅读时间在3-5小时的人数占」----------一i----------=0.021,

2

0.021x1(X)00=210,所以D正确；

10.在下列函数中，最小值是2的函数有()

11jr

A.f(x)=x2+—B./(x)=cosx+-----(0<x<—)

xcosx2

r2-1-44

C.f(x)=-D.y(x)=3A+—-2

7t7733，

【答案】AD

6

【详解】

对于选项A：.♦.由基本不等式可得炉+22,当且仅当,即》=1或％=_1时，等号

Xr

成立，故选项A正确；

JI\I

对于选项B：・.・0＜工＜一，.,・OVCOSXVI,由基本不等式可得COSX+------＞2,当且仅当cosx=-------

2cosXcosX

即COSX=1时，等号成立，但是COSX取不到1,所以等号不能成立，故选项B不正确；

尤2A尤2IQI1/1

对于选项C：由基本不等式可得/(%)=/==，？+3+22,当且仅当

vx~+3A/r+3A/X?+3

&+3=/),即炉=一2时，等号成立，显然不可能取到，故选项C不正确;

VX2+3

4/44

对于选项D：・,•由基本不等式可得/(x)=3]+三一222)3匚1一2=2,当且仅当3、=1

即x=/og32时，等号成立，故选项D正确.

11.已知函数/(x)=sin(cosx),则下列关于该函数性质说法正确的有()

A./(x)的一个周期是2"B.f(x)的值域是

C.7(x)的图象关于点(肛0)对称D.f(x)在区间(0,万)上单调递减

【答案】AD

【详解】

A：因为/(x+24)=sin[cos(x+2;r)]=sin(cosx)=/(%),

所以2〃是函数/(幻的周期，故本选项说法正确：

B：因为—iWcosxWl，[一不二],

22

所以sin(-l)4sin(cosx)〈sinln/(x)e[-sinl,sinl],

故本选项说法不正确；

C：因为于(兀)=sin[cos(^-)]=sin(-l)=-sinI工0,

所以/(x)的图象不关于点(肛0)对称，

故本选项说法不正确；

D：因为xe(0,乃)，所以函数y=8sx是单调递减函数,

7

因此有TWcosxWl,而［一工,工］，所以/（X）在区间（0,万）上单调递减，

-22

故本选项说法正确.

12.如图，在四棱锥P—A8CD中，底面ABC。为菱形，ZDAB=6Q），侧面24。为正三角形，且平面

2W，平面ABCO，则下列说法正确的是（）

A.在棱AO上存在点M，使4），平面

B.异面直线A£）与依所成的角为90°

C.二面角P—BC—A的大小为45。

D.平面P4c

【答案】ABC

【详解】

解：如图，对于4,取AO的中点M，连接•.•侧面尸A。为正三角形,

PMYAD，乂底面ABCO是菱形，NDAB=60°，.•."3。是等边三角形，

..ADLBM，又PMcBM=M，PM，8A/u平面

平面P8M，故A正确.

对于8,平面/>BM，:.4），依，即异面直线AO与PB所成的角为90。，故3正确.

对于C，；平面PBCfl平面ABC0=5C,BC//AD：.BC上平面PBM，：.BC上PBBCLBM，

.•.NP8W是二面角P—3C—A的平面角，设43=1，则8M=@，PM

22

8

PM

在中，tanZPBM=——=1,即NP3M=45°，故二面角尸一BC—A的大小为45。，故。正

BM

确.

对于。，因为3。与E4不垂直，所以3。与平面PAC不垂直，故。错误.

故选：ABC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.己知随机变量X服从正态分布N(l,cr2),且P(X<2)=0.7,则尸(0<X<l)=

【答案】0.2

【详解】

•••随机变量W服从正态分布N(1,〃)，

,正态曲线的对称轴是x=1

'：P(X<2)=0.7,

：.P(1<X<2)=0.7-0.5=0.2,

：.P(0<X<l)=P(1<X<2)=0.2,

故答案为02

14.在平面直角坐标系xOy中，过直线y=2x上一点P作圆C：(尤-3)2+(y-l)2=1的切线外，PB,其

中A,B为切点.若直线南，PB关于直线y=2x对称，则线段布的长度为.

【答案】2

【详解】

由题，因为直线办，P8关于直线y=2x对称，故PC与直线y=2x垂直.

12x3-115仁

又PC为圆心C到直线2x—y=0的距离，为j22+(_]/=^=，5,

故PA=VTd=2.

故答案为：2

9

15.数学多选题有A,B,C,。四个选项，在给出的选项中，有多项符合题目要求全都选对的得5分，部

分选对的得3分，有选错得不得分，已知某道数学多选题正确答案为B,。，小明同学不会做这道题目，他

随机地填涂了一到三个选项，则他能得分的概率为.

3

【答案】—

14

【详解】

由题意可知随机地填涂了一到三个选项，共有。：+第+盘=14种涂法，而得分的涂法为B、BD、D,共

3

有3种，则能得分的概率为一.

14

16.已知边长是4的菱形ABC。，NA=60'，点尸是菱形ABCO内部一点，若用i+3而+2定=6，

则APBC与菱形ABC。的面积的比值是.

【答案】—

12

【详解】

设ACn8D=。，则以点。为坐标原点，。4、08所在直线分别为工、丫轴建立平面直角

坐标系，如下图所示：

则点426,0）、5（0,2）、C（-2A/3,0）,

设点P（x,y）,则序=（2G_x,_y）,丽=（一x,2—y）,定=（—26—x,—y）,

x=_业（百1

山西+3方+2前=6可得!一，解得，3，即点「一为-」

6—6y=0

y=]

10

直线BC的方程为二2q+/=l,即x-百y+26=0,

半省+26

点尸到直线x-百y+20=0的距离为叵

2

所以，S”8c=Lx4x@=Ri,菱形A8CD的面积为S=42xsin60=86，

*233

所以，&PBC与菱形ABCO的面积的比值显也=—x-L=—.

S387312

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知AABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,A为锐角，在以下三个条件中任选一个：①S

…3+C1a1+cosA

-3c)cosA+acQsB=0；②sin?-------Fcos2A=---；(3)—=—7=------并解答以下问题:

29by/2sinB

(1)若选(填序号)，求cosA的值；

(2)在(1)的条件下，若。=2,求△ABC面积S的最大值.

【详解】

(1)若选①，因为伍—3C)COSA+QCOSB=0,由正弦定理有:

(sinB-3sinC)cosA+sinAcos5=0,

即sinBcosA+cosBsinA=3sinCcosA,

所以sinC=3sinCcosA,在△ABC中，sinC>0,所以cosA=g.

若选②，sin?+cos2A=-』，

29

II

l-cos（B+C）..1

「・-------------+cos2A=——,

29

…—一，c-1+cosA-1

,•*△ASC中，A+B+C=7r--------Hcos2A=—,

29

1+COSAc2411、

•e---------P2COS~A—1=——,「.36cos-A+9cosA-7=0.

171

*e*cosA=-»或cosA=---（舍），/•cosA=—.

3123

a1+cosA

若选③，因为g=,由正弦定理有:

sinA]+cosA

sinB=y/2sinB因为在中，sinB>0»所以0sinA=l+cosA，

又sin?A+cos2A=1,A为锐角,解得cosA=§.

io5

（2）由（1）可知，cosA=—,由sin?A+cos2A=1，4为锐角，得sinA二----，

33

•••由余弦定理可知，/+c2q2j

2bc3

•­•a=2,3b2+3c2-12=2bc

2bc+\2=3必+3c2/be

bc<3,当且仅当人c=6时等号成立.

，△ABC面积：S=JbcsinAWa.

2

所以~46c面积S的最大值为④.

18.已知在等差数列｛%｝中，4=2,G3+<z5=10.

(I)设勾=2册，求证:数列也｝是等比数列；

(II)求数列｛/+〃｝的前〃项和.

【详解】

解：⑴因为在等差数列｛%｝中，%=2,a3+a5=10,

4=2[a=2

所以〈/“、/"in,解得L'所以。“=4+(〃-D"=〃+l

(q+2d)+(q+44)=10[d=1

12

因为a=2册，所以欠=2向,

b2〃+i

则4=2川=4,^-=—=2,

所以数列｛2｝是以4为首项，以2为公比的等比数列;

(2)设数列｛%+〃｝的前〃项和为北,

则1=(4+4)+3+&)+(%+4)+…+(%+2)

=(4+/+/+…+/)+3+4+4.一■卜

_n(a,+a“)W)

=-2—

_n(2+n+Y)40-2")

=2+-r^

T+2+-rr+-n-4

22

i3

2

所以数列｛4+〃｝的前"项和：2"+2+-n+-n-4

19.如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为菱形，班1平面ABC。，G为AC与B。的交点.

(1)证明：平面AEC±平面BED：

(2)若外。=60。，AELEC，求直线EG与平面E0C所成角的正弦值.

【详解】

(1)证明：因为四边形ABC。为菱形，所以ACLBO.

因为6E1平面ABC。，ACu平面ABC。，所以AC_LBE.

又BEcBD=B，所以AC_L平面BED.又ACu平面AEC,

所以平面AEC1平面BED

13

(2)解法1：设A6=l，在菱形ABCD中，由N8A£>=60。，可得AG=GC=也，BG=GD=~.

22

因为AELEC，所以在RtaAEC中可得EG=AG=正.

2

由BE1平面A8C。，得AEBG为直角三角形,则国丁=BE?+BG?，得BE=—

2

过点G作直线GZ//BE,因为6E1平面ABCD，所以GZ_L平面又ACLBO,

所以建立如图所示的空间直角坐标系G-乎.

G(0,0,0),C0,y-,0,g,0,0'在。孝'所以GE=b，°万

一_(⑸一门6⑶

设平面EDC的法向量为〃=(x,y,z),DE=1,0,——,CE=―,一--—

、271222,

诙石=0"冬=0

由，_，得〈

CE-n=01£+2=0

—X—

122-2

取x=l,y=--­z=—J5,所以平面££>c的一个法向量为］=1，岑-④.

3

设直线EG与平面EDC所成角为0，

1_

2M

则sin0-lo-

所以直线EG与平面EDC所成角的正弦值为巫.

10

14

解法2：如图以点B为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系8-型.

不妨设AB=2,则4—1,6,0),C(2,0,0),E(0,0,V2),百,0),G-,^,o,所以

(22J

EG=

设平面EDC的法向量为3=(x,yz),=(1,V3,-V2),£C=(2,0,-V2),

n-ED=Ox+6y-&z-0

则《，得

n-EC=O2x-\[2z=0

令x=G，则y=l，z=Jd.所以平面£DC的一个法向量为3=（百/，、/）.

设EG与平面EDC所成角为6,

♦+♦.2词「

2"讣；+2。3+1+匕

所以直线EG与平面EDC所成角的正弦值为巫

10

20.某公司在市场调查中，发现某产品的单位定价x（单位：万元/吨）对月销售量V（单位：吨）有影响.对不

同定价为和月销售量X-。=1，2,…8）数据作了初步处理，

8S8

XyZ

/=]/=1i=\i=\

0.244390.164820683956

1b

表中z=一.经过分析发现可以用y=a+—来拟合y与X的关系.

xx

（1）求（关于X的回归方程；

（2）若生产1吨产品的成本为1.6万元，那么预计价格定位多少时，该产品的月利润取最大值，求此时的

15

月利润.

附：对于一组数据（回力），（牡，匕），…，（必，匕），其回归直线线£=6+的的斜率和截距的最小二

人Z（例一&）（匕一v）Z电匕—,v

乘估计分别为：——二一=与--------＜a=v-p^-

士⑷-0）2%：一〃."

/=1»=1

【详解】

(I)令z=Lpiijy=a+b-z,

x

8―

Zza-8zy

3956—8・9,43

则b=i=\___________5,

2

»：—8Z2820-8-9

i=\

a=y-b-z=-2，

A5

y=-2H—,

X

（泊（、一1.6）=8.2一℃

(2)月利润T=y-(x_1.6)

<8.2-2^2x--=0.2

o

（当且仅当2x=—即X=2时取等号）

x

八5

答：（1）y关于尢的回归方程为了=-2+一；

X

（2）预计价格定位2万元/吨时，该产品的月利润取最大值，最大值为0.2万元.

=1（a＞。＞0）的离心率为;，且过点A（2,3）,右顶点为B.

21.己知椭圆C：/十瓦

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点A作两条直线分别交椭圆于点M，N满足直线AM，AN的斜率之和为-3,求点5到直线MN

距离的最大值.

【详解】

16

222

b+c=aa=4

1

（1）由题，,解得:<b=273,

a2

c=2

49

部十7=1

,2〜2

所以C的标准方程为三+汇=1

1612

（2）若直线M