第六章 平行四边形 培优卷 2023-2024学年北师大版数学八年级下册

2024年北师大版数学八年级下册单元清测试（第六章）培优卷一、选择题（每题3分，共30分）1．如图，在▱ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（）A．2 B．4 C．6 D．82．如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB=3，AD=4，则EF的长是（）A．1 B．2 C．2.5 D．33．如图，点O是▱ABCD对角线的交点，EF过点O分別交AD，BC于点E，F.下列结论成立的是（）A．OE=OF B．AE=BF C．∠DOC=∠OCD D．∠CFE=∠DEF4．如图，在四边形ABCD中，AB//CD，若添加一个条件，使四边形A．AD=BC B．∠ABD=∠BDC C．AB=AD D．∠A=∠C5．如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB＝CD B．AB∥CD C．∠A＝∠C D．BC＝AD6．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（）A．四边形ABCD周长不变 B．AD=CDC．四边形ABCD面积不变 D．AD=BC7．如图，在△ABC中，AB=AC=5，D是BC上的点，DE//AB交AC于点E，DF//AC交AB于点A．5 B．10 C．15 D．208．如图，E是▱ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F．添加以下条件，不能判定四边形BDEC为平行四边形的是（）A．∠ABD=∠DCE B．DF=CF C．∠AEB=∠BCD D．∠AEC=∠CBD9．▱ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）A．BE=DF B．AE=CF C．AF//CE D．∠BAE=∠DCF10．如图，在△ABC中，AC=22，∠ACB=120°，D是边AB的中点，E是边BC上一点，若DE平分△ABC的周长，则DEA．52 B．2+12 C．2二、填空题（每题3分，共18分）11．如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，∠B的平分线BE交AD于点E，则DE的长为．12．如图，在▱ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F．若AE=10，则13．如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点A落在长边CD上的点A处，并得到折痕DE，小宇测得长边CD=8，则四边形A'EBC的周长为14．如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H.添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是.（只需写一种情况）15．如图所示，已知∠MON=60°，正五边形ABCDE的顶点A、B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则∠AEO=度.16．如图，将▱ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B=80°，∠ACE=2∠ECD，FC=a，FD=b，则▱ABCD的周长为．三、解答题（共8题，共72分）17．如图，在▱ABCD中，E，F分别是边BC和AD上的点，连接AE，CF，且AE//（1）∠1=∠2；（2）△ABE≌△CDF．18．如图，B是AC的中点，点D，E在AC同侧，AE=BD，BE＝CD．（1）求证：△ABE≌△BCD．（2）连接DE，求证：四边形BCDE是平行四边形．19．已知：如图，点O为▱ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F．求证：DE=BF．20．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF．（1）求证：BE∥DF；（2）过点O作OM⊥BD，垂足为O，交DF于点M，若△BFM的周长为12，求四边形BEDF的周长．21．如图，△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，延长DE到点F，使得EF=DE，连接CF．求证：（1）△CEF≌△AED；（2）四边形DBCF是平行四边形．22．如图所示，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，点G、F分别为BH、CH的中点．（1）求证：四边形DEFG为平行四边形（2）DG⊥BH，BD=3，EF=2，求线段BG的长度．23．如图（1）如图1，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交CD边于点E，已知AB=5cm，AD=3cm，则EC等于cm。（2）如图2，在▱ABCD中，若AE，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，点E在DC边上，且AB=4，则▱ABCD的周长为。（3）如图3，已知四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，若AF，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线。求证：DF=EC（4）在（3）的条件下，如果AD=3，AB=5，则EF的长为。24．（1）用数学的眼光观察．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点，求证：∠PMN=∠PNM．（2）用数学的思维思考．如图，延长图中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F，求证：∠AEM=∠F．（3）用数学的语言表达．如图，在△ABC中，AC<AB，点D在AC上，AD=BC，M是AB的中点，N是DC的中点，连接MN并延长，与BC的延长线交于点G，连接GD，若∠ANM=60°，试判断△CGD的形状，并进行证明．

答案解析部分1．答案:B解析：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，∴∠ABM＝∠CMB，∵BM是∠ABC的平分线，∴∠ABM＝∠CBM，∴∠CBM＝∠CMB，∴MC＝BC＝8，∴DM＝CD﹣MC＝12﹣8＝4.故答案为：B.分析：根据平行四边形的性质可得CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，由平行线的性质可得∠ABM＝∠CMB，根据角平分线的概念可得∠ABM＝∠CBM，则∠CBM＝∠CMB，推出MC＝BC＝8，然后根据DM＝CD-MC进行计算.2．答案:B解析：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∴∠DFC＝∠FCB，又∵CF平分∠BCD，∴∠DCF＝∠FCB，∴∠DFC＝∠DCF，∴DF＝DC＝3，同理可证：AE＝AB＝3，∵AD＝4，∴AF＝4−3＝1，DE＝4−3＝1，∴EF＝4−1−1＝2.故答案为：B.分析：由平行四边形的性质，可得AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，利用平行线的性质可得∠DFC＝∠FCB，由角平分线的定义可得∠DCF＝∠FCB，即得∠DFC＝∠DCF，与等角对等边可得DF＝DC＝3，同理可得AE＝AB＝3，从而求出AF、DE的长，利用EF=AD-AF-DE即得结论.3．答案:A解析：解：∵点O是▱ABCD对角线的交点，∴OA=OC，∠EAO=∠CFO，∵∠AOE=∠COF，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴OE=OF，A选项成立；∴AE=CF，但不一定得出BF=CF，则AE不一定等于BF，B选项不一定成立；若∠DOC=∠OCD，则DO=DC，由题意无法明确推出此结论，C选项不一定成立；由△AEO≌△CFO得∠CFE=∠AEF，但不一定得出∠AEF=∠DEF，则∠CFE不一定等于∠DEF，D选项不一定成立；故答案为：A.分析：利用平行四边形的性质可证得OA=OC，∠EAO=∠CFO，利用ASA可证得△AEO≌△CFO，利用全等三角形的对应边相等，可对A作出判断；利用全等三角形的性质和和平行四边形的性质，可证得AE=CF，可对B作出判断；同时可对C、D作出判断.4．答案:D解析：解：

A、添加AD=BC无法使四边形ABCD为平形四边形，A不符合题意；

B、添加∠ABD=∠BDC无法使四边形ABCD为平形四边形，B不符合题意；

C、添加AB=AD无法使四边形ABCD为平形四边形，C不符合题意；

D、∵AB//CD，

∴∠C＋∠ABC=180°，

∵∠A=∠C，

∴∠A+∠ABC=180°，

∴AD∥BC，

∴四边形ABCD为平行四边形，D符合题意；

故答案为：D5．答案:A解析：解：A、由AB=CD，BC//AD不能判定四边形ABCD是平行四边形，符合题意；

B、∵AB//CD，BC//AD，

∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；

C、∵BC//AD，

∴∠A+∠B=180°，

∵∠A=∠C，

∴∠B+∠C=180°，

∴AB//CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；

D、∵BC=AD，BC//AD，

∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；

故答案为：A.

分析：利用平行四边形的判定方法对每个选项一一判断即可。6．答案:D解析：解：由题意可知，∵AB//CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC；故D符合题意；随着一张纸条在转动过程中，AD不一定等于CD，四边形ABCD周长、面积都会改变；故A、B、C不符合题意；故答案为：D

分析：由题意可知，AB//CD，AD//BC，四边形7．答案:B解析：解：∵DE//AB，∴四边形AFDE是平行四边形，∠B=∠EDC，∠FDB=∠C∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠FDB，∠C=∠EDF，∴BF=FD，DE=EC，∴▱AEDF的周长=AB+AC=5+5=10.故答案为：B.分析：由题意可得四边形AFDE为平行四边形，根据平行线的性质可得∠B=∠EDC，∠FDB=∠C，根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，据此可推出BF=FD，DE=EC，进而不难求出四边形AFDE的周长.8．答案:C解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴DE//BC，∵∠ABD=∠DCE，∴∠DCE=∠CDB，∴BD//∴BDEC为平行四边形，故A符合题意；∵DE//∴∠DEF=∠CBF，在ΔDEF与ΔCBF中，∠DEF=∠CBF∠DFE=∠CFB∴ΔDEF≅ΔCBF(AAS)，∴EF=BF，∵DF=CF，∴四边形BDEC为平行四边形，故B符合题意；∵AE//∴∠AEB=∠CBF，∵∠AEB=∠BCD，∴∠CBF=∠BCD，∴CF=BF，同理，EF=DF，∴不能判定四边形BDEC为平行四边形；故C不符合题意；∵AE//∴∠DEC+∠BCE=∠EDB+∠DBC=180°，∵∠AEC=∠CBD，∴∠BDE=∠BCE，∴四边形BDEC为平行四边形，故D符合题意，故答案为：C．

分析：A、利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判断.

B、利用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判断.

C、无法判断四边形是平行四边形.

D、利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形进行判断.9．答案:B解析：A、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵BE=DF，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；B、如图所示，AE=CF，不能得到四边形AECF是平行四边形，故符合题意；C、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵AF//CE，∴∠FAO=∠ECO，又∵∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE，∴AF=CE，∴AF//CE，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；D、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，∴∠ABE=∠CDF，又∵∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEO=∠CFO，∴AE//CF，∴AE//CF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意，故答案为：B.分析：根据平行四边形的性质和判定，对各选项逐一推理判断即可。10．答案:C解析：解：延长CF至F，使CF=CA，

∵∠BCA=120°，

∴∠ACF=60°，

∴△CFA是等边三角形，

∴AF=AC=22，

∵D是AB的中点，E是BC的一点，DE平分△ABC的周长，

∴AC+CE+AD=BE+BD，AD=BD，

∴AC+CE=BE，

∵AC=CF，

∴CF+CE=BE，

即EF=EB，

∴ED是△ABF的中位线，

∴ED=12FA=2.

故答案为：C.

分析：延长CF至F，使CF=CA，证明△CFA是等边三角形，得出AF=AC，结合DE平分△ABC的周长，推出ED是△ABF的中位线，即可解答.11．答案:2解析：解：∵EB为∠ABC的角平分线，

∴∠ABE=∠CBE，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC=5，

∴∠AEB=∠CBE，

∴∠ABE=∠AEB，

∴AB=AE=3，

∴DE=2，

故答案为：2

分析：先根据角平分线的性质即可得到∠ABE=∠CBE，再运用平行四边形的性质即可得到AD∥BC，AD=BC=5，进而运用平行线的性质结合题意即可得到∠ABE=∠AEB，再运用等腰三角形的性质即可求解。12．答案:10解析：解：∵O为BD的中点，EF过点O，

∴四边形ADFE与四边形CBEF关于直线EF中心对称，

∴CF=AE=10.

故答案为：10.

分析：根据平行四边形的对称性可得：四边形ADFE与四边形CBEF关于直线EF中心对称，则CF=AE，据此解答.13．答案:16解析：解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB//CD，

∴∠AED=∠A'ED，

由折叠得∠ADE=∠A'DE，AD=A'D，AE=A'E，

∴∠ADE=∠AED，

∴AD=AE，

∴AD=AE=A'D=A'E

∵AB−AE=BE，CD−A'D=A'C，AB=CD

∴A'C=BE

又∵A'C//BE

∴四边形A'EBC是平行四边形

∵BE+A'E=BE+AE=AB=CD=8

∴四边形A'EBC的周长=2CD=16

故答案为：16.

分析：先证∠ADE=∠AED，可得AD=AE=A'D=A'E；再证四边形A'EBC是平行四边形，且BE+A'E=BE+AE=AB=CD=8可得四边形A'EBC的周长=14．答案:AE=CF（答案不唯一）解析：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∴∠F=∠E，所以补充：AE=CF∴△AEG≌△CFH，故答案为：AE=CF（答案不唯一）分析：由平行四边形的性质可得AB∥CD，∠A=∠C，利用平行线的性质可得∠F=∠E，要使△AEG≌△CFH，只需添加一组对应边相等即可（答案不唯一）.15．答案:48解析：解：∵四边形ABCDE是正五边形，∠EAO是一个外角∴∠EAO=在△AEO中：∠AEO=180°−∠EAO−∠MON=180°−72°−60°=48°故答案为：48.分析：根据外角和定理可得∠EAO=360°516．答案:4a+2b解析：解：由折叠的性质可得：∠ACE=∠ACB，∵∠ACE=2∠ECD，∴∠ACE=∠ACB=2∠ECD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠FAC=∠FCA，∠B+∠BCD=180°，即∠B+∠ACE+∠ACB+∠ECD=180°，∴∠ECD=20°，∠ACE=∠ACB=40°=∠FAC，∠CFD=∠FAC+∠FCA=80°=∠B=∠D，∴AF=CF=CD=a，即AD=a+b，则▱ABCD的周长为2AD+2CD=4a+2b，故答案为：4a+2b．分析：先求出∠ACE=∠ACB=2∠ECD，再求出AD=a+b，最后求周长即可。17．答案:（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF//又∵AE//∴四边形AECF是平行四边形．∴∠1=∠2(平行四边形对角相等（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∵四边形AECF是平行四边形，∴AE=FC，AF=CE，∴BE=FD，在△ABE和△CDF中，∵BE=FD∴△ABE≌△CDF(SSS)．解析：（1）首先证明四边形AECF是平行四边形，再根据平行四边形的性质，得到对角∠1=∠2；

（2）根据平行四边形的性质，可以证明△ABE和△CDF的三边对应相等，从而得出两三角形全等。18．答案:（1）解：∵B是AC的中点，∴AB=BC．在△ABE和△BCD中，AE=BD∴△ABE≌△BCD（SSS）．（2）解：如图所示，∵△ABE≌△BCD，∴∠ABE＝∠BCD，∴BE//又∵BE＝CD，∴四边形BCDE是平行四边形．解析：（1）根据B是线段AC的中点，可得到AB＝BC，然后根据全等三角形的判定定理SSS即可证明所求的结论；

（2）根据全等三角形的性质得到∠ABE＝∠BCD，然后根据平行线的判定定理得到BE∥CD，再根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可解答．19．答案:证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD//∴∠EAO=∠FCO，∠OEA=∠OFC，∵点O为对角线AC的中点，∴AO=CO，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，∴AD−AE=BC−CF，∴DE=BF．解析：根据平行四边形的性质求出AD=BC，AD∥BC，再根据平行线的性质求出∠EAO=∠FCO，∠OEA=∠OFC，最后利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。20．答案:（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE与△CDF中，AB=CD∠BAE=∠DCF∴△ABE≌△CDF（SAS），∴∠AEB＝∠CFD，∴∠BEF＝∠DFE，∴BE∥DF；（2）解：由（1）知，△ABE≌△CDF，BE∥DF，∴BE＝DF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴DO＝BO，∵OM⊥BD，∴DM＝BM，∵△BFM的周长为12，∴BM+MF+BF＝DM+MF+BF＝DF+BF＝12，∴四边形BEDF的周长为24．解析：（1）先根据平行四边形的性质结合平行线的性质得到AB＝DC，∠BAE＝∠DCF，进而根据三角形全等的判定与性质证明△ABE≌△CDF（SAS）即可得到∠AEB＝∠CFD，从而根据平行线的判定即可求解；

（2）由（1）知，△ABE≌△CDF，BE∥DF，进而根据三角形全等的性质即可得到BE＝DF，从而运用平行四边形的判定与性质得到DO＝BO，再结合题意根据BM+MF+BF＝DM+MF+BF＝DF+BF即可求解。21．答案:（1）证明：∵点D、E分别为AB、AC的中点，∴AE=CE，在△CEF与△AED中，

EF=DE∠AED=∠CEF∴△CEF≅△AED(SAS)；（2）证明：由（1）证得△CEF≌△AED，∴∠A=∠FCE，∴BD//CF，

∵点D、E分别为∴DF//∴四边形DBCF是平行四边形．解析：(1)利用中点的定义得到全等条件，判定三角形全等.

(2)根据全等三角形的性质和中位线的性质得到四边形两组对边平行，进而证得平行四边形.22．答案:（1）证明：∵点D、E分别为AB、AC的中点，∴DE//∵点G、F分别为BH、CH的中点．∴GF//∴GF//∴四边形DEFG为平行四边形；（2）解：∵四边形DEFG为平行四边形，∴DG=EF=2，∵DG⊥BH，∴∠DGB=90°，∵BD=3，∴BG=B解析：（1）先根据三角形中位线的性质即可得到DE∥BC，DE=12BC，GF∥BC，GF=23．答案:（1）2（2）12（3）证明：∵在▱ABCD中，CD∥AB，∴∠DFA=∠FAB.又∵AF是∠DAB的平分线∴∠DAF=∠FAB，∴∠DAF=∠DFA，∴AD=DF，同理可得EC=BC.∵AD=BC，

∴DF=EC（4）1解析：解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD=AB=5cm，AB∥CD，

∴∠AED=∠BAE，

∵AE平分∠BAD交CD边于点E，

∴∠BAE=∠DAE，

∴DA=DE=3cm，

∴EC=CD-DE=5-3=2cm，

故答案为：2.

(2)由(1)得DE=AD，同理CE=CB，

∴AD+BC=ED+EC=AB=4，

∴▱ABCD的周长=AB+CD+AD+BC=4+4+4=12