第五章相交线与平行线 平行线的性质及平移例题精析及练习2023-2024学年人教版七年级数学下册

平行线的性质及平移例题精析及练习思维导图重难点分析重点分析：1.平行线的性质：(1)两直线平行，同位角相等.(2)两直线平行，内错角相等.(3)两直线平行，同旁内角互补.2.利用命题的定义来判断语句是否为命题，关键看是否为一个判断句.命题由题设和结论两部分组成，可以写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”后写题设，“那么”后写结论.3.经过推理证实的真命题叫做定理，定理可以作为继续推理的依据.4.证明一个命题是真命题，主要依据已知的定理、公理或相关数学性质；而判断一个命题是假命题，只要举一个反例即可.5.平移的概念：一个图形沿着某个方向运动，在移动过程中，原图形上的每一个点都沿着同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫做图形的平移.6.平移的性质：平移不改变图形的形状和大小.一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等.难点分析：1.注意平行的性质与判定的区别与联系：区别是条件与结论不同，联系是条件与结论互换位置；性质是由平行线得到角的关系，判定是由角的关系得到平行线.2.连接平移前后两个图形的对应点的线段平行(或在同一条直线上)且相等，注意一定要对应点相连，连线的平行是指它们的位置关系，相等是指它们的数量关系.例题精析例1如图，把边长为2的正方形的局部进行图1~图4的变换，拼成图5，则图5的面积是().A.18B.16C.12D.8思路点拨根据平移的基本性质，平移不改变图形的形状和大小，即图形平移后面积不变，则图5的面积可求.解题过程一个正方形的面积为4，而把一个正方形从图1~图4进行变换，面积并没有改变，图5由4个图4构成，故图5的面积为4×4=16.故选B.方法归纳本题考查图形拼接与平移的变换，解决本题的关键是要知道平移不改变图形的形状和大小，即面积没有改变.易错误区图5由4个图4构成，没有多也没有少，本题易误认为图5有残缺.例2某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等”是否是真命题，甲同学认为该命题是真命题，并作图如图1所示，已知AB∥DE，BC∥DF，BC与DE交于点G.(1)根据甲同学的作图及题设，求证：∠(2)乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，并作图如图2所示，题设与甲同学相同，得到∠B≠∠D.根据乙同学的作图，试判断∠B与∠D的数量关系，并说明理由.(3)请你根据以上内容，总结出一个真命题.思路点拨(1)根据平行线的性质得∠B=∠CGE,∠D=∠CGE,那么∠B=∠D.(2)根据平行线的性质得.∠B+∠DGB=180°,∠D解题过程(1)∵AB∥DE,BC∥DF,∴∠B=∠CGE,∠D=∠CGE(两直线平行,同位角相等).∴∠B=∠D(等量代换).(2)∠B+∠D=180°.理由如下:∵AB∥DE,BC∥DF,∴∠B+∠DGB=180°(两直线平行,同旁内角互补),∠D=∠DGB(两直线平行,内错角相等).∴∠B+∠D=180°(等量代换).(3)两边分别平行的两个角相等或互补.方法归纳本题考查了命题的真假、推理论证及平行线的相关知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.易错误区要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.推理证明的过程中需要全面考虑各种情况，才能得出正确结论.例3如图,∠A+∠D=180°,∠1=3∠2,∠2=24°,P是BC上的一点.(1)求∠EFC与∠E的度数.(2)若∠BFP=46°,请判断CE与PF是否平行?并说明理由.思路点拨(1)由.∠A+∠D=180°可得出AB∥CD，根据平行线的性质可得出∠1=∠DFE,再结合∠1=3∠2,∠2=24°,通过角的计算即可得出∠EFC与∠E的度数.(2)由(1)中∠E的度数结合.∠BFP=46°,即可得出∠E≠∠BFP,解题过程(1)∵∠A+∠D=180°,∴AB∥CD.∴∠1=∠DFE.∵∠1=3∠2,∠2=24°,∴∠1=∠DFE=72°.∴∠∴∠(2)不平行.理由如下：∵∠E=48°,∠BFP=46°,∴∠E≠∠BFP.∴CE与PF不平行.方法归纳本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是：(1)得出AB∥CD.(2)熟悉平行线的判定定理.解决该类型题目时，根据相等(或互补)的角证出两直线平行是关键.易错误区判定两条直线平行，需要根据角的关系来判断，不能只凭观察得出结果.例4珠江流域某江段江水流向经过B，C，D三点拐弯后与原来相同,如图,若∠ABC=120°,∠BCD=80°,求∠CDE的度数.思路点拨由已知可得AB∥DE,过点C作CF∥AB,由平行线的性质可得∠BCF+∠ABC=180°,所以能求出∠BCF,继而求出.∠DCF.又由平行线的传递性得CF∥DE,所以∠CDE=解题过程如图,过点C作CF∥AB.∴∠BCF+∠ABC=180°.∵∠ABC=120°,∴∠BCF=60°.又∵∠BCD=80°,∴∠DCF=∠BCD-∠BCF=20°.∵江水流向经过B，C，D三点拐弯后与原来相同，∴AB∥DE.∴CF∥DE.∴∠CDE=∠DCF=20°.方法归纳本题考查的知识点是平行线的性质，关键是过点C先作AB的平行线，由平行线的性质求解.易错误区作辅助线只能作其中一条直线的平行线，然后利用传递性说明三条直线平行，不能出现过点C作CF∥AB∥DE的错误.例5如图1,已知AD∥BC,∠B=∠D.(1)求证:AB∥CD.(2)若∠B=100°,点E,F在线段CD上,且满足AC平分∠BAE,AF平分∠DAE,如图2,求∠FAC的度数.(3)若点E在直线CD上,且满足∠EAC=1n∠BACn1),求∠ACD:∠AED思路点拨(1)依据平行线的性质以及判定，即可得到AB∥CD.(2)依据AC平分∠BAE,AF平分∠DAE,即可得到∠EAC=12∠BAE,∠EAF=12∠DAE,进而得出∠FAC=∠EAC+∠解题过程(1)∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°.又∵∠B=∠D,∴∠D+∠A=180°.∴AB∥CD.2∵AC平分∠BAE,AF平分∠DAE,∴∠∴∠(3)分两种情况：当点E在线段CD上时，如图3.由(1)可得AB∥CD,∴∠ACD=∠BAC,∠AED=∠BAE.又∴∠当点E在DC的延长线上时，如图4.由(1)可得AB∥CD,∴∠ACD=∠BAC,∠AED=∠BAE.又∵∠EAC=1x∠BAC,∴∠ACD:∠AED=n:(n-1方法归纳本题主要考查平行线的性质以及判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.易错误区(3)需要根据点E的位置分类讨论，是本题的难点和易错点，特别注意由于图形不确定，所以还要按要求画出图形，同时也考查几何作图能力.探究提升例探究:(1)如图1,若AB∥CD,则∠B+∠D=∠E,你能说明为什么吗?(2)如图1,反之,若∠B+∠D=∠E,直线AB与CD有什么位置关系?请证明.(3)若将图1中的点E移至如图2所示的位置，此时∠B，∠D，∠E之间有什么关系?请证明.(4)若将图1中的点E移至如图3所示的位置，情况又如何?(5)如图4,若AB∥CD,∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系?(6)如图5,若AB∥CD,又得到什么结论?思路点拨已知AB∥CD，连接AB，CD的折线内折或外折、或改变点E的位置、或增加折线的条数，通过适当地改变其中的一个条件，就能得出新的结论，给我们创造性的思考留下了极大的空间.解题的关键是过点E或点F作AB(或CD)的平行线，把复杂的图形化归为基本图形.解题过程(1)过点E作EF∥AB,如图6,则∠B=∠BEF.∵AB∥CD,∴EF∥CD.∴∠D=∠DEF.∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D.(2)AB∥CD.理由如下:过点E作EF∥AB,如图6,则∠B=∠BEF.∵∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D,∴∠D=∠DEF.∴EF∥CD.∴AB∥CD.(3)∠BED+∠B+∠D=360°.理由如下:若将点E移至如图2所示位置，过点E作EF∥AB，如图7.∵AB∥CD,∴EF∥CD.∴∠D+∠DEF=180°,∠B+∠BEF=180°.∴∠BED+∠B+∠D=360°.(4)如图8,∵AB∥CD,∴∠B=∠BFD.∵∠D+∠E+∠EFD=180°,∠BFD+∠EFD=180°,∴∠D+∠E=∠BFD.∴∠D+∠E=∠B.(5)如图9,过点F作.FH‖AB,，则由(1)的结论可知.又∵∠EFG=∠EFH+∠HFG,∴∠E+∠G=∠B+∠EFG+∠D.(6)由以上可知.∠E方法归纳本题考查了平行线的性质与判定，关键是添加适当的辅助线，把复杂的图形化归为基本图形，使问题得以简化.易错误区为了合理应用平行线的性质定理，过折点作平行线时画射线比较好，但要注意射线的方向，尽量避免添加辅助线后的图形复杂化.专项训练拓展训练A组1.如图,AB∥CD,CB∥DE,若∠B=72°,则∠D的度数为().A.36°B.72°C.108°D.118°2.如图，三角形DEF经过怎样的平移可得三角形ABC().A.先向左平移4个单位，再向下平移2个单位B.先向右平移4个单位，再向下平移2个单位C.先向右平移4个单位，再向上平移2个单位D.先向左平移4个单位，再向上平移2个单位3.【济南】如图,DE∥BC,BE平分∠ABC,若∠1=70°,则∠CBE的度数为().A.20°B.35°C.55°D.70°4.如图,.∠1=83°,∠2=97°,∠3=78°,,则∠4的度数为.5.将一副三角尺按如图所示摆放，边DE∥AB，则∠1=.6.将一张长方形纸片折叠成如图的图形，若∠ABC=26°，则∠∠7.如图，图1为北斗七星的位置图，图2将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，将A,B,C,D,E,F顺次首尾连接,若AF恰好经过点G,且AF∥DE,∠B=∠C+10°,∠D=105°,则∠B-∠CGF=.8.在括号内填写理由.如图,已知∠B+∠BCD=180°,∠B=∠D.求证:∠E=∠DFE.证明:∵∠B+∠BCD=180°(已知),∴∴∠B=∠DCE().又∵∠B=∠D(),∴∠DCE=∠D().∴AD∥BE().∴∠E=∠DFE().9.潜望镜中的两面镜子MN和PQ是互相平行的，如图，光线AB经镜面反射后，∠1=∠2,∠3=∠4,射入的光线AB与射出的光线CD平行吗?为什么?10.如图,已知AE⊥BC,FG⊥BC,∠1=∠2.(1)求证:AE∥FG.(2)求证:AB∥CD.(3)若∠D=∠3+50°,∠CBD=80°,求∠C的度数.B组11.如图，有两条长分别为a，b的铁丝，其中长为a的铁丝恰好围成一个大正方形；AB是大正方形的对角线，把AB分成n条相等的线段，再以每条线段作为小正方形的对角线，长为b的铁丝恰好能围成n个这样的小正方形.若均不考虑接口情况，则a，b的大小关系是().A.a>bB.a<bC.a=bD.a≥b12.【莱芜】如图,AB∥CD,∠BED=61°,∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F,则∠DFB等于().A.149°B.149.5°C.150°D13.下列命题：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③若b∥c，a∥c，则b∥a；④若∠1=40°,∠2的两边与∠1的两边分别平行,则∠2=40°或140°;⑤若b⊥c,a⊥c,则b∥a.其中是真命题的有.(填序号)14.如图,已知.EF‖AD,AD‖BC,CE平分15.如图,∠BAP+∠APD=180°,∠1=∠2..16.如图,已知AB∥CD,点C在点D的右侧,BE平分.∠ABC,,DE平分∠ADC,BE,DE(1)求∠EDC的度数(2)若∠ABC=n°,，求∠BED的度数((3)将线段BC沿DC方向移动，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，若∠ABC=n°,求∠BED的度数(走进重高1.【鞍山】如图,AB∥CD,EF与AB,CD分别交于点G,H,∠CHG的平分线HM交AB于点M,若∠EGB=50°,则∠GMH的度数为().A.50°B.55°C.60°D.65°2.【襄阳】如图,直线BC∥AE,CD⊥AB于点D,若∠BCD=40°,则∠1的度数是().A.60°B.50°C.40°D.30°3.【通辽】如图,∠AOB的一边OA为平面镜,∠AOB=37°45',在OB边上有一点E，从点E射