非齐次线性方程组解的结构省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

§2.4非齐次线性方程组解的结构1/46非齐次线性方程组其中令

2/46则方程组（*）可表为结论：方程组（*）有解可由线性表出

{}≌{}秩{}=秩{}

3/46秩(A)=秩()，这里=[A,b]

定理非齐次线性方程组有解充分必要条件是

秩=秩()

推论当非齐次线性方程组有解时，解无穷多充分必要条件是秩(A)<A列数=未知数个数4/46非齐次方程组（*）：AX=b齐次方程组（**）：AX=0称（**）为（*）导出方程组。性质

(1)设是非齐次线性方程组AX=b任意两个解向量，则是其导出方程AX=0解向量；

5/46

(2)设是非齐次线性方程组AX=b任一个解向量，是其导出方程组AX=0任一个解向量，则是AX=b解向量。

定理设非齐次线性方程组AX=b有没有穷多个解，则其普通解为其中是AX=b一个特解，是导出方程组AX=0一个基础解系，是t个任意常数。6/46例求以下方程组普通解解

7/46考虑方程组8/46∴普通解为▌9/46例已知非齐次方程组两个解，求其普通解。

解因为方程组有两个解，解不唯一，故其系数矩阵A秩小于等于2。又A前两行线性无关，说明A秩大于等于2。由此得秩(A)=2。于是，原方程组导出方程组AX=0基础解系含3-2=1个解。10/46可取作为导出方程组基础解系，取作为原方程组特解，则原方程组普通解为

思索题设AX=0是非齐次线性方程组AX=b导出方程组，问▌（1）AX=0有非零解AX=b有没有穷多解？

（2）AX=b有唯一解AX=0只有零解？11/46小结：1.求线性表出2.判别线性相关性3.求向量组秩与极大无关组

4.求矩阵秩

5.求齐次线性方程组基础解系

6.非齐次线性方程组解结构12/46

例证实：若向量组线性相关，则向量组也线性相关。证实因为可由线性表出，所以秩{}≤秩{}

已知线性相关，故有秩{}<n13/46于是，秩{}<n

由此可得线性相关。

例证实：若向量组线性无关，则向量组当n为奇数时线性无关，当n为偶数时线性相关。▌证实令，则14/46因线性无关，故（1）

讨论此齐次方程组有没有非零解：15/46取其系数矩阵对A次序做初等行变换16/46当n为奇数时，A可化为此时，齐次方程组（1）只有零解，故有

于是，线性无关。17/46当n为偶数时，A可化为

此时，齐次方程组（1）有非零解，故线性相关。▌18/46证实：线性无关。例

设是非齐次线性方程组一个特解，是导出方程组一组基础解系。令证实令

则（1）

19/46由此得因为，故（2）

20/46于是由式(1)得

已知是基础解系，它们线性无关，故再由式(2)得。所以,线性无关。

▌21/46例设

（1）证实：若AY=b有解，则任一组解也是解；（2）证实：AY=b有解无解，其中O是零矩阵。

22/46

证实（1）设AY=b有解，则存在一个，使

。于是，。任取一个解，则。

因

故是解。

（2）设有解，则有23/46因24/46故

由此得设，则

25/46又故26/46由此得

所以，方程组AY=b有解。▌27/46例已知四元齐次线性方程组（I）

与四元齐次线性方程组（II）普通解问方程组（I）与（II）有没有非零公共解？求它们全部公共解。解

（法一）易得方程组（I）普通解为

28/46设是方程组（I）与（II）公共解，则存在数使即因向量组线性相关，故存在不全为零，使上式成立。由此可知，方程组(I)与(II)有非零公解。29/46由上式可得解得其普通解为于是，方程组（I）与（II）全部公共解为30/46（法二）因方程组（II）普通解为代入方程组（I）有由此得所以，方程组（I）与（II）全部公共解为▌31/46例考虑方程组(I)

(II)

在只能处理3位有效数字计算机上讨论它解。讨论首先方程组(I)理论解为

方程组(II)理论解为

32/461.把舍入为1.01，得解为解为33/462.把1.015舍入为1.02，得解为

解为

34/46上述讨论可得，方程组(Ⅰ)系数一个极小改变对解产生很大影响，称这么方程组为病态。而方程组(Ⅱ)则无此现象，对应称之为良态。

例（投入产出问题）假设有三户人家，其中一户有一人是木工，令一户有一人是电工，第三户有一人是水管工。三家约定合作修理他们住房。他们共同制订了一个修理计划：

每户出一人，工作十天，而且每人工作一天应由三家共同支付工资（包含维修自己住房）。详细日程表以下

35/46出于能够了解原因，这三户要求满足以下平衡条件：“每户在十天内总支出=其总收入”36/46若要求每个工人日工资在6~8元间浮动，则我们问题是，怎样确定每个工人日工资数额，以使上述修理计划得以实现。

解设分别表示木工、电工、水管工日工资，则平衡条件能够表示为整理并写成矩阵形式，得

37/46所以，是齐次线性方程组解。不难求出上述方程组普通解为

38/46这里，k是任意常数。依据事先要求工资浮动范围，可取

k=0.2。由此得木工、电工、水管工日工资分别为6.2元，6.4元，7.2元。▌39/46这个例子有一个显著特征：我们把这三个工人看成一个经济体系中三个主体（称为企业），他们在取得投入（工资）前提下，都含有产出（工作）能力。而且，每个人产出量（天数）是确定，但产出价格（日工资）不确定。我们需要确定每个人产出价格，以使在固定时间周期（天）内，每个人总产出等于其所取得总收入。显然，这三个工人在这天就组成了一个自给自足式经济系统。40/46下面考虑普通情况。假设有一个经济系统由k个企业组成，次序给这些企业标号为第1，第2，…，第k个企业。在一个固定时间周期内，每个企业都能产出或提供可被整个系统完全利用某种商品或服务（产出量是确定）。一个主要问题是怎样确定这k个企业产出价格，以使每个企业总产出等于其总收入。这么价格结构反应出该经济系统处于一个自我平衡状态。41/46在固定时间周期内，令

第i个企业关于其总产出报价

第j个企业被第i个企业购置那部分产出在其总产出中比值，依据上述定义，得

42/46称P为价格向量，A为交易矩阵。则该经济系统平衡状态可公式化为

或上式为一个关于向量P齐次线性方程组。它有非零解

令43/46因为交易矩阵A每列元素和均为1，故可知所以，方程组