1.4-直角三角形的射影定理市公开课一等奖省赛课微课金奖课件

1/20[读教材·填关键点]1．射影相关概念

(1)从一点向一直线所引垂线垂足，叫做这个点在这条直线上

．

(2)线段两个端点在这条直线上正射影间线段，叫做这条线段在直线上

．

(3)

正射影简称为射影．正射影正射影点和线段2/202．射影定理直角三角形斜边上

百分比中项；两直角边分别是

与

百分比中项．两直角边在斜边上射影它们在斜边上射影斜边3/20[小问题·大思维]1．线段正射影还是线段吗？提醒：不一定．当该线段所在直线与已知直线垂直时，线段正射影为一个点．

2．怎样用勾股定理证实射影定理？提醒：如图，在Rt△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2，∴(AD＋DB)2＝AC2＋BC2，∴AD2＋2·AD·DB＋DB2＝AC2＋BC2，即2AD·DB＝AC2－AD2＋BC2－DB2.4/20∵AC2－AD2＝CD2，BC2－DB2＝CD2，∴2AD·DB＝2CD2，即CD2＝AD·DB.在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD·DB＝AD(AD＋DB)＝AD·AB，即AC2＝AD·AB.在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝AD·DB＋BD2＝BD(AD＋DB)＝BD·AB，即BC2＝BD·AB.5/20[研一题]

[例1]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上高，已知BD＝4，AB＝29，试求BC，AC和CD长度．分析：本题考查射影定理与勾股定理应用．解答本题可由已知条件先求出AD，然后利用射影定理求BC，AC和CD长度．6/207/20[悟一法]利用射影定理时，要注意其成立条件，要结合图形去记忆定理，当所给条件中具备定理条件时，可直接利用定理，不具备时可经过作垂线使之满足定理条件，再利用定理．8/20[通一类]9/2010/20[研一题]

[例2]如图所表示，CD垂直平分AB，点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、G分别为垂足．求证：AF·AC＝BG·BE.分析：本题考查射影定理应用，以及利用分割法分析处理问题能力，解答本题需要将原图形分割成两个直角三角形，然后分别利用射影定理求证．11/2012/20[悟一法]将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中利用射影定理，实现了沟通两个百分比式目标，在求解这类问题时，一定要注意对图形进行剖析．13/20[通一类]2．如图，AD、BE是△ABC高，DF⊥AB于F，交BE于G，FD延长线交AC延长线于H，求证：DF2＝FG·FH.14/20证实：∵BE⊥AC，∴∠ABE＋∠BAE＝90°.同理，∠H＋∠HAF＝90°∴∠ABE＝∠H.又∠BFG＝∠HFA，∴△BFG∽△HFA.∴BF∶HF＝FG∶AF.∴BF·AF＝FG·FH.Rt△ADB中，DF2＝BF·AF，∴DF2＝FG·FH.15/20射影定理常与勾股定理及三角形相同等问题结合考查.年中山模拟将射影定理与勾股定理相结合，考查其在几何相关量计算中应用，是高考模拟命题一个考向．16/20[考题印证](·中山模拟)如图，在△ABC中，D、F分别在AC、BC上，且AB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1.求AC长．

[命题立意]本题主要考查射影定理和勾股定理综合应用．17/20解：在△ABC中，设AC为x，∵AB⊥AC，AF⊥BC又FC＝1，依据射影定理，