2024年雅礼中学高三数学5月高考模拟试卷附答案解析

年雅礼中学高三数学5月高考模拟试卷2024.05一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．某中学的高中部共有男生1200人，其中高一年级有男生300人，高二年级有男生400人．现按分层抽样抽出36名男生去参加体能测试，则高三年级被抽到的男生人数为（

）A．9 B．12 C．15 D．182．已知集合，则（

）A． B． C． D．3．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（）A．6寸 B．4寸 C．3寸 D．2寸4．已知椭圆和抛物线相交于、两点，直线过抛物线的焦点，且，椭圆的离心率为．则抛物线和椭圆的标准方程分别为（

）．A．； B．；C．； D．；5．《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深菨的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形，其中为正八边形的中心，则（

）

A． B．1 C． D．6．人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（

）A． B． C． D．7．加斯帕尔·蒙日是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图）．已知椭圆：，是直线：上一点，过作的两条切线，切点分别为、，连接（是坐标原点），当为直角时，直线的斜率（

）

A． B． C． D．8．已知，，，则（

）A． B．C． D．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．设，为两条不重合的直线，为一个平面，则下列说法正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则10．已知，下列判断正确的是（

）A．若，且，则B．时，直线为图象的一条对称轴C．时，将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称D．若在上恰有9个零点，则的取值范围为11．若实数满足，则下列选项正确的是（）A．且 B．的最小值为9C．的最小值为 D．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知复数，其中为虚数单位，则．13．数列满足，则.14．设为双曲线的一个实轴顶点，为的渐近线上的两点，满足，，则的渐近线方程是．四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．为了了解高中生运动达标情况和性别之间的关系，某调查机构随机调查了100名高中生的情况，统计他们在暑假期间每天参加体育运动的时间，并把每天参加体育运动时间超过30分钟的记为“运动达标”，时间不超过30分钟的记为“运动欠佳”，已知运动达标与运动欠佳的人数比为3∶2，运动达标的女生与男生的人数比为2∶1，运动欠佳的男生有5人.(1)根据上述数据，完成下面2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为学生体育运动时间达标与性别因素有关系；性别运动达标情况合计运动达标运动欠佳男生女生合计(2)现从“运动达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中任选2.人进行体能测试，求选中的2人中恰有一人是女生的概率.参考公式，.0.10.050.012.7063.8416.63516．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)当时，，求a的取值范围．17．如图，已知在正三棱柱中，，且点分别为棱的中点.

(1)过点作三棱柱截面交于点，求线段长度；(2)求平面与平面的夹角的余弦值.18．由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比．已知椭圆：与椭圆：相似．(1)求椭圆的离心率；(2)若椭圆与椭圆的相似比为，设为上异于其左、右顶点，的一点．①当时，过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值；②当时，若直线与交于，两点，直线与交于，两点，求的值．19．设n次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如：由可得切比雪夫多项式，由可得切比雪夫多项式.(1)若切比雪夫多项式，求实数a，b，c，d的值；(2)对于正整数时，是否有成立？(3)已知函数在区间上有3个不同的零点，分别记为，证明：.1．C【分析】由题意按分层抽样的方法用36乘以高三年级的男生数占总男生数的比例即可求解.【详解】高三年级被抽到的男生人数为.故选：C.2．B【分析】解一元二次不等式化简集合M，再根据交集运算求解即可.【详解】因为，，所以.故选：B3．C【分析】由题意得到盆中水面的半径，利用圆台的体积公式求出水的体积，用水的体积除以盆的上底面面积即可得到答案.【详解】如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸，因为积水深9寸，所以水面半径为寸，则盆中水的体积为立方寸，所以平地降雨量等于寸.故选：C.4．B【详解】由椭圆与抛物线的对称性知，轴，且，故根据抛物线的定义可知，所以抛物线的标准方程为．所以椭圆过点，又因为椭圆离心率为，因此，解得，则椭圆的标准方程为．故选：B．5．D【分析】根据给定条件，利用正八边形的结构特征，结合数量积的定义计算即得.【详解】在正八边形中，连接，则，而，即，于是，在等腰梯形中，，所以.故选：D

6．C【分析】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果.【详解】记“视频是AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B，则，由贝叶斯公式得：，故选：C．7．D【分析】利用特殊的长方形（即边长与椭圆的轴平行）求得蒙日圆方程，进而可求得直线：为圆的切线，由，即可得出结果.【详解】由椭圆：可知：，当如图长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为和，其对角线长为，因此蒙日圆半径为4，圆方程为，当为直角时，可知点当在圆，因为到直线的距离为，所以直线：为圆的切线，因为直线，，所以.故选：D.

8．A【分析】由条件得到，，从而得到，，即可得出，构造函数，利用函数的单调性，即可判断出，从而得出结果.【详解】由，得到，又，所以，所以，，又，所以，又，得到，令，则，所以，得到，令，则在区间上恒成立，所以在区间上单调递减，又，当时，，得到在区间上恒成立，所以在区间上单调递减，又，所以，得到，故选：A.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于判断的大小，通过构造函数，利用导数与函数的单调性间的关系，得函数的单调性，即可求出结果.9．BD【分析】根据空间中线面之间的位置关系，判断各选项即可.【详解】对于A，直线可能在平面内，可能与平面相交，也可能平面平行，故A错误.对于B，设直线为平面内的任意一条直线，因为，，所以，又，所以，即b与内任意直线垂直，所以，故B正确.对于C，若，，则直线与直线可能平行，也可能异面，故C错误.对于D，过直线作平面，使得平面与平面相交，设，因为，，，所以，又，，所以，则，故D正确.故选:BD10．BD【分析】利用二倍角公式化简，利用余弦函数的图象和性质依次判断选项即可.【详解】，对于，根据条件，可得，故A错误；对于，当时，，所以直线为的一条对称轴，故B正确；对于，当时，，将向左平移个单位长度后可得，为非奇非偶函数，故C错误；对于D，由题意，则，因为在上恰有9个零，所以，解得，故D正确.故选：BD.11．ABD【分析】对于AD，利用指数函数的性质即可判断；对于BC，利用指数的运算法则与基本不等式的性质即可判断.【详解】对于A，由，可得，所以且，即，故A正确；对于B，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9，故B正确；对于C，因为，可得，即，所以，当且仅当，即，即时，等号成立，所以的最大值为，故C错误；对于D，因为，则，所以，故D正确.故选：ABD.【点睛】易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．12．【分析】根据题意，求得，结合复数模的计算公式，即可求解.【详解】由复数，可得，则，所以.故答案为：.13．【分析】当时求出，当时，作差即可得解.【详解】因为，当时，当时，所以，所以，当时不成立，所以.故答案为：14．【分析】由角平分线定理，结合余弦定理，求得，再求的正切值，进而即可求得渐近线方程.【详解】根据题意，作图如下：

依题意，为的角平分线，且，设，由角平分线定理可得：，则；在中，由余弦定理；在中，由余弦定理可得，，即，解得.故，，所以的渐近线方程是．故答案为：.【点睛】方法点睛：求双曲线的渐近线方程，常见有三种方法：①直接求出，从而得解；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，从而得解；③求得其中一个渐近线的倾斜角（或斜率），从而得解.15．(1)列联表见解析，能(2)【分析】（1）由已知数据完成列联表，计算，与临界值比较得结论；（2）由分层抽样确定男女生人数，利用组合数公式和古典概型求解.【详解】（1）100名高中生，运动达标与运动欠佳的人数比为3∶2，则运动达标人数为，运动达标的女生与男生的人数比为2∶1，则运动达标的女生有40人，运动达标的男生有20人，列联表为性别运动达标情况合计运动达标运动欠佳男生20525女生403575合计6040100零假设为：性别与锻炼情况独立，即学生体育运动时间达标与性别因素无关，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即学生体育运动时间达标与性别因素有关系，此推断犯错误的概率不超过0.05.（2）因为“运动达标”的男生､女生分别有20人和40人，按分层随机抽样的方法从中抽取6人，则男生､女生分别抽到2人和4人，则选中的2人中恰有一人是女生的概率为.16．(1)(2)【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；（2）由题意，将问题转化为（）恒成立，利用导数讨论函数的单调性，即可求解.【详解】（1）由于，则切点坐标为，因为，所以切线斜率为，故切线方程为，即．（2）当时，等价于，令，，恒成立，则恒成立，，当时，，函数在上单调递减，，不符合题意；当时，由，得，时，，函数单调递减，，不符合题意；当时，，因为，所以，则，所以函数在上单调递增，，符合题意．综上所述，．17．(1)(2)【分析】（1）将平面延展得到点，再利用相似三角形求解即可.（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量利用夹角公式求解即可.【详解】（1）由正三棱柱中，，又因为点分别为棱的中点，可得，如图所示，延长交的延长线于点，连接交于点，则四边形为所求截面，过点作的平行线交于，所以因此，所以.

（2）以点为原点，以所在的直线分别为轴，

以过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为，可得，则，设平面的法向量为，则取，则，所以，取的中点，连接.因为△为等边三角形，可得，又因为平面，且平面，所以，因为，且平面，所以平面，又由，可得，所以平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.18．(1)(2)①证明见解析；②【分析】（1）首先得到、的长轴长、短轴长、焦距、依题意可得，从而得到，再由离心率公式计算可得；（2）①设，则直线的方程为，进而与椭圆联立方程，并结合判别式得，同理得到，进而得，再根据即可求得答案；②由题知椭圆的标准方程为，进而结合点在椭圆上得，故设直线的斜率为，则直线的斜率为，进而得其对应的方程，再与椭圆联立方程并结合韦达定理，弦长公式得、，进而得．【详解】（1）对于椭圆：，则长轴长为，短轴长为，焦距为，椭圆：的长轴长为，短轴长为，焦距为，依题意可得，所以，则椭圆的离心率.（2）①由相似比可知，，解得，所以椭圆：，设，则直线的方程为，即，记，则的方程为，将其代入椭圆的方程，消去，得，因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以，即，将代入上式，整理得，同理可得，所以为关于的方程的两根，所以．又点在椭圆上，所以，所以，为定值．②由相似比可知，，解得，所以椭圆：，其左、右顶点分别为，，恰好为椭圆的左、右焦点，设，易知直线、的斜率均存在且不为，所以，因为在椭圆上，所以，即，所以．设直线的斜率为，则直线的斜率为，所以直线的方程为．由，得，设，，则，，所以，同理可得，所以．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为、；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题