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年雅礼中学高三数学5月高考模拟试卷2024.05一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.某中学的高中部共有男生1200人,其中高一年级有男生300人,高二年级有男生400人.现按分层抽样抽出36名男生去参加体能测试,则高三年级被抽到的男生人数为(

)A.9 B.12 C.15 D.182.已知集合,则(

)A. B. C. D.3.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水,天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸,若盆中积水深九寸,则平地降雨量是(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)()A.6寸 B.4寸 C.3寸 D.2寸4.已知椭圆和抛物线相交于、两点,直线过抛物线的焦点,且,椭圆的离心率为.则抛物线和椭圆的标准方程分别为(

).A.; B.;C.; D.;5.《易经》是中华民族智慧的结晶,易有太极,太极生两仪,两仪生四象,四象生八卦,易经包含了深菨的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形,其中为正八边形的中心,则(

A. B.1 C. D.6.人工智能领域让贝叶斯公式:站在了世界中心位置,AI换脸是一项深度伪造技术,某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频,“AI”视频占有率为0.001.某团队决定用AI对抗AI,研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.98,即在该视频是伪造的情况下,它有的可能鉴定为“AI”;它的误报率是0.04,即在该视频是真实的情况下,它有的可能鉴定为“AI”.已知某个视频被鉴定为“AI”,则该视频是“AI”合成的可能性为(

)A. B. C. D.7.加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家,他在研究时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心,这个圆被称为“蒙日圆”(如图).已知椭圆:,是直线:上一点,过作的两条切线,切点分别为、,连接(是坐标原点),当为直角时,直线的斜率(

A. B. C. D.8.已知,,,则(

)A. B.C. D.二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.设,为两条不重合的直线,为一个平面,则下列说法正确的是()A.若,,则 B.若,,则C.若,,则 D.若,,则10.已知,下列判断正确的是(

)A.若,且,则B.时,直线为图象的一条对称轴C.时,将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称D.若在上恰有9个零点,则的取值范围为11.若实数满足,则下列选项正确的是()A.且 B.的最小值为9C.的最小值为 D.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知复数,其中为虚数单位,则.13.数列满足,则.14.设为双曲线的一个实轴顶点,为的渐近线上的两点,满足,,则的渐近线方程是.四、解答题:本题共5小题,共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.为了了解高中生运动达标情况和性别之间的关系,某调查机构随机调查了100名高中生的情况,统计他们在暑假期间每天参加体育运动的时间,并把每天参加体育运动时间超过30分钟的记为“运动达标”,时间不超过30分钟的记为“运动欠佳”,已知运动达标与运动欠佳的人数比为3∶2,运动达标的女生与男生的人数比为2∶1,运动欠佳的男生有5人.(1)根据上述数据,完成下面2×2列联表,并依据小概率值的独立性检验,能否认为学生体育运动时间达标与性别因素有关系;性别运动达标情况合计运动达标运动欠佳男生女生合计(2)现从“运动达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取6人,再从这6人中任选2.人进行体能测试,求选中的2人中恰有一人是女生的概率.参考公式,.0.10.050.012.7063.8416.63516.已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)当时,,求a的取值范围.17.如图,已知在正三棱柱中,,且点分别为棱的中点.

(1)过点作三棱柱截面交于点,求线段长度;(2)求平面与平面的夹角的余弦值.18.由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果椭圆的“特征三角形”为,椭圆的“特征三角形”为,若,则称椭圆与“相似”,并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆:与椭圆:相似.(1)求椭圆的离心率;(2)若椭圆与椭圆的相似比为,设为上异于其左、右顶点,的一点.①当时,过分别作椭圆的两条切线,,切点分别为,,设直线,的斜率为,,证明:为定值;②当时,若直线与交于,两点,直线与交于,两点,求的值.19.设n次多项式,若其满足,则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如:由可得切比雪夫多项式,由可得切比雪夫多项式.(1)若切比雪夫多项式,求实数a,b,c,d的值;(2)对于正整数时,是否有成立?(3)已知函数在区间上有3个不同的零点,分别记为,证明:.1.C【分析】由题意按分层抽样的方法用36乘以高三年级的男生数占总男生数的比例即可求解.【详解】高三年级被抽到的男生人数为.故选:C.2.B【分析】解一元二次不等式化简集合M,再根据交集运算求解即可.【详解】因为,,所以.故选:B3.C【分析】由题意得到盆中水面的半径,利用圆台的体积公式求出水的体积,用水的体积除以盆的上底面面积即可得到答案.【详解】如图,由题意可知,天池盆上底面半径为14寸,下底面半径为6寸,高为18寸,因为积水深9寸,所以水面半径为寸,则盆中水的体积为立方寸,所以平地降雨量等于寸.故选:C.4.B【详解】由椭圆与抛物线的对称性知,轴,且,故根据抛物线的定义可知,所以抛物线的标准方程为.所以椭圆过点,又因为椭圆离心率为,因此,解得,则椭圆的标准方程为.故选:B.5.D【分析】根据给定条件,利用正八边形的结构特征,结合数量积的定义计算即得.【详解】在正八边形中,连接,则,而,即,于是,在等腰梯形中,,所以.故选:D

6.C【分析】根据题意,由贝叶斯公式代入计算,即可得到结果.【详解】记“视频是AI合成”为事件,记“鉴定结果为AI”为事件B,则,由贝叶斯公式得:,故选:C.7.D【分析】利用特殊的长方形(即边长与椭圆的轴平行)求得蒙日圆方程,进而可求得直线:为圆的切线,由,即可得出结果.【详解】由椭圆:可知:,当如图长方形的边与椭圆的轴平行时,长方形的边长分别为和,其对角线长为,因此蒙日圆半径为4,圆方程为,当为直角时,可知点当在圆,因为到直线的距离为,所以直线:为圆的切线,因为直线,,所以.故选:D.

8.A【分析】由条件得到,,从而得到,,即可得出,构造函数,利用函数的单调性,即可判断出,从而得出结果.【详解】由,得到,又,所以,所以,,又,所以,又,得到,令,则,所以,得到,令,则在区间上恒成立,所以在区间上单调递减,又,当时,,得到在区间上恒成立,所以在区间上单调递减,又,所以,得到,故选:A.【点睛】关键点点晴:本题的关键在于判断的大小,通过构造函数,利用导数与函数的单调性间的关系,得函数的单调性,即可求出结果.9.BD【分析】根据空间中线面之间的位置关系,判断各选项即可.【详解】对于A,直线可能在平面内,可能与平面相交,也可能平面平行,故A错误.对于B,设直线为平面内的任意一条直线,因为,,所以,又,所以,即b与内任意直线垂直,所以,故B正确.对于C,若,,则直线与直线可能平行,也可能异面,故C错误.对于D,过直线作平面,使得平面与平面相交,设,因为,,,所以,又,,所以,则,故D正确.故选:BD10.BD【分析】利用二倍角公式化简,利用余弦函数的图象和性质依次判断选项即可.【详解】,对于,根据条件,可得,故A错误;对于,当时,,所以直线为的一条对称轴,故B正确;对于,当时,,将向左平移个单位长度后可得,为非奇非偶函数,故C错误;对于D,由题意,则,因为在上恰有9个零,所以,解得,故D正确.故选:BD.11.ABD【分析】对于AD,利用指数函数的性质即可判断;对于BC,利用指数的运算法则与基本不等式的性质即可判断.【详解】对于A,由,可得,所以且,即,故A正确;对于B,,当且仅当,即时,等号成立,所以的最小值为9,故B正确;对于C,因为,可得,即,所以,当且仅当,即,即时,等号成立,所以的最大值为,故C错误;对于D,因为,则,所以,故D正确.故选:ABD.【点睛】易错点睛:在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误.12.【分析】根据题意,求得,结合复数模的计算公式,即可求解.【详解】由复数,可得,则,所以.故答案为:.13.【分析】当时求出,当时,作差即可得解.【详解】因为,当时,当时,所以,所以,当时不成立,所以.故答案为:14.【分析】由角平分线定理,结合余弦定理,求得,再求的正切值,进而即可求得渐近线方程.【详解】根据题意,作图如下:

依题意,为的角平分线,且,设,由角平分线定理可得:,则;在中,由余弦定理;在中,由余弦定理可得,,即,解得.故,,所以的渐近线方程是.故答案为:.【点睛】方法点睛:求双曲线的渐近线方程,常见有三种方法:①直接求出,从而得解;②只需要根据一个条件得到关于的齐次式,转化为的齐次式,从而得解;③求得其中一个渐近线的倾斜角(或斜率),从而得解.15.(1)列联表见解析,能(2)【分析】(1)由已知数据完成列联表,计算,与临界值比较得结论;(2)由分层抽样确定男女生人数,利用组合数公式和古典概型求解.【详解】(1)100名高中生,运动达标与运动欠佳的人数比为3∶2,则运动达标人数为,运动达标的女生与男生的人数比为2∶1,则运动达标的女生有40人,运动达标的男生有20人,列联表为性别运动达标情况合计运动达标运动欠佳男生20525女生403575合计6040100零假设为:性别与锻炼情况独立,即学生体育运动时间达标与性别因素无关,根据小概率值的独立性检验,推断不成立,即学生体育运动时间达标与性别因素有关系,此推断犯错误的概率不超过0.05.(2)因为“运动达标”的男生、女生分别有20人和40人,按分层随机抽样的方法从中抽取6人,则男生、女生分别抽到2人和4人,则选中的2人中恰有一人是女生的概率为.16.(1)(2)【分析】(1)根据导数的几何意义即可求解;(2)由题意,将问题转化为()恒成立,利用导数讨论函数的单调性,即可求解.【详解】(1)由于,则切点坐标为,因为,所以切线斜率为,故切线方程为,即.(2)当时,等价于,令,,恒成立,则恒成立,,当时,,函数在上单调递减,,不符合题意;当时,由,得,时,,函数单调递减,,不符合题意;当时,,因为,所以,则,所以函数在上单调递增,,符合题意.综上所述,.17.(1)(2)【分析】(1)将平面延展得到点,再利用相似三角形求解即可.(2)建立空间直角坐标系,求出两个平面的法向量利用夹角公式求解即可.【详解】(1)由正三棱柱中,,又因为点分别为棱的中点,可得,如图所示,延长交的延长线于点,连接交于点,则四边形为所求截面,过点作的平行线交于,所以因此,所以.

(2)以点为原点,以所在的直线分别为轴,

以过点垂直于平面的直线为轴,建立空间直角坐标系,如图所示,因为,可得,则,设平面的法向量为,则取,则,所以,取的中点,连接.因为△为等边三角形,可得,又因为平面,且平面,所以,因为,且平面,所以平面,又由,可得,所以平面的一个法向量为,设平面与平面的夹角为,则,所以平面与平面夹角的余弦值为.18.(1)(2)①证明见解析;②【分析】(1)首先得到、的长轴长、短轴长、焦距、依题意可得,从而得到,再由离心率公式计算可得;(2)①设,则直线的方程为,进而与椭圆联立方程,并结合判别式得,同理得到,进而得,再根据即可求得答案;②由题知椭圆的标准方程为,进而结合点在椭圆上得,故设直线的斜率为,则直线的斜率为,进而得其对应的方程,再与椭圆联立方程并结合韦达定理,弦长公式得、,进而得.【详解】(1)对于椭圆:,则长轴长为,短轴长为,焦距为,椭圆:的长轴长为,短轴长为,焦距为,依题意可得,所以,则椭圆的离心率.(2)①由相似比可知,,解得,所以椭圆:,设,则直线的方程为,即,记,则的方程为,将其代入椭圆的方程,消去,得,因为直线与椭圆有且只有一个公共点,所以,即,将代入上式,整理得,同理可得,所以为关于的方程的两根,所以.又点在椭圆上,所以,所以,为定值.②由相似比可知,,解得,所以椭圆:,其左、右顶点分别为,,恰好为椭圆的左、右焦点,设,易知直线、的斜率均存在且不为,所以,因为在椭圆上,所以,即,所以.设直线的斜率为,则直线的斜率为,所以直线的方程为.由,得,设,,则,,所以,同理可得,所以.【点睛】方法点睛:利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:(1)设直线方程,设交点坐标为、;(2)联立直线与圆锥曲线的方程,得到关于(或)的一元二次方程,必要时计算;(3)列出韦达定理;(4)将所求问题

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