北师大版 数学 八年级下册 同步练习

1.1等腰三角形

第1课时三角形的全等和等腰三角形的性质

选择题（共8小题）

1.如图，在AABC中，AB=AC,点D、E在BC上，连接AD、AE,如果只添加一个条件使/DAB=

ZEAC,则添加的条件不能为（）

A.BD=CEB.AD=AEC.DA=DED.BE=CD

2.等腰三角形的一个角是80。，则它顶角的度数是（）

A.80°B.80°或20°C..80°或50°D.20°

3.已知实数x,y满足|x-4|+y=0,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是

（）d

A.20或16B.20C.16D.以上答案均不对/\

4.如图，在aABC中，AB=AC,ZA=40°,/

BD为/ABC的平分线，则NBDC的度数是（）\

A.60°B.70°C.75°D.800萨----c

5.已知等腰三角形的两边长分别是3和5,则该三角形的周长是（）

A.8B.9C.10或12D.11或13

6.如图，给出下列四组条件：

①AB=DE,BC=EF,AC^DF；②AB=DE,AB=/E,BC=EF；

③N8=NEBC=EF,NC=ZF；®AB=DE,AC=DF,NB=NE.

其中，能使/XABCg△DEF的条件共有（）

A.1组B.2组C.3组D.4组

7.在等腰AABC中，AB=AC,中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，

则这个等腰三角形的底边长为（）

A.7B..11C.7或11D.7或1,0

8.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角的度数为（）

A.60°B.120°C.60°或150°D.60°或120°

二.填空题（共10小题）

9.已知等腰三角形的一个内角为80°,则另两个角的度数是

10.如图，已知AB〃CD,AB=AC,ZABC=68°,则/ACD=_____________.

11.如图，在z^ABC中,AB=AC,ZXABC的外角NDAC=130°,则NB=

12.如图,AB#CD,AE=AF,CE交AB于点F,ZC=110°,则NA=

13.如图,在△如C中，AB=AC,BC=6,ADJ_BC于D,则BD='

14.如图，在aABC中，AB=AD=DC,ZBAD=32°，则/BAC=

第14题第15题第16题第17题第18题

15.如图，AB与CD交于点0,0A=0C,0D=0B.,ZA=50°，ZB=30°,则/D的度数为.

16.如图，在△如C中,AB=AC,CD平分NACB,ZA=36°,则/BDC的度数为.

17.如图，在△ABC中，AB=AC,点D为BC边的中点，ZBAD=20°,则NC=.

18.如图，在△如C中,AB=AC,ZA=80°,E,F,P分别是AB,AC,BC边上一点，且BE=BP

,CP=CF,则NEPF=_度-

解答题（共5小题）

19.己知：如图，在等腰aABC中，AB=AC,0是底边BC上的中点，ODLAtH^D,OEIAC^E.

求证：AD=AE.

20.如图，在AABC中，AB=AC,点D是BC的中点，点E在AD一上.

求证：（1）AABD^AACD；

（2）BE=CE.

21.如图所示,ZBAC=ZABD,AC=BD,点0是AD、BC的交点，点E是AB的中点.试判断0E和A

B的位置关系，并给出证明.

Q

22.如图，在aABC中，I）、E分别是AC和AB上的点，BD与CE相交于点0,给出下列四个条件

①/EB0=NDC0；②/BE0=NCD0；③BE=CD；@0B=0C.

（1）上述四个条件中，由哪两个条件可以判定AB=AC?（用序号写出所有的情形）

（2）选择（1）小题中的一种情形，说明AB=AC.

23.（1）如图，在AABC中，/ABC、/ACB的平分线相交于F,过F作DE〃BC,分别交AB、A

C于点D、E.判断DE=DB+EC是否成立？为什么？

（2）如图，若点F是NABC的平分线和外角NACG的平分线的交点，其他条件不变，请猜想

线段DE、DB、EC之间有何数量关系？证明你的猜想.

BG

参考答案

一、CBBCDCCD

二、9、50°,50°或80°,20°；10、44；11、65；12、40；13、3；14、69；15、30°

16、72；17、70；18、50

三、19、证明：VAB=AC,

./.ZB=ZC.

VOD±AB,OE±AC,

AZODB=ZOEC=90°.

•••O是底边BC上的中点，

.•.OB=OC,

"ZODB=ZOEC

在AOBD与aOCE中，

OB=OC

/.△OBD^AOCE（AAS）.

；.BD=CE.

VAB=AC,

AAB-BD=AC-CE.

即AD=AE.

20、证明：（1）」..D是BC的中点，

/.BD=CD,

'BD=CD

在AABD和4ACD中，（AB二AC，

AD=AD（公共边）

.,.△ABD^AACD（SSS）；…（4分）

（2）由（1）知4ABD丝Z^ACD,

/.ZBAD=ZCAD,即/BAE=/CAE,

'AB=AC

在ZXABE和ZXACE中，，ZBAE=ZCAE

AE=AE（公共边）

.,.△ABE丝△ACE（SAS）,

/.BE=CE（全等三角形的对应边相等）.

（其他正确证法同样给分）…（4分）

21、解：OE_LAB.

'AC=BD

证明：在△BAC和4ABD中，，NBAC=NABD，

BA=AB

/.△BAC^AABD(SAS).

.,.ZOBA=ZOAB,

，OA=OB.

XVAE=BE,A0E1AB.

答：OE1AB.

22、(1)答：有①③、①④、②③、②④共4种情形.

(2)解：选择①④，证明如下：

VOB=OC,

二ZOBC=ZOCB.,

XVZEBO=ZDCO,

二ZEBO+ZOBC=ZDCO+ZOCB,

即/ABC=/ACB,

AAC=AB.

②④

理由是：在△BEO和aCDO中

'/BEO=/CDO

,•,<ZE0B=ZD0C-

OB=OC

AABEO^ACDO,

...ZEBO=ZDCO,

VOB=OC,

./.ZOBC=ZOCB,

.,.ZABC=ZACB,

，AB=AC,

23、解：(1)成立；

「△ABC中BF、CF平分/ABC、ZACB,

AZ1=Z2,Z5=Z4.

VDE/7BC,；./2=/3,Z4=Z6.

AZ1=Z3,Z6=.Z5.

根据在同一个三角形中，等角对等边的性质，可知：BD=DF,EF=CE.

.♦.DE=DF+EF=BD+CE.

故成立.

(2)：BF分/ABC,

.,.ZDBF=ZFBC.

：DF〃BC,.".ZDFB=ZFBC.

.♦.NABF=NDFB,

/.BD=DF.

：CF平分NACG,

二ZACF=ZFCG.

VDF/7BC,

AZDFC=ZFCG.

AZACF=ZDFC,

ACE=EF.

VEF+DE=DF,即DE+EC=BD.

1.1等腰三角形

第2课时等边三角形的性质

1.如图，AABC是等边三角形，则Nl+N2=()

2.如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中/a+/B的度数是

()

A.180°B.220°£.240°D.300°

3.如图，等边△ABC的边长为5个单位长度，^ABC也△△'B'C',BC'=9,则线段B'C

的长为()

A.1B.2C.4D.5

4.下列说法：①等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；②等腰三角形的两腰上的中线

长相等；③等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；④等腰三角形的一边长为8,一边长为16,

那么它的周长是32或40.其中不正确的()

A.①③B.①④C.①③④D.①②③④

5.如图，在正三角形ABC中，ADLBC于点D,则NBAD=.

6.若等边三角形的边长为2,则它的面积是.

7.等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为100°,则顶角的度数为度，底角的度数

为.

8.如图，边长为4的等边AAOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，则点A的坐标为

9.如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD,AD与

BE相.交于点F.

(1)求证：△ABE2ACAD；

(2)求2BFD的度数.

10.如图，D是等边AABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC,连接

AE,找出图中的一组全等三角形，并说明理由.

11.已知，如图，延长AABC的各边，使得BF=AC,AE=CD=AB,顺次连接D,E,F,

得到△DEF为等边三角形.求证：△AE型△CDE.

1.1等腰三角形

第3课时等腰三角形的判定与反证法

选择题（共8小题）

1.如图，在△ABC中，AB=AC,NA=36。，BD,CE分别为NABC,NACB的角平分线,

则图中等腰三角形共有（）

8.如图，坐标平面内一点A（2,-1）,0为原点，P是x轴上的一个动点“如果以点P、

0、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

3.下列条件中不能确定是等腰三角形的是（）

A.三条边都相等的三角形D.一条中线把面积分成相等的两部分的三角形

B.有.一个锐角是45。的直角三角形C.一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形

5.如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点0,给出四个条

件：①0B=0C；（2）ZEB0=ZDC0；③NBEO=NCDO；④BE=CD.上述四个条件中，

选择两个可以判定△ABC是等腰三角形的方法有（）

A.2种B.3种C.4种.D.6种

5.下列能断定△ABC为等腰三角形的是（）

A.ZA=30",ZB=60°B.ZA=50°,N.B=80°

C.AB=AC=2,BC=4D.AB=3,BC=7,周长为13

6.”下列说法中：（1）顶角相等，并且有一腰相等的两个等腰三角形全等；（2）底边相等，

且周长相等的两个等腰三角形全等；（3）腰长相等，且有一角是50。的两个等腰三角形全等;

（4）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；错误的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.已知下列各组数据，可以构成等腰三角形的是（）

A.1,2,1B.2,2,1C.1,3,1D.2,2,5

8.已知：如图，下列三角形中，AB=AC,则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个

三角形分成两个小等腰三角形的是（）

A.①③④B.①②③④C.①②④D.①③

二.填空题（共10小题）

9.求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60°,用反证法证明时的假设为“三角形

的.

11.如图，△ABC是等腰三角形，且AB=AC,BM,CM分别平分NABC,ZACB,DE经

过点M,且DEIIBC,.则图中有个等腰三角形.

12.在△ABC中，与NA相邻的外角是100。，要使△ABC是等腰三角形，则NB的度数是一

13.在△ABC中，ZA=100°,当NB.=。时，.△ABC是等腰三角形.

14.如图，在AABC中AB=AC,NA=36。，BD平分NABC,则N1=度，图

中有个等腰三角形.

15.若三角形三边长满足（a-b）（a-c）=0,则△ABC的形状是.

16.如果一个三角形有两个角分别为80。，50。，则这个三角形是三角形.

17.在平面上用18根火柴首尾相接围成等腰三角形，这样的等腰三角形一共可以围攻成_

种.

18.如图，已知AD平分NEAC,且ADIIBC,则△ABC一定是三角形.

三.解答题（共5小题）

19.用反证法证明：等腰三角形两底角必为锐角.

20.如图，在AABC和ADCB中，AC与BD相交于点O.AB=DC,AC=BD.

(1)求证：△ABC2△DCB；

(2)AOBC的形状是.(直接写出结论，不需证明)

21.已知：如图，OA平分NBAC,Z1=Z2.

求证，：△ABC是等腰三角形.

22.如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的一点，BE与CD交于点0,给出下列

四个条件：①NDB0=NEC0；②NBD0=NCEO,；③BD=CE；④OB=OC.

(1)上述四个条件中，哪两个可以判定△ABC是等腰三角.形？

(2)选择第(1)题中的一种情形为条件，试说明△ABC是等腰三角形.

40E

BC

23.如图，△ABC中，NA=36°,AB=AC,CD平分NACB,试说明△BCD是等腰三角形.

答案：一、DCDCBABA

二、9、三个内角都小于60°；10、3；11、5；12、

14、72,3；15、等腰三角形；

16、等腰；17、4；18、等腰

三、：19.证明：①设等腰三角形底角NB,NC都是直角，则NB+/C=180°,

而/A+NB+NC=180°+ZA>180°,这与三角形内角和等于180°矛盾.

②设等腰三角形的底角/B,NC都是钝角，则/B+/O180。，

而/A+NB+NC>180°,这与三角形内角和等于180°矛盾.

综上所述，假设①，②错误，所以NB,NC只能为锐角.

故等腰三角形两底角必为锐角.

AB=DC

20、(1.)证明：在AABC和ADCB中，＜BC=CB

AC=BD

AAABC^ADCB(SSS).

(2)解：VAABC^ADCB,

.*.ZOBC=ZOCB.

/.OB=OC.

...△OBC为等腰三角形.

故填等腰三角形.

21、解答：证明：作OE_LAB于E,OF_LAC于F,

：AO平分NBAC,

AOE=OF(角平分线上的点到角两边的距离相等).

VZ1=Z2,

.,.OB=OC.

ARtAOBE^RtAOCF(HL).

，Z5=Z6.

/.Z1+Z5=Z2+Z6.

BpZABC=ZACB.

；.AB=AC.

...△ABC是等腰三角形.

22.解：(1)①@,①④，②③和②④；

(2)以①④为条件，理由：

VOB=OC,

/.ZOBC=ZOCB.

XVZDBO=ZECO,

AZDBO+ZOBC=ZECO+ZOCB,即NABC=/ACB,

/.AB=AC,

.♦.△ABC是等腰三角形.

23.解：Z\ABC中

：AB=AC,ZA=36°

.\ZB=ZACB=-(180°-ZA)=72°

2

VCD平分NACB

AZDCB--ZACB=36°

2

在ADBC中

ZBDC=180°-ZB-ZDCB=72°=ZB

；.CD=CB

即4BCD是等腰三角形.

1.1等腰三角形

第4课时等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质

一.选择题

1.如图，△ABC中，ZC=90°,AC=3,NB=30。，点P是BC边上的动点，则AP长不可能

是（）

A.3.5B.4.2C.5.8D.7

第1题第3题第4题

2.在4ABC中，①若AB=BC=CA,则4ABC为等边三角形；②若NA=ZB=ZC,则4ABC

为等边三角形；③有两个角都是60。的三角形是等边三角形；④一个角为60。的等腰三角形

是等边三角形.上述结论中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.如图，已知D、E、F分别是等边AABC的边AB、BC、AC上的点，

且DEJLBC、EF_LAC、FD_LAB,则下列结论不成立的是（）

A.ADEF是等边三角形B.△ADF复△BED2△CFE

C.DE=ABD.SAABC=3SADEF

4.如图，在4ABC中，D、E在BC上，且BD=DE=AD=AE=EC,则NBAC的度数是（)

A.30°B.45°C.120°D.15°

5.已知NAOB=30。，点P在NAOB内部，Pi与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则

Pl,O,P2三点所构成的三角形是（）

A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形

二.填空题

6.△ABC中，NA=NB=60。，且AB=10cm,贝ijBC=cm.

7.在4ABC中，ZA=ZB=ZC,则4ABC是三角形.

8.如图，将两个完全相同的含有30。角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD的形状是一

第8题第9题第10题

9.如图，ZAOE=ZBOE=15°,EFIIOB,EC±OB,若EC=1,则EF=.

10.如图，M、N是△ABC的边BC上的两点，且BM=MN=NC=AM=AN.则NBAN=_

三.解答题

11.如图，已知点D在BC上，点E在AD上，BE=AE=CE,并且Nl=/2=60°.求证：Z^ABC是

等边三角形.

B31D,C

12.如图，在等边三角形ABC的边AB、AC上分别截出AD=AE,AADE是等边三角形吗？

说明理由H

C

BAC

13.如图，△ABC中，ZC=90°,ZABC=60°,BD平分NABC,若AD=6,求AC的长.

C

14.如图，△ABC中，NACB=90。，CD是△ABC的高，NA=30。，AB=4,求BD长.

15.如图，已知aABC为等边三角形，点D为BC延长线上的一点，CE评分NACD,CE=BD,求

证：4ADE是等边三角形。

1.2直角三角形

第1课时直角三角形的性质与判定

1.直角三角形的一个锐角是23。，则另一个锐角等于（）

A.23°B.63°C.67°D.77°

C./1和NB都是NA的余角D.z2=zA

3.满足下列条件的AABC,不是直角三角形的是（）

A.NC=NA+NBB.a：b：c=3：4：5

C.ZC=ZA-ZBD.ZA：ZB：ZC=3：4：5

4.直角三角形的两条直角边分别12cm和16cm,斜边为20cm,则斜边上的高为（）

A.8cmB.10cmC.9.1cmD.9.6cm

5.一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm,则这个三角形最长边上的高是

__________cm.

6.在RtaABC中，ZC=90°,若a：b=3：4,c=20,则a=,b=

7.在下列条件中：©ZA+ZB=ZC,②/A：ZB：NC=1：2：3,③NA=90°-ZB,④NA=

NB=NC中，能确定aABC是直角三角形的条件有（填序号）.

8.如图，ZC=ZABD=90",AC=4,BC=3,BD=12,则AD的长等于

第9题图第10题图

9.如图，在aABC中，CE,BF是两条高，若NA=70°,ZBCE=30°,则NEBF的度数是

,/FBC的度数是.

10.如图，Rt^ABC中，ZACB=90°,CD1AB,DE±AC,则图中共有个直角三角形.

11.如图所示，在Z\ACB中,ZACB=90°,N1=NB.

（1）求证：CD1AB；

（2）如果AC=8,BC=6,AB=10,求CD的长.

c

12.在直角aABC中，ZACB=90°,ZB=30°,CD_LAB于D,CE是AABC的角平分线.

(1)求NDCE的度数.

(2)若NCEF=135°,求证：EFZ/BC.

13.如图，四边形ABCD中,ABXBC,AB=1,BC=2,CD=2,AD=3,求四边形ABCD的面积.

14.如图，每个小正方形的边长为1,请说明△ABC的形状并求出aABC的面积.

1.2直角三角形

第2课时直角三角形全等的判定

一、选择题：

1.两个直角三角形全等的条件是（）

A.一锐角对应相等；B.两锐角对应相等；

C.一条边对应相等；D.两条边对应相等

2.如图，NB=ND=90°,BC=CD,Zl=30°,则N2的度数为（）

A.30°B.60°C.30°和60°之间D.以上都不对

3.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么两个直角三角形全等的

依据是（）

A.AASB.SASC.HLD.SSS

4..已知在AABC和ADEF中，ZA=ZD=90°,则下列条件中不能判定4ABC和

△DEF全等的是（）

A.AB=D£,AC=DFB.AC=EF,BC=DF

C.AB=DE,BC=EFD.ZC=ZF,BC=EF

5.如图,AB〃EF〃DC,NABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形（）

A.5对；B.4对；C.3对；D.2对

6.要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（）

①有两条直角边对应相等；②有两个锐角对应相等；③有斜边和一条直.角边

对应相等；④有一条直角边和一个锐角相等；⑤有斜边和一个锐角对应相等;

⑥有两条边相等.

A.6个B.5个C.4个D.3个

第2题图第5题图第7题图第8题图

7.如图，已知AB=A£>,那么添加下列一个条件后，仍无法判定也回。之的

是（）

A.，CB=CDB.ZBAC=ZDACC.ZBCA=ZDCAD.ZB=ZD=90°

8.

如图，已知AD是AABC的BC边上的高，下列，能使AABD丝4ACD的条件是（

）

A.AB=ACB.ZBAC=90°C.BD=ACD.ZB=45°

二、填空题：

9.有和一条对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直

角边”或用字母表示为“”.

10.判定两个直角三角形全等的方法有.

11.如图，已知ACLBD于点P,AP=CP,请增加一个条件，使△ABP❷a

CDP（不能添加辅助线），你增加的条件是

12.如图，在RtAABC和RtADCB中，AB=DC,ZA=ZD=90°,AC与BD

交于点0,则有△,其判定依据是,还

有4，其判定依据是.

13.如图，在aABC中，ADLBC于D,BE_LAC于E,AD与BE相交于点F,

若BF=AC,则NABC=___

第14题图第15题图第16题图

14.如图，已知Nl=N2=90°,AD=AE,那么图中有对全等三角形.

15.如图，RtZXABC中，ZC=90°,AC=8,BC=4,PQ=AB,点P与点Q分

别在AC和AC的垂线AD上移动，则当AP=时，△ABCgZ\APQ.

16.如图，在RtZ\ABC中，ZBAC=90°，AB=AC,分别过点B,C作过点A

的直线的垂线BD,CE,若BD=4cm,CE=3cm,则DE=cm.

17.如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF）,左边滑梯的高度AC与.

右边滑梯水平方向的长度DF相等，则NABC+NDFE=度

18.如图，南京路与八一街垂直，西安路也与八一街垂直，曙光路与环

城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按

.图中的街道行走，最近的路程为m.

第17题图第18题图

三、解答题：

19.如图，A8=AC,AO_LBC于点。，AD=AE,A3平分交OE于点F,请

你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.

20.在4ABC中，AB=CB,ZABC=90°,F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF.

(1)求证：RtAAB£^RtACBF;

(2)若NCAE=30°,求NACF度数.

c

2.1.如图AB=AC,CDJ_AB于D,BE_LAC于E,BE与CD相交于点0.

(1)求证AD=AE；

(2)连接0A,BC,试判断直线OA,BC的关系并说明理由.

22.已知如图,AB=AC,ZBAC=90°,AE是过A点的一条直线,且B、C在DE的异

侧，BD_LAE于D,CEJ_AE于E,求证:BD=DE+CE.

23.如图，在aABC中，以AB、AC为直角边，分别向外作等腰直角三角形ABE、ACF,

连结EF,过点A作AD1BC,垂足为D,反向延长DA交EF于点M.

(1)用圆规比较EM与FM的大小.

⑵你能说明由⑴中所得结论的道理吗？

F

参考答案

一、选择题

l.D2.B3.B4.B5.C6.C7.C8.A

二、填空题

9.斜边，直角边，HL10.SSS、ASA、AAS、SAS、HL

11.BP=DP或AB=CD或NA=NC或NB=ND.

12.ABC,DCB,HL,AOB,DOC,AAS..'13.45°14.3

15.4或816.717.90018.500

三、解答题

19.解：(1)△ADBgZVIDC、/XABD加AABE、/\AFD^/\AFE、

△BFD94BFE、/XABE^^ACD(写出其中的三对即可).

(2)以△ADBgADC为例证明.

证明：-.■AD±BC,：.ZADB^ZADC=90°.

在Rt/XADB和RtAADC中，

AB=AC,AD=AD,

RtAADB^RtAADC.

20.解:(1)VZABC=90°,.,.ZCBF=ZABE=90°.

在RtAABE和RtACBF中，

VAE=CF,AB=BC,..,.RtAABE^RtACBF(HL)

(2)VAB=BC,ZABC=90°,ZCAB=ZAC.B=45°.

VZBAE=ZCAB-ZCAE=45°-30°=15°.

由(1)知RtAABE^RtACBF,AZBCF=ZBAE=15°,

/.ZACF=.ZBCF+ZACB=450+15°=60°.

21.(1)证明：在aACD与aABE中，

VZA=ZA,ZADC=ZAEB=90°,AB=AC,

.".△ACD^AABE,

.\AD=AE.

(2)互相垂直，

在Rt^ADO与AAEO中,

V0A=0A,AD=AE,

/.△ADO^AAEO,

/.ZDA0=ZEA0,

即0A是NBAC的平分线,

又•.•AB=AC,

.\OA±BC.,

22.证明：•.•BDLAE于D,CE_LAE于E

ZADB=ZAEC=90°

VZBAC=90°

，ZABD+ZBAD=ZCAE+ZBAD

/.ZABD=ZCAE

在AABD和ACAE中

ZABD=ACAE

"NADB=ACEA

AB=CA

.,.△ABD^ACAE(AAS)

/.BD=AE,AD=CE

VAE=AD+DE

；.BD=CE+DE

23.解：(1)EM=FM

(2)作EH±AM,垂足为H,FK±AM,垂足为K

先说明RtAEHA^RtAADB得EH=AD

RtAFKA^RtAADC得FK=AD得EH=FK

在RtAEHK与RtAFKM中,RtAEHM^RtAFKM

得EM=FM.

1.2直角三角形

第2课时直角三角形全等的判定

一、选择题

1.在RtZU比1和B'C中，NRNC'=90°,NA=N8',AB=B'A,则下列结论

中正确的是（）

A.AC=A'CB.BOB'C

C.AC=B'CD.

2.下列结论错误的是（）

A.全等三角形对应边上的高相等

B.全等三角形对应边上的中线相等

C.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，则这两个三角形全等

D.两个直角三角形中，两个锐角相等，则这两个三角形全等

3.两个直角三角形全等的条件是（）

A.一锐角对应相等B.两锐角对应相等

C.一条边对应相等D.一条斜边和一直角边对应相等

4.如图，已知=那么添加下列一个条件后，

仍无法判定的是（）

A.CB=CDB.ZBAC^ZDAC

C.ZBCA^ZDCAD.ZBZD=90°

5.如图所示，中,AB-AC,ADLBC交D点,E、尸分别是如、比,的中点，则图中全等

三角形的对数是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

6.如图，DE1AB,DF±AC,AE=AF,请找出一对全等的三角形:

7.如图，已知4CL初，BOCE,1信先试分析/分/分.

8.如图，有一正方形窗架，盖房时为了稳定，在上面钉了两个等长的木条Gf与GE,E,F

分别是AD的中点，可证得RtZ\AGE丝,理由是,于是G是

的中点.

三、解答题

9.如图，已知AD,AF分别是两个钝角△ABC和△A5E的高，如果A£>=AF,

AC=AE.

求证：BC=BE.

参考答案

1.C2.D3.D4.C5.D

6.RtAADf^RtAADF7.90°8.RtAAGE^RtABGF,HL,AB

9.根据“HL”证RtAADC^RtAAFF,:.CD=EF，再根据“HL”证

RtAABDRtAABF,:.BD=BF,：.BD-CD=BF-EF,即8C=BE.

1.3线段的垂直平分线

第1课时线段的垂直平分线

一、选择题（共8小题）

1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=

5,则线段PB的长度为（）

第1题图第2题图第5题图

2.如图，AC=AD,BC=BD,则有（

A.AB垂直平分CDB.CD垂直平分AB

C.AB与CD互相垂直平分D.CD平分NACB

3.下列说法中错误的是（）

A.过“到线段两端点距离相等的点”的直线是线段的垂直平分线

B.线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等

C.线段有且只有一条垂直平分线

D.线段的垂直平分线是一条直线

4.到△ABC的三个顶点距离相等的点是aABC的（）

A.三边.垂直平分线的交点B.三条角平分线的交点

C.三条高的交点D.三边中线的交点

5.如图，ZABC=50°,AD垂直平分线段BC于点D,NABC的平分线交AD于E,连

接EC；则NAEC等于（）

A.100°.B.105°C.115°D.120°

6.如图，AABC中，AD是BC的中垂线，若BC=8,AD=6,则图中阴影部分的面积

是（）

A.48B.24C.12D.6

7.如图，^ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于E,交AC于F,交

AB于D,连接BF.若BC=6cm,BD=5cm,则4BCF的周长为（）

A.16cmB.15cmC.20cm,D.无法计算

8.如图AABC中，NB=40°,AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E,且NEAB：

ZCAE=3：1,则NC=（）

A.28°B.25°C.22.5°D.20°

第6题图第7题图第8题图

二、填空题（共10小题）

9.到线段AB两个端点距离相等的点的轨迹是.

10.如图，有A、B、C三个居民小区是位置成三角形，现决定在三个小区之间修

建一个休闲广场，使广场到三个小区的距离相等，则广场应建在_

11.在阿拉伯数字中，有且仅有一条对称轴的数字是.

12、如图，AABC中，DE垂直平分AC交AB于E,NA=30°,ZACB=80°,则/

BCE=一度.

13、如图，4ABC的周长为19cm,AC的垂直平分线DE交BC于D,E为垂足,AE=3cm,

则4ABD的周长为cm.

14.如图，已知在AABC中,AB=AC=10,DE垂直平分AB,垂足为E,DE交AC于D,

若ABDC的周长为16,则BC=.

15.如图，在AABC中，ZB=30°,直线CD垂直平分AB,则NACD的度数为—

16.已知如图,在AABC中，BC=8,AB的中垂线交BC于D,AC的中垂线交BC与E,

则4ADE的周长等于.

17.如图，AB=AC,AC的垂直平分线DE交AB于D,交AC于E,BC=6,ACDB的周长

为15,贝UAC=.

18.如图，ZXABC中,AB=AC,ZA=40°,AC的垂直平分线分别交AB,AC于D,E

三、解答题（共5小题）

19.如图，四边形ABCD.中,AC垂直.平分BD于点0.

（1）图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来;

（2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明.

D

20.如图，在AABC中，AB=AC,D是AB的中点，且DE_LAB,ABCE的周长为8cm,

且AC-BC=2cm,求AB、BC的长.

21.如图，已知：在AABC中，AB、8c边上的垂直平分线相交于点A

求证：点P在力。的垂直平分线上.

22.如图，AABC中，AD是NBAC的平分线，DELAB于E,DF_LAC于F.

求证：AD垂直平分EF.

23.如图，已知NC=ND=90°,AC与BD交于0,AC=BD.

(1)求证：BC=AD；

(2)求证：点.0在线段AB的垂直平分线上.

参考答案

一、选择题（共8小题）

1.B2.A3.A4.A5.C6.C7.A8.A

二.填空题（共10小题）

9.线段AB的中垂线；10.三边垂直平分线的交点处；11.3；12.50；3.13；14.6

15.60°；16.8；17.9；18.35°

三.解答题（共5小题）

19,（1）解：图中有三对全等三角形：△AOBW△AOD,.△COB空△COD,△ABC合△ADC；

（2）证明△ABC2△AD.C.

证明：「AC垂直平分BD,

AB=AD,CB=CD（中垂线的性质），

又AC=AC,

△AB8△ADC.

20.解：1AABC中，AB=AC,D是AB的中点，且DE_LAB,=AE=BE,

•••△BCE的周长为8cm,即BE+CE+BC=8.cm,

AC+BC=8cm...①，

AC-BC=.2cm...②，

①+②得，2AC=10cm,即AC=5cm,故AB=5cm；

①-②得，2BC=6cm,BC=3cm.

故AB=5cm、BC=3cm.

21.证明：：P在AB、BC的垂直平分线上

.♦.AP=BP,BP=CP

，AP=CP,

.•.P点在AC的垂直平分线上.

22.证：,；AD是NBAC的平分线，

DE_LAB,DF_LAC,

DE=DF,ZAED=ZAFD=90。，

在RIAAED和RSAFD中

（AD=AD

lDE=DF

RtAAED空RtAAFD（HL）,

AE=AF,

AD是NBAC的平分线，

AD垂直平分EF（三线合一）

23.证.明：（1）VZC=ZD=90°,

在RtAACB和RtABDA中，

fAC=BD

IAB=BA'

/.RtAACB2RtABDA,

AD=BC；

(2)RtAACB合RtABDA,

ZCAB=ZDBA,

.♦.OA=OB,.,.点O在线段AB的垂直平分线上.

1.3线段的垂直平分线

第2课时三角形三边的垂直平分线及作图

1.如图，到aABC的三个顶点距离相等的点是aABC的（）

A.三边垂直平分线的交点B.三条角平分线的交点

C.三条高的交点D.三边中线的交点

2.有特大城市A及两个小城市B、C,这三个城市共建一个污水处理厂,•c

使得该厂到B、C两城市的距离相等，且使A市到厂的管线最短，试确

定污水处理厂的位置。

3.如下图,在直线AB上找一点P,使PC=PD.

C

8

(2)

4.某地有两所大学和两条相交叉的公路，如所示(点M,N表示大学，AO,B0表

示公路).现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条

公路的距离也相等.

(1)你能确定仓库应该建在.什么位置吗？在,所给的图形中画出你的设计方案；

(2)阐述你设计的理由.

5.如图，在等腰AABC中，AB=AC,将AABC沿DE折叠，使底角顶点C落在三角

形三边的垂直平分线的交点0处，若BE=BO,求NABC的度数.

1.4角平分线

第1课时角平分线

一、选择题

1.在RtaABC中，zA=90°,NABC的平分线BD交AC于点D,AD=3,AB=4,则D

到BC的距离是()

NQP

(第1题)（第2题）

2.如图，肪LW,幽为△闻W的角平分线，连结TQ,则下列结论不正确的是()

(A)TQ=PQ.(B)2MQT=4MQP.(C)窗』90".(D)4NQT=2MQT.

3.如图，AB=AC,AE=AD,则①△/LS侬△/您②△比匡△%»；③。在N员1C的平分线上,

以上结论()

(A)都正确.(B)都不正确.(C)只有一个正确.(D)只有一个不正确.

4.已知：如图，A48C中,AB^AC,BD为NABC的平分线,NBDC=60",则/A的度数是()

(A)