2022年北京和平街一中初二（下）期中数学试卷及答案

1/12022北京和平街一中初二（下）期中数学一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项。符合题意的选项只有一个1．下列二次根式中，最简二次根式是A． B． C． D．2．以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是A．2，3，4 B．1，1，2 C．3，3，3 D．1，，23．如图，在中，平分，交边于，，，则的长为A．3 B．4 C．5 D．74．已知是的正比例函数，如表列出了部分与的对应值：15则，的大小关系是A． B． C． D．5．下列计算正确的是A． B． C． D．6．下列图象中，表示是的函数的是A． B． C． D．7．为了研究特殊四边形，李老师制作了这样一个教具（如图：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架，并在与、与两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，李老师右手拿住木条，用左手向右推动框架至（如图观察所得到的四边形，下列判断正确的是A． B． C．的长度变小 D．8．中考体育篮球运球考试中，测试场地长20米，宽7米，起点线后5米处开始设置10根标志杆，每排设置两根，各排标志杆底座中心点之间相距1米，距两侧边线3米，假设某学生按照图1路线进行单向运球，运球行进过程中，学生与测试老师的距离与运球时间之间的图象如图2所示，那么测试老师可能站在图1中的位置为A．点 B．点 C．点 D．点二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．函数中，自变量的取值范围是．10．写出一个随的增大而增大的正比例函数解析式．11．如图，作一个以数轴的原点为圆心，长方形对角线为半径的圆弧，交数轴于点，则点表示的数是．12．如图，由四个直角边分别为8和6的全等直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中阴影部分面积为．13．如图，将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上点处，已知，，则的长为．14．如图，在中，，分别是，的中点，，是上一点，连接，，．若，则的长度为．15．如图，在平面直角坐标系中，点是直线上的动点，过点作轴，交直线于点，当时，设点的横坐标为，则的取值范围为．16．正方形的边长为4，点，在对角线上（可与点，重合），，点，在正方形的边上．下面四个结论中，①存在无数个四边形是平行四边形；②存在无数个四边形是菱形；③存在无数个四边形是矩形；④至少存在一个四边形是正方形．所有正确结论的序号是．三.解笞题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）.17．（5分）计算：．18．（5分）如图，平行四边形的对角线，相交于点，、是上两点，请从下列条件中选择1个条件作为题设，1个条件作为结论，组成一个真命题，并证明．①；②；③．19．（5分）下面是小明设计的“作平行四边形的边的中点”的尺规作图过程．已知：平行四边形．求作：点，使点为边的中点．作法：如图，①作射线；②以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；③连接交于点．所以点就是所求作的点．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：连接，．四边形是平行四边形，．，四边形是平行四边形（填推理的依据）．（填推理的依据）．点为所求作的边的中点．20．（5分）如图，每个小正方形的边长都是1．、、、均在网格的格点上．（1）是直角吗？请证明你的判断．（2）直接写出四边形的面积（3）找到格点，并画出四边形（一个即可），使得其面积与四边形面积相等．21．（5分）阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦秦九韶公式”．完成下列问题：如图，在中，，，．（1）求的面积；（2）过点作，垂足为，求线段的长．22．（5分）已知，如图，在中，，是边的中线，过点作的平行线，过点作的平行线，两线交于点，连接交于点．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，，求四边形的面积．23．（6分）如图，四边形是平行四边形，，，垂足分别为，，且．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接并延长，交的延长线于点，若，，求的长．24．（6分）学校组织初二年级学生去参加社会实践活动，学生分别乘坐甲车、乙车，从学校同时出发，沿同一路线前往目的地．在行驶过程中，甲车先匀速行驶1小时后，提高速度继续匀速行驶，当甲车超过乙车40千米后停下来等候乙车，两车相遇后，甲车和乙车一起按乙车原来的速度匀速行驶到达目的地．如图是甲、乙两车行驶的全过程中经过的路程（千米）与出发的时间（小时）之间函数关系图象．根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）甲车行驶的路程为千米；（2）乙车行驶的速度为千米时，甲车等候乙车的时间为小时；（3）甲、乙两车出发小时，第一次相遇；（4）甲、乙两车出发小时，相距20千米．25．（6分）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数的自变量的取值范围是；（2）如表是与的几组对应值．12345393求的值；（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：．26．（6分）如图，在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标都为整数的点叫做“整点坐标”．若正比例函数的图象与直线及轴围成三角形．（1）当正比例函数的图象过点；①的值为；②此时围成的三角形内的“整点坐标”有个；写出“整点坐标”．（2）若在轴右侧，由已知围成的三角形内有3个“整点坐标”，求的取值范围．27．（7分）已知：如图，正方形，点是直线上一个动点，连接交于点，过点作于点，连接．（1）如图1，①直接写出的度数；②用等式表示线段、和之间的数量关系，并证明；（2）当点运动到图2和图3所示的位置时，请选择其中一种情况补全图形，并直接写出线段、和之间的数量关系．28．（7分）在平面直角坐标系中，若，为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点，的“相关矩形”．图1为点，的“相关矩形”的示意图．已知点的坐标为．（1）如图2，点的坐标为．①若，则点，的“相关矩形”的面积是；②若点，的“相关矩形”的面积是5，则的值为．（2）如图3，等边的边在轴上，顶点在轴的正半轴上，点的坐标为．点的坐标为．若在的边上存在一点，使得点，的“相关矩形”为正方形，请直接写出的取值范围．

参考答案一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项。符合题意的速项只有一个1．【分析】根据最简二次根式的定义，即可判断．【解答】解：、，故不符合题意；、是最简二次根式，故符合题意；、，故不符合题意；、，故不符合题意；故选：．【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．2．【分析】根据勾股定理的逆定理，求出两小边的平方和，再求出大边的平方，看是否相等，即可得出答案．【解答】解：．，不可以构成直角三角形，故本选项不符合题意；．，不可以构成直角三角形，故本选项不符合题意；．，不可以构成直角三角形，故本选项不符合题意；．，可以构成直角三角形，故本选项符合题意；故选：．【点评】本题考查了对勾股定理的逆定理的运用，熟知：如果一个三角形的三边分别是、、最大）满足，则三角形是直角三角形是解决问题的关键．3．【分析】先由平行四边形的性质得，，再证，即可求解．【解答】解：四边形是平行四边形，，，，平分，，，，，，故选：．【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．4．【分析】设正比例函数的解析式为，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出，结合正比例函数的性质可得出随的增大而减小，再结合，可得出．【解答】解：设正比例函数的解析式为，正比例函数图象经过点，，，随的增大而减小．又点，均在该正比例函数的图象上，且，．故选：．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，牢记“当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小”是解题的关键．5．【分析】根据二次根式的加法、减法、乘法及除法法则逐一计算即可．【解答】解：．与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；．，此选项计算错误；．，此选项计算正确；．，此选项计算错误；故选：．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．6．【分析】函数就是在一个变化过程中有两个变量，，当给一个值时，有唯一的值与其对应，就说是的函数，是自变量．注意“有唯一的值与其对应”对图象的影响．【解答】解：根据函数的定义可知，每给定自变量一个值都有唯一的函数值相对应，所以、、错误．故选：．【点评】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．7．【分析】根据矩形的性质即可判断；【解答】解：四边形是平行四边形，又，，四边形是矩形，．故选：．【点评】本题考查平行四边形的性质．矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．【分析】根据图2可得学生与测试老师的距离的变化情况，即可作出判断．【解答】解：根据图2得：学生与测试老师的距离先快速减小，然后短时间缓慢减小，然后再快速减小，又短时间缓慢增大，然后再快速减到最小，又开始快速增大，再减小，而且开始的时候与测试老师的距离大于快结束的时候，由此可得测试老师可能站在图1中的位置为点．故选：．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，利用观察学生与测试老师之间距离的变化关系得出函数的增减性是解题关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，列不等式求解．【解答】解：二次根式有意义，，解得．故答案为：．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围．函数表达式为二次根式时，被开方数为非负数．10．【分析】由随的增大而增大，可得出，取即可得出结论．【解答】解：随的增大而增大，，符合题意．故答案为：．【点评】本题考查了正比例函数的性质，牢记“当时，随的增大而增大；当时，随的减小而减小”是解题的关键．11．【分析】根据勾股定理求出长方形对角线的长，得到的长，从而得到点表示的数．【解答】解：根据勾股定理得，点表示的数为．故答案为：．【点评】本题考查了实数与数轴，勾股定理，根据勾股定理求出长方形对角线的长是解题的关键．12．【分析】求出阴影部分的正方形的边长，即可得到面积．【解答】解：四个全等的直角三角形的直角边分别是8和6，阴影部分的正方形的边长为，阴影部分面积为．故答案为：4．【点评】本题考查了“赵爽弦图”，正方形的面积，熟悉“赵爽弦图”中小正方形的边长等于四个全等的直角三角形中两直角边的差是解题的关键．13．【分析】证明，列出比例式，求出，得到．【解答】解：，，；由勾股定理得：；由题意得：，；；，，而，，，，解得：．，故答案为：10．【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握翻折不变性，熟练运用勾股定理进行求解．14．【分析】根据直角三角形的性质求出，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：，是的中点，，，，分别是，的中点，，故答案为：14．【点评】本题考查的是三角形中位线定理和直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．15．【分析】先确定出，的坐标，进而得出，即可建立不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：点在直线上，，轴，且点在直线上，，，，，，故答案为：．【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解不等式，表示出是解本题的关键．16．【分析】根据正方形的判定和性质，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理即可得到结论．【解答】解：如图，作线段的垂直平分线交于，交于．垂直平分线段，，，四边形是正方形，，，，垂直平分线段，，四边形是菱形，在运动过程中，这样的菱形有无数个，当点与或重合时，四边形是正方形，至少存在一个四边形是正方形，当点与或重合时，四边形是正方形（即是矩形），且，不可能存在无数个矩形，①②④正确，故答案为①②④．【点评】本题考查了正方形的判定和性质，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，熟练掌握各定理是解题的关键．三.解笞题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）.17．【分析】根据二次根式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．【解答】解：原式．【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．18．【分析】可以选择③作为条件，②作为结论，然后证明全等即可．【解答】解：③作为条件，②作为结论，证明：平行四边形的对角线，相交于点，、是上两点，，，，，在和中，，，．【点评】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握实数的定义、无理数的定义、对顶角的性质、垂线的性质等知识是解答此题的关键．19．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）连接，，证明四边形是平行四边形即可解决问题．【解答】（1）解：使用直尺和圆规，补全图形如图所示．（2）证明：连接，．四边形是平行四边形，，，四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（平行四边形的对角线互相平分点为所求作的边的中点．故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分．【点评】本题考查基本作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．【分析】（1）利用勾股定理，判断即可．（2）利用分割法求解即可．（3）取格点，连接，即可．【解答】解：（1）不是直角．理由：，，，，不是直角．（2）．（3）如图，四边形即为所求作．【点评】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理以及逆定理，四边形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．【分析】（1）利用阅读材料，先计算出的值，然后根据海伦公式计算的面积；（2）利用面积法求的长．【解答】解：（1），，．，的面积；（2）如图，的面积，，．【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高．也考查了阅读理解能力．22．【分析】（1）只要证明四边形是平行四边形，且，即可；（2）求、，利用三角形面积公式可得．【解答】解：（1），，四边形是平行四边形，，是边的中线，，即．四边形为矩形．（2）在矩形中，，，是的中点，，，根据勾股定理，，，，即为18．【点评】本题考查矩形的判定和性质、等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，属于中考常考题型．23．【分析】（1）利用全等三角形的性质证明即可解决问题；（2）由直角三角形的性质可求解．【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，，，，，且，，，，四边形是菱形；（2）如图，，，，，，且，．【点评】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．24．【分析】（1）根据函数图象中的数据可以写出甲行驶的路程；（2）根据函数图象中的数据可以求得乙车行驶的速度和甲等候乙车的时间；（3）根据函数图象中的数据可以计算出甲、乙两车第一次相遇的时间；（4）根据题意可以计算出两车相距20千米时行驶的时间．【解答】解：（1）由图象可得，甲行驶的路程为560千米，故答案为：560；（2）乙车行驶的速度为：千米时，甲车等候乙车的时间为：小时，故答案为：80，0.5；（3），，当时，甲车的速度是：千米时，设甲、乙两车小时时，两车第一次相遇，，解得，，故答案为：2；（4）当甲、乙两车行驶小时时，相距20千米，当时，，得，当时，，解得，（舍去），，当时，，解得，，由上可得，当甲、乙两车行驶1小时、3小时或4.25小时，两车相距20千米，故答案为：1，3或4.25．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．25．【分析】（1）分母不为0，即可求解；（2）当时，．即可求解；（3）描点画出函数图象即可；（4）答案不唯一：如：当时，随的增大而增大等．【解答】解：（1）分母不为0，即：；（2）当时，．；（3）该函数的图象如下图所示．（4）答案不唯一：该函数的其它性质：①当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．②函数的图象与轴无交点，图象由两部分组成．（写出一条即可）．【点评】本题考查的是函数图象，主要让学生通过描点画出函数图象，从图象读取相关的数据26．【分析】（1）①把代入，可求出的值，②画出函数的图象，可知三角形内有1个“整点坐标”；（2）当直线绕着点顺时针旋转时，就有3个“整点坐标”，即，当直线过点，2时，取最小值，可得取值范围．【解答】解：（1）①正比例函数图象过点，代入得：，即，故答案为：1；②如图，直线、直线和轴围成的三角形是，则三角形内的“整点坐标”有1个，，故答案为：1，；（2）当直线过点时，其关系式为，当直线过点时，其关系式为，当三角形内有3个“整点坐标”，的取值范围为．【点评】考查一次函数的图象上点的坐标特征，理解“整点坐标”的实际意义是正确解答的前提．27．【分析】（1）①如图1，过点作，交于点，先证明，，即可得出答案；②由①可得，，，，进而得出：，即可求得答案；（2）根据题意补全图形，利用证明，进而得出是等腰直角三角形，即可证得结论．【解答】解：（1）①如图1，过点作，交