2021新高考全国I卷数学真题及参考答案

2021年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国I卷）

数学

本试题共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷

类型填涂在答题卡相应的位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须卸载答题卡各题目指定区域内相应位

置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准适用铅笔和涂改液。不按以上要

求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.设集合A={X-2<X<4},8={2,3,4,5},贝ijAA8=

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

2.已知z=2-i,则z(z+i)=

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

3、已知圆锥的底面半径为其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为

A.2B.2V2C.4D.4V2

71

4.下列区间中,函数y（x）=7sin（xz）单调递增的区间是

6

A.(0,；)n3兀3兀

B.(-,7i)C.(TC—)D.（a。）

fy

5.已知F-B是椭圆C:=1的两个焦点，点〃在C上,则IMQIWBI的最大值为

A.13B.12C.9D.6

sin0(l+sin20)

6.若tan0=-2,人sin火cos。

62?6

A.--B.--C.1D.-

5555

7.若过点（a,b）可以作曲线产F的两条切线，则

A.e'<aB.ea<bC.0<6z<ebD.0<b<ea

8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次，每次取1个球。甲表示事

件”第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的数字是2”，丙表示事件“两次取出的数字之和是

8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7"，则

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选

对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.有一组样本数据孙及,…，X,”由这组数据得到新样本数据》,”，…，>'«，其中y5+c(i=l,2,…，"),c为

非零常数，则

A.两组样本数据得样本平均数相同

B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D,两组样本数据的样本极差相同

10.已知。为坐标原点，则尸i(cosa,sina),P2(cos月,-sina),尸3(cos(a+0,sin(a+0);A(l,O),则

A.两|=|网B.丽|=丽|

C.OAOPl=OP^VP^D.OAOP^=OP^CP^

11.已知点P在圆(x-5)2+G-5)2=16上，点A(4,0),B(0,2),则

A.点P到直线AB的距离小于10

B.点P到直线AB的距离大于2

C.当NPBA最小时，|PB|=3近

D.当NP8A最大时，|PB|=3V2

12.在正三棱柱ABC-AIBCI中，AB=AA^\,点P满足丽=版+曲面,其中法[0,1],〃以0,1],则

A.当;1=1时，AA8P的周长为定值

B.当.1时，三棱锥P-4BC的体积为定值

C.当；时，有且仅有一个点P,使得AiPlBP

D.当片;时，有且仅有一个点P,使得平面ASP

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数/(%)=如(02*-27)是偶函数，则a=.

14.已知O为原点坐标，抛物线C：产=2»(2>0)的焦点为尸，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一

点，KPQ1OP,若|FQ|=6,则C的准线方程为。

15.函数式x)=|2x-l|-2lnx的最小值为。

16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿着纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dmxl2dm

的长方形纸，对折1次共可以得到lOdmxl2dm,20dmx6dm两种规格的图形，它们的面积之和Si=240dm2,

对折2次共可以得到5dmx12dm,10dmx6dm,20dmx3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2=180dm2,

以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种类为；如果对折"次，那么2s产dm?

k=l

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

a+\,〃为奇数,

17.（10分）已知数列｛〃“｝满足。|=1,«„+1='n

°”+2,n为偶数。

（1）记为=42",写出仇、匕2,并求出数列｛九｝的通项公式;

（2）求｛斯｝的前20项和.

18.（12分）

某学校组织“一带一路'’知识竞赛，有4,B两类问题。每位参加比赛的同学现在两类问题中选择一类并从

中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中在随机抽取一个问

题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束。A类问题中的每个问题回答正确的20分，否则得0分；B类

问题中得每个问题回答正确得80分，否则得0分。

已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答8类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概

率与回答次序无关。

（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计的饭呢，求X的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应先回答哪类问题？并说明理由。

19.(12分)

记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知加=砒，点。在边AC上，BDsmZABC=asinC.

(1)证明：BD=b；

(2)若AD=2OC,求cosNABC

20.(12分)如图，在三棱锥A-BCQ中，平面ABDL平面BCD,AB=AD,。为8。的中点。

(1)证明：OALCD

(2)若AOC。是边长为1的等边三角形，点E在棱AO上，OE=2EA,且二面角E-BC-。的大小为45。，求

三棱锥A-BCO的体积。

21.(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点Fi(，炽0),母(，万,0)，点M满足.记M的轨迹

为C。

(1)求C的方程

(2)设点T在直线广;上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P、。两点，S.\TA\■\TB\=\TP\-\TQ

I，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和。

22.(12分)已知函数,/'a)=x(l-lnx).

(1)讨论了(%)的单调性；

(2)设〃，人为两个不相等的正数，Kb\na-a\nb=a-b>证明：2<-+;<e.

ab

2021全国新高考一卷数学参考答案及解析

一、选择题

1.B

解析：注意到故选B.

2.C

解析：z信»)=(2-*)(2+2。=6+2i.故选C.

3.B

解析：设例惟母线长为L根据半0B的弧长等于圆锥底面圆周长可得n=26",得故选8.

4.A

解析：根据图像和平移的性质知.函数〃工)在(-：,2：)上单调递增.在(-1，?)上单调递减，故选4

JJJJ

5.C

解析：由椭圆的性质有|MA|+|MF2|=2a=6,由均值不等式得：

阳川•阳阳＜J(|A/Fi|+|M/尸=9.

等号成立时,|MA|=|MB|=3,M为桶圆的上或下顶点.故选C.

6.C

解析：

sin0(1+sin20)_sinfl(sjnfl+cost()2_sin2#+sin0cos0_tanJ0+tan9__2

sine+cos©sintf+cos^sin20+cos20tan^O+15'

故选C.

7.D

解析：根据函数的凹凸性,知(。法)不可能在y=上方,再根据y=0是渐近线知，这个点应该介于y=c*

和v=o之间,故0<bed.故选。.

8.B

解析：不妨设甲、乙、丙、丁发生的概率分别为P(a),P(6).P(c),P(d),那么P(a)=1,P(b)="P(c)=

516i6

P(G=L甲丙同时发生的概率为P(ac)=0,甲丁同时发生的概率为尸(ad)=2,乙丙同时发生

OO,>OOD

的概率为P(6c)=丙丁同时发生的概率为P(的=0.满足P(喇=PC"®的只有甲丁组合・故选

B.

二、选择题

9.CD

解析：根据样本数据的平均数，中位数、标准差、极差的计算公式可以看出，GD选项正确.故选CD.

10.AC

解析：|OX|=|。月|=1,A正确；片E22cosa,|4/^|2-22cos3.8错误；OF{OT^-amacos3

sinasin3=co«(a4-^)=cZt-.C正确；OF^-OF^=cow(a4-3)cos5-sin(a4-sin3=(a-t-20),oA-

OK=cosa,。错误.故选AC.

11.ACD

解析：圆的半径r=4,直线AB方程为y=-；工+2过『作直线45平行线,方程为y=；+?•两

宜境之间距离d=户注意到d<6,故P到直线AB距离最大值为d+r<10,4正

J1+(T)2㈠

确：P到直线AB距离最小值为d-r<2.8错谈；NP4E的最值在P8为切线时取得设圆心0(5,5),则

OB=由于PB为切线，故PB_LOB,由勾股定理得|PB|=衣二I3=3%/i再由于同一点

到圆的两条切线是等长的.故CD正确，故选4CQ.

12.BD

解析：对于?1选项,当人=】时，P为CCi上的点，此时|4P[+|PBi|不为定值.4甯谟.对于8选项.

当“=1时，尸为BiG上的点,由于BiG〃BC,故BQi〃平面48c.因此三棱锥「-4|BC的高为定

值.B正确;对于C选项,设BC中点为D.BiG中点为5，那么当A=§时，P为。5上的点,由于

45L平面BCG81.故4DJBD1，再由8DJ_平面知4ZXLB。.从而当P分别与。或5重合

时满足APJLBP.故有赭个?满足条件,C错谡；对于。选项.设CC1中点为E.BB1中点为F,正方

形44|8|B的中心为G.那么当“=之时P为EF上的点，考虑到EGJ_平面44以艮故EGL4/,又

因为ABL4&.故4B_L平面EABi,即当〃与E重合时满足条件，这样的户一定是唯一的.因为过48

两点并与直线A.B垂直的平面是唯一的•

三、填空题

13.1

解析：令/(工)=/(-©可得/(2，+2-，)(<1-1)=0对于任意工恒成立.故a

解析：焦点坐标为F(1,0).P点坐标为P(1,p),从而|叩=p.|OF|-根据直角三角形的性质有恒等

式|尸为2=|。川•|FQ|,得p2=3p,故p=3.准线方程为了=-；.

15.1

解析：当22：时，/(x)=21-2ln(x)-1,f'(x)=—~—>0.故f(x)>/(I)=1,当工<；时，f(x)=

2XL

\-21n(z)-2x./'(工)=二以七3<o.St/(H)>/(b=2ln2>l..故函数〃工)最小值为1.

XZ

16.5240(3-展)

解析：根据规律可知，对于给定的n.折叠n次可以得到图形的规格形如(:)dmx(晟)dm.其中k=

0,1,…，n,不同规格抑数为n+1,从而当n=4时的规格神数为5,每一种规格的面积看是罢dm。从而

S一理”因此

£&=24也*=240(2X^6银)

1(=1*=|*=1*=1

1

;刈£"2了方*»=240(2-"2^+'£；*)

JrarDJk»l—I

240(3--^3)(dm2).

四、解答题

17.

(1)

由数学归纳法不难归纳出

V2jn

0.1='

卡2|n

从而除R。加-3n-l.(n€Z*),b\-2,&=5.

(2)

201010

£"=Z。31+E021

k»ik»»\

ioio

-£(3A:-2)+£(3k1)

mm

to

=6£k-30:300.

18.

⑴

X的分布列为：

P(X=0)=0.2

P(X=20)=0.8X(1-0.6)=0.32

P(X=100)=0.8x0.6=0.48.

(2)

在先答类型人的前提下，数学期望为

E(X)-20x0.32+100x0.48=54.4

在先答类型8的前提F.数学期里为

E(Y)-80x0.6x(1-0.8)4-100x0.48=57.6

由于小明先答B能使累计得分数学期望更大(E(V)>E(X)),故小明应该先答类型B

4

19.

(1)

由正弦定理可得:

BD=amnC=ac=?="

sinBbb

(2)

注意到与NBDC是互补的.它们的余弦值互为相反数.从而分别在aS。人以及aBDC中使用余

修定理得:

/+(泄产产+(物产-a2

cos/.BDA+cos£BDC2(a)•6+2-(lfc)-6

化筒得犷-J-2J=0,再由t>2=ac代入得

3c2-liar+6a"=0.

令人=£,得3*-1口+6=0,解得A=3或:.从而

a3

M+c2—/a24-c2-acA2-A+1

cos/.ABC-

2ac

得cosZB=;(舍)或］1.

20.

(1)

由于平面人4OJ.平面BCD,而八打―4D.等腹三角形的中段即为高,因而考虑到3。为两平面

的交集,因此45L平面BCD.从而O41TD

(2)

以。为原点.温+。3方向为工轴正方向.+方向为v轴正方向.况方向为z轴正方向建立坐

标系.设|。川=儿那么我们可以得到各个点的坐标0(-W)C(；,泉0).呜-等,0).4(0,0.A),

E(-；，理,)),设平面8C0的一个法向量为Ft=(O,O,l),平面BCE的一个法向fit为&=(工,/1),而后K=

003

(0,6,0).就=,停，-：八).那么

5

-5?=01=h

tJj*=0y=0

从而86<R,试>=厂二=W±，得到h=l“因此三极锥的体积为

V1+M2

*；xlxx/5xl=f

21.

(1)

由双曲线的定义知.。是一个右半边的双曲埃.其中a=；(|MFi|+|AfFd)=l.c=Tn,6=VTT^l=4.

故C的方程为

工，-再=L(*>1)

(2)

考虑过T点任意斜率k并交C于两点的情况•直线的方程为y=Jtx+i-*代入C的方程并化褐得

(16-*2)，k^t--2k}~(/->2-16=0.

此时,设直线与C的两个交点为XIMJH)和、2(工2,⑷.那么由韦达定理得X,+X,-/)

，XH2

10—K*

.此时

\TXt\■\TXt\=，收+吗_皿).小干弓-xa)

(汽+1)(句工2-2(工1+工2)+»

_(1+4)(尸+12)

令|TXI|.|TX2|=X.我们整理衿

A216A,

―川-^7W+1-

此时我们设直线T4和宜线TP斜率分别为*i,打出#灯)，那么它们是上述方程的两个根(对于某个给定

的人而言)，因而由韦达定理得h+k=0.

22.

(1)

求导数得r(工)=-加(了).根据r(z)的正负知〃工)在(0,1)上单调递增，在(1,8)上单调递减•

(2)

证明：令u=L.u=[化筒得u(l-in(u))=v(l-ln(u)),即/(u)=/(v),此时我们只需要证明2<u+u<

ao

e,也即2-tiVvVe—u.其中