第15讲专题4整式的化简求值

第15讲专题4整式的化简求值（解析版）类型一化繁为简再求值1．（2023秋•龙华区期末）先化简，再求代数式的值：3（a2b+ab2）−12（4a2b﹣2）﹣（3ab2+2），其中a＝﹣3，【思路引领】原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝3a2b+3ab2﹣2a2b+1﹣3ab2﹣2＝a2b﹣1，当a＝﹣3，b＝2时，原式＝（﹣3）2×2﹣1＝17．【总结提升】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键．2．（2022秋•东昌府区校级期末）先化简，再求值：（1）（﹣5x2﹣2y+3）﹣2（﹣2y﹣x2+1），其中x＝﹣2，y＝4．（2）已知（a﹣3）2+|b+2|＝0，求5ab2﹣[2a2b﹣（4ab2﹣2a2b）]的值．【思路引领】（1）先去括号，然后合并同类项，最后将字母的值代入进行计算即可求解；（2）先去括号，然后合并同类项，然后根据非负数的性质求得a，b的值，代入进行计算即可求解．【解答】解：（1）（﹣5x2﹣2y+3）﹣2（﹣2y﹣x2+1）＝﹣5x2﹣2y+3+4y+2x2﹣2＝﹣3x2+2y+1，当x＝﹣2，y＝4时，原式＝﹣3×（﹣2）2+2×4+1＝﹣12+8+1＝﹣3；（2）5ab2﹣[2a2b﹣（4ab2﹣2a2b）]＝5ab2﹣（2a2b﹣4ab2+2a2b）＝5ab2﹣2a2b+4ab2﹣2a2b＝9ab2﹣4a2b，∵（a﹣3）2+|b+2|＝0，∴a﹣3＝0，b+2＝0，∴a＝3，b＝﹣2，∴原式＝9×3×（﹣2）2﹣4×32×（﹣2）＝108+72＝180．【总结提升】本题考查了整式的加减与化简求值，绝对值的非负性，掌握整式的加减运算法则和绝对值的非负性是关键．3．（2021秋•武功县期中）先化简，再求值：A＝4ab﹣2b2﹣a2，B＝3b2﹣2a2+5ab，当a＝1.5，b=−12时，求3B﹣4【思路引领】利用整式加减运算的法则化简，然后代入a，b的值可求得．【解答】解：3B﹣4A＝3（3b2﹣2a2+5ab）﹣4（4ab﹣2b2﹣a2）＝9b2﹣6a2+15ab﹣16ab+8b2+4a2＝17b2﹣2a2﹣ab，当a＝1.5，b=−13B﹣4A＝17b2﹣2a2﹣ab＝17×（−12）2﹣2×（1.5）2﹣1.5×（−1【总结提升】本题考查了整式加减运算，利用整式加减运算法则化简，代入求值即可．类型二整体代入求值4．（2021秋•仪征市期中）阅读：小颖同学善于总结反思，她发现在代数式求值问题中整体思想的运用非常广泛．如：已知5a+3b＝﹣4，求代数式2（a+b）+4（2a+b）的值？小颖同学提出了一种解法如下：原式＝2a+2b+8a+4b＝10a+6b，把式子5a+3b＝﹣4两边同时乘以2，得10a+6b＝﹣8．仿照小颖同学的解题方法，完成下面的问题：（1）如果a+b＝2，则a+b+1＝3；（2）已知a﹣b＝﹣2，求3（a﹣b）﹣2a+2b+5的值；（3）已知a2+2ab＝﹣2，ab﹣b2＝﹣4，求4a2+7ab+b2的值．【思路引领】（1）将a+b+1变形为（a+b）+1，然后将a+b＝2代入计算；（2）将3（a﹣b）﹣2a+2b+5变形为3（a﹣b）﹣2（a﹣b）+5，再将a﹣b＝﹣2的值代入即可；（3）将4a2+7ab+b2变形为4（a2+2ab）﹣（ab﹣b2），再将a2+2ab＝﹣2，ab﹣b2＝﹣4代入计算．【解答】解：（1）∵a+b+1＝（a+b）+1，∴当a+b＝2时，原式＝2+1＝3，故答案为：3；（2）∵3（a﹣b）﹣2a+2b+5＝3（a﹣b）﹣2（a﹣b）+5，∴当a﹣b＝﹣2时，原式＝3×（﹣2）﹣2×（﹣2）+5＝﹣6+4+5＝3；（3）∵4a2+7ab+b2＝（4a2+8ab）+（﹣ab+b2）＝4（a2+2ab）﹣（ab﹣b2），∴当a2+2ab＝﹣2，ab﹣b2＝﹣4时，原式＝4×（﹣2）﹣（﹣4）＝﹣8+4＝﹣4．【总结提升】此题考查了运用整体思想求代数式的值的能力，关键是能将原代数式准确变形为能整体代入求值的形式．5．（2021秋•泗阳县期中）课本第93页，第17题是这样的一道题“如果代数式5a+3b的值为﹣4，那么代数式2（a+b）+4（2a+b）的值是多少？”爱动脑筋的小李同学这样来解：原式＝2a+2b+8a+4b＝10a+6b．我们把5a+3b成一个整体，把式子5a+3b＝﹣4两边乘以2得10a+6b＝﹣8．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题：【简单应用】（1）已知a2+a＝3，则a2+a﹣8＝﹣5．（2）已知a﹣b＝﹣2，求3（a﹣b）﹣a+b+9的值．【拓展提高】（3）已知a2+2ab＝﹣5，ab﹣2b2＝﹣3，求代数式2a2+3ab+2b2的值．【思路引领】（1）将a2+a＝3整体代入原式即可求出答案．（2）将（a﹣b）看成一个整体，然后合并同类项，最后将a﹣b的值代入原式即可求出答案．（3）将原式进行整理，然后将a2+2ab＝﹣5，ab﹣2b2＝﹣3整体代入整理后的式子即可求出答案．【解答】解：（1）当a2+a＝3时，a2+a﹣8＝3﹣8＝﹣5，故答案为：﹣5．（2）原式＝3（a﹣b）﹣（a﹣b）+9＝2（a﹣b）+9，当a﹣b＝﹣2时，原式＝﹣2×2+9＝﹣4+9＝5．（3）当a2+2ab＝﹣5，ab﹣2b2＝﹣3时，原式＝2a2+2ab+2b2+ab＝（2a2+4ab）﹣（ab﹣2b2）＝﹣2×5﹣（﹣3）＝﹣10+3＝﹣7．【总结提升】本题考查整式的加减，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．6．（2022秋•公主岭市期中）[阅读理解]若代数式x2+x+3的值为7，求代数式2x2+2x﹣3的值．小明采用的方法如下：由题意得x2+x+3＝7，则有x2+x＝4，2x2+2x﹣3＝2（x2+x）﹣3＝2×4﹣3＝5．所以代数式2x2+2x﹣3的值为5．[方法运用]（1）若代数式x2+x+1的值为10，求代数式﹣2x2﹣2x+3的值．（2）当x＝2时，代数式ax3+bx+4的值为9，当x＝﹣2时，求代数式ax3+bx+3的值．[拓展应用]若a2﹣ab＝26，ab﹣b2＝﹣16，则代数式a2﹣2ab+b2的值为42．【思路引领】[方法运用]（1）仿照阅读材料，将x2+x＝9代入即可；（2）由x＝2时，代数式ax3+bx+4的值为9得8a+2b＝5，即得当x＝﹣2时，ax3+bx+3＝﹣（8a+2b）+3＝﹣2；[拓展应用]由a2﹣ab＝26，ab﹣b2＝﹣16，得a2﹣ab﹣（ab﹣b2）＝26﹣（﹣16）＝42，即可得到答案．【解答】解：[方法运用]（1）由题意得：x2+x+1＝10，∴x2+x＝9，∴﹣2x2﹣2x+3＝﹣2（x2+x）+3＝﹣2×9+3＝﹣18+3＝﹣15，∴代数式﹣2x2﹣2x+3的值为﹣15；（2）∵当x＝2时，代数式ax3+bx+4的值为9，∴8a+2b+4＝9，即8a+2b＝5，∴当x＝﹣2时，ax3+bx+3＝﹣8a﹣2b+3＝﹣（8a+2b）+3＝﹣5+3＝﹣2，∴当x＝﹣2时，代数式ax3+bx+3的值为﹣2；[拓展应用]∵a2﹣ab＝26，ab﹣b2＝﹣16，∴a2﹣ab﹣（ab﹣b2）＝26﹣（﹣16）＝42，∴a2﹣2ab+b2＝42，故答案为：42．【总结提升】本题考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项的法则及整体思想的应用．类型三整式加减中的无关问题7．已知A＝2x2+mx﹣y，B＝nx2﹣x+6y是关于x，y的多项式，其中m，n为常数．（1）若m＝1，n＝﹣2，化简A+B；（2）若A﹣2B的值与x的取值无关，求代数式m2n2021的值．【思路引领】（1）把m，n的值代入A，B中，再应用整式加减法则进行计算即可得出答案；（2）先应用整式加减法则进行计算A﹣2B，根据题意可计算出m，n的值，代入计算即可得出答案．【解答】解：（1）把m＝1，n＝﹣2代入上式，得A＝2x2+x﹣y，B＝﹣2x2﹣x+6y，则A+B＝2x2+x﹣y+（﹣2x2﹣x+6y）2x2+x﹣y+（﹣2x2﹣x+6y）＝2x2+x﹣y﹣2x2﹣x+6y＝5y；（2）A﹣2B＝2x2+mx﹣y﹣2（nx2﹣x+6y）＝2x2+mx﹣y﹣2（nx2﹣x+6y）＝2x2+mx﹣y﹣2nx2+2x﹣12y＝（2﹣2n）x2+（m+2）x﹣13y，∵A﹣2B的值与x的取值无关，∴2﹣2n＝0，m+2＝0，∴n＝1，m＝﹣2，m2n2021的＝（﹣2）2×12021＝4×1＝4．【总结提升】本题主要考查了整式加减﹣化简求值，熟练掌握整式加减﹣化简求值的方法进行求解是解决本题的关键．8．有这样一道题“求（2x3﹣3x2y﹣2xy2）﹣（x3﹣2xy2+y2）+（﹣x3+3x2y﹣y3）的值，其中x=12022，y＝﹣1”．小明同学把“x=12022【思路引领】先化简整式说明小明计算正确的原因，再代入求出正确结果．【解答】解：（2x3﹣3x2y﹣2xy2）﹣（x3﹣2xy2+y2）+（﹣x3+3x2y﹣y3）＝2x3﹣3x2y﹣2xy2﹣x3+2xy2﹣y2﹣x3+3x2y﹣y3＝﹣y2﹣y3．∵整式化简后，不含有x的项，所以小明同学把“x=12022”错抄成了“x当x=12022，原式＝﹣（﹣1）2﹣（﹣1）3＝﹣1+1＝0．【总结提升】本题主要考查了整式的化简求值，掌握合并同类项法则、去括号法则是解决本题的关键．类型四整式的化简求值与数轴绝对值的综合9．（2021秋•兴仁市校级月考）有理数a，b，c所对应的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式|a﹣c|﹣|b|﹣|b﹣a|+|b+a|．【思路引领】首先判断出a﹣c，b，b﹣a，b+a的正负，再去掉绝对值符号，然后合并同类项即可．【解答】解：由题意可知a﹣c＜0，b＞0，b﹣a＞0，b+a＜0，则|a﹣c|﹣|b|﹣|b﹣a|+|b+a|＝﹣a+c﹣b﹣b+a﹣b﹣a＝﹣a﹣3b+c．故答案为：﹣a﹣3b+c．【总结提升】此题主要考查了数轴、绝对值，解题关键是掌握①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零10．（2022秋•南昌期末）化简已知a，b，c在数轴上的位置如图所示：（1）化简：|a+b|﹣|c﹣b|+|b﹣a|（2）若a的绝对值的相反数是﹣2，﹣b的倒数是它本身，c2＝4，求﹣a+2b+c﹣（a+b﹣c）的值．【思路引领】（1）根据