专题04基本不等式（4知识点6题型）(原卷版)

基本不等式常考题型常见求最值模型均值定理基本不等式重要不等式题型一：直接法求最值题型二：”1”的代换利用基本不等式求最值题型三：消元法求最值题型四：“一次或二次”型求最值题型五：常见拆、凑、配、分离等方法凑基本不等式求最值基本不等式常考题型常见求最值模型均值定理基本不等式重要不等式题型一：直接法求最值题型二：”1”的代换利用基本不等式求最值题型三：消元法求最值题型四：“一次或二次”型求最值题型五：常见拆、凑、配、分离等方法凑基本不等式求最值题型六：利用基本不等式解决实际问题知识点一：重要不等式知识点一：重要不等式重要不等式(1)若任意，则 当且仅当时，等号成立(2)公式变形：.当且仅当时，等号成立知识点二、知识点二、基本不等式基本不等式（1）如果，当且仅当时，等号成立。其中，叫作正数的算术平均数，作正数的几何平均数。因此基本不等式也可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。（2）变形公式：（3）用基本不等式求最值时，要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”（4）重要不等式串：即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).知识点三：知识点三：均值定理已知.（1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.知识点知识点四：常见求最值模型模型一：，当且仅当时等号成立；模型二：，当且仅当时等号成立；模型三：，当且仅当时等号成立；模型四：，当且仅当时等号成立．题型一、直接法求最值解题思路：利用基本不等式直接求最值（1）通过简单数据处理在直接利用基本不等式求最值，当且仅当时等号成立；，当且仅当时等号成立；例1．（多选题）下列不等式正确的有（

）A．若，则函数的最小值为2B．最小值等于4C．当D．函数最小值为例2．已知，若的最小值是6，则．例3．已知且，则的最小值为（

）A． B．4 C．6 D．12变式训练：4．已知，则的最小值为（

）A．6 B．5 C．4 D．35．若正数满足，则的最大值为（

）A．9 B．18C．36 D．816．（多选题）下列结论正确的是（

）A．设，则的最小值是B．当时，的最小值是2C．当时，D．当时，的最小值是5题型二、”1”的代换利用基本不等式求最值解题思路：利用基本不等式直接求最值（关键就是凑倒数形式）（1）1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形．（2）根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法，得到基本不等式的倒数形式（3）利用基本不等式求最值，注意验证取得条件．例1．两个正实数，满足，若不等式有解，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．例2．已知，且，则的最小值为（

）A．8 B．16 C．12 D．4例3．（多选题）已知，且，则（

）A．的最大值为 B．的最小值为9C．的最小值为 D．的最大值为变式训练4．若正数满足，则的最小值是.5．已知，，且，则的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．36．已知正实数x，y满足，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．8 D．97．已知，则的最小值是．8．设函数，(1)若，求不等式的解集．(2)若时，，且，，求的最小值．题型三、消元法求最值解题思路：利用消元法和基本不等式求最值（1）消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数；（2）再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！例1．已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．例2．若，，且，则的最小值是（

）A．5 B．8 C．13 D．16例3．已知，，，则的最小值为．变式训练：4．已知，，且，则的最小值为.5．若正数，满足，则的最大值为．6．已知，且，则的最小值为.题型四、“一次或二次”型求最值解题思路：利用“二元”和基本不等式求最值通过换元或者分离常数的方法凑出基本不等式的形式。再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！例1．函数的最小值是（

）A． B．3 C．6 D．12例2．设正实数、、满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．例3．已知，且，则的最小值是（

）A．6 B．8 C．14 D．16变式训练：4．若对任意实数x，不等式恒成立，求实数k的取值范围．5．函数的最小值为．6．函数的值域是．7．（多选题）下列函数中，最小值为2的函数是（

）A． B．C． D．8．求解下列各题：（1）求的最大值；（2）求的最小值.题型五：常见拆、凑、配、分离等方法凑基本不等式求最值解题思路：常见拆、凑、配、分离等方法凑基本不等式求最值（1）通过添项、拆项、变系数、配等方法凑成和为定值或积为定值的形式．（2）再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！例1．（多选题）下列说法正确的有（

）A．已知，则的最小值为B．的最小值为2C．若正数x，y满足，则的最小值为3D．设x，y为正实数，若，则的最小值是1例2．（多选题）设正实数x，y满足，则（）A．的最大值是 B．的最小值是9C．的最小值为 D．的最小值为2例3．（多选题）下列结论中，所有正确的结论是（

）A．若，则函数的最大值为B．若，则的最小值为C．若，则的最大值为1D．若，则的最小值为变式训练：4．已知均为正数，且，则的最小值为（

）A．11 B．13 C．10 D．125．不等式对所有的正实数,恒成立，则的最大值为（

）A．2 B． C． D．16．已知，则的最小值为（

）A．4 B．6 C． D．107．已知正数x，y满足，则的最小值为.8．（多选题）下列结论不正确的是（

）A．当时， B．当时，的最小值是C．当时，的最小值是 D．当时，的最小值是题型六利用基本不等式解决实际问题解题思路：利用基本不等式解决实际问题的三个注意点(1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)解题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解，如利用f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a＞0)的单调性．例1．现设计一个两邻边的长度分别为的矩形广告牌，其面积为，且，则当该广告牌的周长最小时，（

）A．3 B．4 C．5 D．6例2．某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元．(1)设AD长为x米，总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式；(2)问：当x为何值时S最小，并求出这个S最小值.变式训练：3．某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似表示为，为使每吨的平均处理成本最低，则该厂每月的处理量应为吨．4．全国文明城市称号是反映中国大陆城市整体文明水平的最高荣誉称号．全国文明城市是中国大陆所有城市品牌中含金量最高、创建难度最大的一个，是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，是目前国内城市综合类评比中的最高荣誉，也是最具有价值的城市品牌．吉林省某市一块空闲地，垃圾成堆并存在违规菜地现象，为响应政府号召，对这块空闲地进行改造，计划建一面积为4000m2矩形市民休闲广场．为此社区党委开会讨论确定方针：既要占地最少，又要美观实用．初步决定在休闲广场四周安排绿化带，绿化带东西宽为2m，南北宽为5m．(1)设总占用空地的面积为S（单位：m2），矩形休闲广场东西距离为x（单位：m，），试用x表示为S的函数；(2)当x为多少时，占用空地的面积最少？并求最小值．5．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．(1)若菜园面积为18m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？(2)若使用的篱笆总长度为15m，求的最小值．一、单选题1．已知正数a，b满足，则的最小值为（

）A．13 B．16 C．9 D．122．设，则函数，的最小值为（

）A．7 B．8 C．14 D．153．若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．4．已知正实数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．5．的最小值为（

）A． B． C． D．6．已知正实数满足，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．8 D．97．已知正实数，，满足，则的最小值为（

）A．5 B． C． D．8．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（

）A． B．C． D．二、多选题9．设，满足，则下列结论正确的是（

）A．的最大值为 B．的最小值为4C．的最大值为2 D．的最小值为410．设，，满足，下列说法正确的是（

）A．ab的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为1三、填空题11．正数a，b满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围．12．已知正数x，y满足，则的最小值是.13．已知实数，且，则的最小值为.四、解答题14．已知函数.(1)当时