高考数学模拟题立体几何题

高考数学模拟题立体几何题库（1-600题）

1、二面角a-/-77是直二面角，Aea,Be,设直线48与a、所成的角分别为N1和N2,

则

(A)Z1+Z2=9O°(B)Zl+Z2^90°(C)Zl+Z2<90°(D)Zl+Z2<

90°

解析：C

如图所示作辅助线，分别作两条可二面角的交线垂直的线，则N1

和N2分别为直线AB与平面a,力所成的角。根据最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条

斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角

ZABO>Z2ZABO+Z1=90°/.Z2+Z1<90°

2.下列各图是正方体或正四面体，P,Q,R,S分别是所在棱的中点，这四个点中不去间的一

个图是

(D)

B项：如图°

C项：是个平行四边形

D项：是异面直线。

3.有三个平面a,8,Y,下列命题中正确的是

（A）若a,£,，两两相交，则有三条交线(B)若(z_L£,a±r,则£〃y

（C）若a-Lr,=a,BDy=b,则a(D)箱aUB,r=0,则an

r=0

D

解析：A项：如正方体的一个角，三个平面相交，只有一条交线。

B项：如正方体的个角，三个平面互相垂直，却两两相交。

解析：81cl_L平面ABCB£1尸8,•如图:P点到定点B的距离与到定直线

AB的距离相等，建立坐标系画图时可以以点BiB的中点为原点建立坐标系。

5.在正方体A8CD-4B1GD1中与AD1成60°角的面对角线的条数是

(A)4条(B)6条(C)8条(D)10条

C

，另外，这样的族•屈=

直线也有4条，共8条。

6.设A,B,C,D是空间不共面的四点，且满足Qn=0,ACAD=0,,则△BCD是

（A）钝角三角形（B）直角三角形（C）锐角三角形（D）不确定

C

解析：假设AB为a,AD为b,AC为c,且a>/?>C则，BD=J/+/,CD=\Jc2+b2,

D

c

BC=+。2如图则BD为最长边，根据余弦定理

cosZDCB=>0.・.NOCB最大角为锐角。所

以是锐角三角形。

7.设a、b是两条不同的直线，a、B是两个不同的平面，则下列四个命题（）

①若aJ_b,aJ_a,则匕〃a②若a〃a,a±/?,则。!p

③a±p,a1则a〃a④若aLb,a1.a,b-L£,则a_L/3

其中正确的命题的个数是()

A.0个B.1个C.2个D.3个

B解析：注意①中b可能在a上；③中a可能在a上;④中3/a,或力ea均有a_L£,

故只有•个正确命题

8.如图所示，已知正四棱锥s—ABCD侧棱长为正，底

面边长为g,E是SA的中点，则异面直线BE与SC

所成角的大小为)

A.90B.601

C.45D.30

B解析：平移SC到S5,运用余弦定理可算得8E

9.对于平面M与平面N,有下列条件:①M、N都垂工F面Q;③M

内不共线的三点到N的距离相等;④/,M内的两条直异面直线，且

/〃M,m//M;///N,m//N,则可判定平面M与平面I

()

A.1B.2

C.3C

只有②、⑤能判定W/N,选B

10.已知正三棱柱ABC—AiBiCi中,AjBlCBp则A】B与AJ

所成的角为B

(A)45°(B)60°

(C)90°(D)120°

C1

C解析：作CD±AB于D,作CD于Dv连BQ、AD1,易知ADBR

是平行四边形，由三垂线定理得AiBLACi，选C。

B

11.正四面体棱长为1,其外接球的表面积为

/r35

A、3nB.—〃C.—〃D.3万

22

解析：正四面体的中心到底面的距离为高的皿。（可连成四个小棱锥得证

12.设有如下三个命题：甲：相交直线/、m都在平面a内，并且都不在平面B内；乙：直线/、

m中至少有一条与平面B相交；丙：平面a与平面B相交.

当甲成立时，

A.乙是丙的充分而不必要条件B.乙是丙的必要而不充分条件

C.乙是丙的充分且必要条件D.乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件

解析：当甲成立，即“相交直线/、m都在平面a内，并且都不在平面B内”时，若“/、m中

至少有一条与平面6相交”，则“平面a与平面6相交.”成立；若“平面a与平面B相交”，则

“/、m中至少有一条与平面B相交”也成立.选（C）.

13.已知直线m、n及平面a,其中m〃"，那么在平面a内到两条直线m、n距离相等的点的

集合可能是：（1）一条直线;（2）一个平面;（3）一个点;（4）空集.其中正确的是.解

析：（1）成立，如m、n都在平面内，则其对称轴符合条件；（2）成立，m、n在平面a的同一

侧，且它们到a的距离相等，则平面。为所求，（4）成立，当m、n所在的平面与平面。垂直

时，平面a内不存在到m、n距离相等的点

14.空间三条直线互相平行，由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（）

A.3B.1或2C.1或3D.2或3

解析：C如三棱柱的三个侧面。

15.若a、b为异面直线，直线c〃a,则c与b的位置关系是（）

A.相交B.异面C.平行D.异面或相交解析：D如正方体的棱长。

16.在正方体AiBiCiDi—ABCD中，AC与&D所成的角的大小为（）

717t717t二？才

A.—B.—C.—D.5解析：DBiDDi/-'|----l\hj•影BD与AC垂直，根据三垂

线定理可得。，¥•以

17.如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条南—f生棱的中点，则直线PQ与RS

是异面直线的一个图是（）

006

（A）（B）（C）（D）

已

解析：CA,B选项中的图形是平行四边形，而D选项中可见图：一»

18.如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图,A、B、C为其上的三个点，则在正方体盒子

中，NABC等于rq（）

A.45°B.60°A,由B

C.90°D.120°1

A

a

解析：B如图

★右图是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：

①AB与CD所在直线垂直：②CD与EF所在直线平行

③AB与MN所在直线成60°角;④MN与EF所在直线异面

其中正确命题的序号是)

A.①③B.①④C.②③D.③④

解析：D

DB

19.线段力，OB,0C不共面，NA0B=NB0C=NCOA=60°,OA=\,OB-2,。03,则△4%是

（）

A.等边三角形BII等边的等腰三角形

C.锐角三角形D.钝角三角形

解析：B.设AC=x,AB=y,BOz,由余弦定理知：x=r+32-3=7,y-l2+22~2-3,/=2'+3'-6=7,,

a'是不等边的等腰三角形，选（皮.

7T

20.若ab,/是两两异面的直线，a与，所成的角是一，1与抵/与。所成的角都是a,

3

则a的取值范围是()

715乃p7171,n5万7171

A.[-,—B，[不X]C.—]D.—

66323662

解析：D

7T

解当，与异面直线a,6所成角的平分线平行或重合时，a取得最小值月，当/与a、6的公垂

6

7T

线平行时.，a取得最大值巴，故选（〃）.

2

21.小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为1m的

竹竿影长0.9m,但当他马上测树高时，因树靠近一幢建

筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙如图所

示.他测得留在地面部分的影子长2.7m,留在墙壁部分的

影高1.2m,求树高的高度（太阳光线可看作为平行光线）

4.2米

CD1.2

解析：树高为AB,影长为BE,CD为树留在墙上的影高,=---,CE=1.08米，

~CE~CE0.9

树影长BE=2.7+1.08=3.78米，树高AB=—BE=4.2米。

0.9

A

22.如图，正四面体4-BCD（空

间四边形的四条边长及两对角

线的长都相等）中，瓦尸分别是棱ARBC的中点，则

EF和4c所成的角的大小是________.

解析：设各棱长为2,则EF=&,取AB的中点为M,

cosNMbE=匕即。=工.

24

23.OX,OY,0Z是空间交于同一点0的互相垂直的三条直

线，点尸到这三条直线的距离分别为3,4,7,则。尸长

为.

解析：在长方体。XAY—ZBPC中，0X、。丫、0Z是相交的三条互相垂直的三条直线。又PZ-LOZ,

PY10Y,PX10X,有OX2+OZ2=49,0^=0%2=9,O^+O^IG,

得加必必37,。六屈.

24.设直线a上有6个点，直线6上有9个点，则这15个点，能确定___个不同的平面.

解析：当直线a，b共面时，可确定一个平面；当直线a，b异面时，直线a与b上9个点可

确定9个不同平面，直线b与a上6个点可确定6个不同平面，所以一点可以确定15个不同的

平面.

25.在空间四边形ABCD中，E,F分别是AB,BC的中点.求证：EF和AD为异面直线.

解析：假设EF和AD在同一一平面a内，…（2分），则A,B,E,Fea；...（4分）又A,EWAB,

.,.ABCa,........（6分）同理Cea........（8分）故A,B,C,Dea,这与ABCD是

空间四边形矛盾。；.EF和AD为异面直线.

26.在空间四边形ABCD中，E,H分别是AB,AD的中点，F,G分别是CB,CD的中点，若AC+

BD=a,AC-BD=b,求EG?+77/2.

解析：四边形EFGH是平行四边形，.......（4分）

EG2+FH2=2（EF2+FG2）=

-（AC2+BD2）^-（a2-2b）

22

27.如图,在三角形-ABC中,NACB=903AC=b,BC=a,P

/ABC所在平面外一点，PB±AB,M是PA的中点，

AB±MC,求异面直MC与PB间的距离.

解析：作MN//AB交PB于点N.（2^）VPB±AB,APBIMN.

分）又AB_LMC,（8分）MN即为异面直线MC

的公垂线段，（10分）其长度就是MC与PB之间的距离，

MN=-AB=-V«2+Z?2.

22

28.已知长方体ABCD—AiBiQDi中,AiA=AB,E、F分另lj是

BDi和AD中点.

（1）求异面直线CDi、EF所成的角；

（2）证明EF是异面直线AD和BDi的公垂线.

（1）解析：•.•在平行四边形BARG中，E也是4G的中点，（2分）

.••两相交直线DiC与CD1所成的角即异面直线CD】与EF所成的角.（4分）汉oi

A】A=AB,长方体的侧面都是正方形

,.,.DiClCDi

.,.异面直线CD1、EF所成的角为90°.（7分）

（2）证：设AB=AAi=a,VDjF==BF：.EF±BDt,（9分）

由平行四边形,知E也是A&的中点，且点E是长方体ABCD—A1B1CR的对称中心,

（12分）；.EA=ED,，EF_LAD,又EF_LBDi，EF是异面直线BDi

与AD的公垂线.（14分）

29./ABC是边长为2的正三角形，在/ABC所在平面外有

一点P,PB=PC=—,PA=-,延长BP至D,使BD=J7,E

22

是BC的中点，求AE和CD所成角的大小和这两条直线间的

距离.

解析：分别连接PE和CD,可证PE〃CD,（2分）则NPEA

即是AE和CD所成角.（4分）在Rt/PBE中，

PB=—,BE=1,.-.PE=-o在/AEP中，AE=5

22

3+3]

cosZAEP=-----------8二—・

2.瓜B2

2

，NAEP=60°,即AE和CD所成角是60°.（7分）

VAE1BC,PE1BC,PE//DC,ACD1BC,ACE为异面直线AE和CD的公垂线段,（12分）它们

之间的距离为L（14分）

30.在正方体ABCD—AiBiADi中,E,F,G,H,M,N分别是正方体的棱4A,AB,BC,

CG，34的中点，试证：E,F,G,H,M,N六点共面.

解析：：EN〃MF,，EN与MF共面a,（2分）又；EF〃MH,，EF和MH共面』.（4分）：

不共线的三点E,F,M确定一个平面，（6分）...平面a与△重合，.♦.点Hwa。（8分）同理点

Gea.（10分）故E,F,G,H,M,N六点共面.

31.三个互不重合的平面把空间分成六个部份时，它们的交线有（）

A.1条B.2条C.3条D.1条或2条

D

解析：分类：1）当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，有两条交线：2）当三个平面

交于一条

直线时，有一条交线，故选D

32.两两相交的四条直线确定平面的个数最多的是（）

A.4个B.5个C.6个D.8个

解析：C如四棱锥的四个侧面，C：=6个。

33..在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点如果EF与HG交于

点M,则（）

A.M一定在直线AC上

B.M一定在直线BD上

C.M可能在AC上，也可能在BD上

D.M不在AC上，也不在BD上

解析：：平面ABCC平面ACD=AC,先证MG平面ABC,MG平面ACD,从而MEAC

A

34..用一个平面去截正方体。其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是

解析：6条

35.已知：a（za,b（za,ao\b=A,P&b,PQ//a.

求证：PQua..（12分）

本题主要考查用平面公理和推论证明共面问题的方法.

解析：；PQ〃a,二PQ与a确定一个平面/?,.•.直线au仇点PeP.

■:pwb,bua,:,pea

又,：auaa与/?£合:.PQua

36.已知少至三边所在直线分别与平面a交于p、Q、R三点，求证：P、Q、R三点照（12分）

本题主要考查用平面公理和推论证明共线问题的方法

解析：；A、B、C是不在同一直线上的三点

...过A、B、C有一个平面£

又,:ABca=P,AABu°

.•.点P既在月内又在a内,设ac〃“则peI.同理可证：Q"Re/

..P,2,R三点共线.

37.已知：平面ac平面£=a/ua,bca=A,cu4且c〃a,

求证：b、c是异面直线

解析：反证法：若b与c不是异面直线，则b〃c或b与c相交

（1）若人//c.a//c,aIIb这与ach=A矛盾

（2）若"c相交于5,则5e伉又acb=A、:.Aw。

ABu夕，即b<=儆与bc0=A矛盾

/.仇c是异面直线.

38.在空间四边形ABCD中，AD=BC=2,E、F分别是AB、CD的中点，EF=Ji,求AD与BC所

成角的大小

（本题考查中位线法求异面二直线所成角）

解析：取BD中点M,连结EM、MF,则

EM//AD,且EM=-AD=[.MF//BCS.MF=-fiC=l,

22

在中,；EF=若,由余弦定理得cosZEMF=四+知--EF=1+1-3=_1

2-EMMF22

Z.EMF=120°

.•.异面直线AD,BC所成角的大小为60

39.如图，在正方体ABCD—A1BQD1中,M、N分别为棱AA】和BB1的中点,求异面直线CM与

DjN所成角的正弦值.（14分）

（本题考查平移法，补形法等求异面二直线所成角）

4

解析：取DDi中点G,连结BG,MG,MB,GC得矩形MBCG,

则BG和MC所成的角为异面直线CM与DiN所成的角.

VMC-=MA2+AC2=（3”尸（设正方体的棱长为a）

6

2

BC=a

cos/BOC=—sinZBOC=—

99

而CM与DiN所成角的正弦值为生叵

9

40.如图，P是正角形ABC所在平面外一点，M、N分别是AB和PCE

（1）求证:MN是AB和PC的公垂线

（2）求异面二直线AB和PC之间的距离

解析：（1）连结AN,BN,•:△APC与ABPC是全等的正三角形，又

；.AN=BN

又是AB的中点，Z.MN1AB

同理可证MN1PC

又：MNnAB=M,MNAPC=N

AMN是AB和PC的公垂线。

⑵:等:腰在启形ANB中，...AN=BN=与a,AB=a,:.MN=^AN2-(^AB)2=^a

即异面二直线AB和PC之间的距离为.

2

41空间有四个点，如果其中任意三个点都不在同一条直线上，那么经过其中三个点的平

面[]

A.可能有3个，也可能有2个B.可能有4个，也可能有3个

C.可能有3个，也可能有1个D.可能有4个，也可能有1个

解析：分类，第一类，四点共面，则有一个平面，第二类，四点不共面，因为没有任何三点共

线，则任何三点都确定一个平面，共有4个。.

42.下列命题中正确的个数是[]

①三角形是平面图形②四边形是平面图形

③四边相等的四边形是平面图形④矩形一定是平面图形

A.1个B.2个C.3个D.4个

解析：命题①是正确的，因为三角形的三个顶点不共线，所以这三点确定平面。

命题②是错误，因平面四边形中的一个顶点在平面的上、卜方向稍作运动，就形成了空间四边

形。命题③也是错误，它是上•个命题中比较特殊的四边形。

命题④是正确的，因为矩形必须是平行四边形，有一组对边平行，则确定了一个平面。

43.如果一条直线上有一个点不在平面上，则这条直线与这个平面的公共点最多有_—1个。

解析：如果有两个，则直线就在平面内，那么直线上的所有点都在这个平面内，这就与已知有

一个点不在平面上矛盾，所以这条直线与这个平面的公共点最多有一个。

44.空间一条直线及不在这条直线上的两个点，如果连结这两点的直线与已知直线,则

它们在同一平面内。答案：相交或平行

解析：根据推论2,推论3确定平面的条件。

45.三角形、四边形、正六边形、圆，其中一定是平面图形的有3个。

解析：三角形的三个顶点不在一条直线上，故可确定一个平面，三角形在这个平面内；圆上任

取三点一定不在条直线上，这三点即确定一个平面，也确定了这个圆所在的平面，所以圆是

平面图形；而正六边形内接于圆，故正六边形也是平面图形；而四边形就不一定是平面图形了，

它的四个顶点可以不在同一平面内。

46.三条平行直线可以确定平面_______个。答案：1个或3个

解析：分类、一类三线共面，即确定一个平面，另一类三线不共面，每两条确定一个，可确定

3个。

47.画出满足下列条件的图形。

(1)aD0=1,aUa,bUB,aAb=A

(2)anB=a,buB,b〃a

解析：如图1-8-甲，1-8-乙

图1-8

48.经过平面a外两点A,B和平面a垂直的平面有几个?

解析：一个或无数多个。

当A,B不垂直于平面a时，只有一个。

当A,B垂直于平面a时，有无数多个。

49.设空间四边形ABCD,E、F、G、H分别是AC、BC、DB、DA的中点，若AB=12、/5,CD=4J5,

且四边形EFGH的面积为12下＞,求AB和CD所成的角.

解析：由三角形中位线的性质知，HG"B,HEZED,r./HG就是异面直线AB和CD所成的角.

1

,/EFGH是平行四边形,HG=-AB=6叵,

2

HE=-,CD=2后

2

/.Sira=HG-HE-sin/HG=12几sin/HG,」.12痴sin/HG

=12技

叵

：.sin^£HG=-—，故ZHG=45。.

2

AB和CD所成的角为45。

注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。

50.点A是BCD所在平面外一点,AD=BC,E、F分别是AB、

CD的中点，且EF=Y-AD,求异面直线AD和BC所成的角。

2

（如图）

解析：设G是AC中点，连接DG、FGo因D、F分别是AB、

CD中点，故EG/BC且EG=』BC,FGdD,且FG=，AD,由异

22

面直线所成角定义可知EG叮FG所成锐角或直角为异面直线

AD、BC所成角，即/GF为所求。由BC=AD知EG=GF=，AD,

2

又EF=AD,由余弦定理可得cos/GF=0,即*GF=90。。

注：本题的平移点是AC中点G,按定义过G分别作

出了两条异面直线的平行线，然后在4EFG中求角。通常在出现线段中点时，常取另•线段中

点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系。

51-100

51.已知空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N分别为BC、AD的中点。

求：AM与CN所成的角的余弦值；

解析：⑴连接DM,过N作NE〃AM交DM于E,则NCNE

为AM与CN所成的角。

VN为AD的中点,NE〃AM省ANE=-AM且E为MD的中点。

2

nl1V3V3u1

设正四面体的棱长为1.贝NC=----------=—且ME=-MD=

2242

317

在RtZXMEC中，CE=ME2+CM=—+-=一

16416

CN2+NE2-CE22

.•.cos/CNE=4416

2-CN-NE3

L,------,-------

44

7T

又•.•/CNEe（0,—）

2

2

...异面直线AM与CN所成角的余弦值为一.

3

注：1、本题的平移点是N,按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在4CEN外计算CE、

CN、ENK,再回到4CEN中求角。

2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过

解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）

或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。

52..如图所示，在空间四边形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的点，已知AB=4,CD=20,

ApRF1

EF=7,—=—=-求异面直线AB与CD所成的角。

FDEC3o

解析：在BD上取一点G,使得也=」,连结EG、FGC

GD3

.,BEBG,,„

在ABCD中，一=—,故EG//CD,并且「

ECGDE

EGBE

BG

所以，EG=5；类似地，可证FG//AB,且空=空=3,AFD

ABAD4

故FG=3,在AEFG中，利用余弦定理可得

cosZ

B

A

EG2+GF2-EF232+52-72

故NFGE=120°。

2-EGGF-—2-3-52

另一方面，由前所得EG〃CD,FG//AB,所以EG与FG所成的锐角等于AB与CD所成的

角，于是AB与CD所成的角等于60°。

53.在长方体ABCD—ABCD中，AAFC,AB=a,AD=b,且a>b.求AG与BD所成的角的余弦.

解一：连AC,设ACABD=0,则0为AC中点，取GC的中点F,连OF,则OF〃ACIKOF=-AC1,

2

所以/FOB即为AC1与DB所成的角。在AFOB中，OB=-y/a2+b2,OF=-Va2+b2+c2,

22

cosZDi5

-(a2+Z>2)+-(a2+&2+c2)-(/>2+-c2)Ai

0B=4--------J4JFBi

2■—7a2+b2-yla2+b2+c2G

4D。

_______八/_______

y/(a2+b2)(a2+b2+c2)

解二：取AG中点0“BB中点G.在△COG中，NG0G即AC1与DB所成的角。

解三：.延长CD到E,使ED=DC.则ABDE为平行四边形.AE/7BD,所以NEAG即为AG与BD所

成的角.连EC,在△AEC1

中，AE=da，+/,ACl=Va2+b2+c2,ClE=，4a2+c‘由余弦定理，得

(a2+b2)+(a2+b2+c2)-(4a2+c2)b2-a2

cosNEACi=--------=—/-----=------------------------

2-yrJa2+b2-Va2+b2+c27(a2+^2)(a2+b2+c2)

所以/EAG为钝角.

根据异面直线所成角的定义，AG与BD所成的角的余弦为s〃二

7（«2+&2）（«2+&2+c2）

54.已知AO是平面a的斜线，A是斜足，0B垂直a,B为垂足，则

直线AB是斜线在平面a内的射影，设AC是a内的任一条o直线,

解析：设A0与AB所成角为。1,AB与AC所成角为%，A。/与AC

所成角为。，则有COS。=COS。］-cos。？。/

在三棱锥s—ABC中，NSAB=NSAC=

ZACB=90\AC=2,BC=6,SB=4^,求异面直线SC与AB所成角的大小。（略去了该

题的1,2问）

由SAJ_平面ABC知，AC为SC在平面ABC内的射影,

设异面直线SC与AB所成角为。，

则cos0=cosZSCA-cosZBAC,

由AC=2,BC=0,58=场得

AB=/^,SA=26,SC=2

2

/•cosNSCA—cosZBAC

2Vn

V17J17

/.cos0=---,即异面直线SC与AB所成角为arccos----。

1717

55.已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且

NCQB=NGCD=NBCD=60°,证明CtClBD=

（略去了该题的2,3问）

解析：设G在平面ABCD内射影为H,则CH为G。在平面ABCD

内的射影,

/.cosZC^D-cosZCtCHcosZDCH,

cosZCfCB=cosZCtCHcosZBCH,

由题意ZC,CD=ZC,CB,，cosZDCH=cosNBCH»

又:NDCH,NBCHw[0,7i)

ZDCH=NBCH,从而CH为ZDCB的平分线,

又四边形ABCD是菱形，,CHLBD

.••G。与BD所成角为90°,即GCL5O

56..在正四面体ABCD中，E,F分别为BC,AD的中点,

求异面直线AE与CF所成角的大小。

解析：连接BF、EF,易证AD_L平面BFC,

EF为AE在平面BFC内的射影，

设AE与CF所成角为。，

cos0=cosZAEF-cosZCFE,

设正四面体的棱长为。，则AE=C/=8/=立。，

2

6

显然EF1BC,・・.EF=—a

2

EFV6EFV6

cosZAEF^——=J,cosAAFE=—=—

AE3CF3

22

cos0=—,即AE・••与CF所成角为arccos—o

33

57.三棱柱。平面耳01_L平面。AB,

/。1。8=60°,乙4。8=90°,且。8=。。1=2,04=6,求异面直线4乃与A。1所成角的

大小，（略去了该题的1问）

解析：在平面5。1内作8。，。01于C,连AQ,

由平面8。。倒_1平面AOB,乙408=90"知,

A0,平面BOO1用,・・・AO.LBC,A

又AOryOO]O,，BC_L平面AOO|A,

...4。为4建在平面4。。14内的射影。

设与AOi所成角为e,4。与A。1所成角为。2,

则cos。=cosABA}Ccos02,

由题意易求得BC=GA1C=2,A\B=#i,

AC2

cosN8A]C=—■—=-,

V7

cos0V7

在矩形AOOiA中易求得AC与A。1所成角与的余弦值:2u

/.cos0=cosZBA,C-cos0=—

1297

即AB与AO1所成角为arccos—o

117

58.已知异面直线a与6所成的角为50°,P为空间一定点，则过点P且与a,b所成的角均是

30°的直线有且只有（）

A、1条B、2条C、3条D、4条

解析：过空间•点P作。〃a,则由异面直线所成角的定义知：a与b的交角为50°,

过P与a,6成等角的直线与a,6亦成等角，设a,5确定平面a,a,6交角的平分线

为/，则过/且与a垂直的平面（设为p）内的任一直线，'与a,6成等角（证明从略），由上

述结论知：1与a,6所成角大于或等于/与a,6所成角25°,这样在P内/的两侧与a,b'

成30°角的直线各有一条，共两条。在a,从相交的另一个角130°内，同样可以作过130。角

平分线且与a垂直的平面丫，由上述结论知，丫内任一直线与a,5所成角大于或等于65°,

所以Y内没有符合要求的直线，因此过P与“，b成30。的直线有且只有2条，故选（B）

59.垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（)

A.平行B相交

C屏面D.以上都有可能

解析：D

60.li、1是两条异面直线，直线队、m2与li、I2都相交，则mi、m2的位置关系是（)

A.异面或平行B相交

C.异面D.相交或异面

61.在正方体ABCD-AECD中，与棱AA，异面的直线共有儿条

（）

A.4B.6

C.8D.10

解析：A

62.在正方体ABCD-AECD，中12条棱中能组成异面直线的总对数是

（）

A.48对B.24对

C.12对D.6对

解析：B

棱AN有4条与之异面，所以，所有棱能组成4X12=48对，但每•对都重

复计算一次，共有24对I

63..正方体ABCD-AECU中屏面直线CD，和BU所成的角的度数是（）

A.45°B.60°

C.90°D.120°

解析:B

/AD，C=60°即为异面直线CD，和BC所成的角的度数为60°

64.异面直线a、b,alb,c与a成30°角，则c与b成角的范围是

()

田［川

A.B.

「九27tl

LTTJ

直线c在位置C2时，它与b成角的最大值为90。，直线c在cl位置

时，它与b成角的最小值是60°

65..如图，空间四边形ABCD的各边及对角线长都是1,点M在边AB上运动、点Q在边CD上

运动，则P、Q的最短距离为（）

1723。

A由一