高中数学选修一教案全集 人教课标版

高中数学选修一教案全集

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第一章导数及其应用错误!未指定书签。

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导数与导函数的概念错误!未指定书签。

§导数的概念错误!未指定书签。

§导数的几何意义错误!未指定书签。

§几个常用函数的导数错误!未指定书签。

§基本初等函数的导数公式及导数的运算法则错误!未指定书签。

§复合函数的求导法则错误!未指定书签。

§函数的单调性与导数（课时）错误!未指定书签。

§函数的极值与导数（课时）错误!未指定书签。

§函数的最大（小）值与导数（课时）错误!未指定书签。

§生活中的优化问题举例（课时）错误!未指定书签。

§定积分的概念错误!未指定书签。

第二章推理与证明错误!未指定书签。

合情推理错误!未指定书签。

类比推理错误!未指定书签。

演绎推理错误!未指定书签。

推理案例赏识错误!未指定书签。

直接证明综合法与分析法错误!未指定书签。

间接证明反证法错误!未指定书签。

数学归纳法错误!未指定书签。

第章数系的扩充与复数的引入错误!未指定书签。

§数系的扩充和复数的概念错误!未指定书签。

§数系的扩充和复数的概念错误!未指定书签。

§复数的几何意义错误!未指定书签。

§复数代数形式的四则运算错误!未指定书签。

§复数代数形式的加减运算及几何意义错误!未指定书签。

§复数代数形式的乘除运算错误!未指定书签。

第一章导数及其应用

§1.1.1变化率问题

教学目标：

.理解平均变化率的概念；

.了解平均变化率的几何意义；

.会求函数在某点处附近的平均变化率

教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；

教学难点：平均变化率的概念.

教学过程：

创设情景

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积

分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：

一、己知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度等；

二、求曲线的切线；

三、求已知函数的最大值与最小值；

四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.

二.新课讲授

(一)问题提出

问题气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现,随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越

慢.从数学角度，如何描述这种现象呢？

■气球的体积(单位)与半径(单位)之间的函数关系是V(r)=

如果将半径表示为体积的函数，那么NV)=

分析:

(1)当从增加到时，气球半径增加了r(l)-r(0)«0.62(力M)

气球的平均膨胀率为叫二x0.62(力n/L)

(2)当从增加到时，气球半径增加了r(2)-r(l)«0.16(^/n)

气球的平均膨胀率为突彳3*0.16(力〃/L)

可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了.

思考：当空气容量从增加到时，气球的平均膨胀率是多

少,四*2

,彩—匕

问题高台跳水

在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度(单位：)与起跳后的时间(单位：)存在函数关系().如何

用运动员在某些时间段内的平均速V度粗略地描述其运动状态?

思考计算：0WIW0.5和的平均速度V

在0WfW0.5这段时间里，I=〃。5)-〃(0)=4.05(7/2Is)；

0.5-0

在1W/W2这段时间里，v=A(2)-A(1)=-8.2(m/s)

探究：计算运动员在OWfW奂这段时间里的平均速度，并思考以下问题:

49

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数()的图像，结合图形可知，A(^|)=A(0),

心)-/?(0)

所以y=—-----=0(5/771)，

g.O

49

虽然运动员在04，4案这段时间里的平均速度为0(s/m),但实际情况是运动员仍然运动，并非静止,

可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.

(二)平均变化率概念：

■上述问题中的变化率可用式子，二2)一)(龙1)表示，称为函数0从到的平均变化率

x2-xi

.若设8=%2-2，V=f(x2)~/(%))(这里Ac看作是对于的一个“增量”可用Ac代替，同样

V=^)-/(%)))

3,则平均变化率为包=包=〃否+Ax)75)

AxAxx2-x}Ax

思考：观察函数()的图象

平均变化率丝

Ax

三.典例分析

例.已知函数()一一+X的图象上的一点4—1,一2)及临近一点仇―1+Ax,-2+Ay)，则竺=.

AJC

解：-2+Ay=-(-1+Ax)?4-(-1+AX),

.Ay-(—1+Ax)2+(—1+Ax)—2

・•—=---------------------------------------------=3—/Xx

AJIAx

例2.求＞=/在x=/附近的平均变化率。

22

解：Ay=(x°+©)2—xj所以”=(/+•)一一"。一

AxAx

J；+2g+—。之:2—一

Ax

所以y=x?在x=x()附近的平均变化率为2%()+X

四.课堂练习

.质点运动规律为5=产+3,则在时间(3,3+Af)中相应的平均速度为.

.物体按照()的规律作直线运动，求在附近的平均变化率.25+34

.过曲线0上两点(，)和(△△)作曲线的割线，求出当△时割线的斜率.

五.回顾总结

.平均变化率的概念

.函数在某点处附近的平均变化率

六.布置作业

导数与导函数的概念

教学目标：

、知识与技能：理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法；

理解导数的几何意义；

理解导函数的概念和意义；

、过程与方法：先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义，培养转化问题的能

力；最后求切线方程，培养转化问题的能力

、情感态度及价值观；让学生感受事物之间的联系，体会数学的美。

教学重点：

、导数的求解方法和过程；、导数符号的灵活运用

教学难点：

、导数概念的理解；、导函数的理解、认识和运用

教学过程：

一、情境引入

在前面我们解决的问题：

、求函数/(x)=/在点(，)处的切线斜率。

电=/(2+Ar)―/(x)=4+以,故斜率为

MAx

、直线运动的汽车速度与时间的关系是丫=产一1,求f=%时的瞬时速度。

竺=此+4)-此),故斜率为

二、知识点讲解

AVAV

上述两个函数/(x)和V⑺中，当加:(ZV)无限趋近于时，——(——)都无限趋近于一个常数。

△t\x

归纳：一般的，定义在区间(。，8)上的函数/(x),G(a,b),当Ax无限趋近于时，

"+AQ-/3无限趋近于一个固定的常数,则称/(x)在x=x0处可导，并称为f(x)在

ArAx

X=瑞处的导数，记作/'(七,)或/'(X)IA%，

上述两个问题中：()/'(2)=4,()V'(X,)=2，“

三、几何意义：

我们上述过程可以看出

f(x)在x=/处的导数就是/(x)在x=/处的切线斜率。

四、例题选讲

例、求下列函数在相应位置的导数

()/(%)=/+1,x=2()/(x)=2x-1,x=2

()f(x)=3,x=2

例、函数/(x)满足/'(I)=2,则当无限趋近于时,

\)—

lx

()/(1+2X)-/⑴

X

变式:设0在处可导，

/(%+4盘)―/(%)

()无限趋近于，则/'(与)

/(%—4Ax)-/(%)

()无限趋近于，则/'(%)

()当△无限趋近于，/支+2Axi一一2竺所对应的常数与/，(/)的关系。

Ar

总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。

例、若/(x)=(x-l)2,求尸(2)和(Q(2))'

注意分析两者之间的区别。

例：己知函数/(%)=«,求/(处在x=2处的切线。

导函数的概念涉及：/(x)的对于区间(。力)上任意点处都可导，则/(x)在各点的导数也随的变化而变

化，因而也是自变量的函数，该函数被称为/(x)的导函数，记作

五、小结与作业

§1.2导数的概念

教学目标：

.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

.理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；

.会求函数在某点的导数

教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；

教学难点：导数的概念.

教学过程：

--创设情景

(一)平均变化率

(二)探究：计算运动员在W竺这段时间里的平均速度，并思考以下问题:

49

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数()的图像，结合图形可知，〃(||)=穴0),

_/!(-)-//(0)

所以V=--------=0"/〃2),

65人

虽然运动员在04，4前这段时间里的平均速度为0(s/m),但实际情况是运

动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状

态.

&<0时，在［2+4,2］这触悯A4>0时，在［2,2+4］这段时间内新课

讲授

-〃⑵-AQ+&)4.9A?+13.W-A(2+AZ)-A(2)-4.9A?-13.1A/

v=-------------=-------------V=-------------=---------------.瞬时速

2-Q+4)-4“(2+Az)—2M度

=-4.9Az-13.1=-494-13.1我们

把物体在

当4=-0.01时,A/=-13.05b.当4=001时，At=-13.05b.

某一时刻

当A=-0,001时，Az=-13.0951.•当4=0.001时，Az=-13.0951,，

AZ=-0,001W.Az=-13.09951,•当4=0.001时，Az=-13.09951,<

AZ=-0.0001W，4=73.099951一当4=0.0001时，AZ=-13.099951；,

当4=-0.00001时，Ai=-13.099951；.当4=0.00001时，4=-13.099951；。

.......Q

的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的

瞬时速度呢？比如，，=2时的瞬时速度是多少？考察，=2附近的情况：

思考：当加趋近于时，平均速度;有什么样的变化趋势？

结论：当位趋近于时，即无论f从小于的一边，还是从大于的一边趋近于时，平均速度工都趋近于一

个确定的值一13.1.

从物理的角度看，时间画间隔无限变小时，平均速度3就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在

t=2时的瞬时速度是

为了表述方便，我们用limJ"△"一"2)=一13.1

表示“当f=2,加趋近于时，平均速度;趋近于定值-13.1”

小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬

时速度的精确值。

导数的概念

从函数()在处的瞬时变化率是：

lim/禺+九一/(/)=lim筮

—Ar-Ar

我们称它为函数y=/(x)在x=x0出的导数，记作/(%)或即

/(玉+©)—/(玉)

八x0)=妈

Ax

说明：()导数即为函数()在处的瞬时变化率

()Ar=x-x(),当Ax->0时，x9%,所以/'(/)=lim/*~""))

x-x0

三.典例分析

例.()求函数在处的导数.

分析：先求△A(1+A)(1)A(A)

再求竺=6+Ar再求limV=6

Ax山一。Ax

解：法一(略)

3x2-3-123(x2-I2")

法二：y'Ii=lim—~=lim———=lim3(x+l)=6

■x—1A*I%—1t

()求函数()-_?+工在x=—1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.

解：包=—(7+2=3…

AYAX

,，(1、Ay—(—1+Ax)~+(—1+Ax)—2「c、a

j(-1)=lvim=-----------------------=lim(3-AAx)=3

Ar->0&A%0

例.(课本例)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第

时，原油的温度(单位：。)为/。)=--7》+15(04彳48),计算第2/1时和第6〃时，原油温度的瞬

时变化率，并说明它们的意义.

解：在第2〃时和第6〃时，原油温度的瞬时变化率就是f(2)和f(6)

根据导数定义，且二:(2+©)/*0)

ArAv

(2+Ax)2-7(2+Zkx)+15-(22-7x2+15),.

=------------------------------------=Ax-3

Ar

所以/'⑵=lim竺=lim(Ax—3)=—3

Ar->0ArAx->0

同理可得：尸(6)=5

在第2/z时和第6〃时，原油温度的瞬时变化率分别为-3和，说明在2〃附近，原油温度大约以3C/力的

速率下降，在第6/1附近，原油温度大约以5C//z的速率上升.

注：一般地，/'(X。)反映了原油温度在时刻与附近的变化情况.

四.课堂练习

.质点运动规律为s=*+3,求质点在♦=3的瞬时速度为.

.求曲线0在x=l时的导数.

.例中，计算第3力时和第5〃时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

五.回顾总结

.瞬时速度、瞬时变化率的概念

.导数的概念

六.布置作业

§13导数的几何意义

教学目标：

.了解平均变化率与割线斜率之间的关系；

.理解曲线的切线的概念；

.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；

教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；

教学难点：导数的几何意义.

教学过程：

--创设情景

(-)平均变化率、割线的斜率

(二)瞬时速度、导数

我们知道，导数表示函数()在处的瞬时变化率，反映了函数()在附近的变化情况，导数/'(%)的几何

意义是什么呢？

新课讲授

(一)曲线的切线及切线的斜率：如图，当乙(x„,/(乙))(〃=1,2,3,4)沿着曲线/(x)趋近于点

F(x0,/(%))时，割线P片的变化趋势是什么？

我们发现，当点?沿着曲线无限接近点即A—时，割线PP„趋近于确定的位置，这个确定位置的直线称为

曲线在点处的切线.

问题：⑴割线尸匕的斜率kn与切线的斜率k有什么关系？

⑵切线的斜率左为多少？

容易知道，割线尸2的斜率是勺="X"）二"X。），当点与沿着曲线无限接近点时,心无限趋近于切线的

%一%

斜率后，即4=lim/（々+醺-0）=7"0）

Ax

说明：。设切线的倾斜角为a,那么当△一时，割线的斜率，称为曲线在点处的切线的斜率.

这个概念：①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；

②切线斜率的本质一函数在x=不处的导数.

（）曲线在某点处的切线）与该点的位置有关）要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限，则在

此点有切线，且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线）曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以

有多个，甚至可以无穷多个.

（二）导数的几何意义：

函数（）在处的导数等于在该点（玉八/（玉）））处的切线的斜率，

即/'（xo）=lim/（/+©）-"％）=R

A—。Ax

说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：

①求出点的坐标；

②求出函数在点X。处的变化率/'（%）=lim"X。+"）―/（X。）=k,得到曲线在点（为,/（%））的切线

-T°tsx

的斜率；

③利用点斜式求切线方程.

（二）导函数：

由函数（）在处求导数的过程可以看到，当时,/'（%）是一个确定的数，那么，当变化时，便是的一个函数,

我们叫它为（）的导函数.记作：/'（X）或，

即：八x）="lim但也二3

4VT°Ax

注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数.

（三）函数/（X）在点X。处的导数./''（%）、导函数/'（X）、导数之间的区别与联系。

）函数在一点处的导数:（%）,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数,

不是变数。

）函数的导数，是指某一区间内任意点而言的，就是函数（）的导函数

）函数/（幻在点/处的导数/'（/）就是导函数/（幻在无=/处的函数值，这也是求函数在点与处的

导数的方法之一。

三.典例分析

例：（）求曲线（）在点（）处的切线方程.

()求函数在点(1,3)处的导数.

.八,,[(1+AX)2+1]-(12+1)2盘+“

解：OyI1=hm------———-----=hm---------=2,

心—°AxAS°Ax

所以，所求切线的斜率为，因此，所求的切线方程为y—2=2(x—l)即2x—y=0

3r2-3.I23(x2-I2)

()因为y'l上,=lim--------=lim-------=lim3(x+l)=6

—x-\—x-\一

所以，所求切线的斜率为，因此，所求的切线方程为y—3=6(x—1)即6x—y—3=0

()求函数。一%2+无在》=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.

解：包=-(-1+-1+-=3…

AxAx

1、—(—1+Ax)~+(-1+Ax)—2i-/QA\Q

f(-1)=hrm==----------------=hm(3-zkr)=3

Ar1。

例.(课本例)如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数

(3)当才时，曲线〃(。在处的切线4的斜率力”2)<0,所以，在f=/2附近曲线下降，即函数

//(%)=-4.9x2+6.5x+10在，=L附近单调递减.

从图可以看出，直线4的倾斜程度小于直线4的倾斜程度，这说明曲线在4附近比在马附近下降的缓慢.

例.(课本例)如图，它表示人体血管中药物浓度c=/Q)(单位：mg/勿辽)随时间，(单位：min)变化

的图象.根据图像，估计，=0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).

解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度/«)在此时刻的导数，从图像上看，它表示

曲线/⑺在此点处的切线的斜率.

如图，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的

近似值.

作£=0.8处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91),(1.0,0.48),则它的斜率为：

,0.48-0.91

k-__________«—1.4

1.0-0.7

所以/(0.8)»-1.4

下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:

t

药物浓度瞬时变化率f(t)

四.课堂练习

.求曲线()在点(1,1)处的切线;

.求曲线y=4在点(4,2)处的切线.

五.回顾总结

.曲线的切线及切线的斜率：

.导数的几何意义

六.布置作业

§1.1几个常用函数的导数

教学目标：

.使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y=c、y=x、y=f、＞=1的导数公式;

X

.掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数.

01

教学重点：四种常见函数y=c、y=x、y=/、y=—的导数公式及应用

x

教学难点：四种常见函数y=c、y=x、y=/、y=，的导数公式

x

教学过程：

一.创设情景

我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速

度.那么，对于函数y=/(x),如何求它的导数呢？

由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归

结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将

研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数.

二.新课讲授

.函数y=/(x)=c的导数

根据导数定义，因为包=/(♦+醺)—/(X)=二0

AxAxAx

所以y'=lim—=lim0=0

Ax—>0NxAx—>0

函数导数

y=cy=o

了=0表示函数^=。图像(图)上每一点处的切线的斜率都为.若y=c表示路程关于时间的函数，则

y=o可以解释为某物体的瞬时速度始终为，即物体一直处于静止状态.

.函数y=/(x)=x的导数

因为竺.=/(x+Ax)-/(x)=x+Ar-x=1

AxAxAx

所以y'=lim生=lim1=1

AXTOAx->0

函数导数

y-xy=i

y'=l表示函数y=x图像(图)上每一点处的切线的斜率都为.若y=x表示路程关于时间的函数，则

V=1可以解释为某物体做瞬时速度为的匀速运动.

.函数y=/(x)=的导数

△y_/(x+Ax)-/(x)Q+AX)2-X2

因为

AxAxAx

x2+2xAv+(Ax)2-x2c

=-------------------=2x4-Ax

Ax

所以y=lim—=lim(2x+Ax)=2x

-Ar-

函数导数

y=x2y'=2x

y'=2x表示函数y=f图像(图)上点(x,y)处的切线的斜率都为2x,说明随着x的变化，切线的斜率

也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x<0时，随着x的增加，函

数y=x?减少得越来越慢；当x>0时，随着x的增加，函数y=f增加得越来越快.若y=f表示路程

关于时间的函数，则y'=2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x.

.函数y=/(x)=工的导数

X

1__1

因为包=+=吐+以一」

AYAJC

_x-(x+Ax)_1

x(x+Ax)Axx2+x-zkr

所以y=lim—=lim(——----)=--

Ar-°JT+X・AX

函数导数

1,1

y二一y=一乒

X

()推广：若y=/(x)=则/'(X)=HX"T

三.课堂练习

.课本探究

.课本探究

.求函数y=4的导数

四.回顾总结

函数导数

y=cy=0

y=xy=i

y-x2y=2x

11

y=-

Xy=-了

y=/(x)=x"(〃eQ*)y=nxn~l

五.布置作业

§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

教学目标：

.熟练掌握基本初等函数的导数公式；

.掌握导数的四则运算法则；

.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.

教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则

教学难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用

教学过程：

--创设情景

,1

四种常见函数y=c、y=x,，=无2、）=一的导数公式及应用

x

函数导数

y=cy=0

y=xy=i

y=x2y=2x

1.1

y=-y=--T

XX

y=/(x)=x"(〃wQ*)y=

二.新课讲授

（-）基本初等函数的导数公式表

函数导数

y=cy=0

y=F(X)=X"(〃GQ*)y=nxn~]

=sinxy=cosx

y=cosxy=-sinx

y=/(x)=axy=优•InQ(a>0)

y=/(x)=exy'=e"

fM=log„Xf(x)=log。#(x)=(a>。且a+1)

xma

/(x)=Inxf'(x)=-

X

（-）导数的运算法则

导数运算法则

-[/(x)±g(x)]=/'(x)±g'(x)

.[/(x),g(x)]=/(x)g(x)±/(x)g(x)

fW

g(x)

。推论：［（y（x）］=cf\x）

（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

三.典例分析

例.假设某国家在年期间的年均通货膨胀率为5%,物价p（单位：元）与时间r（单位：年）有如下函

数关系p«）=Po（l+5%）',其中Po为，=0时的物价.假定某种商品的为=1,那么在第个年头，这种商

品的价格上涨的速度大约是多少(精确到)？

解：根据基本初等函数导数公式表，有p'⑺=1.05,In1.05

所以p(10)=1.05"In1.05a0.08(元年)

因此，在第个年头，这种商品的价格约为元年的速度上涨.

例.根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数.

()y=x3-2x+3

()L_;

1+Vx1-Vx

()=・・;

()=—;

4V

()

1+Inx

()=(-+)

,、sinx-xcosx

()--------------

cosx+xsinx

【点评】

①求导数是在定义域内实行的.②求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心.

例日常生活中的饮水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将吨水净化

到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为

c(x)=5284-(80<x<100)

100-x

求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：()90%()98%

解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.

，/、/5284、.5284,x(100-%)-5284x(100-x)

c(x)=(-------)=--------------------；------------

100-x(100-x)2

0x(10Q-x)-5284x(-l)5284

(100-x)2-(100-x)2

5284

(1)因为c(90)==52.84,所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是元吨.

(100-90)2

5284

(2)因为c(98)1321,所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是元吨.

(100—90)2

函数/(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知，

c(98)=25c(90).它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净

化费用的瞬时变化率的倍.这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度

也越快.

四.课堂练习

.课本练习

.已知曲线：=一一+,求曲线上横坐标为的点的切线方程;

(=一+)

五.回顾总结

()基本初等函数的导数公式表

()导数的运算法则

六.布置作业

§1.2.2复合函数的求导法则

教学目标理解并掌握复合函数的求导法则.

教学重点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量

对自变量的导数之积.

教学难点正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确.

--创设情景

(-)基本初等函数的导数公式表

函数导数

y=cy=0

y=F(X)=X"(〃G。")y=

y=sinxy=cosx

y=cosxy=-sinx

y=f(x)=axy=优•InQ(Q>0)

y=/(x)=exy=ex

fM=log„xf(x)=log“V(x)=,(a>。且a声1)

xma

/(x)=lnx

X

(-)导数的运算法则

导数运算法则

.[/(x)+g(x)]=f'(x)±g'(x)

.[/(x),g(x)]=/(x)g(x)±/(x)g(x)

7(x)~

_gM_

()推论：［(/(x)］=cf(x)

(常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数)

二.新课讲授

复合函数的概念一般地，对于两个函数y=/(“)和”=g(x),如果通过变量”，y可以表示成X的

函数，那么称这个函数为函数y=/(〃)和〃=g(x)的复合函数，记作y=/(g(x))。

复合函数的导数复合函数y=/(g(x))的导数和函数y=/(“)和〃=g(x)的导数间的关系为

=y,',"：，即y对x的导数等于y对“的导数与〃对x的导数的乘积.

若y=/(g(x)),则：/=［/(8(尤))］=/'(g(x)>g'(x)

三.典例分析

例求=()的导数.

【点评】

求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到

关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果.

例求=/:的导数.

【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数.求导数后要予以化简整理.

例求=+的导数.

［解法一］=+=(+)----

2

［解法二］'=()，+()，=()'+()'=+(-)=(_)=_=—

【点评】

解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确.解法二是利用复合函数求导数，应注意不

漏步.

例曲线=(+)(一)有两条平行于直线=的切线，求此二切线之间的距离.

【解】=一++'=—++

令，=即---=,解得=_，或=.

3

114

于是切点为(，)，--),

327

过点的切线方程为，一=一即一+=.

,114,,

|-----1------h1|]£

显然两切线间的距离等于点到此切线的距离，故所求距离为31-V2

V227

四.课堂练习

.求下列函数的导数()；()y=--------;0log„(x2-2)

2x-l

.求ln(2/+3x+l)的导数

五.回顾总结

六.布置作业

§1.3.1函数的单调性与导数(课时)

教学目标：

.了解可导函数的单调性与其导数的关系；

,能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；

教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间

教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间

教学过程：

创设情景

函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数

的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基

本的了解.下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用.

新课讲授

.问题：图()，它表示跳水运动中高度〃随时间f变化的函数加。=-4.9/+6.5/+10的图像，图()

表示高台跳水运动员的速度v随时间f变化的函数v(r)=h<t)=一9.8,+6.5的图像.

运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？

通过观察图像，我们可以发现：

(1)运动员从起点到最高点，离水面的高度人随时间r的增加而增加，即〃(/)是增函数.相应地,

v(r)=〃Q)>0.

(2)从最高点到入水，运动员离水面的高度〃随时间/的增加而减少，即力Q)是减函数.相应地,

v(f)="⑺<0.

.函数的单调性与导数的关系

观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系.

如图，导数表示函数/(X)在

点(%，%)处的切线的斜率-

在％处，/'(x0)>0,切线是“左下右上”式的，

这时，函数/(幻在/附近单调递增；

在x=X处，切线是“左上右下”式的，

这时，函数/(x)在占附近单调递减.

结论：函数的单调性与导数的关系

在某个区间(。,与内，如果f(x)>0,那么函数y=/(尤)在这个区间内单调递增；如果无)<0,那么

函数y=/(x)在这个区间内单调递减.

说明：()特别的，如果f0)=0,那么函数y=/(x)在这个区间内是常函数.

.求解函数y=/(x)单调区间的步骤：

O确定函数y=/(x)的定义域；

()求导数y=f(x)；

()解不等式f(x)>0,解集在定义域内的部分为增区间；

O解不等式解集在定义域内的部分为减区间.

三.典例分析

例.已知导函数f(x)的下列信息：

当1<无<4时，/(x)>0；

当尤>4,或x<1时，/(%)<0；

当x=4,或x=l时，/(%)=0

试画出函数y=/(x)图像的大致形状.

解：当l<x<4B寸，/(x)>0,可知y=/(x)在此区间内单调递增；

当x>4,或x<l时，/(x)<0；可知y=.f(x)在此区间内单调递减；

当x=4,或x=l时，/(x)=0,这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”.

综上，函数y=/(x)图像的大致形状如图所示.

例.判断下列函数的单调性，并求出单调区间.

()/(x)=x3+3%；()/(x)=x2-2x-3

()/(x)=sinx-xxe(0,%)；()/(x)=2A3+3x?-24x+1

解：()因为/(X)=X3+3X,所以，

/1(X)=3X2+3=3(X2+1)>0

因此，/(x)=d+3x在上单调递增，如图()所示.

()因为/(x)=x2-2x—3,所以，/(x)=2x-2=2(x-l)

当f(x)〉0,即x>l时，函数/(x)=f—2x—3单调递增；

当/(x)<0,即x<l时，函数/(尤)=/一2尤—3单调递减；

函数/(x)=f—2x—3的图像如图()所示.

()因为/(x)=sinx-xxe(0,乃)，所以，/(x)=cosx-l<0

因此，函数/(x)=sinx-x在(0,左)单调递减，如图()所示.

()因为/(*)=2/+3%2_24》+1,所以.

当/(x)>0,即时，函数/(x)=x2—2X—3；

当f(x)<0,即时，函数/(x)=x2—2X—3；

函数/(幻=2/+3%2_24》+1的图像如图()所示.

注：()、()生练

例3如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找

出与各容器对应的水的高度。与时间，的函数关系图像.

分析：以容器()为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增

加得越来越快.反映在图像上，()符合上述变化情况.同理可知其它三种容器的情况.

解：⑴一(0，⑵-⑷，⑶-，(4)-(。)

思考：例表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢.结合图像，你能从

导数的角度解释变化快慢的情况吗？

一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，

那么函数在这个范围内变化的快，

这时，函数的图像就比较''陡峭”；

反之，函数的图像就“平缓”一些.

如图所示，函数y=/(x)在(0,。)或(a,0)内的图像“陡峭”，

在他,+oo)或(fo,a)内的图像“平缓”.

例4求证：函数了=2丁+3/-12x+l在区间(一2,1)内是减函数.

证明：因为y'=6x2+6x—12=6(f+》-2)=6(x—l)(x+2)

当xe(—2,1)即—2<x<l时，y<0,所以函数y=2丁+3/_i2x+l在区间(—2,1)内是减函数.

说明：证明可导函数/(x)在(a,b)内的单调性步骤：

()求导函数/(%)；

O判断/(X)在(a/)内的符号；

()做出结论：/(x)>0为增函数，f(x)<0为减函数.

2

例5已知函数/(x)=4x+ax2—在区间［一11］上是增函数，求实数a的取值范围.

解：f\x)=4+2ajc-2x2,因为/(x)在区间［—1,1］上是增函数，所以f(幻20对xe［—1,1］恒成立，

即炉一6一240