高考立体几何知识点总结

高考立体几何知识点总结立体几何一、平面.1.经过不在同一条直线上的三点确定一个面.注:两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.2.两个平面可将平面分成3或4部分.(?两个平面平行，?两个平面相交)3.过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.(?三条直线在一个平面内平行，?三条直线不在一个平面内平行)[注]:三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个.4.三个平面最多可把空间分成8部分.(X、Y、Z三个方向)二、空间直线.1.空间直线位置分三种:相交、平行、异面.相交直线—共面有反且有一个公共点;平行直不同在任一平面内线—共面没有公共点;异面直线—[注]:?两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.(×)(可能两条直线平行，也可能是点和直线等)?直线在平面外，指的位置关系:平行或相交?若直线a、b异面，a平行于平面，b与的关系是相交、平行、在平面内.,,,?两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.?在平面内射影是直线的图形一定是直线.(×)(射影不一定只有直线，也可以是其他图形)?在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.(×)(并非是从平面外一点向这个平面所引((的垂线段和斜线段)a,b?是夹在两平行平面间的线段，若，则的位置关系为相交或平行或异面.a,ba,b2.异面直线判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.(不在任何一个平面内的两条直线)3.平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行.4.等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等(如下图).,,(二面角的取值范围),,,0,180，,,(直线与直线所成角),,,，0,90112,,(斜线与平面成角)2，，,,0,90方向不相同方向相同-1-,,(直线与平面所成角),,,,0,90,,(向量与向量所成角,,[0,180])推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角(或直角)相等.5.两异面直线的距离:公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况:相交(共面)垂直和异面垂直.是异面直线，则过外一点P，过点P且与都平行平面有一个或没有，但与距l,ll,ll,ll,l12121212离相等的点在同一平面内.(或在这个做出的平面内不能叫与平行的平面)LLLL1212三、直线与平面平行、直线与平面垂直.1.空间直线与平面位置分三种:相交、平行、在平面内.2.直线与平面平行判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.(“线线平行，线面平行”)[注]:?直线与平面内一条直线平行，则?.(×)(平面外一条直线)a,a,?直线与平面内一条直线相交，则与平面相交.(×)(平面外一条直线)a,a,?若直线与平面平行，则内必存在无数条直线与平行.(?)(不是任意一条直线，aa,,可利用平行的传递性证之)?两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面.(×)(可能在此平面内)?平行于同一直线的两个平面平行.(×)(两个平面可能相交)?平行于同一个平面的两直线平行.(×)(两直线可能相交或者异面)l?直线与平面、所成角相等，则?.(×)(、可能相交),,,,,,3.直线和平面平行性质定理:如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.(“线面平行，线线平行”)4.直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面P垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.aOAPAAOPO,若?，?，得?(三垂线定理)，,aaPOPOPO得不出?.因为?，但不垂直OA.,a,三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这-2-两条直线垂直于这个平面.(“线线垂直，线面垂直”)直线与平面垂直的判定定理二:如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论:如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.[注]:?垂直于同一平面的两个平面平行.(×)(可能相交，垂直于同一条直线的两个平面(((((((((平行)?垂直于同一直线的两个平面平行.(?)(一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面)?垂直于同一平面的两条直线平行.(?)5.?垂线段和斜线段长定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，?射影相((等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长;?相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长;?垂线段比任何一条斜线段短.[注]:垂线在平面的射影为一个点.[一条直线在平面内的射影是一条直线.(×)]?射影定理推论:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上四、平面平行与平面垂直.1.空间两个平面的位置关系:相交、平行.2.平面平行判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.(“线面平行，面面平行”)推论:垂直于同一条直线的两个平面互相平行;平行于同一平面的两个平面平行.[注]:一平面间的任一直线平行于另一平面.3.两个平面平行的性质定理:如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.(“面面平行，线线平行”)4.两个平面垂直性质判定一:两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二:如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.(“线面垂直，面面垂直”)注:如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.5.两个平面垂直性质定理:如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也P垂直于另一个平面.,,MBA推论:如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.Oθ-3-证明:如图，找O作OA、OB分别垂直于，l,l12因为则PM,OA,PM,OB.PM,,,OA,,,PM,,,OB,,2226.两异面直线任意两点间的距离公式:(为锐角取加，为钝,,l,m，n，d，2mncos,,,，取减，综上，都取加则必有),0,,,,2,，θ17.?最小角定理:(为最小角，如图)cos,,cos,cos,,θ2112θ图2图1?最小角定理的应用(?PBN为最小角)简记为:成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条.成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条.成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条.成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有.五、棱锥、棱柱.1.棱柱.S,Ch??直棱柱侧面积:(C为底面周长，h是高)该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.l?斜棱住侧面积:(是斜棱柱直截面周长，是斜棱柱的侧棱长)该公式是利用斜S,ClC11棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.,,,,,?{四棱柱}{平行六面体}{直平行六面体}{长方体}{正四棱柱}{正方体}.,{直四棱柱}{平行六面体}={直平行六面体}.侧面与底面是侧棱垂直底面是底面是正方体正四棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正方形底面矩形底面边长相等平行四边形?棱柱具有的性质:?棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等;直棱柱的各个侧面都是矩形;正棱((((((((柱的各个侧面都是全等的矩形.(((((?棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.((?过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注:?棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱.(×)(直棱柱不能保证底面是钜形可如图)?(直棱柱定义)棱柱有一条侧棱和底面垂直.?平行六面体:-4-定理一:平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.((((((((((((([注]:四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二:长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.推论一:长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为，则,,,,,222.cos,，cos,，cos,,1推论二:长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为，则,,,,,222.cos,，cos,，cos,,2?有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.(×)(斜四面体的两个平行的平面可以为矩形)[注]:?各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.(×)(应是各侧面都是正方形的直棱柱才行)(?对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.(×)(只能推出对角线相等，推不出底面为矩形)?棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直.(两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件)2.棱锥:棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.[注]:?一个棱锥可以四各面都为直角三角形.V,Sh,3V?一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥;所以.棱柱棱柱??正棱锥定义:底面是正多边形;顶点在底面的射影为底面的中心.[注]:i.正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.(不是等边三角形)ii.正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正?侧棱与底棱不一定相等iii.正棱锥定义的推论:若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形(即侧棱相等);底面为正多边形.1''S,ChC?正棱锥的侧面积:(底面周长为，斜高为)h2S底S,,?棱锥的侧面积与底面积的射影公式:(侧面与底面成的二面角为)侧cos,ccos,,a,ba,l,bc,附:以知?，，为二面角.lalb11S,a,lS,l,bcos,,a,b,则?，?，????得1222-5-S底S,.侧cos,注:S为任意多边形的面积(可分别多个三角形的方法).?棱锥具有的性质:?正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等(它叫做正棱锥的斜高).?正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.?特殊棱锥的顶点在底面的射影位置:?棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.?棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.?棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.?棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.?三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.?三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.?每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径;I?每个四面体都有内切球，球心是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.[注]:i.各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.(×)(各个侧面的等Aba腰三角形不知是否全等)cii.若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直.BCDDAB,a,AD,c,AC,b简证:AB?CD，AC?BD,BC?AD.令FE得，已知，，，，a,c,b,0,b,a,c,0BC,AC,AB,b,a,AD,c,BC,AD,bc,acACO'H,ac,bc,0G则.BC,AD,0Biii.空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.iv.若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.,,,OOB,AC,BO,，FGH,O'简证:取AC中点，则平面90?易oo,AC,BO,AC,AC,EF,FG,EFGH知EFGH为平行四边形,EFGH为长方形.若对角线等，则为正方形.-6-3.球:?球的截面是一个圆面.2?球的表面积公式:.S,4,ROr43VR,,?球的体积公式:.3?纬度、经度:PP?纬度:地球上一点的纬度是指经过点的球半径与赤道面所成的角的度数.A,B?经度:地球上两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面AB的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是点的二面角的度数，特别地，当经过点的经度.2h附:?圆柱体积:(为半径，为高)rV,,rh12hV,,rh?圆锥体积:(为半径，为高)r31hV,Sh?锥形体积:(S为底面积，为高)OR333622S,aS,a4.?内切球:当四面体为正四面体时，设边长为a，，，h,a侧底443363132426222得.a,a,a,R，,a,R,R,a/3,a,3,a43434434411V,,S,R,3，S,R,S,h,BACD侧底底注:球内切于四面体:33?外接球:球外接于正四面体，可如图建立关系式.六、常用结论、方法和公式1.从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若?AOB=?AOC，则点A在平面?BOC上的射影在?BOC的平分线上;,,,,2.已知:直二面角M,AB,N中，AEM，BFN,?EAB=,?ABF=，异面直线AE21cos,,cos,cos,;与BF所成的角为，则,12A,A3.立平斜公式:如图，AB和平面所成的角是，AC在平面内，BC和AB的射影BA11,,,,,成，设?ABC=,则coscos=cos;33212BA1DC,4.异面直线所成角的求法:(1)平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线;-7-(2)补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系;5.直线与平面所成的角斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键;6.二面角的求法(1)定义法:直接在二面角的棱上取一点(特殊点)，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性;(2)三垂线法:已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角;(3)垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直;(4)射影法:利用面积射影公式S,Scos,其中为平面角的大小，此法不必在图,,射原形中画出平面角;特别:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法(尤其要考虑射影法)。7.空间距离的求法(1)两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算;(2)求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解;(3)求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此，确定已知面的垂面是关键;二是不作出公垂线，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解;8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为，则Scos=S;,,侧底9.已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为因此有,,,,,,222,,cos,+cos+cos=1;若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为222,,,则有cos+cos+cos=2;,,,,,,10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长;12.柱体的体积公式:柱体(棱柱、圆柱)的体积公式是V=Sh.其中S是柱体的底面积，h柱体-8-是柱体的高.13.直棱柱的侧面积和全面积S=c(c表示底面周长，表示侧棱长)S=S+S,,直棱柱侧棱柱全底侧114(棱锥的体积:V=，其中S是棱锥的底面积，h是棱锥的高。Sh棱锥342315.球的体积公式V=，表面积公式;S,4,RR,3高考真题O1((安徽19)((本小题满分12分)如图，在四棱锥中，底面四边长为1的OABCD,ABCD,M菱形，,OAABCD,底面,,为ABC，,OA,2OA4M的中点。(?)求异面直线AB与MD所成角的大小;(?)求点B到平面OCD的距离。DA方法一(综合法)BC(1)CD‖AB,ABMD为异面直线与所成的角(或其补角)?，MDCOMP作APCDP,于,连接?OA,,平面ABCD，?CDMPM,2??，,DP=ADP,42Q22D，?MDMAAD,，,2ADP1,P?，,,，,，,cos,MDPMDCMDPMD23BC,ABMD所以与所成角的大小为3??AB‖平面OCD,(,)点A和点B到平面OCD的距离相等，AQOP,连接OP,过点A作于点Q，??APCDOACDCDOAP,,,,,,平面??AQOAPAQCD,,平面,-9-又,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离??AQOPAQOCD,,,平面132222222?OPODDPOAADDP,,,，,,，,,41APDP,,，22222OAAP222，所以点B到平面OCD的距离为?AQ,,,3OP3322方法二(向量法)xyz,,作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系APCD,222ABPDOM(0,0,0),(1,0,0),(0,,0),(,,0),(0,0,2),(0,0,1),,222zABMD(1)设与所成的角为,,O22?ABMD,,,,(1,0,0),(,,1)22MABMD1,,??,,,cos,,,23,ABMD,?ABMD与所成角的大小为3DAP222?OPOD,,,,,(0,,2),(,,2)(2)xyCB222?设平面OCD的法向量为nxyz,(,,),则nOPnOD,,0,0,2yz,,20,,2即,22,,，,,xyz20,,22z,2取,解得n,(0,4,2)OB设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,n,(0,4,2)ddOBn,2,.?d,,?OB,,(1,0,2)n32所以点B到平面OCD的距离为3-10-2((北京16)(本小题共14分)APBPAB,,如图，在三棱锥中，，，，(，,ACB90PABC,ACBC,,2PCAC,P(?)求证:;PCAB,(?)求二面角的大小(BAPC,,解法一:ABABD(?)取中点，连结(PDCD，PAPBP,，C？,PDAB(，ACBC,D(？,CDABBA，PDCDD,？,AB平面(PCDC平面，PC,PCD(？,PCABAPBP,(?)，，ACBC,(？???APCBPC又，PCAC,P(？,PCBC又，即，且，，,ACB90ACPCC,ACBC,E平面(？,BCPACBAAPE取中点(连结(BECE，ABBP,？,BEAP，(CBE是在平面内的射影，ECPAC(？,CEAP是二面角的平面角(？，BECBAPC,,3BEAB,,6在中，，，，，,BCE90?BCEBC,22BC6？，,,sinBEC(BE36arcsin？二面角的大小为(BAPC,,3解法二:APBP,(?)，，ACBC,(？???APCBPC又，PCAC,(？,PCBC，ACBCC,z平面(？,PCABCPAB,平面，ABCEyx-11-ABC(？,PCAB(?)如图，以为原点建立空间直角坐标系(Cxyz,C则(CAB(000)(020)(200)，，，，，，，，设(Pt(00)，，，PBAB,,22，(P(002)，，？,t2APE取中点，连结(BECE，，，ACPC,ABBP,BEAP,，(？,CEAP是二面角的平面角(？，BECBAPC,,，，，E(011)，，EC,,,(011)，，EB,,,(211)，，ECEB23(？，,,,cosBEC326ECEB3arccos二面角的大小为(？BAPC,,33((福建19)(本小题满分12分)如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD?底面2ABCD，侧棱PA,PD=,底面ABCD为直角梯形，其中BC?AD,AB?AD,AD=2AB=2BC=2，O为AD中点.(?)求证:PO?平面ABCD;(?)求异面直线PB与CD所成角的余弦值;(?)求点A到平面PCD的距离.解法一:(?)证明:在?PAD卡中PA,PD，O为AD中点，所以PO?AD.又侧面PAD?底面ABCD，平面PAD?平面ABCD,AD，PO,平面PAD，所以PO?平面ABCD.(?)连结BO，在直角梯形ABCD中，BC?AD,AD=2AB=2BC，有OD?BC且OD,BC，所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB?DC.由(?)知PO?OB，?PBO为锐角，所以?PBO是异面直线PB与CD所成的角.2因为AD,2AB,2BC,2，在Rt?AOB中，AB,1，AO,1，所以OB,，-12-在Rt?POA中，因为AP，AO,1，所以OP,1，,222在Rt?PBO中，PB,,OP，OB,3OB26cos?PBO=,,,PB336所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为.3OB,，(?)由(?)得CD,222在Rt?POC中，PC,，OC，OP,233所以PC,CD,DP，S=?2=.?PCD421又S?=AD,AB,1,2设点A到平面PCD的距离h，由V=V，P-ACDA-PCD11得S?OP,S?h，??ACDPCD33311即×1×1,××h，23323解得h,.3解法二:(?)同解法一，OC、OD、OP(?)以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.则A(0，-1，0)，B(1，-1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1).PBCD所以,(-1，1，0)，,(t，-1，-1)，PB,CD,1,16PBCD,,,?〈、〉=，33,2PBCD6所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为，3-13-(?)设平面PCD的法向量为n,(x,y,x)，000由(?)知CP=(-1，0，1)，CD,(-1，1，0)，CP则n?,0，所以-x+x=000,CDn?,0，-x+y=0，00即x=y=x,000取x=1，得平面的一个法向量为n=(1,1,1).0AC又=(1,1,0).AC,n223从而点A到平面PCD的距离d,,,.n3341814((广东)(本小题满分分)5P-ABCDABCDR如图所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接BDABD=60,BDC=45,ADPBAD.四边形，其中是圆的直径，?????,?(1)PD求线段的长;(2)PC=RP-ABC.若，求三棱锥的体积111BD解:()是圆的直径？,又ADPBAD~，,BAD903224R，2BDsin60，，ADADDP4？DPR,,,,3,;,1BABAADBDsin30，，2R，2(2)在中，RtBCDCDBDR,,cos452222222PDCDRRRPC，,，,,9211？又PDCD,，,PDA90？ABCD底面PD,,,11321231，2SABBCRRR,，,，,sin60452，，,,ABC,,2222224,,三棱锥的体积为PABC,113131，，23.VSPDRRR,,,3PABCABC,3344-14-5((宁夏18)(本小题满分12分)如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图(它的正视图和俯视图在下面画出(单位:cm)(?)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;(?)按照给出的尺寸，求该多面体的体积;,,(?)在所给直观图中连结，证明:面(BCBC?EFG6,D22,CGF,B24EDCA4B解:(?)如图2662244242(正视图)(侧视图)(俯视图)????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????3分(?)所求多面体体积VVV,,长方体正三棱锥11,,,，，,，，，，446222,,32,,2842,D,C(????????????????????????????????????????????????????????????????????????????7分,(cm)G3F,A,B,,,,(?)证明:在长方体中，ABCDABCD,,AD,,连结，则(ADBC?ED,,,AAAD因为分别为，中点，CEG，,所以，ADEG?AB,,从而(又平面，EGBC?BC,EFG,所以面(12分BC?EFG6((江苏16)(14分)在四面体CB,CD,AD,BD中，，且E、F分别是AB、BD的中点，ABCD求证:(1)直线EF//面ACD(2)面EFC?面BCD【解析】:本小题考查空间直线于平面、平面与平面的位置关系的判定，考查空间想象能力、推理论证能力。(1)?E、F分别是AB、BD的中点?EF是?ABD的中位线?EF//AD,又?面ACD，AD面ACD?直线EF//面ACDEF,BEFAD//,(2),,EFBD,ADBD,,FED-15-CACBCD,,,,CFBD,FBD为中点,,,BDCEF面,,,面面EFCBCD,BDBCD,面,CFEFF,7((江西20)如图，正三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且长度均为OABC,OAOBOCEFABHEFEF2(、分别是、的中点，是的中点，过的平面与侧棱、、ACOAOBOC3ABC或其延长线分别相交于、、，已知(OA,11112BC(1)求证:?面;OAH11OOABC,,(2)求二面角的大小(111CEF解:(1)证明:依题设，是的中,ABCA1FCEF1位线，所以?，BCHAEFEFBC则?平面，所以?。OBC11EHEFAHEF又是的中点，所以?，BAHBC则?。11B1因为?，?，OAOBOAOCOBC所以?面，则?，OAOBCOA11BC因此?面。OAH11CMA1FABCN(2)作?于，连。ONN111CH1ANOCOAB因为?平面，111EBCNAB根据三垂线定理知，?，111，ONCOABC,,就是二面角的平面角。1111B1EMMEMOB作?于，则?，则OA1M是的中点，则。OBEMOM,,1OBOAx311OBx,,设，由得，，解得，,x,31MBEMx,121OAOB,332211Rt,OABON,,在中，，则，。ABOAOB,，,5111111AB2511-16-OC1OABC,,所以，故二面角为arctan5。tan5，,,ONC1111ONxy、、z解法二:(1)以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则Oxyz,OAOCOB、、11ABCEFH(2,0,0),(0,0,2),(0,2,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,,)221111所以AHOHBC,,,,,(1,,),(1,,),(0,2,2)2222所以AHBCOHBC,,,,0,0所以平面BC,OAHEFBCBC,由?得?，故:平面BCBCOAH11113Bz(0,0,)(2)由已知设A(,0,0),1121则AEEBz,,,,,(,0,1),(1,0,1)112由与共线得:存在有得AEEBAEEB,,,,R1111O1,,,,,,,,z32,C,1(1),,zA,1,FC1？B(0,0,3)AH1ExC(0,3,0)同理:y1B33？,,,,ABAC(,0,3),(,3,0)111122B1ABC设是平面的一个法向量,nxyz,(,,)1111111z3,,，,xz30,,2则令得yx,,1x,2,3,,，,xy30,,2？,n(2,1,1).1OAB又是平面的一个法量n,(0,1,0)11216？,,,,cos,nn126411，，-17-6arccos所以二面角的大小为6ABCDABCD-BD8((江苏选修)记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记11111DP1,(当为钝角时，求的取值范围(,,，APCDB1zC1D1解:由题设可知，以DA、、为单位正交基底，DCDD1B1A1建立如图所示的空间直角坐标系，则有Dxyz,CDyP,,,A(1,0,0)B(1,1,0)C(0,1,0)D(0,0,1)ABx由，得，所以DB,,(1,1,1)DPDB,,,,,,,(,,)111PAPDDA,，,,,，,,,,,(,,)(1,0,1)(1,,1),,,,,,11PCPDDC,，,,,，,,,,,(,,)(0,1,1)(,1,1),,,,,,11显然不是平角，所以为钝角等价于，APC，APCPAPCcoscos,0，,,,,,APCPAPCPAPC,0，则等价于PAPC12(1)()()(1)(1)(1)(31)0,,，,,，,,,,,,,,,,,,即，得,,,131因此，的取值范围是(,1),39((湖南18)(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P,ABCD的底面积ABCD是边长为1的菱形，?BCD,60?，E是CD3的中点，PA?底面积ABCD，PA,.(?)证明:平面PBE?平面PAB;(?)求二面角A,BE,P的大小.解解法一(?)如图年示，连结BD，由ABCD是菱形且?BCD,60?知，ΔBCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BE?CD，又AB?CD，所以BE?AB.又因为PA?平面ABCD，BE平面ABCD，-18-所以PA?BE.而PA?AB,A，因此BE?平面PAB.又BE平面PBE，所以平面PBE?平面PAB.(?)由(?)知，BE?平面PAB，PB平面PAB，所以PB?BE.又AB?BE，所以?PBA是二面角A,BE,P的平面角.PA在RtΔPAB中，tan?PBA,，?PBA,60?.,3AB故二面角A,BE,P的大小是60?.解法二如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各3313,,0,,0点的坐标分别是A(0,0,0)，B(1,0,0)，C()，D()，222231,,0P()，E().0,0,323BE,(0,,0)(?)因为，平面PAB的一个法向量是,(0,1,0)，n02BE所以和共线.从而BE?平面PAB.又因为BE平面BEF，所以平面PBE?平面PAB.n0313PBBE(?)易知=(1,0,-),=(0,,0),22,xyz，，,,030,111,n设=(x,y,z)是平面PBE的一个法向量，则有111,13000.，，，，,xyz,111,2n33所以y=0,x=z.故可取=(,0,1).1111n而平面ABE的一个法向量是=(0,0,1).2nn112nn,于是，cos,,,,.12||nn||212故二面角A-BE-P的大小是6010((辽宁19)(本小题满分12分)-19-,AD,,,,如图，在棱长为1的正方体中，AP=BQ=b(0<b<1)，截面PQEF?，ABCDABCD,,AD截面PQGH?(,D(?)证明:平面PQEF和平面PQGH互相垂直;,CGH(?)证明:截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，,A,B并求出这个值;1PQ,DE(?)若，求与平面PQEF所成角的正弦值(b,DC2FEA解法一:B,,,ADAD,ADAB,(?)证明:在正方体中，，，又由已知可得,,PFAD?PHAD?，，，PQAB?PHPF,，，所以PHPQ,PH,所以平面(PQEF所以平面和平面互相垂直(???????????????????????????????????????????????????????????????????????????4分PQEFPQGH(?)证明:由(?)知,PFAPPHPA,,22，，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是,，是定值(???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????8分(22)2APPAPQ，，,,ADPF(?)解:设交于点，连结，NEN,AD,因为平面PQEF，,D,CH,DE,所以为与平面PQEF所成的角(?DENG,A,B1,,AABBAD因为，所以PQEF，，，分别为，，，的中点(b,BCDPQ2NCFEA323B,,DN,可知，(DE,423224,所以(???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????12分sin?DEN,,322解法二:以D为原点，射线DA，DC，DD′分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D,xyz(由已知得，故DFb,,1,,A(100)，，A(101)，，D(000)，，D(001)，，，，，，zPb(10)，，Qb(11)，，Eb(110),，，，，，,D,CHG,A,B-20-CPQDyFEAB，，(Fb(100),，，Gb(11)，，Hb(01)，，(?)证明:在所建立的坐标系中，可得，PQPFbb,,,,(010)(0)，，，，，，PHbb,,,(101)，，,,(ADAD,,,,,(101)(101)，，，，，,,,因为，所以AD是平面PQEF的法向量(ADPQADPF,,00，,,,因为，所以AD是平面PQGH的法向量(ADPQADPH,,00，,,,,因为，所以ADAD,，ADAD,0所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直(??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????4分EFPQEFPQ?，=(?)证明:因为，所以，又，所以PQEFEF,,(010)，，PFPQ,为矩形，同理PQGH为矩形(PHb,,2(1)PFb,2在所建立的坐标系中可求得，，PHPF，,2PQ,1所以，又，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为2，是定值(??????????????????????????????????????????????????????8分,(?)解:由(?)知是平面的法向量(PQEFAD,,(101)，，,,PAABBAD由为中点可知，QEF，，分别为，，的中点(BC11,,,,,,DEE，，10DE,,，，11所以，，因此与平面所成角的正弦值等于PQEF,,,,22,,,,2,,|cos|,,,ADDE，(12分211((全国?18)(本小题满分12分)CD,2四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，ABCDE,BCDEABC,BCDEBC,2(ABAC,(?)证明:;ADCE,A(?)设侧面为等边三角形，求二面角的大小(ABCCADE,,FDF解:(1)取中点，连接交于点，BCCEOB，ABAC,ECD-21-，？AFBC,又面面，ABC,BCDEAF,面，？BCDE(？AFCE,2tantan，,，,CEDFDC，2，？，，，,OEDODE90，即，？，,DOE90CEDF,ADF面，？,CE(？,CEADAD(2)在面内过点做的垂线，垂足为(ACDCG，，CGAD,CEAD,？,AD面，CEG，？,EGAD则即为所求二面角(，CGEACCD236DG,CG,,，，3AD33022EGDEDG,,,，3CE,6，222CGGECE，,10cos，,,,CGE则，210CGGE,,10？，,,CGEπarccos(,,,,10,,12((全国?20)(本小题满分12分)EABCDABCD,AAAB,,24CCCE,3EC中，，点在上且(如图，正四棱柱1111111BEDAC,(?)证明:平面;1D1C1A1B1ADEB,,(?)求二面角的大小(1解法一:AB,2依题设，，(CE,1EBDF(?)连结交于点，则(ACBDAC,DCABBDAC,由三垂线定理知，(????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????3分1-22-EFACAAC在平面内，连结交于点，G11AAAC1由于，,,22FCCED1C1RtRt???AACFCE，,，AACCFE故，，A111B1，FCA与互余(，CFE1HEACEF,于是(G1DCFABBEDAC与平面内两条相交直线都垂直，BDEF，1,BEDAC平面(????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????6分所以1HAHAHDE,(?)作，垂足为，连结(由三垂线定理知，GHDE,11，AHGADEB,,故是二面角的平面角(?????????????????????????????????????????????????????????????????????????8分1122，EFCFCE,，,33CECF，222EGCECG,,,，(CG,,3EF312EFFD，EG1，(,GH,，,EF33DE155622ACAAAC,，,26AGACCG,,,又，(11113AG1(tan55，,,AHG1HGADEB,,arctan55所以二面角的大小为(??????????????????????????????????????????????????????????????????12分1z解法二:D1C1DDA以为坐标原点，射线为轴的正半轴，xA1B1Dxyz,建立如图所示直角坐标系(BCEA(220)(020)(021)(204)，，，，，，，，，，，依题设，(1EDyCABx，(???????????????????????????????????????3分ACDA,,,,(224)(204)，，，，，DEDB,,(021)(220)，，，，，11-23-(?)因为，，ACDB,0ACDE,011ACBD,ACDE,，(故11又，DBDED,DBEAC,所以平面(????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????6分1DAE(?)设向量是平面的法向量，则n,()xyz，，1n,DE，(n,DA1故，(20yz，,240xz，,z,,2令，则，，(??????????????????????????????????????????????????????????????????????9分y,1n,,(412)，，x,4ADEB,,等于二面角的平面角，,,n，AC11nAC141(cos,,,,n，AC142nAC114ADEB,,arccos所以二面角的大小为(?????????????????????????????????????????????????????????????????12分14213((山东19)(本小题满分12分)PAD,如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角PABCD,ABCDABDC??PADABDC,,245形，已知，(BDAD,,28PMMBD,PAD(?)设是上的一点，证明:平面平面;PCM(?)求四棱锥的体积(PABCD,DC(?)证明:在中，?ABDABAD,4AB,45由于，，，BD,8P222所以ADBDAB，,(MADBD,故(DCPAD,又平面平面，平面平面，PADABCDABCDAD,OBD,平面，AABCDBBD,PAD所以平面，BD,MBD又平面，MBD,PAD故平面平面(PAD(?)解:过作交于，POAD,OPAD,由于平面平面，ABCD所以平面(PO,ABCD因此为四棱锥的高，POPABCD,-24-又是边长为4的等边三角形(?PAD3PO,，,423因此(2在底面四边形中，，，ABCDABDC?ABDC,24885，AB所以四边形是梯形，在中，斜边边上的高为，,ABCDRt?ADB545此即为梯形的高，ABCD254585，S,，,24所以四边形的面积为(ABCD251故(V,，，,2423163PABCD,314((上海16)(本题满分12分)ABCDABCD,如图，在棱长为2的正方体中，E是BC的中点(求直线DE与平面ABCD11111所成角的大小(结果用反三角函数值表示)(D1C1B1A1【解】过E作EF?BC，交BC于F，连接DF.?EF?平面ABCD，E??EDF是直线DE与平面ABCD所成的角.……………4分DC1由题意，得EF=CC,1.12AB1D1C1?…………..8分CFCBDF,,？,1,5.2B1A1EF5tan.，,,EDF?EF?DF，?……………..10分DF5ED5Carctan故直线DE与平面ABCD所成角的大小是….12分F5AB15((四川19)(本小题满分12分)ABEF,ABEF如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，ABCDABCD110////BE，,，,BADFABBC90,GH,FAFD,，，分别为的中点ADAF22,,(?)证明:四边形是平行四边形;BCHG(?)四点是否共面,为什么,CDFE,,,ABBE,ADE,(?)设，证明:平面平面;CDEFGGAFHHD,,,【解1】:(?)由题意知，-25-1//所以GHAD2,1////又，故BCGHBCAD2,,所以四边形是平行四边形。BCHG(?)四点共面。理由如下:CDFE,,,1////FABE由，是的中点知，，所以BCGGHEFBG//AF2,,DFH由(?)知，所以，故共面。又点在直线上ECFH,BGCH//EFCH//所以四点共面。CDFE,,,0//ABBE,BE(?)连结，由，及知是正方形，,BAG90ECAGABEG,AD,FABE故。由题设知两两垂直，故平面，FAFDAB,,BGEA,EAEDFABE因此是在平面内的射影，根据三垂线定理，BGED,ADE又，所以平面EDEAE,BG,ADE由(?)知，所以平面。CHBG//CH,F,ADE,由(?)知平面，故平面，得平面平面CDECH,CDECDEABEF,AFAB,AF,【解2】:由平面平面，，得平面，ABCDABCDAAB以为坐标原点，射线为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系Axyz,(?)设，则由题设得ABaBCbBEc,,,,,ABaCabDbEacGcHbc0,0,0,,0,0,,0,0,2,0,,0,,0,0,,0,,,，，，，，，，，，，，，，，HGbBCb,,0,,0,0,,0所以，，，，HGBC,于是又点不在直线上GBC所以四边形是平行四边形。BCHG(?)四点共面。理由如下:CDFE,,,由题设知，所以Fc0,0,2，，EFacCHacEFCH,,,,,,0.,,0.,，，，，-26-又，故四点共面。CEFHFD,,,CDEF,,,ABBE,(?)由得，所以CHaaAEaa,,,,0,,,0,，，，，又，因此ADb,0,2,0CHAECHAD,,,,0,0，，即CHAECHAD,,,ADE又，所以平面ADAEA,CH,ADE,故由平面，得平面平面CH,CDFECDE16((天津19)(本小题满分12分)AD,2PA,2如图，在四棱锥中，底面是矩形(已知，，，PABCD,ABCDAB,3，(PD,22?PAB,60PAD,PAB(?)证明平面;AD(?)求异面直线与所成的角的大小;PCADPBDA,,(?)求二面角的大小(BC222PA,2AD,2(?)证明:在中，由题设，，PD,22，可得，PAADPD，,?PADADPA,ADAB,AD,PAB于是(在矩形中，，又，所以平面(PAABA,ABCDAD(?)解:由题设，，所以(或其补角)是异面直线与所成的角(BCAD??PCBPC在中，由余弦定理得?PAB22(PBPAABPAABPAB,，,,2cos7PAD,PABPB,PAB由(?)知平面，平面，ADPB,所以，因而，于是是直角三角形，BCPB,?PBCADHEPB7BtanPCB,,故(CBC27ADarctan所以异面直线与所成的角的大小为(PC2PPHAB,HHHEBD,EPE(?)解:过点作于，过点作于，连结(AD,PABPH,PABADPH,PH,因为平面，平面，所以(又，因而ADABA,HEPEBDPE,平面，故为在平面内的射影(由三垂线定理可知，(从而ABCDABCD?PEHPBDA,,是二面角的平面角(由题设可得，PHPA,,sin603，，AHPA,,cos60122BHABAH,,,2，，BDABAD,，,13AD4HEBH,,(BD13-27-PH39tanPEH,,于是在中，(Rt?PHEHE439PBDA,,arctan所以二面角的大小为(417((浙江20)(本题14分)如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，，，BCF=CEF=,AD=3,EF=2。90:(?)求证:AE//平面DCF;D(?)当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为,60:ACB方法一:FE(?)证明:过点作交于，连结，EGCF,CFGDGED可得四边形为矩形，BCGEA又为矩形，ABCDCG?所以，从而四边形为平行四边形，BADEGADGEFHE故(AEDG?因为平面，平面，AE,DCFDG,DCFAE?所以平面(DCFBBHEF,FEHAH(?)解:过点作交的延长线于，连结(由平面平面，，得ABCD,BEFCABBC,AB,平面，BEFCAHEF,从而(，AHB所以为二面角的平面角(AEFC,,EF,2EGAD,,3在中，因为，，所以，(，,CFE60Rt?EFGFG,1又因为，所以，CEEF,CF,4从而(BECG,,333BHBEBEH,，,sin于是(2因为，ABBHAHB,，tan9AB所以当为时，二面角的大小为(60AEFC,,2yz方法二:如图，以点为坐标原点，以和分别作为x轴，轴和轴，建立空CCBCF，CDCxyz,间直角坐标系(zD设，ABaBEbCFc,,,，，ACC(000)，，Fc(00)，，则，，，，(Aa(30)，，B(300)，，Eb