2023年甘肃省陇南市统招专升本数学自考真题(含答案)

2023年甘肃省陇南市统招专升本数学自考

真题（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

、单选题（30题）

1.

卜列无穷级数中，发散的是）

A.XZ/1（一1）”

B.SC.Z夕悬吊

OD,E

N-11\/n11J

2.

袋中有5个白球,2个红球，第一次取出一球,不放回，第二次再取出一球，则两次取出

的都是白球的倭率是

10

A・瑞RBc—D

-21-84

3.

设L=口ln（l+Y=jj（x24■炉）匕♦则以卜结论成立的是（）

A.I,<hB.L>It

C.I,=/,D.L与&的大小不能磷定

4.

曲线）=甘^的渐近线

A.仅有水平渐近线B.既有水平又有垂直渐近线

C.仅有垂直渐近线D.既无水平也无垂直渐近线

5.

曲线八外=三三三的水平渐近线为（）

3.厂

22

A.y=wB.»=——

•5O

11

c.J-=D.y=—

T3

6.

函数/(z)=ig(jN+1—h)在(-8,+oo)是()

A.奇函数B.偶函数

c.非奇非偶函数D.既奇又偶函数

7.

设lim'+：”=3,则a,b分别为()

xfix-1

A.1,1B.-1,—2C.—2,1D.1,—2

8.

极限lim五三的值是

()

J7-1

A.B・5C.3D.不存在

0o

9.

lim/(x)=oo/img(x)=8,则必有(

XT。X->O

A.lim[/(x)+g(x)]=ooB.lim[/(x)-g(x)]=0

JCT0XT。

C.lim----------------=0D.Iim4f(x)=oo,(人00)

…/(x)+g(x)XT。

10.

微分方程,-8/+16y=xe4x的特解形式可设为y*=()

A.[Ax+B)t'xB.Axe4xC.加可D.(Ax3+Bx2)eAx

11.

-JJ

.已知d[e/(J)J=edj*,/(0)=。•贝lj/(j)=()

A.e2j+eJB.e2x-exC.e2j+e;D.e2j-e：

12.

.由方程,ry=C确定的隐函数z(y)的导数半=

)

“dy

A-1)oy(w-1)

v(l-.r)v)

(、1y(*+1)D+1)

•小一1)'一(1一1)

13.

.下列级数发散的是

OO

A』B.斗一D"!

”=1〃

cylD七（T），

M，产»=1〃

下列结论不正确的是（）

A.单调有界数列必有极限

B.极限存在的数列必为有界数列

C.lim/（x）存在的充分必要条件是左、右极限都存在

14.D.0是无穷小量

15.

下列哪个式子是不正确的

A.limc""=0B.lime^=1

n・48n-oo

C.lim­；----=1D.Iim（1+"）:=e

J-1J"-1»-0

16.

现考察某教室多媒体使用情况•事件A=｛多媒体正常工作2年）,事件B=｛多媒体正

常工作3年，，则下列选项正确的是（）

A.ACBB.AZ）B

C.A与E互不相关D.Af]B=0

17.

设X的分布为

X0123

P0.10.30.40.2

F(T)为其分布函数.则F(2)=

A.0.2B.0.4

C.0.8D.1

18.

已知ai,a2服业(r都是三维列向量，且行列式的,优I=Iai，4I=Ia2，氏，y

a?,住，yI=3,则|—3y,ai—a?•仇+2住|=(

A.18B.-36

C.-54D.-96

19.

.若，(工)连续*则下列等式正确的是

A.Jd/(vf)=f(jr)B.d]/(.r)d.r=/(.r)

C.J/7(J)dJ-=/(.r)D.dj/(j'2)dz=f(jc2)d.r

20.

函数/(m)=3|z[-在点？=0处是

A.解析的B.可导的

C.不可导的D.既不解析也不可导

21.

下列说法正确的是(

03

A.若发散.则w;上收敛

N=1W=1%

OOCX?TO

B.若X"”，2a都发散，则»%+七”)发散

w—1n—ln-1

SM

c.若Xu“收敛，则X“用收敛

•?=1»=1

V,OOCC

D.若£u„,Xp”都发散，则£(unv„)发散

n-1»—Ln-I

22.

,设y=COS],则y2016)=

A.一cosiB.cos.r

C.一siniD.sin文

23.

设/(r)=sin/—co",则FI/(r)1为)

A.7ticTTTi[<J(w4-1)—<J(w—1)]

B.-y沁*”[合(zr-1)—8(w—1)J

C.而[6(w—1)—5(u1-1)_

D,怎iu亭1)-^(w-1>]

下列积分中，其值为零的是()

2_fiex-e"x,

A.|^V4-xdxB.dx

L2

C.f*(x2-3)dxD.j’sin2xdx

24.—

25.

户工一1

才=0是函数/(了)=-~~—的()

A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点

26.

设曲线y=/+彳-2在点M处的切线斜率为3,则点M的坐标是

A.(—2.0)B.(1,0)

C.(0,-2)D.(2,4)

27.

下列结论不正确的是()

r1

A.------rdx=arctanx+C

Jl-x2

r1

C.3dx=arcsinx+C

28.

曲线,v=e^arcian<的渐近线的条数为()

Q—1)(.r+Z)

A.0B.1C.3D.2

29.

微分方程/-4>=0的通解为()

2x-2x

A.y=Ge+C2eB.y=Gc"+C2©f

C.y=Cix±Cx22

2D.y=G^T+C2X-

30.

rJT+1♦1)0,

曲线/(z)=1在点(0,1)处的切线斜率是()

|1+sinjt*,jt*V0,

A.0B.1C.2D.3

二、填空题（20题）

31.

已知a={-1,1,2}"={3,0,4}.则a在b上的投影为.

设f(0)=1,//(0)=1+i,则lim，(~)—

r>1>Z

已知当If0时J产出与丁。是同阶无穷小，则常数。=

33.

34微分方程（）''）'+2.Ny'），-ry=0的阶数是

35.微分方程sec—tanycLr+secZytaudy=0的通解为

36.

，sin.r+e'u—1

1r0,

设f(x)=J"

在才=0处连续，则a=

x=0

37设函数/'(ln.r)=2z+l,则/”。⑻G)=

若P>1,则Lp-d.r=

38.

39微分方程2dV+ylnjdr=0的通解为

40设V—ln_y2Mnz=。确定了函数y=y(_r),则y=

函数y=[ln(1—J?)]2的微分dy=

41.

n___.

J.x3Vl-x2dx=.

42,《_

"2+cosz,

不定积分

43..2z+sin.r

已知/(x)=e7,则

不定积分/J~~r-dr=

JJC(X—1)----------

45.

力n

幕级数Z=(0<P<1)的收敛域为一

46,"=1M

474为3阶矩阵，且|A|=2,贝I」|-3A|=

向半圆0VyVy2ar-x2(a>0)内任掷一点.点落在半圆内任何区域的概率均与该

区域的面积成正比.则该点与原点连线与，轴的夹角小玲的概率为

0'

47、

设矩阵方程XA=B，其中4=2，则X

59,

0)

设a=(1•］，J)=(1J.1)「，则4=

50.--

三、计算题(15题)

计算二重积分「七工学dy.

51.

52

算

、I

丁T丁dj-dv，其中。是由彳=0,V=1和》==/所围成的区域.

|(l-cosr)d/

求极限lim

XTOx-tanx

53.

求(JT+1)sinjrdx.

54.

求曲线)=arciamr才的凹凸区间及拐点.

55.

计算定积分「COSy/xdx.

56.Jo

57.

求函数之)=ary2+z3—之在点(—1.1,2)处沿方向/=(-1,1,—1｝的

方向导数.

58.

设y=/(lnz)e",其中/(X)可微，且〃0)=1,并在x=1处取得极小值0.

求求

J-t

设函数/(.r)=lim.r(14-3z)~,求

59."一

yn+2y'+^=0,

求微分方程，歹|*=4,的特解.

求微分方程q"—2/=/3+才的通解.

61.

函数y=八］）由方程歹=工+arccosCxjr）确定•求y.

62.

求解微分方程xyf—y=

63.

64.

IQr

设A=（）20•/=

.1°1,

（1）求出AI,问A?I是否可逆,若可逆说明理由，并求出（A-IL；

（2）问是否存在主阶矩阵X,使得AX+I=A。十X,若存在，求出矩阵X.

65.

sinz-rcosr确定，求卓

设函数.y=y（Jr）由参数方程1=cost,y=

dj-31

四、证明题（10题）

66.证明：当式时，zsinal2cosx<2.

67.

设函数/（z）在闭区间［0,4上连续，在开区间（0，n）内可导.证明在开区间（0,兀）内至

少存在一点8使得/（^）sin^=—/（^）cos$.

68.

证明：方程3?一1一「丁/=0在区间（0,1）内有唯一实数根.

Jo1+产

69.

设函数F（»=—（］>。），其中""在区间［八十8）上连续/（外在

（a.+8）内存在且大于零.求证：FQ）在（a.+8）内单调递增.

70.

设平面图形D由曲线z=24~=/=与直线y=1围成，试求：

（1）平面图形D的面积；

（2）平面图形D绕z轴旋转一周所形成的旋转体的体积.

71.

设函数/（x）在口，3］上连续，在（1,3）内可导.且八3）=（）,证明：至少存在一点

SG（1，3）.使占«）In£+/（。=0.

、-cfab-a.bb-a

当方>a>0,证明----<ln—<------.

72.baa

设eVaVbVe?,证明ln26—In2a>冬（。一a）.

73.e,

74.

凝如⑴幽1］上醺侪且肝［。』］上的豌饰搦枫麴/⑴相

0</（《w1,证明:在［0,1］上至少有一点&使得/（f）=&

设eVaV6Ve2,证明In2/?—In2a>&（b-a）.

75.e

五、应用题（10题）

76.

某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，每多生产一吨该产品，成本增加5万

元，该产品的边际收益函数为必（。）=10-0.02。，其中Q（单位：吨）为产量.

试求：（1）该产品的边际成本函数；

（2）该产品的总收入函数；

（3）。为多少时，该厂总利润乙最大？最大利润是多少？

平面图形。由曲线3,=G»直线1y=N-2及X轴所围成.

（1）求此平面图形的面积；

77（2）求此平面图形绕才轴旋转一周而成的旋转体体积.

78.

某工厂生产x件商品的总成本C（x）=1000+10x,当销售价格为10（百元/件）时，

销售量为600件，销售价格每提升1C百元/件），则销售量将会减少60件，

问：当每件的销售价格定为多少时，利润最大？最大利润是多少？

79.

曲线y=与直线y=心（0vav1）及、［'=1围成两个平面图形,求当a为何值时，

两个平面图形绕.r轴旋转一周所得的两个旋转体的体积之和最小.

80.

某公司主营业务是生产自行车,而且产销平衡，公司的成本函数<Xr）=40000+200.7--

0.002/.收入函数RQ）=350.r-0.004/*则生产多少辆自行车时，公司的利润最大？

81.

过点（1,0）作抛物线3>=，:口■的切线，求这条切线、抛物线及轴所围成的平面图

形绕r轴旋转一周形成的旋转体的体积V.

平面图形。由曲线3=,直线》=N—2及X轴所围成.

（1）求此平面图形的面积；

”（2）求此平面图形绕7轴旋转一周而成的旋转体体积.

o2.

83.

求曲线丁=\nx在区间（2,6）内的一点，使该点的切线与直线x=2,0：=6以及

y=Imr所围成的平面图形面积最小.

以改D地加曲线j=y=2和”轴理偃咸的平向区域.

o4.

求：：1）平面区减D的面积S：

<2）D烧>，拍旋话一周而成的旋话体忖体积V.

85.

设平面图形D是由曲线y=e，，直线y=e及y轴所围成的•求：

（1）平面图形D的面积；

（2）平面图形D绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积.

六、综合题（2题）

86.

设函数人才)满足微分方程zf'CH-2/(力=-(a+l)jr(其中a为正常数)，且f(l)

1,由曲线¥=/(工)(741)与直线工=l.y=O所围成的平面图形记为D,已知D的面积

求：(1)函数八上)的表达式;

(2)求平面图形D绕工轴旋转一周所形成的旋转体的体积匕.

87.

设/(X)在(-8,4-00)卜.连续，令P(JC)=⑴dt(a>0)>G(x)=f/(r)dt,

J0

(1)试用GQ)表示尸《力;

(2)求limF(z).

参考答案

1.D

I

【精析】则管至=㈣石法=1,因为P级数各高发散.则£标品

发散,故应选D.

-答案]B

【解析】P(A)表示两次取出的都足自己求的概率.

p(A)=G=12

CJ-Cl7X62V

Z.£)

3A【解析】当工2十丁=1时，ln(l+/+y2)V，卜/.故选A.

4.B

【精析】lim芸-十)=0.lim]=8,

才-8、厂—3—七代、厂—3

所以V=0是水平渐近线一=±乃是垂直渐近线,故应选B.

5.C

【精析】lim/Q)==[.则■为曲线八《)的一条水平渐近线.故应

x-»oox-*ooo3

选c.

6.A

[精析]/(-.r)=lg(/r2+1+JT)=1g(+1'+'

(Zr2+1-J-)

=Ig1i---=-lg(+]—a、)=—/(,r)，

\/xz~r1—a

故/(i)为奇函数•故应选A.

7DD【评注】将D的结果代入极限式左端得

(D&+2)=Hm(x+2)=3,故选D.

【精析】lim八十8一3送上=.立守=9故应选B.

LlX—1LI16

9.D

D【评注】显然有1,1+xs=oo,lini|—+x=oo；

)x>

A不对.如仕+x]+-—=limx=0*oo;

XJI。*

B不对.如limf-+JC^—]~\(2、

-+x=800；

/（X）JtJJ

C不对.如Hm----L——-=lim-=oo^OJD正确.可由无穷大定义证明.

z。，11一XT。X

+X+

x-c

10.D

［答案］B

【精析】由d［e-r/(j>］=e"dr得e~Tf(x)=eJ+C,

即/(JC)=e2x+CeL把/(O)=0代入得C=-1.

ll.B，(1)=e2z—e*.故应选B.

12.A

方程两边对y求导.其中工看作y的函数,+z=+所以

，d.rJC-c'+，JC-.ryx(y-1)田、生、

7=厂=------=-------=-ri----------;，故选A.

dVc•-vxy-yy(1-x)

乜A【精析】选项A为调和级数.可知其发散.

14.C

C

【评注】C不正确，因为lim/(x)存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等.

X->X0

15.C

limA_7=lim--工彳葭！~~~=lim-^―r=•，故应选C.

x-1x—1"t(①+1)(.r-1),ta”+12

16.B

【精析】多媒体正常工作3年，则一定也工作了2年，即B发生了，A也一定发生;反过

来，正常工作2年不一定就能正常工作3年，即A发生，B不一定发生，则BUA,故

应选B.

17.C

［答案］c

，0,T<C0•

0.1,o《xV1•

【精析】分布函数FQ)0.4.1w*v2•则F(2)=0.8•故应选

0.8,2W.rV3,

1,i23・

18.C

I—3y•«!H-'P',—2—|=|-3yffii+2flz+1—3月，5.4+2生=—3

I丫,小4\一3y.tti.2生|—3Iy.a?遇J—3y.a?,2从！=—31al“，yI—6|%,

Pi'YI-'3a2./J,,y—6|a?-P：,yI==~3X3—6X3—3X3—6X3=-54.

19.D

[d/(.r)=/(a)+C,A错，dj/(_r)clr=/(H)CU,B错.|/(.r)dr=,/(,r)+C,C错，

D正确.

20.B

[答案]B

【精析】函数解析必可导而可导未必解析,—=3|zI在z=0处可导但不解析.

21.C

【精析】增加或减少数列的前有限项不改变级数的敛散性，故C项正确.

22.B

[答案1B

【精析】因为(cos"">=COS卜'+手).

则(cos])""，'=cos(r+里学工)=cos(.r+1008K)=cosw.故应选B.

[答案]D

【精析】/(，)=sin/+cos'=y2sin〃+：]•

23.D।&J

F[/(Q]=F[岳in,+于)]

=V^c("F[sin⑺]

=­\/2^7tic~lu•[》(w+1)—d(it'—1)].

24.B

B

【评注】A.定积分J：7fdr的被积函数为在积分区间(-2,2)恒大于零，

所以J：67dx必定大于0;B.的被积函数为奇函数，根据“奇函数在

对称区间上的定积分为零”这个性质，可知出等于°；C.£(寸-3粒的被

积函数为(/一3),在积分区间上上恒小于0,所以「1一3粒必定小于0；

D.fxsin2;ak的被积函数为偶函数，所以「xsin24=2「xsinZrdr,因为被积函数

xsin2x在积分区间(0,1)上恒大于0,所以fxsin如ix必定大于0,即J，sin2；aix必

定大于0.

25.C

［答案1C

【精析】因为“一0时@-1与7为等价无穷小量，故--1为/的低阶无穷小量.

因此可判断才=0为f(x)=匚」的无穷间断点，本题选C.

26.B

匚答案］B

【精析】y'=2.r+1,令，=2x+1=3,得I=1.所以y=0.故M(1,0).

27.A

28.D

［答案1D

【精析】limevarctan/大七二=$故>=牛是曲线的水平渐近线；

limc^arctan，，二.=8,故父=0是曲线的垂直渐近线；

才，、+［

吁1-c±'arctanG—D1Q++12»=亍n•1呼-e±,arc.tan+.21=一故r=1不T

是曲线的渐近线；

limarctan大:甘:=%5•limarctan"二八=—寺e”，故

.r=-2不是曲线的渐近线，故曲线只有两条渐近线.

29.A

【精析】该方程是二阶常系数齐次微分方程，对应的特征根为为=2,左=—2.故其通

解为>=Ge?，十Ge",故应选A.

30.B

【精析】1=0为函数的分段点，故在该点的导数需要分别求左导数和右导数(0)=

Jr

lim1+si*_I=［jm鱼U—1,f+(0)=lim'+1八1=1,故/(0)=1,则函数在

点(0,1)处的切线斜率为1.

31.

【精析】a在8上投影为|a|cos<a.ft>=，人

Ib|

而|b|=-32+02+42=5,

a•b=(-1)•3+1•0+2•4=5.

1因此IaIcos<a.Z>>=1.

32.

［答案］1+i

［精析］lim/(Z)-1=Mi"z)—((0)

LUZLUZ-0

1+i—//(O)=1H-i.

33.3

【精析】lim=lim(sinx)二cosz=［沁三，由已知条件得2=a—1.

T*QJCX-Oaxax

故Q=3.

34.2

［答案12

【精析】由于微分方程的阶数即未知函数的最高阶导数的阶数,故阶数为2.

35.

tarkrtany=('

2F

【精析】由secJtanjd^+se^vtan.rd^=0,得tan.ycKtan.r)+tanzd(tany)=0.

即d(tanjtan,y)=0.所以tanxtanjr=C(C为任意常数).

36.

-1

[答案1-1

【精析】八])在1=0处连续,则lim也匚士二二1=八0),即lim迎士二二J

x-*VuT/

lim'"+lim------=1+2a=a,a=­1.

«r-*0.1"J•-*0JT

37.

2/

因为r(Imr)=2.r+l=2c出+L所以/(.r)=2c'+1削*>&)=2c'.

38.

1

P-1

【精析】当户>1时.j[d.r=]1=]1〃-^7=Ji

J)JCP1—P]1—/>X1^I/>—1

39.

才lny=C(C为任意常数)

[答案1±lny=C(C为任意常数)

【精析】由.rd.y+.ylnydz=0,得—j^-,d.y=^clr,而In|In.y|+InI工|=In||,即.rln.y

=c,c为任意常数.

40.

2)(1+Inz)

1十3

【精析】因.y+Iny—2/lnjr=。，令F(♦y)=y4-Iny—2.rln.r,

in||J=_巳(工0》_21nz+2_2.y(l-rlar)

iy~F,Cr，y)—]+JLl+.y*

y

41.

21n(1—x)

dr

JC—1

【精析】因y'=21n(1—i)・4・(-D=犯一，故"=幽

1—T1—11一1

42.0

0

【评注】定积分上下限关于0对称，且被积函数为奇函数，可知结果为0.

43.

ln(2.r+sin.r)+C

2+COSE.］

o~~-did(21+sina)=ln(2JC+sin.z)+C.

Zx+sinJ;2①+sina-

44.

【评注】本题考查换元法求积分

J；w=J；f(x'')d(-x-,)=£/［一)d(-尸)=e"［；=e』-e".

2222

45.

yin|j'2-1|—In|x|+C

［答案1|/一1|一］n|z|+C

［精析］］~r-dj-=［/---+y•—V-j-+y*1iWJ，

JJC(JT-1)JIi2w十1ZJ­—1/

=—In|x|+-yin|Jt'+1|+-1"ln|-1|+C

乙乙

=-^-ln|.r2—1|—In|J-|+C.

46.

［-U)

[-U)

【评注】因为R=li1,又当x=l时，级数为

("+1)P

冬，（0<0《1）发散，当x=-l时，级数为（0<p<l）,这是一个交错级数,

其通项〃”单调减少且lim/=0,级数收敛，综上，相级数的收敛域为［-］」）.

rt-xn

47,-54

答案」—5」

【精析】I—3A1=（一3尸|A|=-27・2=—54.

48.

1±

2丁+n

1：答案］4+-

N7t

【精析】此问题为几何概型问题，半圆面积为Si=£■1•

点与原点连线与1轴夹角小于手的面积为Sz=午/+枭2.

442

所以p=3=4•十L

49.

:9-7、

-108

-97

7

50.

［答案］（V）

fl〕

【精析】磔1=（1+1+1）

51.

【精析】由被积函数形式可知原二重积分计算比较复杂，故先交换积分次序,再计

算，即

CO

fdjrfcos^dy=[dj^f--d.r=f51txIdy=fcosydy=sinj*=sinl.

JoJxyJoJoyJoyIoJoo

52.

【精析】本题看成Y—型区域（先积①后积y）.

•_Cyp_

e'2dvdr=yev2dv

D0J0J0

1「1

=——e~y2d(-y1)

2Jo

1,-1e-1

F(e—e°)

2e,

【精析】原式=-（7+Ddcosi-=—（?+DCOSJ-+cos^djr

=—（J:+DCOSJ?+sinj-+C.

55.

【精析】函数定义域为《一8,+8）,J=-1，/=-77377.

令』=。，得a-=0,且函数无二阶不可导点，

则当HVO时,/>0.曲线在（一8,0）上是凹的：

当z>。时，y"V0.曲线在（0,十8）上是凸的.

且拐点为（0.0）.

56.

解：设：=4,则「cos«dx=21fcoszdt=2r/dsinf

JoJoJo

=2tsind-2csintdt=2cos《=-4.

57.

【精析】?=—3，之,?=2.0，一•孕=3——23，

OXdydz

grad/(-1,1,2)=(-1,0,13),

一11-]\

0=声疗VT卜

立=(-1),-z-+0•+13，-J'=-4>/3.

川I/⑵V3>/373

58.

【精析】y=f(ln.r)•—•e/tr)+/(lnz)e/lr>•f(x),

故d_y='"n：)e-----F/<ln,r)e/G'/^(x)JcLr,

d.y=Z/COc70)+/(O)c/<,>/(l)]d.r=/(O)d.r.

x-1

59.

T1I

【精析】/(.r)=lim.r(lI3/)7=.rlim(lI3?)第"=.r(lim(lI3济严=则

1-•0/-*0/-*0

f\.r)=e3-1+3je3r.

60.

解：特征方程丫2+2r+I=0,特征根(=々=-1,通解

xx

y=C1e'+C2xe~.

4=G，即.G=4

由初始条件咒9=4j[z=-2,得.

=-Ct+C2,C=2,

所求特解为丁=4€-'+2"-=

61.

.【精析】微分方程.r/-2./=炉口属/=/(x,y)型.

令/>=/,方程可整理为“-22=/+1,利用公式法解此一阶线性微分方程,

X

£=A=，(*+De；'"dr+G=/一工十GE"，

23

则》=-yx+C2x+G.

62.

【精析】方程两边对工求导得3丁丁=1一，13十孙，'),

—工2♦

解得J=VL7一—

3,y2/1X2J-4-J-

63.

原微分方程可变形为y--y=箝，

,••：，；？：・：«,•-•;*-***,**、•'.V"，,

所以方程的通解为v=』为(pC)=+c\

—;….....

-.r■"-1、1—：：•

二"v#o+C)=。

其中。为任意常数.

64.

90r102]

(DA-/=010,A2—Z=030

100201

因为

|A—J1=—1^0,A2—I\=—90,

故

A-I与A，—I均可逆，

又A—f为初等矩阵，易知

001

(A-I)-1=010.

100

(2)由

AX+7=A2+X

得

(A-I)X=(A-/)(A+Z),

又A-E可逆，上式两边同时左乘(A-1)T得

201-

X=A+I=030.

102

65.

【精析】由于~7~~—sinf=cost—cost卜fsint=tsinf.

dzdz

因此

djv

=/sinr=一

=石

dv石

-sinr

d7

66.

【证明】令，(I)=zsirtr+2cosz—2■

贝ljff(x)=sinz+JTCOSX—2sinT=HCOSJT—simr,

f'(%)=COSJT—xsinr—COSJC=—zsinz.

当0V/V兀时・/(x)<0,于是/(JT)单调递减，

且/(工)在［0,0上连续•所以7(x)</(0)=0,于是/(公单调递减.

所以/(j;)V/(0)=0•即jrsinjr+2cosJT—2<0,结论成立.

67.

【证明】令F(x)=/(xJsin^t

则F(0)=/(0)sin0=0=/(Qsinjc=F(穴八

且F(①)在［0,兀］上连续，在(0,芯)内可导,

由罗尔定理知.在(Of)内至少存在一点久使得尸'(6=0,

即/(^)sin^=—/(^)cos^.

68.

I

【证明】令f（1）=3.r—1——~rd/,

Jo1+1

则Z（T）=3—丁Jr在［0,1］上有意义.

即有/（1）在［0.1］上连续,而/（。）=-1<0,

/(l)=2-arctanl=2-f>0.

所以至少存在一个we（o,i）使/（£）=。，

即方程/（工）=0在（0,1）内至少有一个实数根,

2+3/、c

又