5、不等式2024年高考数专项复习

不等式2024年高考数专项复习一、学习指导不等式的性质是解(证)不等式的基础，关键是正确理解和运用，要弄清条件和结论，考试中多以小题出现，题目难度不大，学习时，应抓好基本概念，少做偏难题．二、基础梳理1．不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式．2．比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a－b＞0⇔；a－b＝0⇔；a－b＜0⇔.另外，若b＞0，则有eq\f(a,b)＞1⇔a＞b；eq\f(a,b)＝1⇔a＝b；eq\f(a,b)＜1⇔a＜b.3．不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇔；(3)可加性：a＞b⇔a＋cb＋c，a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)；(6)可开方：a＞b＞0⇒eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)．三、典型题型题型一比较大小【例1】已知a，b，c是实数，试比较a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ca的大小．解：∵a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)＝eq\f(1,2)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，当且仅当a＝b＝c时取等号．∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.【训练1】已知a，b∈R且a＞b，则下列不等式中一定成立的是()．A.eq\f(a,b)＞1 B．a2＞b2C．lg(a－b)＞0 D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))b题型二不等式的性质【例2】若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列命题：(1)ad＞bc；(2)eq\f(a,d)＋eq\f(b,c)＜0；(3)a－c＞b－d；(4)a·(d－c)＞b(d－c)中能成立的个数是()．A．1B．2C．3D．4方法总结：在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．题型三不等式性质的应用【例3】已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围．[审题视点]可利用待定系数法寻找目标式f(－2)与已知式f(－1)，f(1)之间的关系，即用f(－1)，f(1)整体表示f(－2)，再利用不等式的性质求f(－2)的范围．解：f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b.f(－2)＝4a－2b.设m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4，,m－n＝－2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝3.))∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)．∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤f(－2)≤10.题型四利用不等式的性质证明简单不等式【例4】设a＞b＞c，求证：eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)＋eq\f(1,c－a)＞0.证明：∵a＞b＞c，∴－c＞－b.∴a－c＞a－b＞0，∴eq\f(1,a－b)＞eq\f(1,a－c)＞0.∴eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,c－a)＞0.又b－c＞0，∴eq\f(1,b－c)＞0.eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)＋eq\f(1,c－a)＞0.四、小结一元二次不等式及其解法一、学习指导1．结合“三个二次”之间的联系，掌握一元二次不等式的解法．2．以函数为载体，考查不等式的参数范围问题．二、基础梳理1．一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．(2)求出相应的一元二次方程的根．(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a)))Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅一个技巧一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集的确定受a的符号、b2－4ac的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集．若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax2＋bx＋c＞0(或＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根x1，x2，(x1＜x2)(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集．两个防范(1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况；(2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．三、典型题型题型一一元二次不等式的解法【例1】已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x，x≥0，,－x2＋2x，x＜0，))解不等式f(x)＞3.解：由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x2＋2x＞3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜0，,－x2＋2x＞3，))解得：x＞1.故原不等式的解集为{x|x＞1}．小结：解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ的符号；(3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ＜0，则对应的二次方程无根；(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集．特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集．【训练1】函数f(x)＝eq\r(2x2＋x－3)＋log3(3＋2x－x2)的定义域为________．解析：依题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2＋x－3≥0，,3＋2x－x2＞0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(3,2)或x≥1，,－1＜x＜3.))∴1≤x＜3.故函数f(x)的定义域为[1,3)．题型二含参数的一元二次不等式的解法【例2】求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．解：∵12x2－ax＞a2，∴12x2－ax－a2＞0，即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，得：x1＝－eq\f(a,4)，x2＝eq\f(a,3).①a＞0时，－eq\f(a,4)＜eq\f(a,3)，解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜－\f(a,4)或x＞\f(a,3)))；②a＝0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}；③a＜0时，－eq\f(a,4)＞eq\f(a,3)，解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜\f(a,3)或x＞－\f(a,4))).综上所述：当a＞0时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜－\f(a,4)或x＞\f(a,3)))；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；当a＜0时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜\f(a,3)或x＞－\f(a,4))).【训练2】解关于x的不等式(1－ax)2＜1.方法一：方法二：由(1－ax)2＜1，得a2x2－2ax＜0，即ax(ax－2)＜0，当a＝0时，x∈∅.当a＞0时，由ax(ax－2)＜0，得a2xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))＜0，即0＜x＜eq\f(2,a).当a＜0时，eq\f(2,a)＜x＜0.综上所述：当a＝0时，不等式解集为空集；当a＞0时，不等式解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(2,a)))))；当a＜0时，不等式解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)))＜x＜0)).题型三不等式恒成立问题【例3】已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．解：原不等式等价于(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0对一切实数恒成立，显然a＝－2时，解集不是R，因此a≠－2，从而有整理，得所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞－2，,a＜－3或a＞2，))所以a＞2.故a的取值范围是(2，＋∞)．【训练3】已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．解法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a.①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1；②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.综上所述，所求a的取值范围为[－3,1]．法二：令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或解得－3≤a≤1.所求a的取值范围是[－3,1]．法三：四、小结二元一次不等式（组）与平面区域一、基础梳理1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三个部分：①直线l上的点(x，y)的坐标满足；②直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＞0；③直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＜0.所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从ax0＋by0＋c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得到实数的符号都，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的即可判断Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．一种方法确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．(2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．2．注意事项（1）作不等式所表示的平面区域时应注意区分边界的虚实；（2）不等式组所表示的平面区域是组中各个不等式所表示平面区域的公共部分。典型例题分析例1：求不等式组表示的平面区域的面积。解析：【法1】（特殊三角形）显然为等腰直角三角形，，，易得B点坐标为，C点坐标为，则∴。【法2】（面积公式）易得A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为，则由点到直线的距离公式得高∴。【法3】（向量法）易得A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为，则，∴。故不等式组表示的平面区域的面积等于36。例2：求不等式表示的平面区域的面积。解析：不等式可化为或或或其平面区域是对角线为4的正方形（如图），∴面积S=×4×4=8。例3：若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则值是()A、eq\f(7,3)B、eq\f(3,7)C、eq\f(4,3)D、eq\f(3,4)解析：不等式组表示的平面区域是及其内部（如图），其顶点分别为、、∵直线必过定点，∴只有直线过的中点时，直线才能平分平面区域则，即。故选（A）【思考】若将“直线”改为“直线”，则值又是多少？若将“直线”改为“直线”，则值又是多少？例4.某人准备投资1200万元兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格(以班级为单位)(注：初、高中的教育周期均为三年，办学规模以20～30个班为宜，老师实行聘任制).学段班级学生数配备教师数硬件建设教师年薪初中45226万元/班2万元/人高中40354万元/班2万元/人分别用数学关系式和图形表示上述限制条件．【解析】设开设初中班x个，高中班y个．根据题意，总共招生班数应限制在20～30之间，所以有20≤x＋y≤30.考虑到所投资金的限制，得到26x＋54y＋2×2x＋2×3y≤1200，即x＋2y≤40.另外，开设的班数不能为负且为整数，即，把上面四个不等式合在一起，得到：用图形表示这个限制条件，得到如图中的平面区域(阴影部分)中的整数点．简单的线性规划问题一、基础梳理线性规划相关概念名称意义目标函数欲求或的函数约束条件目标函数中的变量所要满足的不等式组线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组线性目标函数目标函数是关于变量的一次函数可行解满足的解可行域所有组成的集合最优解使目标函数取得或的点的坐标线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的或问题一个步骤利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．线性规划的两类重要实际问题：第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大；第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小（1）建立线性规划模型；（2）求出最优解；（3）作出实际问题答案。三、典型题型题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】直线2x＋y－10＝0与不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0,y≥0，,x－y≥－2，,4x＋3y≤20))表示的平面区域的公共点有()．A．0个B．1个C．2个D．无数个解析：由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)．直线2x＋y－10＝0恰过点A(5,0)，且斜率k＝－2＜kAB＝－eq\f(4,3)，即直线2x＋y－10＝0与平面区域仅有一个公共点A(5,0)．答案：B方法总结：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．【训练1】已知关于x，y的不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,x＋y－2≥0，,kx－y＋2≥0))所表示的平面区域的面积为4，则k的值为()．A．1B．－3C．1或－3D．0解析：其中平面区域kx－y＋2≥0是含有坐标原点的半平面．直线kx－y＋2＝0又过定点(0,2)，这样就可以根据平面区域的面积为4，确定一个封闭的区域，作出平面区域即可求解．平面区域如图所示，根据区域面积为4，得A(2,4)，代入直线方程，得k＝1.答案：A题型二求线性目标函数的最值【例2】已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\r(2)，,y≤2，,x≤\r(2)y))给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(eq\r(2)，1)，则z＝Oeq\o(M,\s\up6(→))·Oeq\o(A,\s\up6(→))的最大值为()．A．3B．4C．3eq\r(2)D．4eq\r(2)解析：画出区域D，如图中阴影部分所示，而z＝Oeq\o(M,\s\up6(→))·Oeq\o(A,\s\up6(→))＝eq\r(2)x＋y，∴y＝－eq\r(2)x＋z，令l0：y＝－eq\r(2)x，将l0平移到过点(eq\r(2)，2)时，截距z有最大值，故zmax＝eq\r(2)×eq\r(2)＋2＝4.答案：B方法总结：求目标函数的最大值或最小值，必须先求出准确的可行域，令目标函数等于0，将其对应的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．【训练2】已知变量x，y满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3≤0，,x＋3y－3≥0，,y－1≤0，))若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围是()．A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析：画出x、y满足条件的可行域如图所示，要使目标函数z＝ax＋y仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y＝－ax＋z的斜率应小于直线x＋2y－3＝0的斜率，即－a＜－eq\f(1,2)，∴a＞eq\f(1,2).答案：D题型三求非线性目标函数的最值【例3】变量x、y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y－25≤0，,x≥1.))(1)设z＝eq\f(y,x)，求z的最小值；(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围．解析：由约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y－25≤0，,x≥1.))作出(x，y)的可行域如图所示．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,3x＋5y－25＝0，))解得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(22,5))).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x－4y＋3＝0，))解得C(1,1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3＝0，,3x＋5y－25＝0，))解得B(5,2)．(1)∵z＝eq\f(y,x)＝eq\f(y－0,x－0).∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．观察图形可知zmin＝kOB＝eq\f(2,5).(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝|OC|＝eq\r(2)，dmax＝|OB|＝eq\r(29).∴2≤z≤29.方法总结：求目标函数的最值，必须先准确地作出线性约束条件表示的可行域，再根据目标函数的几何意义确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值．【训练3】设实数满足不等式组，则的最大值为。解析：作出可行域（如图）即所围区域(包括边界)，其顶点、、法1：∵可行域内的点都在直线上方，∴则目标函数等价于易得当直线在点处，目标函数取得最大值为。法2：令为可行域内一动点、定直线，则，其中为到直线的距离由图可知∴。，【训练4】已知不等式组，则的取值范围为。解析：作出可行域（如图）即所围区域(包括边界)，其顶点、、∵，∴，令，为可行域内一动点、则，∵，∴，∴，即的取值范围为。题型四线性规划的实际应用【例4】某企业生产A，B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？解析：设生产A，B两种产品分别为x吨，y吨，利润为z万元，依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋10y≤300，,9x＋4y≤360，,4x＋5y≤200，,x≥0，y≥0.))目标函数为z＝7x＋12y.作出可行域，如图阴影所示．当直线7x＋12y＝0向右上方平行移动时，经过M(20,24)时z取最大值．∴该企业生产A，B两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润．方法总结：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题．四、小结基本不等式一、基础梳理1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：.(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥(a，b∈R)；(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)；(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)；(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．3．算术平均数与几何平均数设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为eq\f(a＋b,2)，几何平均数为eq\r(ab)，基本不等式可叙述为．4．利用基本不等式求最值问题已知x＞0，y＞0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当时，x＋y有