高二（上）期末数学试卷（理科）8

高二（上）期末数学试卷（理科）

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题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分

得分

评卷人得分

一、选择题（共9题，共45分）

1、圆（x-3）2+（y-3）2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

【考点】

【答案】C

【解析】解：由圆的方程，得到圆心A坐标为（3,3）,半径AE=3,

|3x3+4x3-ll|

则圆心（3,3）到直线3x+4y-11=0的距离为（^=5=2,即AD=2,

■■.ED=1,即圆周上E到已知直线的距离为1,同时存在P和Q也满足题意，

.・•圆上的点到直线3x+4y-11=0的距离为1的点有3个.

故选C.

［考点精析】关于本题考查的点到直线的距离公式,需要了解点尸）到直线/：4+的+C=°的

,=出+旗

距离为：+3】才能得出正确答案.

2、过抛物线y2=2px(p>0)焦点的直线I与抛物线交于A、B两点，以AB为直径的圆的方程为(x-3)2+

(y-2)2=16,则p=()

A.1

B.2

C.3

D.4

【考点】

【答案】B

【解析】解：I根据函数单调性判断：x=6时，3h2最大值为36,

h大二24,

...在正方体中PO_L面BCD,

」x」x6x6x26

••・三棱锥P-BCD的体积最大值：32=12,

4、如图，空间四边形OABC中，点M、N分别OA、BC上，0M=2MA、BN=CN,则MN=()

2——>1—»1—*

B.-j0A+^0B+j0C

c.厮厮界

【考点】

【答案】B

而=去赤+西OM=-OA

【解析】解：：BN=CN,-,-0M=2MA,/.3

»»»1.1.Q»

,MN=ON-OM=jOB+yOC-yOA

故选：B.

IIIIIII

利用已知0M=2MA、BN=CN,用04。8,℃,分别表示。M,OA；即可.

5、下列命题中正确的是()

A.若pVq为真命题，则p/\q为真命题

B.若直线ax+y-1=0与直线x+ay+2=0平行，则a=1

C.若命题lI3xGR,x2+(a-1)x+1<0"是真命题，则实数a的取值范围是a<-1或a>3

D.命题“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x丰1或x羊2,则x2-3x+2羊0”

【考点】

【答案】C

【解析】解：若pVq为真命题，则命题P,q中存在真命题，但不一定全为真命题，pAq不一定为真命题,

故A错误；若直线ax+y-1=0与直线x+ay+2=0平行，则a=1,或a=-1,故B错误；

若命题，xGR,x2+(a-1)x+KO"是真命题，则4=(a-1)2-4>0,解得实数a的取值范围是a

<-1或a>3,故C正确；

命题“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x手1且x大2,则x2-3x+2手0”，故D错误;

故选：C【考点精析】利用命题的真假判断与应用对题目进行判断即可得到答案，需要熟知两个命题

互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.

6、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为()

A.8+2+7^

3n

B.8+2+

D.6++

【考点】

【答案】B

【解析】解：由已知可得该几何体是一个半圆锥与四棱锥的组合体，其直观图如下图所示:

棱锥的底面面积为：4,

侧面VAB和VCD是直角边长为2的等腰直角三角形，面积均为2,

面VBC是腰为2'回，底为2的等腰三角形，面积为招,

1

—7V

半圆锥的底面半径为1,底面面积为：2,

侧曲面面积为：2=n,

3n

故组合体的表面积S=8+T+,

故选：B【考点精析】本题主要考查了由三视图求面积、体积的相关知识点，需要掌握求体积的关键

是求出底面积和高；求全面积的关键是求出各个侧面的面积才能正确解答此题.

7、命题“VxGR,2x>0”的否定是（）

A.?xOGR,2^o>0

B.?x0eR,2W0

C.?xGR,2x<0

D.?xSR,2xW0

【考点】

【答案】B

【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“VxGR,2x>0"的否定是mxOGR,2XoW0.故

选：B

8、已知直线I-L平面a,直线mu平面B,下面有三个命题：①a〃B今I

②aB=>l〃m；

③I//m=>a_L3；

则真命题的个数为（）

A.0

B.1

C.2

D.3

【考点】

【答案】C

【解析】解：①若a〃B,因为I，平面a,所以I_L平面0,因为直线mu平面0,所以I_Lm,即①正

确.②当a，B,直线I与平面a关系不确定，所以I〃m不一定成立，所以②错误.

③当I〃m时，因为IJ■平面a,所以mJ■平面a，又mu平面B，则根据面面垂直的判定定理可知a±P

成立，所以③正确.

故正确的命题为①③.

故选C.

【考点精析】根据题目的已知条件，利用命题的真假判断与应用和平面与平面之间的位置关系的相关

知识可以得到问题的答案，需要掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题

或互否命题，它们的真假性没有关系；两个平面平行没有交点；两个平面相交有一条公共直线.

x2y2

9、“mVO”是“布-E=1表示的曲线是双曲线”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】

【答案】A

x2y2

【解析】解：若布-而口=1表示的曲线是双曲线，则m（m-1）>0,解得：m>1或mVO

故m<0是m>1或m<0的充分不必要条件，

故选:A.

二、填空题（共4题，共20分）

10、已知抛物线y2=2px（p>0）,F为其焦点，I为其准线，过F作一条直线交抛物线于A,B两点，Az,

B'分别为A,B在I上的射线，M为A'B’的中点，给出下列命题：①kFJ_B，F；

②AM_LBM；

③A，F〃BM；

④A，F与AM的交点在y轴上；

⑤AB'与A'B交于原点.

其中真命题的是.（写出所有真命题的序号）

【考点】

【答案】①②③④⑤

【解析】解：①由于A,B在抛物线上，根据抛物线的定义可知A'A=AF,B'B=BF,因为卜、B，分别为A、

B在I上的射影，所以A'F，B'F；②取AB中点C,则+BF）=利"，

③由②知，AM平分NA'AF,:.A'F±AM,：AM_LBM,:.A'F〃BM；

④取ABLx轴，则四边形AFMA'为矩形，则可知A'F与AM的交点在y轴上；

⑤取ABLx轴，则四边形ABB'A'为矩形，则可知AB'与A'B交于原点

所以答案是①②③④⑤.

11、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3,则此球的表面积为

【考点】

【答案】14n

【解析】解：长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R=Vl2+22+32=y/14,

由S=4nR2=14n.

所以答案是：14n

12、已知两圆x2+y2=10和(x-1)2+(y-3)2=10相交于A,B两点，则直线AB的方程是.

【考点】

【答案】x+3y-5=0

【解析】解：把两圆x2+y2=10和(x-1)2+(y-3)2=10的方程相减可得x+3y-5=0,此直线的方程既

能满足第一个圆的方程、又能满足第二个圆的方程，故必是两个圆的公共弦所在的直线方程，

所以答案是：x+3y-5=0.

x2y2

13、I是经过双曲线C：前一^=1(a>0,b>0)焦点F且与实轴垂直的直线，A,B是双曲线C的两个顶点,

点在I存在一点P,使NAPB=60°,则双曲线离心率的最大值为.

【考点】

2事

【答案】~

【解析】解：设双曲线的焦点F(c,0),直线I：x=c,可设点P(c,n),A(-a,0),B(a,0),

2a

由两直线的夹角公式可得tanNAPB二卜式|二屈+三wRc-a,

；.事w,

2平

化简可得3c2W4a2,即cW3a,

即有eW.

当且仅当n=±旧一点,即p(c,±),离心率取得最大值.

所以答案是.

三、解答题(共5题，共25分)

14、已知定圆C：x2+(y-3)2=4,定直线m；x+3y+6=0,过A(-1,0)的一条动直线I与直线相交于N,

与圆C相交于P,Q两点，

(1)当I与m垂直时，求出N点的坐标，并证明：I过圆心C；

(2)当|PQ|=21P时，求直线।的方程.

【考点】

【答案】

1

(1)解：因为I与m垂直，直线m：x+3y+6=0的斜率为-3)

所以直线I的斜率为3,

所以I的方程为y-0=3(x+1),即3x-y+3=0.

•3

x=­

2

x+3y+6=03

联立卜-"3=0,解得1”一2,

3

即有N-),

代入圆心(0,3),有0-3+3=0成立，

所以直线I过圆心C(0,3)

(2)解：由|PQ|=2.3得，圆心c到直线|的距离d=1,

设直线I的方程为x-ny+1=0,则由d=曲+〃2=1.

3

解得n=0,或n=4,

所以直线1的方程为x+1=0或4x-3y+4=0

【解析】(1)运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1,求得I的斜率，可得直线I的方程，联立直线m

的方程，可得交点N,代入圆心，可得直线I过圆心；(2)由|PQ|二2得，圆心C到直线I的距离d=1,设

直线I的方程为x-ny+1=0,求得n的值，可得直线I的方程.

x2y2

15、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知R(x0,y0)是椭圆C：西”豆=1上的一点，从原点0向圆

R：(x-xO)2+(y-yO)2=8作两条切线，分别交椭圆于点P,Q.

(1)若R点在第一象限，且直线OP,0Q互相垂直，求圆R的方程；

(2)若直线OP,0Q的斜率存在，并记为k1,k2,求k1・k2的值；

(3)试问0P2+0Q2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.

【考点】

【答案】

(1)解：由圆R的方程知圆R的半径尸=2®,

因为直线OP,0Q互相垂直，且和圆R相切,

所以照=扬=4,即片+区=16①

反+21=1

又点R在椭圆c上，所以2412②

联立①②，解得1%=

所以，所求圆R的方程为1-网'+(尸网'=8

(2)解：因为直线OP：y=k1x和OQ：y=k2x都与圆R相切,

所以,也*,

两边平方可得k1,k2为(x02-8)k2-2x0y0k+(y02-8)=0的两根,

%•2=

可得

因为点R(xO,yO)在椭圆C上,

所以，即,"建下*

(3)解：方法一①当直线OP,0Q不落在坐标轴上时,

设P(x1,y1),Q(x2,y2),

由(2)知2k1k2知=0,

装+1=0故血=*

所以打

因为P(x1,y1),Q(x2,y2)在椭圆C上,

金+此=i4+3=i

所以2412,2412

即"2一""3彩

02-累）（12-狂）=*君

所以

整理得=+石=”,

＞；+/12-1^=12

所以

所以。产+。炉=y+E+W+＞；=（M+W）+5+N；）=36

rJIKA

方法（二）①当直线OP,0Q不落在坐标轴上时，

设P（x1,y1）,Q（x2,y2）,

y=kx

'±+已

联立面五,

解得1+2吊1+2Ai,

"“J*呷

所以*

—一24（呷

同理，得51+2片

由（2）2k1k2+1=0,得上隹

。尸+。/=4+4+宕+止=坐要+坐碧

所以i+K'+3

24。+吊）।=更季=36

1+瑞1+2.

②当直线OP,0Q落在坐标轴上时，显然有0P2+0Q2=36.

综上：0P2+0Q2=36.

【解析】(1)求得圆的半径r,由两直线垂直和相切的性质，可得|0R|=4,解方程可得圆心R的坐标，进

而得到圆的方程；(2)设出直线OP：y=k1x和OQ：y=k2x,由直线和圆相切的条件：d=r,化简整理，运用

韦达定理，由R在椭圆上，即可得到k1・k2的值；(3)讨论①当直线OP,0Q不落在坐标轴上时，设P(x1,

yD,Q(x2,y2),运用点满足椭圆方程，由两点的距离公式，化简整理，即可得到定值36；②当直线

OP,0Q落在坐标轴上时，显然有0P2+0Q2=36.

16、如图，直三棱柱ABC-A，BzC'中，AA'=2AC=2BC,E为AA'的中点，C'E±BE.

(1)求证：C'E_L平面BCE；

(2)若AC=2,求三棱锥B'-ECB的体积.

【考点】

【答案】

(1)证明：在矩形A，ACC'中，E为A'A中点且AA，=2AC,

.,.EA=AC,EA'=AZC',

ZAEC=ZA/EC=45°,

.,.C/E±EC,

-.-C/E±BE,CEABE=E,

：.CEJ■平面BCE；

(2)解：..,B'C'〃BC,B'CzC平面BCE,BCu平面BCE,

：.BrC〃平面BCE,

.,.VB/-ECB=VC/-ECB,

E_L平面BCE,

.-.C/E±BC,

,,■BC±CC/,C'ECCC'=CZ,

；.BC_L平面ACC'A7'.-.BC±CE,

,,■AC=2,

.,.BC=2,EC=EC/=20,

Ixlx2x2^x2>^-

-ECB=VC'-ECB=32=3

【解析】(1)证明LE±EC,利用LE±BE,CEABE=E,即可证明JE,平面BCE；(2)利用等体积转

化求三棱锥B'-ECB的体积.

【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此

平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行.

17、已知曲线C上的任意一点到点F(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等，直线I过点A(1,1),

且与C交于P,Q两点；(I)求曲线C的方程；

(II)若A为PQ的中点，求三角形0PQ的面积.

【考点】

【答案】解：(I)...曲线C上任意一点到点F(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等.二曲线C的

轨迹是以F(1,0)为焦点的抛物线

，曲线C的方程为y2=4x.

(II)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=2

因为y12=4x1,y22=4x2,

所以作差，可得直线I斜率为2,

所以直线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.

此时直线I与抛物线相交于两点.

1

设T为I与x的交点，则|0T|=1,

由y=2x-1与y2=4x,消去x得y2-2y-2=0,

所以y1+y2=2,y1y2=-2,

所以三角形(^的面积为5=|01||丫1-丫2|=I.

【解析】(I)利用曲线C上任意一点到点F(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等，可知曲线C的轨

迹是以F(1,0)为焦点的抛物线，从而可求曲线C的方程；(II)求出直线I的方程，与抛物线方程联立,

利用韦达定理，即可求三角形0PQ的面积.

18、如图，已知四棱锥S-ABCD中，SA_L平面ABCD,ZABC=ZBCD=90"