2024年湖南省长沙市周南教育集团中考数学诊断试卷（一）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024年湖南省长沙市周南教育集团中考数学诊断试卷（一）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.−2024的绝对值是(

)A.2024 B.−2024 C.12024 2.下列选项中的垃圾分类图标，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(

)A.可回收物 B.其他垃圾

C.有害垃圾 D.厨余垃圾3.下列计算正确的是(

)A.a8÷a2=a4 B.4.2024年2月，我国汽车产销量达到402.6万辆，同比增长11.1%.将数据402.6万用科学记数法表示为(

)A.4.026×105 B.4.026×1065.反比例函数y=kx的图象过点(−2,A.−2 B.3 C.6 D.6.如图，Rt△ABC的直角顶点A在直线a上，斜边BC在直线b上，若a/​

A.55° B.45° C.35°7.下列说法正确的是(

)A.甲、乙两人10次测试成绩的方差分别是s甲2=4，s乙2=14，则乙的成绩更稳定

B.某奖券的中奖率为1100，买100张奖券，一定会中奖1次8.一元一次不等式组x−2>1A.−1<x<4 B.x<9.元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得(

)A.x240=x+12150 B.x10.如图，在四边形ABCD中，AB/​/CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与A.23

B.53

C.3二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.使1x−2有意义的x的取值范围为12.眼睛是心灵的窗户，为保护学生视力，启航中学每学期给学生检查视力，下表是该校某班39名学生右眼视力的检查结果，这组视力数据中，中位数是______．视力4.04.14.24.34.44.54.64.74.84.95.0人数1263341257513.若点(−2,y1)，(2,y2)14.如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，∠B的平分线BE交

15.如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在

16.在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p(kPa)与汽缸内气体的体积V(mL)成反比例，p关于V的函数图象如图所示.若压强由三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题6分)

计算：(π−18.(本小题6分)

先化简，再求值：a−1a−219.(本小题6分)

一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．(温馨提示：sin20.(本小题8分)

打造书香文化，培养阅读习惯.崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍(A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类).张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图(如图所示)．

根据图中信息，请回答下列问题；

(1)条形图中的m=______，n=______，文学类书籍对应扇形圆心角等于______度；

(2)若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；

(3)甲同学从A，B，C21.(本小题8分)

如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O．

(122.(本小题9分)

“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍．

(1)求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？

(2)若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则23.(本小题9分)

如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，BD=DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点且与A24.(本小题10分)

我们不妨约定：若关于x的二次函数y1=a1x2+b1x+c1与y2=a2x2+b2x+c2同时满足a1≠0，a2≠0，|a1+a2|+b1−b2+(c1+c2)2=0，则称函数y1与y2互为“互联”函数.根据该约定，解答下列问题：

25.(本小题10分)

如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C，D是AB的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，连结BC交AD于点N，过点C的切线交BA的延长线于点H．

(1)求证：AD/​/HC；

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：−2024的绝对值是2024．

故选：A．

根据绝对值的意义解答即可．

本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握|2.【答案】C

【解析】解：A.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；

B.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；

D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选：C．

根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．

本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转1803.【答案】D

【解析】解：A.a8÷a2=a6，故此选项不合题意；

B.a+a2，无法合并，故此选项不合题意；

C.(a24.【答案】B

【解析】解：402.6万=4026000=4.026×106．

故选：B．

科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n5.【答案】D

【解析】解：把点(−2,3)代入y=kx得k=−2×3=−6.【答案】C

【解析】解：∵a/​/b，∠1=55°，

∴∠ABC=∠1=55°7.【答案】C

【解析】解：A、∵4<14，∴S甲2<S乙2，∴甲的成绩更稳定，故本选项不符合题意；

B、某奖券的中奖率为1100，则买100张奖券，不一定会中奖，是随机事件，故本选项不符合题意；

C、不等式2(x−1)8.【答案】D

【解析】解：x−2>1x<4，

由不等式x−2>1得：x>3，9.【答案】D

【解析】解：∵慢马先行12天，快马x天可追上慢马，

∴快马追上慢马时，慢马行了(x+12)天．

根据题意得：240x=150(x+12)．

故选：D．

由慢马先行10.【答案】B

【解析】解：连接DB、DE，设AB=m，

∵ABCD=13，

∴CD=3AB=3m，

∵AD是⊙D的半径，AD⊥AB，

∴AB是⊙D的切线，

∵⊙D与BC相切于点E，

∴BC⊥OE，EB=AB=m，∠CBD=∠ABD，

∵AB/​/CD，

∴∠ABD=∠CD11.【答案】x>【解析】解：∵1x−2有意义，

∴x−2≥0x−2≠012.【答案】4.6

【解析】解：将这组数据从小到大的顺序排列后，位于最中间的一个数是4.6，

所以中位数是4.6．

故答案为：4.6．

找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．

本题考查统计知识中的中位数，掌握中位数的定义是解答本题的关键．13.【答案】y1【解析】解：∵k=1>0，

∴y随x的增大而增大，

又∵−2<2，

∴y1<y2．

故答案为：y1<y2．

由k=1>014.【答案】2

【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，

∴∠AEB=∠CBE，

∵∠B的平分线BE交AD于点E，

∴∠ABE=∠CBE，

∴∠15.【答案】65

【解析】解：∵ABCD是菱形，

∴AB=AD．

∴∠ABD=∠ADB．

∵∠BAD=80°，

∴∠16.【答案】20

【解析】解：设这个反比例函数的解析式为V=kp，

∵V=100ml时，p=60kpa，

∴k=pV=100ml×60kpa=6000，

∴V=6000p，

当p=75kPa17.【答案】解：原式=1−2−2×3【解析】利用零指数幂，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值及绝对值的性质计算即可．

本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．18.【答案】解：原式=a−1a−2⋅(a−2)(a+2)(a−1)【解析】直接利用分式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．

此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．19.【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．

在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80海里，

【解析】过点C作CD⊥AB交AB延长线于D.先解Rt△ACD得出CD=1220.【答案】解：(1)18，6，72；

(2)2000×1250=480(人)，

答：估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数约为480人；

(3)画树状图如下：

共有9【解析】解：(1)调查的学生人数为：4÷8%=50(人)，

∴m=50×36%=18，

∴n=50−18−10−12−4=6，

文学类书籍对应扇形圆心角=360°×105021.【答案】解：(1)证明：∵AE和BD相交于点O，

∴∠AOD=∠BOE．

在△AOD和△BOE中，

∠A=∠B，∴∠BEO=∠2．

又∵∠1=∠2，

∴∠1=∠BEO，【解析】(1)根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED；

(2)由(122.【答案】解：(1)设A型玩具的进价为x元/个，则B型玩具的进价是1.5x元/个．

由题意得：1200x−15001.5x=20，

解得：x=10，

经检验，x=10是原方程的解，

∴B型玩具的进价为10×1.5=15(元/个)，

答：A型玩具的进价是10元/个，B型玩具的进价是15元/个．

(2)设购买A【解析】(1)设A型玩具的单价为x元/件．根据用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，列方程即可得到结论；

(2)设购买A型玩具m个．根据张老板购进A，B型玩具共75个，总利润不低于23.【答案】(1)证明：如图1，连接AD，OD．

∵AB=AC，BD=DC，

∴∠ADB=90°．

∴AB是⊙O的直径，即点O为AB的中点，

∴OD/​/AC，

∴∠ODE=∠DEC，

∵DE⊥AC，

∴∠ODE=∠DEC=90°，

∴DE是⊙O的切线．

(2【解析】(1)连接AD，OD，由O、D分别为AB、CB中点，利用中位线定理得到OD与AC平行，利用两直线平行内错角相等得到∠ODE为直角，再由OD为半径，即可得证；

(2)证明△OAF24.【答案】解：(1)∵|a1+a2|+b1−b2+(c1+c2)2=0，

∴a1=−a2，b1=b2，c1=−c2，

∴y=x2−2x+3的“互联”函数的解析式为y=−x2−2x−3；

(2)y=ax2+2ax+c的“互联”函数为y=−ax2+2ax−c，

由y=ax2+2ax+c知，其顶点坐标为(−1,c−a)，

将(−1,c−a)代入y=−ax2+2ax−c得：c−a=−a−2a−c，

解得：a=−c，

∴此函数的表达式为y=ax2+2ax−a=a(x+1)2−2a，c−2aa=c−2(−c)−c=−3，a−3c2a=−c−3c2(−c)=2，

∴此函数图象的对称轴为直线x=−1，

【解析】(1)由|a1+a2|+b1−b2+(c1+c2)2=0，可得a1=−a2，b1=b2，c1=−c2，故y=x2−2x+3的“互联”函数的解析式为y=−x2−2x−3；

(2)y=ax2+2ax+c的顶点坐标为(−1,c−a)，“互联”函数为y=−ax2+2ax−c，将(−1,c−a)代入y=−ax225.【答案】(1)证明：∵点C、点D是