苏科版九年级上12月月考数学试卷含答案解析

九年级上学期月考数学试卷（12月份）

一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）

1.方程x2=2x的解是（）_

A.x=2B.xi=2,X2=0C.xi=-A/2>X2=0D.X=0

2.若二次函数y=（a-1）x2+3x+a2-1的图象经过原点，则a的值必为（）

A.1或-1B.1C.-1D.0

3.二次函数y=-2(x-1)2+3的图象的顶点坐标是()

A.(l,3)B.(-1,3)C.(l„-3)D.(-1,-3)

4.学校组织才艺表演比赛，前6名获奖.有13位同学参加比赛且他们所得的分数互不相同.某同

学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在这13名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它

是（）

A.众数B.方差C.中位数D.平均数

5.已知圆锥的底面的半径为3cm,高为4cm,则它的侧面积为（）

A.nl5ncm2B.16ncm2C.19ncm2D.24Ttem?

A.0个B.1个C.2个D.3个

7.如图，A、D是。O上的两个点，BC是直径，若/D=35。，则/OAC的度数是（）

A.35°B.55°C.65°D.70°

8.如图，正^ABC的边长为3cm,动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿AfB玲C的方向运动,

到达点C时停止，设运动时间为x（秒），y=PC2,则y关于x的函数的图象大致为（）

9.如图，等边aABC的周长为6n,半径是1的。O从与AB相切于点D的位置出发，在aABC外部

按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则。O自转了（）

A.2周B.3周C.4周D.5周

10.二次函数y=x?+bx的图象如图，对称轴为直线x=l,若关于x的一元二次方程x?+bx-t=0（t为实

数）在-l<x<4的范围内有解，贝肛的取值范围是（）

A.t>-IB.-l<t<3C.-l<t<8D.3<t<8

二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共16分）

11.圆弧的半径为3,弧所对的圆心角为60。，则该弧的长度为.

12.现有甲、乙两个合唱队队员的平均身高为170cm,方差分别是S甲2、sJ,月$甲2>s/,则两

个队的队员的身高较整齐的是.

13.某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产160台.设二、三月份每月的平均增长率为x,根

据题意列出的方程是.

14.一个正多边形的每个外角都是36。，这个正多边形的边数是.

15.关于x的一元二次方程x2「3x+b=0有两个不相等的实数根，贝必的取值范围是

16.己知二次函数y=ax?+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=-1.若其与x轴的一个交点

为A,则由图象可知，当自变量x的取值范围是时，函数值yVO.

17.如图，在矩形ABCD中，AB=V3>AD=1,把该矩形绕点A顺时针旋转a度得矩形ABCD,点

C落在AB的延长线上，则线段CD扫过部分的面积（图中阴影部分）是.

R'

18.如图，已，知抛物线y=ax?+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为-2,现将抛物线向右

平移2个单位，得到抛物线y=aix2+bix+ci，则下列结论正确的是.（写出所有正确结

论的序号）

①b>0

②a-b+c<0

③阴影部分的面积为4

④若c=-1,则b?=4a.

三、解答题（本大题共10小题，共84分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证

明过程或演算步骤）

19.解方程：x2-2x-1=0.

20.解方程：(x-3)2+4X(x-3)=0.

21.在"全民读书月”活动中，小明调查了班级里40名同学本学期计划购买课外书的花费情况，并将结

果绘制成如图所示的统计图，请根据相关信息，解答下列问题：（直接填写结果）

（1）本次调查获取的样本数据的众数是;

这次调查获取的样本数据的中位数是;

（3）若该校共有学生1000人，根据样本数据，估计本学期计划购买课外书花费50元的学生有一

人.

22.一只不透明袋子中装有1个红球，2个黄球，这些球除颜色外都相同，小明搅匀后从中任意摸出

一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，用画树状图或列表法列出摸出球的所有

等可能情况，并求两次摸出的球都是红球的概率.

23.如图，点O为RtZ\ABC斜边AB上一点，以OA为半径的。O与BC切于点D,与AC交于点

E,连接AD.

（1）求证：AD平分NBAC；若/BAC=60。，OA=2,求阴影部分的面积（结果

保留n）.

24.如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C.

（1）画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连接AD、CD.请在（1）

的基础上，以点O为原点、水平方向所在直线为x轴、竖直方向所在直线为y轴，建立平面直角

坐标系，完成下列问题：

①。D的半径为（结果保留根号J

②若用扇形ADC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是；

③若E(7,0)试判断直线EC与。D的位置关系并说明你的理由.

25.某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构.这种许愿

瓶的进价为6元/个，根据市场调查，一段时间内的销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间的对

应关系如图所不：

(1)试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；按照上述市场调查的销售规

律，当利润达到1200元时，请求出许愿瓶的销售单价x；

(3)请写出销售利润w(元)与销售单价x(元/个)之间的函数关系式；若许愿瓶的进货成本不超过900

元，要想获得最大的利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润.

N(个)

》六元个)

in1?1416

26.如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),其对称轴与.

(1)求抛物线的解析式和对称轴；

在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使4PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，

请说明理由；

(3)连接AC,在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N,使4NAC的面积最大？若存在，请

求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

27.如图1至图4中，两平行线AB、CD间的距离均为6,点M为AB上一定点.思

考

如图1,圆心为0的半圆形纸片在AB,CD之间（包括AB,CD）,其直径MN在AB上，MN=8,点P

为半圆上一点，设NMOP=a.

当0（=度时，点P至IJCD的距离最小，最小值为_

_________________.探究一

在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB,CD之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动

为止，如图2,得到最大旋转角NBMO=度，此时点N至UCD的距离是一

__________________________________________________.探究二

将如图1中的扇形纸片NOP按下面对a的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB,CD之间顺时

针旋转.

（1）如图3,当a=60°时，求在旋转过程中，点P至IJCD的最小距离，并请指出旋转角/BMO的最大值；

如图4,在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定a的取值范围.

（参考数据：5m49。=卫，cos4「=gtan370=卫）

444

AP__JBAni------------------1BA———xBA'J-----------1B

aiyO6

28.在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=-2x-1与y轴交于点A,与直线y=-x交于点B,点

B关于原点的对称点为点C.

（1）求过A,B,C三点的抛物线的解析式；

P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q.

①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；

②若点P的横坐标为t（-当t为何值时，四边形PBQC面积最大？并说明理由.

y=-2x-l

江苏省无锡市宜兴市桃溪中学届九年级上学期月考数学试

卷(12月份)

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共有10小题，每小题3分，共30分)

1.方程X2=2X的解是()_

A.x=2B.xi=2,X2=0C.xi=--\[2,X2=0D.x=0

【考点】解一元二次方程-因式分解法.

【分析】把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解求出方程的根.

【解答】解：X2=2X,

x2-2x=0,x(x-2)

=0,

*'•x=0,x-2=0,

，xi=0,X2=2,故选：

B.

【点评】本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：先把方程右边化为0,再把方程左边进

行因式分解，然后一元二次方程就可化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可.

2.若二次函数y=(a-I)x2+3x+a2-I的图象经过原点，则a的值必为()

A.1或-1B.1C.-1D.0

【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的定义.

【分析】先把原点坐标代入二次函数解析式得到a的方程，解方程得到a=l或a=-l,根据二次函数

的定义可判断a=-1.

【解答】解：把(0,0)代入y=(a-1)x2+3x+a2-1,得

a2-1=0,解得a=l或a=-1,

因为a-1*0,

所以a—1,即a=7.故

选C.

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数丫=2*2+5*+©(a、b、c为常数，awO)图

象上的点的坐标满足其解析式，同时考查了二次函数的定义.

3.二次函数y=-2(x-1)2+3的图象的顶点坐标是()

A.(l,3)B.(-1,3)C.(l,-3)D.(-1,-3)

【考点】二次函数的性质.

【分析】根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可.

【解答】解：二次函数y=-2(x-1)2+3的图象的顶点坐标为(1,3).故选A.

【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键.

4.学校组织才艺表演比赛，前.6名获奖.有13位同学参加比赛且他们所得的分数互不相同.某同

学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在这13名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它

是（）

A.众数B.方差C.中位数D.平均数

【考点】统计量的选择.

【分析】由于比赛设置了6个获奖名额，共有13名选手参加，故应根据中位数的意义分析.

【解答】解：因为6位获奖者的分数肯定是13名参赛选手中最高的，

而且13个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有6个数，

故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了.

故选C.

【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义.反映数据集

中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和

恰当的运用.

5.已知圆锥的底面的半径为3cm,高为4cm，则它的侧面积为（）

9000

A.15mm’B.16Tlem-C.19ncm2D.24ncm2

【考点】圆锥的计算；弧长的计算；扇形面积的计算.

【专题】计算题.

【分析】先利用勾股定理计算出母线长PA,然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥

的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用扇形的面积公式计算即可.

【解答】解：如图，0A=3cm,高P0=4cm,

在RtZ\PAO中，PA=7OA2+PO2=V32+42=5>

圆锥的侧面积=1*2iT・3x5=15n（cm2）.故

2

选A.

【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇

形的半径等于圆锥的母线长.也考查了扇形的面积公式以及勾股定理.

A.0个B.1个C.2个D.3个

【分析】等弧必须同圆中长度相等的弧；不在同一直线上任意三点确定一个圆；在等圆中相等的圆心

角所对的弦相等；外心在三角.形的一条边上的三角形是直角三角形.

【解答】解：①等弧必须同圆中长度相等的弧，故本选项错误.

②不在同一直线上任意三点确定一个圆，故B本项错误.

⑤在等圆中相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误.

④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，故本选项正确.所以只有

④一项正确.

故选B.

7.如图，A、D是。O上的两个点，BC是直径，若/D=35。，则/OAC的度数是（）

A.35°B.55°C.65°D.70°

【考点】圆周角定理.

【分析】在同圆和等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，所以/AOC=2/D=70。，而aAOC中,

AO=CO,所以/OAC=/OCA,而180°-ZAOC=110°,所以/OAC=55°.

【解答】解：•••ND=35°,

,ZAOC=2ZD=70°,

/.ZOAC=（180°-ZAOC）+2=11022=55°.

故选：B.

【点评】本题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系.规律总结:解决与圆有关的角度的相关计算时，

一般先判断角是圆周角还是圆心角，再转化成同弧所对的圆周角或圆心角，利用同弧所对的圆周角相

等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解，特别地，当有一直径这一条件时，往往要用到直

径所对的圆周角是直角这一条件.

8.如图，正4ABC的边长为3cm,动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A玲B玲C的方向运动，

到达点C时停止，设运动时间为x（秒），y=PC2,则y关于x的函数的图象大致为（）

【考点】动点问题的函数图象.

【专题】压轴题.

【分析】需要分类讨论：①当0SM3,即点P在线段AB上时，根据余弦定理知cosA=M^+AC2-PC所以

......2PA.-AC__

将相关线段的长度代入该等式，即可求得y与x的函数关系式，然后根据函数决素氐牖藤卤数的图

象.②当3<xS6,即点P在线段BC上时，y与x的函数关系式是丫=(6-x)2=(x-6)2

(3<x<6)根据该函数关系式可以确定该函数的图象.

【解答】解：:,正4ABC的边长为3cm,

***ZA=ZB=ZC=60O,AC=3cm.

①当例(0<X<3)；根据余弦定理知cosA=."AC2-PC,

2PA-.AC__一

即工史，

OC..

解得，y=x2-3x+9(0<x<3)；该函数图象是

开口向上的抛物线；

解法二：过C作CDJ_AB,则AD=1.5cm,CD=m,

点P在AB上时，AP=,

.\y=PC2=(4^)2+(1.5-X)2=x2-3x+9(0<x<3)该函数图象是开口向上的

抛物线；

②当3<(3<x<6i)

则户（6-x）2=（x-6）2（3<x<6）

•:该函数的图象是在3<xV6上的抛物线;

故选：C.

【点评】本题考查了动点问题的函数图象.解答该题时.，需要对点P的位置进行分类讨论，以防错

选.

9.如图，等边4ABC的周长为6TI,半径是1的。O从与AB相切于点D的位置出发，在aABC外

部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则。0自转了（）

【考点】直线与圆的位置关系；等边三角形的性质.

【专题】压轴题.

【分析】该圆运动可分为两部分：在三角形的三边运动以及绕过三角形的三个角，分别计算即可得到

圆的自传周数.

【解答】解：圆在三边运动自转周数：旦3,圆绕过三角形外角时，共自转了

2兀

三角形外角和的度数：360。，即一周；可见，。0自转了3+1=4周.

故选：C.

【点评】本题考查了圆的旋转与三角形的关系，要充分利用等边三角形的性质及圆的周长公式解答.

10.二次函数y=x?+bx的图象如图，对称轴为直线x=l,若关于x的一元二次方程x2+bx-t=0（t为实

数）在-l<x<4的范围内有解，贝亚的取值范围是（）

A.t>-IB.-l<t<3C.-l<t<8D.3<t<8

【考点】二次函数与不等式（组）

【专题】压轴题.

【分析】根据对称轴求出b的值，从而得到X=-1、4时的函数值，再根据一元二次方程x?+bx-t=0

(t为实数)在-l<x<4的范围内有解相当于y=x?+bx与y=t在x的范围内有交点解答.

【解答】解：对称轴为直线x=--^=1,

2X1

解得b=-2,

所以，二次函数解析式为y=x?-2x,

y=(x-1)2-1,

x=-1时，y=1+2=3,

x=4时，y=16-2x4=8,

*.*x2+bx-t=0相当于y=x?+bx与直线y=t的交点的横坐标，

...当-Mt<8时，在-l<x<4的范围内有

解.故选：C.

【点评】本题考查了二次函数与不等式，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的

关键，作出图形更形象直观.

二、填空题(本大题共8小题，每空2分，共16分)

11.圆弧的半径为3,弧所对的圆心角为60。，则该弧的长度为

【考点】弧长的计算.

【分析】利用弧长公式即可直接求解.

【解答】解：弧长是：6071X3

180

-re.故答案是：n.

【点评】本题考查了弧长的计算公式，正确记忆公式是关键.

12.现有甲、乙两个合唱队队员的平均身高为170cm,方差分别是S甲2、S乙2,且s甲2>S乙2,则

两个队的队员的身高较整齐的是工」.

【考点】方差.

【分析】利用方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程

度越小，稳定性越好，进而分析得出答案.

【解答】解：甲2>S乙2,

两个队的队员的身高较整齐的是：

乙.故答案为：乙.

【点评】此题主要考查了方差的意义，正确理解方差的意义是解题关键.

13.某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产160台.设二、三月份每月的平均增长率为x,

根据题意列出的方程是100(1+x)2=160.

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.

【专题】增长率问题.

【分析】设二，三月份每月平均增长率为x,根据一月份生产机器100台，三月份生产机器160台，

可列出方程.

【解答】解：设二，三月份每月平均增长率为X,

100(1+x)2=160.

故答案为:100(1+x)2=160.

【点评】本题考查理解题意的能力，本题是个增长率问题，发生了两次变化，先找出一月份的产量和

三月份的产量，从而可列出方程.

14.一个正多边形的每个外角都是36。，这个正多边形的边数是_10.

【考点】多边形内角与外角.

【分析】多边形的外角和等于360。，因为所给多边形的每个外角均相等，故又可表示成36F,列方

程可求解.

【解答】解：设所求正n边形边数为n,

则36°n=360°,

解得n=10.故正多边形

的边数是10.

【点评】本题考查根据多边形的外角和求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和

数据处理.

15.关于x的一元二次方程x2-3x+b=0有两个不相等的实数根，则b的取值范围是b<j_.

4

【考点】根的判别式.

【专题】计算题.

【分析】根据判别式的意义得到4=(-3)2-4b>0,然后解不等式，即可.

【解答】解：根据题意得△尸(-3)2-4b>0,解

得b<2

4

故答案为：b<l

A

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(awO)的根的判别式-4ac：当△>(),方程有两

个不相等的实数根；当△=()，方程有两个相等的实数根；当△<(),方程没有实数根.

16.已知二次函数y=ax?+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=-l.若其与x轴的一个交

点为A,则由图象可知，当自变量x的取值范围是x>2或x<-4时,函数值y<0.

x=-ly

【考点】抛物线与x轴的交点.

【分析】利用二次函数的对称性，得出图象与X轴的另一个交点坐标，再结合图象，得出y的取值

小于0时，图象为x轴下方部分，即可得出自变量x的取值范围.

【解答】解：••,二次函数对称轴为直线x=-1,与x轴交点为A,

二根据二次函数的对称性，可得到图象与x轴的另一个交点坐标为（-4,0）,又

•••函数开口向下，x轴下方部分y<0,

；.x>2或x<-4,故答案为：

x>2或x<-4.

【点评】此题主要考查了二次函数的对称性，以及结合二次函数图象观察函数的取值问题.

17.如图，在矩形ABCD中，AB=F，AD=1,把该矩形绕点A顺时针旋转a度得矩形AB，CD，,

点C，落在AB的延长线上，则线段CD扫过部分的面积（图中阴影部分）是——.

Rr

【考点】扇形面积的计算；旋转的性质.

【分析】根据图示知，S阴影=SACC-SAAEC,+（—S矩也ABCD-Sa®ADD'-SAAD（E）.根据图形的面积

2

公式、旋转的性质以及勾股定理求得相关数据代入即可求得阴影部分的面积.

【解答】解：如图，连接AC.

在矩形ABCD中，AB=CD=遮，AD=1,则AC=«居于=2.根据旋

转的性质得至ij：NDAD，=NCAC=a,AD=AD,=1,CD=CD=心所以

S阴影=SmACC-SAAEC+（矩形ABCD-S国彩ADD,-SAAD-E）

2

=S招ACC'-SAACV+^S矩形ABCD-S扇形ADD,，

2

=-lxix^+lxix^-onXI

22......360.

•.•a=NCAC'=30°,

.Ka_

•,120一

—.故答里是

_4.

D

【点评】此题主要考查了矩形的性质以及旋转的性质以及扇形面积公式等知识，此题利用了"分割法”对

不规则图形进行面积的计算.

18.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为-2,现将抛物线向

右平移2个单位，得到抛物线y=aix2+bix+ci，则下列结论正确的是⑶⑷.（写出所有正确结论的

序号）

①b>0

②a-b+c<0

③阴影部分的面积为4

④若c=-1,J1iJb2=4a.

【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数图象与系数的关系.

【专题】压轴题.

【分析】①首先根据抛物线开口向上，可得a>0；然后根据对称轴为x=-电>0,可得b<0,据

2a

此判断即可.

②根据抛物线y=ax?+bx+c的图象，可得x=-l时，y>0>即a-b+c>0,据此判断即可.

③首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积=底*高，求出阴影部分的面

积是多少即可.

2

④根据函数的最小值是《ac-b=-2,判断出c=-l时，a、.b的关系即可.

....….4a....._____

【解答】解：・・•抛物线开口向上，

Aa>0,

又：对称轴为x=-A>o,

2a

/.b<0,

二结论①不正确；

***x=-1时，，y>0,

/•a-b+c>0,

结论②不正确；

•••抛物线向右平移了2个单位，

，平行四边形的底是2,

,函数y=ax?+bx+c的最小值是y=-2,

•••平行四边形的高是2,

,阴影部分的面积是：2x2=4,

•••结论③正确；

...…4a________

b2=4a,

.••结论④正确.综上，结论正

确的是：@（4）.故答案为：

③④.

【点评】（1）此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明

确：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方

法：一.是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后

的顶点坐标，即可求出解析式.此题还考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解.答此

题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口;

当a<0时，抛物线向下开口；

②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab>0）对称轴在y轴左;

当a与b异号时（即ab<0）对称轴在y轴右.（简称：左同右异）③.常数项c决定抛物线与y轴交

点.抛物线与y轴交于（0,c）

三、解答题（本大题共10小题，共84分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、

证明过程或演算步骤）

19.解方程：x2-2x-1=0.

【考点】解一元二次方程-公式法.

【专题】计算题.

【分析】先整理成一元二次方程的一般形式再利用求根公式求解，或者利用配方法求解皆可.

【解答】解：解法一：；a=l,b=-2,c=-1

b2-4ac=4-4x1x（-1）=8>0

...jb±'b2-4ac_2±近十

x=2a-2X1-72

：_;

'Xi=1+72'x2=lV2

雌二：（x-1）2=2

•'*x-1=±^2

，

**,x1=l+V2X2=1-V2-

(b2-4ac>0)

20.解方程：（x-3）2+4X（x-3）=0.

【考点】解一元二次方程-因式分解法.

【专题】压轴题；因式分解.

【分析】方程的左边提取公因式x-3,即可分解因式，因而方程利用因式分解法求解.

【解答】解：原式可化为：（x-3）（x-3+4x）=0

Ax-3=0或5x-3=0

解得XJ=3>X<2=^,

【点苗i未施瞽看了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公

式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法.

21.在"全民读书月”活动中，小明调查了班级里40名同学本学期计划购买课外书的花费情况，并将结

果绘制成如图所示的统计图，请根据相关信息，解答下列问题：（直接填写结果）

（1）本次调查获取的样本数据的众数是30元：

这次调查获取的样本数据的中位数是50元；

（3）若该校共有学生1000人，根据样本数据，估计本学期计划购买课外书花费50元的学生有.250

人.

【分析】（1）众数就是出现次数最多的数，据此即可判断；中位数就是大小处于中间位置的数，根据

定义判断；

（3）求得调查的总人数，然后利用1000乘以本学期计划购买课外书花费50元的学生所占的比例即可

求解.

【解答】解：（1）众数是：30元，故答案是：30元；中

位数是：50元，故答案是：50元；

（3）调查的总人数是：6+12+10+8+4=40（人）则估计本学期计划购买课

外书花费50元的学生有：1000x^=250（人）

故答案是：250.

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必

要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部

分占总体的百分比大小.

22.一只不透明袋子中装有1个红球，2个黄球，这些球除颜色外都相同，小明搅匀后从中任意摸

出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，用画树状图或列表法列出摸出球的所

有等可能情况，并求两次摸出的球都是红球的概率.

【考点】列表法与树状图法.

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球都是红球的

情况，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：画树状图得：

开始

红黄黄

/1\/1\/N

黄黄CE黄黄黄黄

・・•共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的只有1种情况，

两次摸出的球都是红球的概率为：工.

,9

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

23.如图，点0为RtZ\ABC斜边AB上一点，以0A为半径的。O与BC切于点D,与AC交于点

E,连接AD.

（1）求证：AD平分/BAC；若/BAC=60。，0A=2,求阴

影部分的面积（结果保留田.

份汨（1）扭t/XABC中，ZC=90°,©0切BC于D,易证得AC〃0D,继而证得AD平分NCAB.如图,

连接ED,根据（1）中AC〃0D和菱形的判定与性质得到四边形AED0是菱形，则

△AEM^ADMO,则图中阴影部分的面积=扇形EOD的面积.

【解答】（1）证明：切BC于D,

A0D1BC,

VAC1BC,

，AC〃OD,

二ZCAD=ZADO,

,/OA=OD,

/.ZOAD=ZADO,

，ZOAD=ZCAD,

即AD平分NCAB；

设EO与AD交于点M,连接ED.

,/ZBAC=60°,OA=OE,

AZAEO是等边三角形，

.,.AE=OA,ZAOE=60°,

，AE=AO=OD,

又由（1）知，AC〃OD即AE〃OD,

二四边形AEDO是菱形，则△AEM也△DMO,NEOD=60°,

•'•SAAEM=SADMO，

•«s阴影=s扇形

【点评】此题考查了切线的性质、等腰三角形的性质.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意

数形结合思想的应用.

24.如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C.

（1）画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连接AD、CD.请在（1）

的基础上，以点O为原点、水平方向所在直线为x轴、竖直方向所在直线为y轴，建立平面直角

坐标系，完成下列问题：

①OD的半径为2A/5一（结果保留根号）

②若用扇形ADC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是_亚_；

2

③若E（7,0）试判断直线EC与。D的位置关系并说明你的理由.

【考点】圆的综合题.

【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，然后作出弦AB的垂直平分线，以及BC的垂直平分线,

两直线的交点即为圆心D,连接AD,CD；

①根据第一间画出的图形即可得出C及D的坐标；

②在直角三角形AOD中，由OA及OD的长，利用勾股定理求出AD的长，即为圆O的半径；

③直线CE与圆O的位置关系是相切，理由为：由圆的半径得出DC的长，在直角三角形CEF中,

由CF及FE的长，利用勾股定理求出CE的长，再由DE的长，利用勾股定理的逆定理得出三角形

DCE为直角三角形，即EC垂直于DC,可得出直线CE为圆O的切线.

【解答】解：（1）根据题意画出相应的图形，如图所示：

①在RtaAOD中，OA=4,OD=2,根据勾

股定理得：AD=7OA2+OD2=2则

0D的半径为2遍；

@AC=^22+62=2710-CD=2A/5.

AD2+CD2=AC2,

二ZADC=90°.

扇形ADC的弧长==V5n,

圆锥的底面的半径=;

③直线EC与。D的位置关系为相切，

理由为：在Rt/XCEF中，CF=2,EF=1,根

据勾股定理得：

CE=^CF2+EF2=V5-

^△CDE中，CD=2在，CE=旄，DE=5,

,/CE2+CD2=（旄）2+2=5+20=25,DE2=25,

.,•CE2+CD2=DE2,

.♦.△CDE为直角三角形，即NDCE=90。，则

CE与圆D相切.

【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理及逆

定理，切线的判定，利用了数形结合的思想，根据题意画出相应的图形是解本题的关键.

25.某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构.这种许

愿瓶的进价为6元/个，根据市场调查，一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的

对应关系如图所不：

（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；按照上述市场调查的销售规

律，当利润达到1200元时，请求出许愿瓶的销售单价x；

(3)请写出销售利润w(元)与销售单价x(元/个)之间的函数关系式：若许愿瓶的进货成本不超过900

元，要想获得最大的利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润.

(个)

元个)

【考点】二次函数的应用.

【分析】(1)观察可得该函数图象是一次函数，设出一次函数解析式，把其中两点代入即可求得该函

数解析式，进而把其余两点的横坐标代入看纵坐标是否与点的纵坐标相同；销售利润=每个许愿瓶

的利润x销售量；

(3)根据进货成本可得自变量的取值，结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润.

【解答】解：(1)y是x的一次函数，设丫=10^^图象过点(10,300X12,240)

解得，

故丫=-30x+600,

当x=14时，y=180；当x=16时,y=120,即点(14,180),(16,

120)均在函数丫=-30x+600的图象上，

•'•y与x之间的函数关系式为y=-30x+600.

(x-6)(-30x+600)=1200,解

得：x=10或x=16,

答：许愿瓶的销售单价x为10元或16元；

(3)w=(x-6)(-30x+600)=-30x2+780x-3600

即w与x之间的函数关系式为w=-30X2+780X-3600.由题意

得6(-30X+600)<900,解得x215,w=-30x2+780x-3600图

象对称轴为x=-——78°、=13，

»2ae>X4ii■acrli-ira3t0)!

Va=-30<0,

•••抛物线开口向下，当X215时，w随x增大而减小，

♦,•当x=15时，w我大=1350.

即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元.

【点评】考查了二次函数的应用，(1)问中，主要考察用待定系数法求一次函数的综合应用；(3)问

中，主要结合(1)问中一次函数的性质，求出二次函数的最值问题.

26.如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),其对称轴与.

(1)求抛物线的解析式和对称轴；

在抛物线的对称轴上是否存在一点p,使APAB的周长最小？若存在，请求出点p的坐标；若不存

在，请说明理由；

(3)连接AC,在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N,使4NAC的面积最大？若存在，请

求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

【考点】二次函数综合题.

【专题】压轴题.

【分析XI)抛物线经过点A(0,4)B(1,0)C(5,0)可利用两点式法设抛物线的解析式为广a

(x-l)(x-5)代入A(0,4)即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；

点A关于对称轴的对称点A，的坐标为(6,4),连接BA，交对称轴于点P,连接AP,此时aPAB的周长

最小，可求出直线BA，的解析式，即可得出点P的坐标.

(3)在直线AC的下方的抛物线上存在点N,使aNAC面积最大.设N点的横坐标为t,此时点N

(t,$,24t+4)(0<t<5),再求得髅AC的解析式，即可求得NG的长与aACN的面积，由二次

_5

函数最大脸问题即可求得答案.

【解答】解：⑴根据已知条件可设抛物线的解析式为尸a(x7)(x-5),把点A(0,

4)代入上式得：a=&

.5

(x-l)(x-5)=-^x2-坐x+4=《(x-3)2-坐

二抛百线的对称轴是：x』；P(

点坐标为(3,包).理由如

上

下：

,点A(0,4)抛物线的对称轴是x=3,

...点A关于对称轴的对称点A，的坐标为(6,4)

如图1,连接BA，交对称轴于点P,连接AP,此时4PAB的周长最小.

图1

设直线BA，的解析式为y=kx+b,

把A，(6,4),B(l,0)代入得［*6k+b,解

I0=k+b

得用,

'b=-&

・•・尸乌-w

•.•点P的横坐标为3,

.•.y=Wx3-曳图，

3上上

.'.P(3,图)

(3)在直线AC的下方的抛物线上存在点N,使aNAC面积最

大.设N点的横坐标为3此时点N(t,32_24^(o<t<5),

上一£

如图2,过点N作NG〃y轴交AC于G；作AD_LNG于D,

图2

由点A(0,4)和点C(5,0)可求出直线AC的解析式为：y=-Wx+4,把

石

x=t代入得：y=-&+4,则G(t,--1+4),此时：NG=-W

上上上

t+4-(―t2-骂+4)=-A2+4t,

.5.5.5

,/AD+CF=CO=5,

SAACN=SAANG+SACGN=-ADXNG+1NGXCF=」NG・OC=L(-42+4t)x5=-2t2+10t=-2(t-殳

222252

2

十+25,

.2.

.•.当t=_§时，^CAN面积的最大值为公，

22

由t=9得：y=-t2--{+^=-3,

2上一抗

.,.N(5，-3)

2

【点评】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是方程思想与数形结合

思想的灵活应用.

27.如图1至图4中，两平行线AB、CD间的距离均为6,点M为AB上一定点.思考

如图1,圆心为0的半圆形纸片在AB,CD之间（包括AB,CD）,其直径MN在AB上，MN=8,点P

为半圆上一点，设NMOP=a.

当a=90度

时，点P到CD的距离最小，最小值为2

___________.探究一

在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB,CD之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转

动为止，如图2,得到最大旋转角NBMO=30度,此时点N到CD的距离是

探究二

将如图1中的扇形纸片NOP按下面对a的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB,CD之间顺

时针旋转.

（1）如图3,当a=60。时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角NBMO的最大

值；

如图4,在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定a的取值范围.

（参考数据：sin49-=2cos4「=旦tan37°=^）

【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离；平行线之间的距离；旋转的性质；解直角三角形.

【专题】压轴题.

【分析】思考：根据两平行线之间垂线段最短，以及切线的性质定理，直接得出答案；探究一：根

据由MN=8,MO=4,OY=4,得出UO=2,即可得出得到最大旋转角/BMO=30度，此时点N至UCD

的距离是2；

探究二：（1）由已知得出M与P的距离为4,PM」_AB时，点MP到AB的最大距离是4,从而点P

到CD的最小距离为6-4=2,即可得出/BMO的最大值；

分别求出a最大值为/OMH+/OHM=3（F+90。以及最小值a=2/MOH,即可得出a的取值范围.

【解答】解：思考：根据两平行线之间垂线段最短，直接得出答案，当a=90度时，点P到CD的距离

最小，

：MN=8,

.••OP=4,

.••点P至IJCD的距离最小值为：6-

4=2.故答案为：90,2；

探究一：•••以点M