常微分方程-§33-解过初值的连续性和可微性省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

§3.3解对初值连续性和可微性定理5/12/2024常微分方程1/34考查解对初值一些基本性质解对初值连续性解对初值和参数连续性解对初值可微性内容:5/12/2024常微分方程2/34yxG图例分析(见右)解可看成是关于三元函数满足

解对初值对称性:前提解存在唯一例:初值问题解不单依赖于自变量,同时也依赖于初值.初值变动,对应初值问题解也将随之变动.…………

Q:当初值发生改变时,对应解是怎样改变?

当初始值微小变动时,方程解改变是否也是很小呢？5/12/2024常微分方程3/34证实则由解唯一性知,即此解也可写成:且显然有:5/12/2024常微分方程4/34按解存在范围是否有限,又分成下面两个问题:Q1:解在某有限闭区间[a,b]上有定义,讨论初值微小改变对解影响情况,称为解对初值连续性.内容包含:当初值发生小改变时,所得到解是否仍在[a,b]上有定义以及解在整个区间[a,b]上是否也改变很小?Q2:解在某个无限闭区间上有定义,讨论初值微小改变是否仍有解在上有定义,且解在整个区间上改变也很小?这种问题称为解稳定性问题,将在第六章中讨论.5/12/2024常微分方程5/34一解对初值连续性定义设初值问题1.解对初值连续依赖性5/12/2024常微分方程6/34初值问题5/12/2024常微分方程7/34引理

假如函数于某域G内连续，且关于y满足利普希茨条件（利普希茨常数为L），则对方程任意两个解及,在它们公共存在区间内成立着不等式.其中为所考虑区间内某一值。证实则5/12/2024常微分方程8/34于是所以两边取平方根即得5/12/2024常微分方程9/342定理1(解对初值连续依赖性定理)条件:

I.

在G内连续且关于满足局部Lips.条件;II.是(1)满足解,定义区间为[a,b].结论:

对

,

使得当时,方程(1)过点解在[a,b]上也有定义,且方程5/12/2024常微分方程10/340思绪分析：5/12/2024常微分方程11/34记积分曲线段S：显然S是xy平面上有界闭集.第一步:找区域D,使,且在D上满足Lips.条件.yxG(见下列图)由已知条件,对,存在以它为中心圆,使在其内满足Lips.条件,利普希茨常数为.依据有限覆盖定理,存在N,当时,有

对,记则以为半径圆,当其圆心从S左端点沿S运动到右端点时,扫过区域即为符合条件要找区域Dba5/12/2024常微分方程12/3405/12/2024常微分方程13/340第二步:证实在[a,b]上有定义.假定利用引理2及连续性可得:5/12/2024常微分方程14/34第三步:证实在不等式(*)中将区间[c,d]换成[a,b]即得.

5/12/2024常微分方程15/34依据上面定理及方程解关于自变量连续性,显然有:3定理2(解对初值连续性定理)条件:

在G内连续且关于满足局部Lips.条件;方程结论:在它存在范围内是连续.,作为函数5/12/2024常微分方程16/34证实令5/12/2024常微分方程17/345/12/2024常微分方程18/34二解对初值可微性5/12/2024常微分方程19/341解对初值和参数连续依赖定理5/12/2024常微分方程20/342解对初值和参数连续性定理3解对初值可微性定理5/12/2024常微分方程21/34证实所以,解对初值连续性定理成立,即5/12/2024常微分方程22/34即和于是5/12/2024常微分方程23/34设5/12/2024常微分方程24/34即是初值问题解,依据解对初值和参数连续性定理则5/12/2024常微分方程25/34解,不难求得5/12/2024常微分方程26/34即和于是5/12/2024常微分方程27/345/12/2024常微分方程28/34即是初值问题解,依据解对初值和参数连续性定理5/12/2024常微分方程29/34解,不难求得5/12/2024常微分方程30/3