学案4复数课件

学案4复数数系的扩充和复数的引入1.理解复数的基本概念,理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示,并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示.3.能进行复数代数形式的四则运算,了解两个具体复数相加、相减的几何意义.1.复数的有关概念是复数运算、复数应用的基础，高考中重点考查的概念有虚数、纯虚数、共轭复数、两复数相等及复数几何意义以及解答涉及这些概念的复数运算，多以选择题、填空题的形式出现.2.以选择题或填空题的形式考查复数的四则运算，特别是乘法和除法运算，与其他知识相结合考查运算能力和推理能力.1.（1）若i为虚数单位，规定①i2=

;②实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算律仍然成立.（2）形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，a,b分别叫做复数的

.若b=0,则复数a+bi为

；若b≠0，则复数a+bi为

；

-1实部、虚部实数虚数（3）若a,b,c,d∈R，则a+bi=c+di的充要条件是

.（4）若a,b,c,d∈R，则a+bi与c+di为共轭复数的充要条件是

.2.（1）建立直角坐标系来表示复数的平面叫

，

叫做实轴，

叫做虚轴.（2）复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点建立了

关系.一一对应a=c且b=da=c且b=-d复平面x轴y轴若b≠0，且a=0时，则复数a+bi为

.纯虚数3.运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).（1）z1±z2=(a+bi)±(c+di)=

.（2）z1·z2=(a+bi)(c+di)=

.（3）=

.(a±c)+(b±d)i(ac-bd)+(ad+bc)i（4）zm·zn=

,(zm)n=

,(z1·z2)n=

（其中m,n∈Z）;zmn

x2-y2=a

,4.常见的运算规律（1）i的周期性：i4n+1=

,i4n+2=

,i4n+3=

,i4n=

(n∈Z);（2）(a+bi)(a-bi)=

;（3）（1±i）2=

；求出x,y.设(x+yi)2=a+bi，由2xy=bi-1-i1a2+b2

±2i（4）=

,=

;（5）=

;（6）b-ai=(a+bi)·(-i),-b+ai=(a+bi)i.±ii-i复数z=+(m2-2m-15)i，求实数m，使得（1）z是实数；（2）z是纯虚数；（3）z所对应的点在复平面的第二象限；（4）z是复数.考点1复数的基本概念【分析】根据复数的有关概念的定义，把此复数的实部与虚部分离开，转化为实部与虚部分别满足定义的条件这一实数问题去求解.【解析】实部为=,虚部为m2-2m-15=(m+3)(m-5).(m+3)(m-5)=0m+3≠0，m=-3或m=5m≠-3.∴当m=5时，z是实数.(1)要使z为实数，则即=0(m+3)(m-5)≠0,m=-2或m=3m≠-3且m≠5,∴当m=-2或m=3时，z是纯虚数.（2）要使z为纯虚数，则即（3）由复数z所对应的点在复平面上第二象限的充要条件知<0(m+3)(m-5)>0,m<-3或-2<m<3m>5或m<-3.∴当m<-3时，z所对应的点在第二象限.∈R(m+3)(m-5)∈R,∴当m≠-3时，z为复数.即∴m<-3.（4）要使z为复数，则

【评析】本题考查复数集中各数集的分类及复数的几何意义，本题中给出的复数采用的是标准的代数形式；若不然，则应先化为代数形式后再依据概念求解.下列四个命题中正确结论的个数为（）①满足z=的复数有±1,±i;②若a,b∈R且a=b,则(a-b)+(a+b)i是纯虚数；③复数z∈R的充要条件是z=z；④复平面内x轴是实轴，y轴是虚轴.A.0个B.1个C.2个D.3个C(±i不满足z=，故①错；当a=b=0时，(a-b)+(a+b)i是实数,故②错；③④正确.故应选C.)C已知x,y为共轭复数，且(x+y)2-3xyi=4-6i，求x,y.【分析】解决此类问题的基本方法是设复数的代数形式，化虚为实.考点2复数相等的充要条件【解析】设x=a+bi（a,b∈R），则y=a-bi,代入原式，得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i,4a2=4,-3(a2+b2)=-6.根据复数相等得a=1a=1a=-1a=-1b=1b=-1b=1b=-1.x=1+ix=1-iy=1-iy=1+ix=-1+ix=-1-iy=-1-iy=-1+i.或或或解得或∴所求复数为或或【评析】利用复数相等实现了复数问题向实数问题的转化，体现了转化思想.已知复数ｚ与（ｚ＋２）２－８ｉ均是纯虚数，则ｚ＝

.【解析】设z=bi(b∈R且b≠0),则(z+2)2-8i=(bi+2)2-8i=4-b2+(4b-8)i,又(z+2)2-8i为纯虚数，4-b2=04b-8≠0,b=-2.∴有解得∴z=-2i.实数m取怎样的值时，复数z=(m2-3m+2)+(m2-2m-8)i的共轭复数在复平面上的对应点在第一象限内.【分析】复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面的点z（a,b）建立了一一对应关系，因此只要求a,b所在象限也就知道了.考点3复数的几何意义【解析】要使z的对应点在第一象限，则有z的对m2-3m+2>0m2-2m-8<0得-2<m<1或2<m<4，即为所求m的取值范围.应点在第四象限.解

【评析】复数实部、虚部的符号与其对应点所在象限密切相关，实数、纯虚数的对应点分别在实轴和虚轴上.若实部为正且虚部为正，则复数对应点在第一象限；若实部为负且虚部为正，则复数对应点在第二象限；若实部为负且虚部为负，则复数对应点在第三象限；若实部为正且虚部为负，则复数对应点在第四象限.此外，若复数的对应点在某些曲线上，还可写出代数形式的一般表达式.如：对应点在直线x=1上，则z=1+bi(b∈R)；对应点在直线y=x上，则z=a+ai(a∈R)，这在利用复数的代数形式解题中能起到简化作用.设z=log2(m2-3m-3)+ilog2(m-3)(m∈R)，若z对应的点在直线x-2y+1=0上，则m的值是

.(∵z对应的点为(log2(m2-3m-3),log2(m-3))，又∵其在直线x-2y+1=0上，∴log2(m2-3m-3)-2log2(m-3)+1=0,整理得log2∴2m2-6m-6=m2-6m+9,即m2=15,m=±,又∵m-3>0且m2-3m-3>0,∴m=.)考点4复数代数形式的运算计算：（1）（2）1+in+i2n+…+i2000n(n∈N).

【分析】（1）利用(1±i)2=±2i这一特点进行运算;（2）利用in的周期性计算.【解析】（1）原式=（2）当n=4k(k∈N)时，原式=1+1+…+1=2001；当n≠4k(k∈N)时，原式=︸2001个

【评析】

（1）在计算过程中常出现一些比较有特点的式子.如（1±i）2=±2i,,等，要抓住这一特点快速运算.

（2）in的运算具有周期性.复数=()A.IB.-IC.12-13iD.12+13i【答案】A【解析】故应选A.考点5简单的复数方程设a,b为实数，若复数=1+i,则（）A.a=,b=B.a=3,b=1C.a=,b=D.a=1,b=3【分析】以方程为载体,利用复数相等的条件建立方程,再求解.【解析】∵=1+i,∴a+bi=故应选A.【评析】利用复数相等实现复数问题向实数问题的转化,体现了转化思想.已知=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位，则a+b=()A.-1B.1C.2D.3【答案】B【解析】2-ai=b+i,由复数相等得b=2,a=-1,则a+b=1.故应选B.1.复数z=a+bi(a,b∈R)、复平面内的点Z(a,b)