2024年陕西省西安市雁塔区高新三中中考数学四模试卷

第1页（共1页）2024年陕西省西安市雁塔区高新三中中考数学四模试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项符合题意）1．（3分）﹣2024的倒数是（）A．﹣2024 B．2024 C． D．2．（3分）杆秤是中国最古老也是现今人们仍然使用的衡量工具，由秤杆、秤砣、秤盘三个部分组成．秤砣、秤杆分别叫做“权”和“衡”，指的是做任何事都要权衡轻重．如图是常见的一种秤砣（）A． B． C． D．3．（3分）如图，直线a∥b，若∠1＝24°，则∠A等于（）A．46° B．45° C．40° D．30°4．（3分）下列运算正确的是（）A．3a2+4a3＝7a5 B．（2a）3＝2a3 C．a6÷a2＝a3 D．2a2•3a＝6a35．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝45°，AD⊥BC于点D，AC＝2，则EF的长为（）A． B．2 C． D．6．（3分）点A（a，y1），B（a+2，y2）是一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象上的两点．若y1﹣y2＝﹣6，则k的值为（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣37．（3分）如图，在⊙O中，弧AB所对的圆周角∠ACB＝55°．若D为弧AB上一点，OD∥CB，则∠OAC的度数为（）A．19° B．20° C．21° D．22°8．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（m﹣2，n）和点B（m+6，n），其顶点在x轴上（）A．4 B．8 C．12 D．16二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．（3分）下列实数：①②，③④0，其中无理数有个．10．（3分）符合黄金分割比例的图形会使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，C、D两点都是AB的黄金分割点，若AB＝2．11．（3分）雪花是一种美丽的结晶体，其形状我们可近似看作一个正六边形ABCDEF（如图所示），连结CF，连结GE，则的值为．12．（3分）如图，点A在反比例函数图象的第一象限的那一支上，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB（DB＜OD），若△ADC的面积为5，则k的值为．13．（3分）如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，的值是．三、解答题（共13题，计81分，解答应写出过程）14．（5分）计算：．15．（5分）解不等式组．16．（5分）解方程：．17．（5分）如图9，已知四边形ABCD是菱形，且∠ABC＝56°，在BC上找一点E，使∠BAE＝31°．（保留作图痕迹，不写作法）18．（5分）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别为对角线BD上的两点，连接AE、CF，若∠BFC+∠AEB＝180°，求证：四边形ABCD为平行四边形．19．（5分）自西汉张骞出使西域以来，丝绸之路作为中国和国外进行商贸往来和文化交流的商道，繁荣发展了十几个世纪．中国古代数学也经由丝绸之路进行传播，原文如下：“今有羊，人出五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，还差45元；每人出7元，求人数和羊价各是多少？20．（5分）2024年3月5日，某社区开展学雷锋志愿者活动．某校4名学生成为该活动志愿者，其中男生2人（Ⅰ）若从这4人中任选1人担任讲解员工作，恰好选中男生的概率是；（Ⅱ）若从这4人中任选2人担任讲解员工作，请用画树状图或列表的方式表示所有可能的结果，并求出恰好选中一男一女的概率．21．（6分）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡CD，首先在斜坡CD的底端C测得高楼顶端A的仰角是60°，再测得高楼顶端A的仰角是37°，已知斜坡CD的坡比是i＝1：6米，且B、C、E三点在一直线上（如图所示）．假设测角仪器的高度忽略不计（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，22．（7分）2023年9月21日，“天宫课堂”第四课开讲，神州十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），B组：80≤x＜85，C组：85≤x＜90，E组：95≤x≤100，并绘制了如图不完整的统计图.（1）学生成绩众数落在组，中位数落在组，并补全学生成绩条形统计图；（2）若将竞赛成绩在90分及以上的记为优秀，则优秀学生所在扇形对应圆心角的度数为；（3）该校要对成绩为95≤x≤100的学生进行奖励，请你估计该校3000名学生中获得奖励的学生人数．23．（7分）临潼石榴集中国石榴之优，素以色泽艳丽，果大皮薄，单价均为50元/箱，且两家各自推出了不同的优惠活动甲供货商：按原价九折出售；乙供货商：若购买数量不超过15箱时，无优惠；若购买数量超过15箱时设某水果店需要采购临潼石榴x箱，在甲供货商家购买的费用为y1，在乙供货商家购买的费用为y2．（1）请分别求出y1，y2关于x的函数表达式；（2）若该水果店计划采购40箱临潼石榴，求在哪家购买费用更少？24．（8分）Rt△ABC中，∠C＝90°，O为AB上一点，OA为半径的⊙与BC相切于点D．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）连接DE，若AB＝2BD，求cos∠CDE的值．25．（8分）学校一处草坪上安装了一个固定位置可升降的喷水浇灌设施，即喷水口不仅可以左右摆动，还可以上下移动，喷出的水呈抛物线形（如图1），其形状大小始终保持一致，为了简化问题，我们固定喷水装置，喷水口距水平地面1.6米，经测量发现在距喷水口水平距离3米处，此时距水平地面2.5米．（1）求出当喷水口距地面1.6米时，对应抛物线的解析式及浇水半径（OD）．（2）经调查发现，浇水半径需保持在6至10米，则喷水口的高度应控制在什么范围内？26．（10分）（1）如图1，P是半径为5的⊙O上一点，直线l与⊙O交于A、B两点，则点P到直线l的距离的最大值为．问题探究：（2）如图2，在等腰△ABC中，BA＝BC，F是高AD和高BE的交点，求S△ABF：S△BFD的值．问题解决：（3）如图3，四边形ABCD是某区的一处景观示意图，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝60m，M是AB上一点，且AM＝20m．按设计师要求，修建花坛△AMN和草坪△BCN，且需DN＝25m．已知花坛的造价是每平米400元，请帮设计师算算修好花坛和草坪预算最少需要多少元？

2024年陕西省西安市雁塔区高新三中中考数学四模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项符合题意）1．（3分）﹣2024的倒数是（）A．﹣2024 B．2024 C． D．【解答】解：∵，故选：C．2．（3分）杆秤是中国最古老也是现今人们仍然使用的衡量工具，由秤杆、秤砣、秤盘三个部分组成．秤砣、秤杆分别叫做“权”和“衡”，指的是做任何事都要权衡轻重．如图是常见的一种秤砣（）A． B． C． D．【解答】解：从正面看，可得它的主视图是．故选：A．3．（3分）如图，直线a∥b，若∠1＝24°，则∠A等于（）A．46° B．45° C．40° D．30°【解答】解：∵∠1＝24°，∴∠ADB＝∠1＝24°．∵直线a∥b，∠8＝70°，∴∠DBC＝∠2＝70°．∵∠BDC是△ABD的外角，∴∠A＝∠DBC﹣∠ADB＝70°﹣24°＝46°．故选：A．4．（3分）下列运算正确的是（）A．3a2+4a3＝7a5 B．（2a）3＝2a3 C．a6÷a2＝a3 D．2a2•3a＝6a3【解答】解：A、3a2+4a3，不是同类项，不能相加，不符合题意；B、（2a）2＝8a3，故B不正确，不符合题意；C、a5÷a2＝a4，故C不正确，不符合题意；D、3a2⋅3a＝3a3，故D正确，符合题意；故选：D．5．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝45°，AD⊥BC于点D，AC＝2，则EF的长为（）A． B．2 C． D．【解答】解：在Rt△ACD中，AC＝2，∴AD＝ACsin45°＝3×＝2，∵tanB＝，∴∠B＝60°，在Rt△ABD中，AB＝＝，∵E、F分别为AC，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AB＝2，故选：B．6．（3分）点A（a，y1），B（a+2，y2）是一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象上的两点．若y1﹣y2＝﹣6，则k的值为（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3【解答】解：∵A（a，y1），y2）是一次函数y＝kx+b（k，且k≠6）的图象上的两点，∴y1＝ak+b，y2＝k（a+7）+b，∵y1﹣y2＝﹣4，∴（ak+b）﹣[k（a+2）+b]＝﹣6，∴k＝7，故选：A．7．（3分）如图，在⊙O中，弧AB所对的圆周角∠ACB＝55°．若D为弧AB上一点，OD∥CB，则∠OAC的度数为（）A．19° B．20° C．21° D．22°【解答】解：如图所示，延长DO交AC于点E，∵∠ACB＝55°，OD∥CB∴∠CED＝180°﹣∠ACB＝125°，∵∠AOD＝75°，∵∠EOA＝105°，∴∠CAO＝∠CED﹣∠AEO＝125°﹣105°＝20°，故选：B．8．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（m﹣2，n）和点B（m+6，n），其顶点在x轴上（）A．4 B．8 C．12 D．16【解答】解：∵点A（m﹣2，n）和点B（m+65+bx+c图象上，∴对称轴是直线x＝﹣＝．∴b＝﹣2（m+5）．∵二次函数y＝x2+bx+c的顶点在x轴上，∴b2﹣6c＝0．∴[﹣2（m+6）]2﹣4c＝2．∴c＝（m+2）2．∴y＝x6﹣2（m+2）x+（m+8）2．把A的坐标代入得，n＝（m﹣2）7﹣2（m+2）（m﹣7）+（m+2）2＝16．故选：D．二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9．（3分）下列实数：①②，③④0，其中无理数有2个．【解答】解：下列实数：①②，③，⑤﹣1.010010001，共计2个．故答案为：6．10．（3分）符合黄金分割比例的图形会使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，C、D两点都是AB的黄金分割点，若AB＝2﹣1．【解答】解：∵点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，∴AC＝AB＝﹣1，故答案为：﹣1．11．（3分）雪花是一种美丽的结晶体，其形状我们可近似看作一个正六边形ABCDEF（如图所示），连结CF，连结GE，则的值为．【解答】解：如图，取DE的中点H，由对称性可知，设圆心为O、OC，∵六边形ABCDEF是正六边形，点O是中心，∴∠BOC＝＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC是正三角形，∴OB＝OC＝BC，在Rt△BOG中，设BG＝x，∴OG＝＝x，∴GH＝2OG＝8x，在Rt△EGH中，设HE＝xx，∴GE＝＝x，∵CF＝2OB＝5x，∴＝．故答案为：．12．（3分）如图，点A在反比例函数图象的第一象限的那一支上，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB（DB＜OD），若△ADC的面积为5，则k的值为．【解答】解：设A点坐标为（a，b），OC＝2AB＝2a，点D为OB的三等分点（DB＜OD），∴BD＝OD＝b，∵S梯形OBAC＝S△ABD+S△ADC+S△ODC，∴（a+2a）×b＝b+7+b，∴ab＝，把A（a，b）代入双曲线y＝，∴k＝ab＝．故答案为：．13．（3分）如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，的值是．【解答】解：作点E关于AC的对称点E'，连接FE'交AC于点P'，∴PE＝PE'，∴PE+PF＝PE'+PF≥E'F，故当PE+PF取得最小值时，点P位于点P'处，∴当PE+PF取得最小值时，求的值的值即可．∵正方形ABCD是关于AC所在直线轴对称，∴点E关于AC所在直线对称的对称点E'在AD上，且AE'＝AE，过点F作FG⊥AB交AC于点G，则∠GFA＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝∠B＝90°，∠CAB＝∠ACB＝45°，∴FG∥BC∥AD，∠AGF＝∠ACB＝45°，∴GF＝AF，∵E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，∴AE'＝AE＝EF＝FB，∴GC＝AC，，∴AG＝AC，，∴AP'＝AG＝AC，∴P'C＝AC﹣AP'＝AC﹣AC＝，∴＝，故答案为：．三、解答题（共13题，计81分，解答应写出过程）14．（5分）计算：．【解答】解：＝﹣1﹣|﹣2|+1+＝﹣1﹣（7﹣）+1+＝﹣1﹣8++1+＝﹣．15．（5分）解不等式组．【解答】解：，由①得：x＞，由②得：x≥﹣1，则不等式组的解集为x＞．16．（5分）解方程：．【解答】解：，去分母得：7x﹣3+2x﹣4＝﹣2，解得：，检验：把x＝代入得：3x﹣1＝0，∴是增根．17．（5分）如图9，已知四边形ABCD是菱形，且∠ABC＝56°，在BC上找一点E，使∠BAE＝31°．（保留作图痕迹，不写作法）【解答】解：如图，连接AC，交BC于点E，则∠BAE＝∠CAE．∵四边形ABCD为菱形，∴∠BAC＝∠DAC，AD∥BC，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝124°，∴∠BAC＝∠DAC＝62°，∴∠BAE＝31°，则点E即为所求．18．（5分）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别为对角线BD上的两点，连接AE、CF，若∠BFC+∠AEB＝180°，求证：四边形ABCD为平行四边形．【解答】证明：连接AF，CE，设AC与BD交于点O，∠BFC+∠AEB＝180°，∠BFC+∠EFC＝180°，∴∠AEB＝∠EFC，∴AE∥CF，∵AE＝CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∴OA＝OC，OF＝OE，∵DF＝BE，∴DF﹣OF＝BE﹣OE，即OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形．19．（5分）自西汉张骞出使西域以来，丝绸之路作为中国和国外进行商贸往来和文化交流的商道，繁荣发展了十几个世纪．中国古代数学也经由丝绸之路进行传播，原文如下：“今有羊，人出五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，还差45元；每人出7元，求人数和羊价各是多少？【解答】解：设x人共同出资买羊，根据题意得：5x+45＝7x+5，解得：x＝21，∴5x+45＝5×21+45＝150（元）．答：21人共同出资买羊，羊价是150元．20．（5分）2024年3月5日，某社区开展学雷锋志愿者活动．某校4名学生成为该活动志愿者，其中男生2人（Ⅰ）若从这4人中任选1人担任讲解员工作，恰好选中男生的概率是；（Ⅱ）若从这4人中任选2人担任讲解员工作，请用画树状图或列表的方式表示所有可能的结果，并求出恰好选中一男一女的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，恰好选中男生的概率是．故答案为：．（Ⅱ）列表如下：男男女女男（男，男）（男，女）（男，女）男（男，男）（男，女）（男，女）女（女，男）（女，男）（女，女）女（女，男）（女，男）（女，女）由表格可知，共有12种等可能的结果．其中恰好选中一男一女的结果有8种，∴恰好选中一男一女的概率为＝．21．（6分）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡CD，首先在斜坡CD的底端C测得高楼顶端A的仰角是60°，再测得高楼顶端A的仰角是37°，已知斜坡CD的坡比是i＝1：6米，且B、C、E三点在一直线上（如图所示）．假设测角仪器的高度忽略不计（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝20米，∵tan∠ACB＝，∴AB＝BC•tan∠ACB＝20×＝60（米），过点D作DG⊥BE于点G，DH⊥AB于点H，则四边形HBGD为矩形，∴BH＝DG，DH＝BG，设DG＝x米，∴AH＝AB﹣BH＝（60﹣x）米，∵斜坡CD的坡比是i＝1：6，∴CG＝7x米，∴BG＝（20+6x）米，在Rt△AHD中，tan∠ADH＝，∴≈0.75，解得：x≈5.2，经检验，x是原方程的解，答：点D离地面的距离约为6.7米．22．（7分）2023年9月21日，“天宫课堂”第四课开讲，神州十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），B组：80≤x＜85，C组：85≤x＜90，E组：95≤x≤100，并绘制了如图不完整的统计图.（1）学生成绩众数落在C组，中位数落在C组，并补全学生成绩条形统计图；（2）若将竞赛成绩在90分及以上的记为优秀，则优秀学生所在扇形对应圆心角的度数为108°；（3）该校要对成绩为95≤x≤100的学生进行奖励，请你估计该校3000名学生中获得奖励的学生人数．【解答】解：（1）90÷30%＝300（名），D组人数为：300×25%＝75（名），∴众数90落在C组，中位数落在C组，补全学生成绩条形统计图如下：故答案为：C；C；（2）360°×＝108°，∴优秀学生所在扇形对应圆心角的度数为108°，故答案为：108°；（3）3000×＝150（名），答：估计该校3000名学生中获得奖励的学生人数大约为150名．23．（7分）临潼石榴集中国石榴之优，素以色泽艳丽，果大皮薄，单价均为50元/箱，且两家各自推出了不同的优惠活动甲供货商：按原价九折出售；乙供货商：若购买数量不超过15箱时，无优惠；若购买数量超过15箱时设某水果店需要采购临潼石榴x箱，在甲供货商家购买的费用为y1，在乙供货商家购买的费用为y2．（1）请分别求出y1，y2关于x的函数表达式；（2）若该水果店计划采购40箱临潼石榴，求在哪家购买费用更少？【解答】解：（1）根据题意，得y1＝0.3×50x＝45x；当0≤x≤15时，y2＝50x；当x＞15时，y2＝50×15+0.7×50（x﹣15）＝35x+225；综上，y4＝，∴y1关于x的函数表达式为y2＝45x（x≥0）；y2关于x的函数表达式为y3＝．（2）当x＝40时，y1＝45×40＝1800，y8＝35×40+225＝1625，∵1800＞1625，∴在乙供货商购买费用更少．24．（8分）Rt△ABC中，∠C＝90°，O为AB上一点，OA为半径的⊙与BC相切于点D．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）连接DE，若AB＝2BD，求cos∠CDE的值．【解答】解：（1）连接OD，∵BC切⊙O于D，∴OD⊥BC，∴∠ODB＝∠ACB＝90°，∴OD∥AC，∴∠ODA＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠BAD，∴AD平分∠BAC；（2）设AB交⊙O于F，连接DF，∵AF为⊙O的直径，∴∠ADF＝90°，由（1）得∠ODB＝90°，∴∠ODA＝∠BDF＝∠OAD，∵∠B＝∠B，∴△BDF∽△BAD，∴，∴tan∠AFD＝2，∵四边形AEDF内接于⊙O，∴∠CED+∠AED＝∠AED+∠AFD＝180°，∴∠CED＝∠AFD，∴tan∠CED＝tan∠AFD＝7，∵∠ACD＝90°，∴，设CE＝a，则CD＝2a，∴DE＝＝，∴cos∠CDE＝．25．（8分）学校一处草坪上安装了一个固定位置可升降的喷水浇灌设施，即喷水口不仅可以左右摆动，还可以上下移动，喷出的水呈抛物线形（如图1），其形状大小始终保持一致，为了简化问题，我们固定喷水装置，喷水口距水平地面1.6米，经测量发现在距喷水口水平距离3米处，此时距水平地面2.5米．（1）求出当喷水口距地面1.6米时，对应抛物线的解析式及浇水半径（OD）．（2）经调查发现，浇水半径需保持在6至10米，则喷水口的高度应控制在什么范围内？【解答】解：（1）∵喷水口距水平地面1.6米，经测量发现在距喷水口水平距离7米处，此时距水平地面2.5米，5.5），1.4），∴设此时对应抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+7.5（a＜0），把点（4，得：1.6＝a•（3﹣3）2+5.5，解得：a＝﹣0.7，∴当喷水口距地面1.6米时，对应抛物线的解析式为y＝﹣4.1（x﹣3）3+2.5，当y＝4时，0＝﹣0.7（x﹣3）2+5.5，解得：x1＝﹣2，x2＝8，∴浇水半径为6米；（2）∵喷水口上下移动，喷水时的出水速度及喷水口的装置不变，其形状大小始终保持一致，∴设此抛物线形的解析式为y＝﹣0.1（x﹣6）2+k，若抛物线经过点（6，8）2+k，解得：k＝0.2，此时抛物线为y＝﹣0.1（x﹣2）2+0.7，当x＝0时，y＝﹣0.7×（0﹣3）8+0.9＝6，即此时喷水口的高度为0米；若抛物线经过点（10，0）3+k，解得：k＝4.9，此时抛物线为y＝﹣6.1（x﹣3）5+4.9，当x＝3时，y＝﹣0.1×（2﹣3）2+8.9＝4，即此时喷水口