北师大版2023-2024学年七年级数学上册压轴题攻略(成都专用)专题09线段上的动点问题(原卷版+解析)

专题09线段上的动点问题类型一、求线段长度问题例1．数轴上有A，B，C三点，A，B表示的数分别为m，n，点C在B的右侧，．(1)如图1，若多项式是关于x的二次三项式，请直接写出m，n的值：(2)如图2，在（1）的条件下，长度为1的线段（E在F的左侧）在A，B之间沿数轴水平滑动（不与A，B重合），点M是的中点，N是的中点，在滑动过程中，线段的长度是否发生变化，请判断并说明理由；(3)若点D是的中点．①直接写出点D表示的数____________（用含m，n的式子表示）；②若，试求线段的长．例2．已知在数轴上点A、B、C对应的数分别为a、b、c．(1)如图1是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个有理数，其相对面上的两个数互为相反数，并且图2中，点C为线段AB的中点，则a=_____，b=____，c=______；(2)如图3，若a，b，c满足，①=_____，b=_____，c=_____；②若点A、B沿数轴同时出发向右匀速运动，点A速度为2个单位长度/秒，点B速度为1个单位长度/秒．设运动时间为t秒，运动过程中，当A为BC的中点时，求t的值．例3.已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝BM．(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．【变式训练1】【新知理解】如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“和谐点”．(1)线段的中点（）这条线段的“和谐点”（填“是”或“不是”）；(2)【初步应用】如图②，若CD＝12cm，点N是线段CD的和谐点，则CN＝（）cm；(3)【解决问题】如图③，已知AB＝15cm，动点P从点A出发，以1cm/s速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以2m/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t，请直接写出t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点．【变式训练2】已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝BM．(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．【变式训练3】已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．若，，线段在线段上移动．(1)如图1，当为中点时，求的长；(2)点（异于，，点）在线段上，，，求的长．类型二、定值问题例．如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒．(1)P在线段AB上运动，当时，求x的值．(2)当P在线段AB上运动时，求的值．(3)如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，MN的长度是否发生变化?如不变，求出MN的长度．如变化，请说明理由．【变式训练1】如图，数轴上点，表示的有理数分别为，3，点是射线上的一个动点（不与点，重合），是线段靠近点的三等分点，是线段靠近点的三等分点．（1）若点表示的有理数是0，那么的长为________；若点表示的有理数是6，那么的长为________；（2）点在射线上运动（不与点，重合）的过程中，的长是否发生改变？若不改变，请写出求的长的过程；若改变，请说明理由．【变式训练2】如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）．（1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置；（2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值；（3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．【变式训练3】(1)如图1，在直线上，点在、两点之间，点为线段PB的中点，点为线段的中点，若，且使关于的方程无解.①求线段的长；②线段的长与点在线段上的位置有关吗？请说明理由；(2)如图2，点为线段的中点，点在线段的延长线上，试说明的值不变.类型三、数量关系例．已知线段AB，点C在直线AB上，D为线段BC的中点．(1)若，，求线段CD的长．(2)若点E是线段AC的中点，请写出线段DE和AB的数量关系并说明理由．【变式训练1】如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝AB．（1）请根据题意将图形补充完整．直接写出＝_______；（2）设AB＝9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运动．①当点D在线段AB上运动，求的值；②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的三等分点时，求MN的长．【变式训练2】已知代数式M＝（a﹣16）x3+20x2+10x+9是关于x的二次多项式，且二次项系数为b．如图，在数轴上有A、B、C三个点，且A、B、C三点所表示的数分别是a、b、c，已知AC＝6AB．（1）直接依次写出a、b、c的值：，，；（2）若动点P、Q分别从C、O两点同时出发，向右运动，且点Q不超过点A．在运动过程中，E为线段AP的中点，F为线段BQ的中点，若动点P的速度为每秒2个单位长度，动点Q的速度为每秒3个单位长度，则的值是；（3）若动点P、Q分别从A、B两点同时出发，都以每秒2个单位长度的速度向左运动，动点M从点C出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t秒，若动点P、Q分别从C、O两点同时出发，3＜t时，数轴上有一点N与点M的距离始终为2个单位长度，且点N在点M的左侧，T为线段MN上的一点（点T不与M、N重合），在运动的过程中，若满足MQ﹣NT＝3PT（点T不与点P重合），求出此时线段PT的长度．【变式训练3】已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式，则＝．专题09线段上的动点问题类型一、求线段长度问题例1．数轴上有A，B，C三点，A，B表示的数分别为m，n，点C在B的右侧，．(1)如图1，若多项式是关于x的二次三项式，请直接写出m，n的值：(2)如图2，在（1）的条件下，长度为1的线段（E在F的左侧）在A，B之间沿数轴水平滑动（不与A，B重合），点M是的中点，N是的中点，在滑动过程中，线段的长度是否发生变化，请判断并说明理由；(3)若点D是的中点．①直接写出点D表示的数____________（用含m，n的式子表示）；②若，试求线段的长．【答案】(1)，；(2)不变化，理由见解析；(3)①；②【解析】(1)解：由题可知，n-1=0，7+m=2，∴，故答案为：，(2)解：MN的长不发生变化，理由如下：由题意，得点C表示的数为3，设点E表示的数为x，则点F表示的数为∴，，，，，，∵点M是的中点，N是的中点∴，，即(3)解：①∵A，B表示的数分别为m，n又点C在B的右侧，∴AB=n-m∵，∴AC=n-m+2∵点D是的中点，∴AD=AC=（n-m+2）∴D表示的数为：m+（n-m+2）=②依题意，点C表示的数分别为∴，∴，∵，即当时．，∵，∴不符合题意，舍去当时．，综上所述，线段的长为.例2．已知在数轴上点A、B、C对应的数分别为a、b、c．(1)如图1是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个有理数，其相对面上的两个数互为相反数，并且图2中，点C为线段AB的中点，则a=_____，b=____，c=______；(2)如图3，若a，b，c满足，①=_____，b=_____，c=_____；②若点A、B沿数轴同时出发向右匀速运动，点A速度为2个单位长度/秒，点B速度为1个单位长度/秒．设运动时间为t秒，运动过程中，当A为BC的中点时，求t的值．【答案】(1)-7，3，-2；(2)①-5，-4，3，②当A为BC的中点时，t=3【解析】(1)解：“a”与“7”相对，“b”与“-3”相对，∵相对面上的两个数互为相反数，∴a=-7，b=3，∵点C为线段AB的中点，∴c==-2，故答案为：-7，3，-2；(2)解：①∵|a+5|≥0，2|b+4|≥0，（c-3）2≥0，∴a+5=0，b+4=0，c-3=0，∴a=-5，b=-4，c=3，故答案为：-5，-4，3；②当点A与点C重合时，则2t=3-（-5），解得t=4，当点B与点C重合时，则t=3-（-5），解得t=8，可见点A先到达点C，只存在AB=AC，且点A在点B右侧而在点C左侧的情况，∴=-5+2t，解得：t=3．∴当A为BC的中点时，t=3．例3.已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝BM．(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)或【解析】(1)解：当点C、D运动了1s时，CM＝1cm，BD＝3cm∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm．(2)解：设运动时间为t，则CM＝t，BD＝3t，∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t，又MD＝3AC，∴BM﹣3t＝3AM﹣3t，即BM＝3AM，∴AM=BM故答案为：．(3)解：由（2）可得：∵BM＝AB﹣AM∴AB﹣AM＝3AM，∴AM＝AB，①当点N在线段AB上时，如图∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣AM＝MN，∴BN＝AM＝AB，∴MN＝AB，即=．②当点N在线段AB的延长线上时，如图∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB，∴MN＝AB，∴=1,即=．综上所述＝或【变式训练1】【新知理解】如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“和谐点”．(1)线段的中点（）这条线段的“和谐点”（填“是”或“不是”）；(2)【初步应用】如图②，若CD＝12cm，点N是线段CD的和谐点，则CN＝（）cm；(3)【解决问题】如图③，已知AB＝15cm，动点P从点A出发，以1cm/s速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以2m/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t，请直接写出t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点．【答案】(1)是；(2)6或4或8c；(3)t为3或或或或或6【解析】(1)解：若点M是线段AB的中点时，满足AB＝2AM＝2BM，∴线段的中点是这条线段的“和谐点”，故答案为：是；(2)解：①当N为中点时，CN＝＝6cm；②N为CD的三等分点，且N靠近C时，CN＝＝4cm；③N为CD的三等分点且N靠近D时，CN＝＝8cm．故答案为：6cm或4cm或8cm；(3)解：∵AB＝15cm，∴t秒后，AP＝t，AQ＝15﹣2t（0≤t≤7.5），由题意可知，A不可能为P、Q的和谐点，此情况排除；①P为A、Q的和谐点，有三种情况：1）P为中点，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t），解得t＝；2）P为AQ的三等分点，且P靠近A，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t），解得t＝3；3）P为AQ的三等分点，且P靠近Q，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t），解得t＝；②Q为A、P的和谐点，有三种情况：1）Q为中点，AP＝AQ，即15﹣2t＝t，解得t＝6；2）Q为AP的三等分点，且P靠近A，AP＝AQ，即15﹣2t＝t，解得t＝；3）Q为AP的三等分点，且P靠近Q，AP＝AQ，即15﹣2t＝t，解得t＝．综上所述，t为3或或或或或6时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点．【变式训练2】已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝BM．(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)或【解析】(1)解：当点C、D运动了1s时，CM＝1cm，BD＝3cm∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm．(2)解：设运动时间为t，则CM＝t，BD＝3t，∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t，又MD＝3AC，∴BM﹣3t＝3AM﹣3t，即BM＝3AM，∴AM=BM，故答案为：．(3)解：由（2）可得：∵BM＝AB﹣AM，∴AB﹣AM＝3AM，∴AM＝AB，①当点N在线段AB上时，如图∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣AM＝MN，∴BN＝AM＝AB，∴MN＝AB，即=．②当点N在线段AB的延长线上时，如图∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB，∴MN＝AB，，∴=1,即=．综上所述＝或【变式训练3】已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．若，，线段在线段上移动．(1)如图1，当为中点时，求的长；(2)点（异于，，点）在线段上，，，求的长．【答案】(1)7；(2)3或5【解析】(1)，，，，如图1，为中点，，，∴，∴，(2)Ⅰ、当点在点的左侧，如图2，或∵，，点是的中点，∴，∴，∴，∵，故图2（b）这种情况求不出；Ⅱ、如图3，当点在点的右侧，或，，∴，∴，．∵，故图3（b）这种情况求不出；综上所述：的长为3或5．类型二、定值问题例．如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒．(1)P在线段AB上运动，当时，求x的值．(2)当P在线段AB上运动时，求的值．(3)如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，MN的长度是否发生变化?如不变，求出MN的长度．如变化，请说明理由．【答案】(1)；(2)为定值24；(3)．【解析】(1)解：∵M是线段AP的中点，∴，，∵，∴，解得．(2)解：∵，，，∴，即为定值24．(3)解：当P在AB延长线上运动时，点P在B点的右侧．∵，，，，∴，所以MN的长度无变化是定值．【变式训练1】如图，数轴上点，表示的有理数分别为，3，点是射线上的一个动点（不与点，重合），是线段靠近点的三等分点，是线段靠近点的三等分点．（1）若点表示的有理数是0，那么的长为________；若点表示的有理数是6，那么的长为________；（2）点在射线上运动（不与点，重合）的过程中，的长是否发生改变？若不改变，请写出求的长的过程；若改变，请说明理由．【答案】（1）6；6；（2）不发生改变，MN为定值6，过程见解析【详解】解：（1）若点P表示的有理数是0（如图1），则AP=6，BP=3．∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．∴MP=AP=4，NP=BP=2，∴MN=MP+NP=6；若点P表示的有理数是6（如图2），则AP=12，BP=3．∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．∴MP=AP=8，NP=BP=2，∴MN=MP-NP=6．故答案为：6；6．（2）MN的长不会发生改变，理由如下：设点P表示的有理数是a（a＞-6且a≠3）．当-6＜a＜3时（如图1），AP=a+6，BP=3-a．∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．∴MP=AP=（a+6），NP=BP=（3-a），∴MN=MP+NP=6；当a＞3时（如图2），AP=a+6，BP=a-3．∵M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．∴MP=AP=（a+6），NP=BP=（a-3），∴MN=MP-NP=6．综上所述：点P在射线AB上运动（不与点A，B重合）的过程中，MN的长为定值6．【变式训练2】如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）．（1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置；（2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值；（3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．【答案】（1）点P在线段AB的处；（2）或；（3）结论②的值不变正确，.【详解】解：（1）设运动时间为t秒，则，由得，即，，，即，所以点P在线段AB的处；（2）①如图，当点Q在线段AB上时，由可知，，，②如图，当点Q在线段AB的延长线上时，，，，综合上述，的值为或；（3）②的值不变.由点、运动5秒可得，如图，当点M、N在点P同侧时，点停止运动时，，点、分别是、的中点，，，，当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以；如图，当点M、N在点P异侧时，点停止运动时，，点、分别是、的中点，，，，当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以；所以②的值不变正确，.【变式训练3】(1)如图1，在直线上，点在、两点之间，点为线段PB的中点，点为线段的中点，若，且使关于的方程无解.①求线段的长；②线段的长与点在线段上的位置有关吗？请说明理由；(2)如图2，点为线段的中点，点在线段的延长线上，试说明的值不变.【答案】（1）①AB=4；②线段的长与点在线段上的位置无关，理由见解析；（2）见解析.【详解】解：（1）①∵关于的方程无解．∴=0，解得：n=4．故AB=4．②线段的长与点在线段上的位置无关，理由如下：∵M为线段PB的中点，∴PM=PB．同理：PN=AP．．∴MN=PN+PM=（PB+AP）=AB=×4=2．∴线段MN的长与点P在线段AB上的位置无关．（2）设AB=a，BP=b，则PA+PB=a+b+b=a+2b．∵C是AB的中点，，，所以的值不变.类型三、数量关系例．已知线段AB，点C在直线AB上，D为线段BC的中点．(1)若，，求线段CD的长．(2)若点E是线段AC的中点，请写出线段DE和AB的数量关系并说明理由．【答案】(1)或5(2)，理由见解析【解析】(1)解：如图1，当C在点A右侧时，∵，，∴，∵D是线段BC的中点，：∴；如图2，当C在点A左侧时，∵，，∴，∵D是线段BC的中点，∴；综上所述，或5；(2)解：．理由是：如图3，当C在点A和点B之间时，∵E是AC的中点，D是BC的中点，∴，，∴；如图4，当C在点A左侧时，同理可得：；如图5，当C在点B右侧时，同理可得：．【变式训练1】如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝AB．（1）请根据题意将图形补充完整．直接写出＝_______；（2）设AB＝9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运动．①当点D在线段AB上运动，求的值；②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的三等分点时，求MN的长．【答案】（1），（2）3，（3）12cm或24cm．【详解】解：（1）图形补充完整如图，∵CB＝AB，∴CA＝，，故答案为：；（2）①AB＝9cm，由（1）得，（cm），设运动的时间为t秒，cm，cm，，②当时，∵AB＝9cm，cm，∴cm，∴cm，cm，运动时间为：18÷3=6（秒），则cm，cm，cm，∵M，N分别是线段DE、AB的中点．∴cm，cm，cm，当时，∵AB＝9cm，cm，∴cm，∴cm，运动时间为：36÷3=12（秒），则cm，cm，cm，∵M，N分别是线段DE、AB的中点．∴cm，cm，cm，综上，MN的长是12cm或24cm．【变式训练2】已知代数式M＝（a﹣16）x3+20x2+10x+9是关于x的二次多项式，且二次项系数为b．如图，在数轴上有A、B、C三个点，且A、B、C三点所表示的数分别是a、b、c，已知AC＝6AB．（1）直接依次写出a、b、c的值：，，；（2）若动点P、Q分别从C、O两点同时出发，向右运动，且点Q不超过点A．在运动过程中，E为线段AP的中点，F为线段BQ的中点，若动点P的速度为每秒2个单位长度，动点Q的速度为每秒3个单位长度，则的值是；（3）若动点P、Q分别从A、B两点同时出发，都以每秒2个单位长度的速度向左运动，动点M从点C出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t秒，若动点P、Q分别从C、O两点同时出发，3＜t时，数轴上有一点N与点M的距离始终为2个单位长度，且点N在点M的左侧，T为线段MN上的一点（点T不与M、N重合），在运动的过程中，若满足MQ﹣NT＝3PT（点T不与点P重合），求出此时线段PT的长度．【答案】（1）16，20，﹣8；（2）2；（3）PT＝1或PT【详解】解：（1）∵是关于x的二次多项式，二次项的系数为∴a＝16，＝20，∴AB＝4，∵AC＝6AB，∴AC＝24，∴，∴，故答案为：，，（2）设点P的出发时间为t秒，由题意得：①当t时，EF＝AE﹣AFAPBQ+AB（24﹣2t）（20﹣3t）+4＝6，∴BP﹣