19 微专题：利用向量识别三角形“四心”-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】微专题：利用向量识别三角形“四心”【三角形“四心”的定义与几何性质】(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1；(2)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3)内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等；(4)外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。【三角形“四心”的向量表达式】三角形“四心”向量形式的充要条件设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则(1)O为△ABC的重心⇔eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝；(2)O为△ABC的外心⇔|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(a,2sinA)⇔sin2A·eq\o(OA,\s\up6(→))＋sin2B·eq\o(OB,\s\up6(→))＋sin2C·eq\o(OC,\s\up6(→))＝；(3)O为△ABC的内心⇔aeq\o(OA,\s\up6(→))＋beq\o(OB,\s\up6(→))＋ceq\o(OC,\s\up6(→))＝0⇔sinA·eq\o(OA,\s\up6(→))＋sinB·eq\o(OB,\s\up6(→))＋sinC·eq\o(OC,\s\up6(→))＝；(4)O为△ABC的垂心⇔eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))⇔tanA·eq\o(OA,\s\up6(→))＋tanB·eq\o(OB,\s\up6(→))＋tanC·eq\o(OC,\s\up6(→))＝；【典例】例1、已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)[(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))＋(1＋2λ)·eq\o(OC,\s\up6(→))]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过()A．△ABC的内心B．△ABC的垂心C．△ABC的重心D．AB边的中点【提示】；【答案】；【解析】【说明】本题考查了向量加法的几何表示与三点共线的向量表示与三角形中平面几何性质的综合；例2、已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC))，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的()A．重心B．垂心C．外心D．内心【提示】；【答案】；【解析】【说明】本题主要考查了如何结合向量的数量积化简题设的“分母”；以及在判别垂心中的应用；例3、已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的例4、在△ABC中，设eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))2＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，那么动点M的轨迹必经过△ABC的()A．垂心B．内心C．外心D．重心【归纳】关于四心的概念及性质：(1)重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点；性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1；②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等；③在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数．即G为△ABC的重心，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3)))；④重心到三角形3个顶点距离的平方和最小；(2)垂心：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点；性质：锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心在直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形外；(3)内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)；性质：①三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r；②，特别地，在Rt△ABC中，∠C=90°，；(4)外心：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)；性质：外心到三角形各顶点的距离相等；【即时练习】1、已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的()A．内心B．外心C．重心D．垂心2、已知O是△ABC所在平面上的一定点，若动点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|AB|sinB)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|AC|sinC)))，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的()A．内心B．外心C．重心D．垂心3、为所在平面内一点，，，为的角，若，则点为的心；4、设的角、、的对边长分别为，，，是所在平面上的一点，，则点是的心；5、下列叙述正确的是①为的重心．②为的垂心．③为的外心．④为的内心．6、点是平面上一定点，、、是平面上的三个顶点，以下正确命题的序号是①动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；②动点满足，则的内心一定在满足条件的点集合中；③动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；④动点满足，则的垂心一定在满足条件的点集合中；⑤动点满足，则的外心一定在满足条件的点集合中．【教师版】微专题：利用向量识别三角形“四心”【三角形“四心”的定义与几何性质】(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1；(2)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3)内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等；(4)外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。【三角形“四心”的向量表达式】三角形“四心”向量形式的充要条件设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则(1)O为△ABC的重心⇔eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝；(2)O为△ABC的外心⇔|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(a,2sinA)⇔sin2A·eq\o(OA,\s\up6(→))＋sin2B·eq\o(OB,\s\up6(→))＋sin2C·eq\o(OC,\s\up6(→))＝；(3)O为△ABC的内心⇔aeq\o(OA,\s\up6(→))＋beq\o(OB,\s\up6(→))＋ceq\o(OC,\s\up6(→))＝0⇔sinA·eq\o(OA,\s\up6(→))＋sinB·eq\o(OB,\s\up6(→))＋sinC·eq\o(OC,\s\up6(→))＝；(4)O为△ABC的垂心⇔eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))⇔tanA·eq\o(OA,\s\up6(→))＋tanB·eq\o(OB,\s\up6(→))＋tanC·eq\o(OC,\s\up6(→))＝；【典例】例1、已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)[(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))＋(1＋2λ)·eq\o(OC,\s\up6(→))]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过()A．△ABC的内心B．△ABC的垂心C．△ABC的重心D．AB边的中点【提示】注意：数形结合理解“(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))”；【答案】C；【解析】取AB的中点D，则2eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，因为，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)[(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))＋(1＋2λ)eq\o(OC,\s\up6(→))]，所以，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)[2(1－λ)eq\o(OD,\s\up6(→))＋(1＋2λ)eq\o(OC,\s\up6(→))]＝eq\f(2(1－λ),3)eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1＋2λ,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，而eq\f(2(1－λ),3)＋eq\f(1＋2λ,3)＝1，则，P，C，D三点共线，所以，点P的轨迹一定经过△ABC的重心；【说明】本题考查了向量加法的几何表示与三点共线的向量表示与三角形中平面几何性质的综合；例2、已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC))，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的()A．重心B．垂心C．外心D．内心【提示】注意：理解“eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC)”的化简；【答案】B；【解析】因为eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC))，所以eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))·λ(eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC))＝λ(－|eq\o(BC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|)＝0，所以eq\o(BC,\s\up6(→))⊥eq\o(AP,\s\up6(→))，所以点P在BC的高线上，即动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心；【说明】本题主要考查了如何结合向量的数量积化简题设的“分母”；以及在判别垂心中的应用；例3、已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的【提示】注意：题设中“eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))”与单位向量的联系及其“几何意义：与菱形的关联”；【答案】内心；【解析】由条件，得eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，而eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)和eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)分别表示平行于eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))的单位向量，故eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)平分∠BAC，即eq\o(AP,\s\up6(→))平分∠BAC，所以点P的轨迹必过△ABC的内心；【说明】本题主要考查的单位向量与菱形几何性质的整合，揭示与三角形“内心”的关联；例4、在△ABC中，设eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))2＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，那么动点M的轨迹必经过△ABC的()A．垂心B．内心C．外心D．重心【提示】注意：题设中“eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))2”的化简；【答案】C。【解析】设BC边中点为D，因为，eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))2＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，所以，(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，即eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，所以，eq\o(MD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，则eq\o(MD,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，即MD⊥BC，则，MD为BC的垂直平分线，所以，动点M的轨迹必经过△ABC的外心，故选C；【说明】本题考查向量数量积的运算律与在判别垂直的综合；【归纳】关于四心的概念及性质：(1)重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点；性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1；②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等；③在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数．即G为△ABC的重心，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3)))；④重心到三角形3个顶点距离的平方和最小；(2)垂心：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点；性质：锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心在直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形外；(3)内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)；性质：①三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r；②，特别地，在Rt△ABC中，∠C=90°，；(4)外心：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)；性质：外心到三角形各顶点的距离相等；【即时练习】1、已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的()A．内心B．外心C．重心D．垂心【答案】C；【解析】2、已知O是△ABC所在平面上的一定点，若动点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|AB|sinB)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|AC|sinC)))，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的()A．内心B．外心C．重心D．垂心【答案】C；【解析】∵|AB|sinB＝|AC|sinC，设它们等于t，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ·eq\f(1,t)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，设BC的中点为D，则eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝