2023人教版新教材高中数学必修第一册同步练习-431 对数的概念

2023人教版新教材高中数学必修第一册

4.3对数

4.3.1对数的概念

4.3.2对数的运算

基础过关练

题组一对数的概念及性质

1.若a2°22=b（a>0且aWl）,贝1）（）

A.logab=2022B.logba=2022

C.Iog2022a=bD.logs022b=a

2.（2021安徽安庆期中）已知log2（a+l）=l,则a的值为（）

A.0B.1C.2D.3

3.使对数logaQ2a+l）有意义的a的取值范围为.

4.（2020天津红桥期末）求值：log2（lg10）=.

2

5.（2020山东济南期末）3叫34_27]=.

题组二对数的运算性质及对数式的恒等变形

6.（2022天津南开中学期中）21og6V^+31og6%=（）

2

A.log6jB.2C.0D.1

7.已知lg2=a,1g3=b,则log36=（）

AQ+bDQ+branb

A.--D.-；-C.—"D.--

aba+ba+b

8.（2022北师大附属实验中学期中）计算:21g5+lg12-lg3=

9.计算：log2V3Xlog32=.

10.计算下列各式:

⑴21nc+igi+3iog32.⑵310g34TgiI.

题组三对数运算的综合应用

11.若a=log23,贝IJ4"+4."的值为（）

5

1037一

-82一

2-36D.9

12.（2021江苏南通如东期中）物理学规定音量大小的单位是分贝（dB）,对于一个

强度为I的声波，其音量的大小n可由如下公式计算：n=i01g；（其中I。是人耳

ZO

能听到的声音的最低声波强度），人类生活在一个充满声音的世界中，人们通过声

音交换信息、交流情感,人正常谈话的音量介于40dB与60dB之间，则60dB声

音的声波强度L是40dB声音的声波强度12的（）

A.|倍B.1。1倍

C.100倍D.1g|倍

13.（2020河北唐山一中期中）已知loga3=m,loga2=n（a>0,且a#1）.

⑴求产的值；

1=22

（2）若0<x<l,x+xa,且m+n=log32+l,求x~x~的值.

能力提升练

题组一对数的概念及运算

1.（2021山东荷泽期末）已知正实数a,b,c满足log3a=log5b=log后c,则（

A.a=bcB.bJ=acC.c2=abD.c=ab

2.(2021安徽芜湖一中月考)已知logax=2,logbx=3,logcx=6,则log(abc)x=(

A.1B.0C.36D.上

36

lnl

3.(2020天津河东期末)求值:2■2上—(|)2+迨J_+(V2)

1厂

-lo*4567

4.(2020广东珠海期末)ifM:52X5g^-log37Xlog79+log126+

log122=.

5.(2021上海长宁期末)若期2=a,10=3,则logI225=.(用a,b表示)

h

6.(2021江苏常州期中)已知a>b>l,若logab+logba=y,a=b",贝!Jab=.

_11

7.(2022河北辛集一中月考)计算：⑴偌7+jog63Xlog34+[(-丁2+7log7l;

2

(2)log25Xlogi4+(lg5)+lg2X(1g5+1).

8.(2020山东青岛二中期末)已知A=(-^=)°+810-25-J(-3)2X81+

B*

log53Xlog325,B=log2(4+2A),求A,B的值.

题组二对数运算的综合应用

9.(多选)(2021江苏徐州一中期中)已知2a=3,b=log32,则(

A.a+b>2B.ab=l

b-ba(b+1)+1

C.3+3=-D.=logq12

92as

&361

10.下列数据最接近一_^的是(1g3^0.477)()

10000bZ

A.10-37B.10-36C.1035D.10"34

11.(2022浙江嘉兴期中)若f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=2x,

则f(log⑼=()

Ai1B.3C.-i1D.6

33

12.(2022江苏南通如东高级中学阶段测试)⑴已知1g2^0.3010,

1g3心0.4771,求lgV45;

(2)甲、乙两人同时解关于x的方程：log3X-blog*3+c=0,甲看错了常数b,得两根为

3及:,乙看错了常数c,得两根为焉及81,求这个方程正确的根.

答案全解全析

基础过关练

1.A若a2°22=b(a>0且aWl),则log：,b=2022,故选A.

2.BVlog2(a+l)=l,，a+l=2,解得a=l,故选B.

3.答案(0,I)

-2a+1>0,

解析由题意知a>0,解得0〈a0

、aW1,

4.答案0

解析log2(lg10)=log2l=0.

5.答案-5

22

解析310g34-27§=4-(33*=4-9=-5.

23

6.D21ogGV2+31og6V3=log6[(V2)X(V3)]=log66=l.D.

7.B.36=蛇段里=级.

lg3lg3b

8.答案2

解析原式=lg分二=lg100=lg10"=2.

9.答案|

解析log2V3Xlog；s2=|xlog23XlogigW*黑

33lg2Ig33

10.解析(1)原式=29+2原+2=4.

(2)原式=3i°g34T+2°=3"g34+3'+1=^+1=-.

33

a-lo3-132logz32log23

11.D因为a=log23,所以4+4Mg2+4°g2=(2)+(2)-

)2-232+32=^)D.

=(2iog23+(2iog23)=故选

12.CVH=101g7,60dB声音的声波强度L=l()6-I0,40dB声音的声波强度

12=10"。，

.•."=12^=102=100故选c.

4

i2io-10

n

13.解析(1)由loga3=m,loga2=n得a=3,a=2,

2n2

因止匕a*三端・a=3X2=12.

H

(2)Vm+n=log32+l,/.loga3+loga2=loga6=log36,即a=3,因此x+x=3.

于是&--)2=6+/)2-4=5,

由(KxG知x-xkO,从而x-xH=-V5,

x2-x2=(x-xH)(x+xH)=-3V5.

能力提升练

1.C设log3a=log5b=log属c=n,则a=3n,b=5n,c=(V15)n,所以

c2=[(V15)n][(V15)2]n=(5X3)n=3nX5n=ab,即c2=ab.故选C.

2.A由题意,得^^—=2,-^—=3,-^—=6,所以logxa=ilogxb=ilogxc=1,因止匕

logxalogxblogxc236

10gx(abc)=：+；+：=1,故x=abc,所以log(abc)x=l,故选A.

236

3.答案-3

解析2叫.厂+lg余(应严=2-2-(|)2+(-2)+(⑨°

1Q

=----2+1=-3.

44

4.答案0

解析V5-log7Xlog732+log12=l-21og7Xlog3+l

v5:i1237

=l-2+l=0.

解题模板对数式恒等变形的常用策略:一看底，底不同时用换底公式化为同底;

二看真数,利用对数的运算性质将真数进行适当变形.解题时还要考虑到对数恒

等式及特殊值的应用.

5.答案

2a+b

解析V10b=3,Alg3=b，又lg2=a,

.•Jo25」g25_21g5_2(l-lg2)_2(l-a)

K"lgl2lg(4x3)21g2+lg32a+b'

6.答案9

xx

解析设x=logab,则b=a,Vb>l,又a>l,/.x>0,Va>b>l,.-.a>b,即

x

b>b,.-.0<x<l,§P0<logab<l,

1：i

又1ogab+logba=logab+:.logabW，...b=E即a=b,

10gab33

Xab=ba,.*.b3b=bb3,.*.b3=3b,Xb>l,.*.b=-\/3,.*.a=3V3,.*.ab=9.

,12］工i

7.解析⑴偌)号牌企3*1弥4+［信)］2+710g72

=(|)"+log23Xlog32+|+|=|+l+1+|=|.

2

(2)log25Xlogi4+(lg5)+lg2X(lg5+1)

5

2

=log25X(-log54)+(lg5)+lg2Xlg5+lg2

=log25X(-21og52)+lg5X(lg5+lg2)+lg2

=-2+lg5Xlg10+lg2=-2+lg5+lg2

=-2+lg10=-2+l=-l.

O252

8.解析A=(-^=)°+81--J(-3)X8l+log53Xlog325

=1+3-3X4+log53X12^=-8+2=-6,

•og53

B

XB=log2(4+2A),.*.2=4-12,

令t=2yt>0),则I?-1-12=0,

解得t=-3(舍去)或t=4,即2"=4,.,.B=2.

故A=-6,B=2.

*

9.ABDV2=3,..a=log23)

Vb=log32,/.ab=log23Xlog32=l,因止匕B正确；

由基本不等式可知a+b>2Vab=2,因此A正确；

3b+3"2+后,因此C错误；

a(b+lt)+lab+a+l=2+al+l_।Og32+Og3V3=1Og32V3=1Og912,因止匕D正确.故选ABD.

2a2a2aa2