易错突围：第十六章 二次根式（解析版）-人教八下期中综合复习

八年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（人教版）第十六章二次根式易错导航二二次根式二次根式有意义易错点1二次根式有意义二次根式的性质理解不透易错点2二次根式的性质理解不透二次根式的运算易错点3二次根式的运算二次根式的规律探究二次根式的分母有理化易错点4二次根式的规律探究二次根式的分母有理化易错点5易错训练【易错点1二次根式有意义】（2021·湖南益阳市·八年级期末）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是()A． B． C．且 D．且【答案】A【点睛】本题综合考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，解答该题时，需要注意分式的分母不为零这一条件．【变式训练】1．（2021·浙江八年级月考）使式子有意义的x的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．【详解】解：由题意得：x+1≥0，解得：x≥-1，故选：B．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．2．（2020·浙江八年级单元测试）在函数中，自变量x的取值范围是（）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【详解】解：在函数中，，解得：x≥-1且x≠2，故选：D．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．3．（2021·北京昌平区·八年级期末）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_________．【答案】【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题关键．4．（2021·安徽九年级其他模拟）分式有意义的x的取值范围是__________．【答案】【分析】根据二次根式及分式有意义的条件可直接进行求解．【详解】解：∵分式有意义，∴，解得：；故答案为．【点睛】本题主要考查二次根式及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式及分式有意义的条件是解题的关键．5．（2020·浙江八年级期中）若成立，则a的取值范围是______________．【答案】＞【分析】根据二次根式有意义的条件，即可得到答案．【详解】∵∴a≥0且＞，∴＞故答案是：＞【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键．6．（2021·浙江）已知是实数，且满足，则的平方根是____________．【答案】【分析】根据二次根式有意义的条件可求得x，然后求得y，最后求平方根即可．【详解】解：∵是实数，且满足，∴并且，解得，此时，∴，其平方根是．故答案为：．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，求一个数的平方根，二次根式的化简，理解二次根式有意义被开方数非负是解题关键．7．（2020·浙江八年级期中）已知x，y都是实数，且，求的平方根．【答案】±4【分析】由可得，进而可得，则有，代入可得，然后问题可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴的平方根为±4．【点睛】本题主要考查平方根及根式的意义，熟练掌握平方根及根式的意义是解题的关键．【易错点2二次根式的性质】（2020·云南玉溪市·八年级期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示．（1）化简：______；______．（2）化简：．【答案】（1），；（2）【分析】（1）根据a的正负，b与1的大小关系以及二次根式的性质求解即可；（2）根据的正负以及二次根式的性质化简并合并同类型即可．【详解】（1）由数轴可知，，，，；（2），，．【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是关键．【变式训练】选择题1．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）化简的结果是（）A． B． C． D．【答案】A【点睛】本题考查了二次根式的性质，属于基础知识，比较简单．2．（2021·台州市书生中学七年级月考）实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（）A．7 B．-7 C． D．无法确定【答案】A【分析】由数轴可得5＜a＜10，然后确定a-4和a-11的正负，最后根据二次根式的性质化简计算即可．【详解】解：由数轴可得5＜a＜10∴a-4＞0，a-11＜0∴=a-4-（a-11）=7．故选A．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，掌握并灵活应用是解答本题的关键．3．（2021·辽宁朝阳市·八年级期末）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简＋|a＋b|的结果为（）A．2a＋b B．﹣2a﹣b C．b D．2a﹣b【答案】B【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答此题的关键．二、填空题4．（2021·湖北武汉市·九年级二模）计算__________．【答案】5【分析】直接运用二次根式的性质解答即可．【详解】解：5．故填5．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，掌握成为解答本题的关键．5．（2019·海口市金盘实验学校九年级期中）当2＜a＜3时，化简：＝______．【答案】2a－5【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确利用a的取值范围化简是解题关键．6．（2021·武冈市第二中学八年级月考）对于任意不相等的两个实数x，y，定义一种运算“☆”：x☆y＝，根据这一规则，那么8☆（3☆10）＝_______．【答案】【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．【详解】解：根据题中的新定义得：3☆10＝，则8☆（3☆10）＝8☆6＝故答案为：．【点睛】此题考查了二次根式的性质，弄清题中的新定义是解本题的关键．三、解答题7．（2021·四川成都市·石室初中八年级月考）实数a、b、c如图所示，化简（）2+﹣．【答案】b【分析】直接利用数轴得出各式的符号，进而化简得出答案．【详解】解：由数轴可得：a＜﹣1，﹣1＜c＜0，1＜b，﹣a+b＞0，c﹣b＜0，b﹣c﹣a＞0，故原式．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简各式是解题关键．8．（2021·江苏南通市·八年级期末）（1）判断下列各式是否成立？并选择其中一个说明理由；；；．（2）用字母表示（1）中式子的规律，并给出证明．【答案】（1）成立，理由见解析；（2），理由见解析【分析】（1）通过二次根式的性质与化简即可判断；（2）类比上述式子，即可写出几个同类型的式子，然后根据已知的几个式子即可用含n的式子将规律表示出来，再证明即可求解．【详解】（1）成立，；（2）∵，，，，，规律：，证明：．【点睛】本题主要考查了列代数式，二次根式的性质与化简，正确得出数字之间变化规律是解题关键．9．（2019·上海市北海中学七年级月考）先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使，，使得，，那么便有：例如：化简解：首先把化为，这里，，由于，即，∴（1）填空：=，=；（2）化简：．【答案】（1），；（2）【分析】（1）（2）由条件对式子进行变形，利用完全平方公式对＝|a|

的形式化简后即可得出结论．【详解】解：（1）==；==；故答案为：，；（2）原式====【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方根式的运用及二次根式性质的运用．10．（2021·浙江九年级专题练习）阅读下面的文字再回答问题甲、乙两人对题目：“化简并求值：，其中a＝”有不同的解答．甲的解答是：；乙的解答是（1）填空：的解答是错误的；（2）解答错误的原因是未能正确运用二次根式的性质？请用含字母a的式子表示这个性质（3）请你正确运用上述性质解决问题：当3＜x＜5时，化简【答案】（1）乙；（2）当a＜0时，；（3）x+2．【分析】根据已知材料，读懂材料，然后根据二次根式的性质解答．【详解】解：（1）乙的做法错误．当a＝时，，∴，故乙的做法错误．故答案为：乙．（2）当a＜0时，；（3）∵3＜x＜5，∴x﹣7＜0，2x﹣5＞0．＝＝7﹣x+2x﹣5＝x+2．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解答此题关键．11．（2021·重庆市永川萱花中学校七年级月考）（1）通过计算下列各式的值探究问题：①______；______；_____．探究：对于任意非负有理数，______．②______；______；______．探究：对于任意负有理数，______．综上，对于任意有理数，______．（2）应用（1）所得的结论解决问题：有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：．【答案】（1）①16，0，，；②5，1，2，，；（2）．【分析】（1）①分别计算各式的值，并归纳出探究结果；②分别计算各式的值，归纳出探究结果，并总结出；(2)先利用（1）式的探究结果化简二次根式，再根据字母a、b在数轴上的位置及绝对值的意义进行化简，合并后即可得出结果．【详解】解：①；；．探究：对于任意非负有理数，．故答案为：，，，；②；；．探究：对于任意负有理数，．综上，对于任意有理数，．故答案为：，，，，；（2）观察数轴可知：，，，．原式．【点睛】此题主要考查了算术平方根的计算以及二次根式的化简，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键，此题重点培养学生的归纳应用能力．【易错点3二次根式的运算】（2020·辽宁锦州市·八年级期中）计算：（1）（2）（3）（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）运用二次根式运算法则运算即可；（2）运用二次根式运算法则运算即可；（3）运用二次根式运算法则运算即可；（4）先用完全平方公式和平方差公式是，然后运用二次根式运算法则运算即可．【详解】解：（1）原式==；（2）原式===；（3）原式==；（4）原式===【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．【变式训练】一、选择题1．（2021·阜南县文勤学校八年级月考）计算的结果是（）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】先算乘法，再算减法．【详解】解：===故选C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．2．（2021·沙坪坝区·重庆八中九年级月考）下列计算不正确的是（）A．3﹣＝2 B．＋＝3C．（1﹣）2＝3﹣2 D．×＝【答案】B【分析】利用二次根式的加减运算法则、完全平方公式及二次根式的乘法法则逐项排查即可．【详解】解：A．3﹣=2，此该选项正确；B．＋=3＋=4，此选项错误；C．（1﹣）2=3-2，此选项正确；D．×=，此选项正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了二次根式的加减运算法则、完全平方公式及二次根式的乘法法则等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键．3．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图所示，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，则以点A为圆心，AB为半径的圆交数轴于点C，则点C表示的数是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据数轴上两点间的距离等于右边的数减去左边的数求出圆的半径，再根据A、C间的距离等于圆的半径列式计算即可得解．【详解】解：∵表示1、的对应点分别为A、B，∴圆的半径为，∵以AB为半径的圆交数轴于点C，∴点C表示的数是1-（）=，故选：C．【点睛】本题考查了实数与数轴，利用两点间的距离等于右边的数减去左边的数列式求出圆的半径是解题的关键．4．（2021·广东广州市·九年级一模）已知a=，b=，则a2+b2的值为（）A．8 B．1 C．6 D．【答案】C【分析】根据二次根式的运算法则和完全平方公式计算即可．【详解】解：a=，b=，a2=，b2=，a2+b2=；故选：C．【点睛】本题考查了求代数式的值和二次根式运算，解题关键是熟练运用完全平方公式进行计算．5．（2019·上海民办桃李园实验学校八年级月考）下列各组根式中，不是同类二次根式的是（）A．和B．和C．和D．和【答案】C【分析】根据题意，将它们化成最简二次根式比较被开方数是否相同，【详解】A．和被开方数都是3，故A不符合题意；B.和被开方数都是2，故B不符合题意；C.和被开方数不同，故C符合题意；D.和被开方数都是5，故D不符合题意；故选C．【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．二、填空题6．（2021·全国八年级期中）计算的结果是__________．【答案】【分析】先化简二次根式，再进行合并即可得出结论．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的加减运算的步骤及方法是解题的关键．7．（2021·山东青岛市·九年级一模）计算的结果等于______．【答案】4【分析】直接利用平方差公式计算即可得出结果．【详解】解：．故答案为：4【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．还考查了平方差公式．8．（2021·全国八年级单元测试）已知，，则的值是______．【答案】．【分析】先对a、b分母有理化，然后将因式分解，最后将a、b的值代入计算即可．【详解】解：∵，，∴．故填：．【点睛】本题主要考查了分母有理化以及因式分解的应用，正确的对a、b因式分解是解答本题的关键．9．（2020·浙江七年级期末）如果的整数部分为a．小数部分为b，求_________．【答案】-10【分析】根据得出a与b，再代入所求式子计算即可．【详解】解：∵，的整数部分为a，小数部分为b，∴a=5，b=，∴b-a-=-5-5-=-10，故答案为：-10．【点睛】本题主要考查估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法．10．（2021·四川成都市·西川中学南区八年级期中）对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b＝，例如3◆2，因为3＞2，所以3◆2＝＝，若x，y满足方程组，则（x◆y）◆x＝__．【答案】【分析】先求方程组的解，再求出x◆y的值，再代入求出答案即可．【详解】解：∵解方程组得：，则x＞y∴x◆y＝4◆（﹣1）＝＝，∵<4，∴（x◆y）◆x＝◆4＝×4＝4，故答案为：4．【点睛】本题考查了二元一次方程组，实数的运算，解二元一次方程组等知识点，能求出x、y的值是解此题的关键．三、解答题11．（2020·浙江八年级月考）计算：（1）（2）．【答案】（1）4；（2）【分析】（1）分别化简各项，再作加减法；（2）先算乘除，去绝对值，再作加减法．【详解】解：（1）==4；（2）==【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．12．（2021·浙江八年级月考）计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先算开方，去绝对值，再作加减法；（2）利用平方差公式和完全平方公式展开，再作加减法．【详解】解：（1）==；（2）==【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．13．（2021·福建厦门市·厦门双十中学八年级月考）（1）（2）【答案】（1）；（2）4【分析】（1）根据平方差公式展开，再根据二次根式性质计算即可；（2）利用乘法分配律展开计算即可；【详解】原式；原式；【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，结合平方差公式计算是解题的关键．14．（2021·浙江）计算：（1）（2）【答案】（1）；（2）．【分析】（1）分别对二次根式进行化简，再合并同类二次根式即可；（2）分别化简二次根式和计算乘方，再计算减法即可．【详解】解：（1）原式===；（2）原式====．【点睛】本题考查二次根式的加减混合运算．二次根式的加减就是合并同类二次根式，在加减之前应该先对二次根式进行化简．15．（2021·重庆市綦江中学八年级月考）计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先去括号，然后再进行二次根式的混合运算即可；（2）根据二次根式的加减法则及负指数幂可进行求解．【详解】解：（1）原式=；（2）原式=．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键．（2021·山西晋中市·八年级期末）计算：（1）（2）【答案】（1）7-4；（2）1．【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式解答即可；（2）利用二次根式除法法则，解答即可．【详解】解：（1）=8-4+1+（2-4）=8-4+1-2=7-4；（2）=2-3+2=1．【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型.，解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式等考点的运算．17．（2021·山西晋中市·八年级期末）计算：（1）（）（）+（）2．（2）﹣（+）×．【答案】（1）7；（2）【分析】（1）由平方差公式、乘方的运算法则进行计算，即可得到答案；（2）由二次根式的性质，二次根式的混合运算进行计算，即可得到答案．【详解】解：（1）21+6=7．（2）原式＝3﹣6﹣＝；【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除混合运算，平方差公式，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题．18．（2020·浙江八年级期中）计算：（1）（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）先算二次根式的乘法，再算减法，即可求解；（2）根据完全平方公式和平方差公式即可求解．【详解】（1）原式===；（2）原式==．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的四则混合运算法则以及乘法公式，是解题的关键．19．（2021·重庆市永川萱花中学校八年级月考）计算（1）(＋)－(－)（2）（3）（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；

（2）利用二次根式的乘法法则、除法法则计算；

（3）先分母有理化，然后利用二次根式运算法则计算即可；（4）利平方差公式和完全平方公式计算即可．【详解】解：（1）原式==；（2）原式==；（3）原式===；（4）原式===【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20．（2018·辽宁本溪市·八年级期末）观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：例1：例2：，，…（1）=；（2）请你用含n(n为正整数)的关系式表示上述各式子的变形规律；（3）利用上面的规律，求下面式子的值：【答案】（1）；（2）；（3）-1【分析】（1）利用分母有理化求解；

（2）按照所给等式的变化规律写出第n个等式即可；

（3）先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算．【详解】解：（1）==.故答案为：（2）.（3）==-1【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功．【易错点4二次根式的分母有理化】（2020·广东佛山市·平洲一中八年级月考）阅读下列运算过程，并完成各小题：；．数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分母有理化，如：；模仿上例完成下列各小题：（1）______；（2）_______（3）请根据你得到的规律计算下题：（为正整数）．【答案】（1）；（2）；（3）．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．【变式训练】1．（2021·全国八年级）已知a＝，b＝．（1）求a2﹣b2的值；（2）求a2﹣ab+b2．【答案】解：（1）∵a＝，b＝，∴a+b＝2，a﹣b＝2，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×2＝；（2））∵a＝，b＝，∴a﹣b＝2，ab＝1，∴a2﹣ab+b2＝（a﹣b）2+ab＝（2）2+1＝8+1＝9．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．2．（2020·忠县乌杨初级中学校八年级月考）阅读下面的问题：；；试求：(1)；(2)【答案】（1）原式===；（2）原式===【点睛】本题考查了分母有理化，二次根式的乘除，平方差公式，关键是掌握平方差运算法则．3．（2020·重庆涪陵区·八年级期末）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，团结一致、优势互补、取长补短、威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（+3）（﹣3）＝﹣4，像（+3）和（﹣3）这样的两个二次根式，它们的积不含根号，我们就称这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．再如（）与（）也互为有理化因式．于是，下面二次根式除法可以这样运算：＝＝7+4．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去的过程叫分母有理化．解决问题：（1）2+3的一个有理化因式是，分母有理化结果是；（2）计算：+．【答案】解：（1）由题意可知：，．（2）原式＝，＝，＝1．故答案为：（1）2﹣3，3+．【点睛】本题主要考查了二次根式的知识点，二次根式的运算是解题的关键．4．（2020·四川省宜宾市第二中学校九年级月考）阅读下列简化过程：；；；……解答下列问题：（1）请用n（n为正整数）表示化简过程规律________；（2）计算；（3）设，，，比较a，b，c的大小关系．【答案】（1）．（2）．（3），，，，，又，，．【得解】此题考查代数式计算规律探究，分母有理化计算，根据例题掌握计算的规律并解决问题是解题的关键．5．（2020·山东济南市·八年级期中）[阅读材料]把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母同时乘以同一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的．例如：化简．解：＝＝﹣．[理解应用]（1）化简：；（2）若a是的小数部分，化简；（3）化简：++…+．【答案】（1）＝＝＝﹣；（2）∵a是的小数部分，∴a＝﹣1，∴＝＝＝3+3；（3）++…+＝++…+＝＝＝．【点睛】本题考查二次根式的化简，无理数的估算，以及数字的变化规律等知识，掌握分母有理化的方法是解决问题的关键．6．（2020·河南洛阳市·九年级月考）阅读下面的材料，并解决问题．﹣1；；…（1）观察上式并填空：＝．（2）观察上述规律并猜想：当n是正整数时，．（用含n的式子表示，不用说明理由）（3）请利用（2）的结论计算：①＝；②．【答案】（1）＝＝2﹣；（2）＝＝﹣；（3）①（+）×（+1）＝（+…+）（+1）＝（﹣1++…+﹣2）（+1）＝（﹣1）（）＝4；②（+…）×（+1）＝（﹣1++…+）×（+1）＝（﹣1）×（+1）＝2020，【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的性质是解题关键．7．（2021·全国八年级）阅读下列解题过程：＝＝；＝＝；＝＝＝2﹣；…则：（1）＝；＝；（2）观察上面的解题过程，请直接写出式子＝；（3）利用上面的规律：比较﹣与﹣的大小．【答案】解：（1）；；（2）由题意可知：．（3）由于，，∵，∴，∴，∴．故答案为：（1），．（2）．【点睛】本题考查了分母有理化、平方差公式、二次根式的混合运算、实数大小比较，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算．8．（2021·全国八年级）把二次根式的分母中的根号去掉，叫做二次根式的分母有理化．例如：．（1）请仿照例题将分母有理化；（2）直接写出________．（3）化简……________（写出解答过程）．【答案】解：．．答案为：．，，，，．答案为：．【点睛】本题考查二次根式化简问题，掌握有理化因式的确定方法：单项二次根式：利用来确定；利用平方差公式确定：如，则互为有理化因式．会利用有理化因式进行化简计算是解题关键．9．（2021·全国八年级）观察下列运算过程：，．（1）请运用上面的运算方法计算：；（2）利用上面的规律，比较与的大小．【答案】解：；，．∵，∴，即．【点睛】此题考查了分母有理化，二次根式有理化主要是利用了平方差公式，有理化因式是符合平方差公式的特点的式子，即一项符号和绝对值相等，另一项符号相反绝对值相等．10．（2021·全国八年级）先阅读，后解答：，像上述解题过程中，与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．（1）的有理化因式是________；的有理化因式是________．（2）将下列式子进行分母有理化：①________；②________．（3）计算：．【答案】（1）∵，，∴的一个有理化因式是；的一个有理化因式是，故答案为：．（2）①，②．故答案为：①；②．（3）原式【点睛】本题主要考查了分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．11．（2020·重庆市第一一〇中学校八年级期中）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：化简：，则，，（1）请直接写出下列式子的值：；．（2）请利用材料给出的结论，计算：的值；（3）请利用材料提供的方法，计算的值．【答案】解：（1）（2）原式=（3）原式===【点睛】本题考查了分母有理化和平方差公式的运用，找规律是解决此题的关键，注意有理化因式的确定．12．（2021·湖北十堰市·八年级期末）（1）观察探究：①；②；③．（2）尝试练习：（仿照上面化简过程，写出①的化简过程，直接写出②化简结果）①，②；（3）拓展应用：①化简：；②计算的值．【答案】（2）①；②；（3）①；②原式=．【点睛】本题主要考查了与实数有关规律题型，准确分析计算是解题的关键．【易错点5二次根式的规律探究】观察下列各式：①＝2；②＝3；③＝4．（1）根据你发现的规律填空：④＝；⑤＝（2）请你将发现的规律用含自然数n（n≥2，n为自然数）的等式表示出来并证明你的猜想．【答案】（1）④5；⑤，6；（2）＝n（n≥2，n为自然数）【分析】（1）根据已知3个等式的规律解答即可；（2）先将被开方数通分，再根据二次根式的性质化