2023北京丰台高三（上）期末数学试卷含答案

2023北京丰台高三(上)期末

数学

2023.01

1.答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认

考真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。

生2.本次练习所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项

须涂黑，如需改动,用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，

知要求字体工整、字迹清楚。

3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在练习卷、草稿纸

上答题无效。

4.本练习卷满分共150分，作答时长120分钟。

第一部分(选择题40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.己知全集。=11,集合A={x[—l<x40},则Q,A=

(A)(-oo,-l)U(0,+oo)(B)U(0,+oo)

(C)(-<x>,-l)UrO,+oo)(D)(-oo,-HU[0,+oo)

2.已知复数2=堪+»,则在复平面内，复数]对应的点位于

(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限

3.在(x-4)4的展开式中，常数项为

x

(A)-24(B)24(C)-48(D)48

4.已知向量。=(2,2)，』=(/M),则“2=0”是“a〃b”的

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

5.下列函数是偶函数，且在区间(0,1)上单调递增的是

(A)y=1-x2(B)y=tanx(C)y=xcosx(D)y=e'+e~x

6.已知抛物线。:丁=2〃氏5〉0)过点4(1,a),焦点为F.若点5(租,0)满足|A日=怛%则加的值为

(A)2(B)x/2+1(C)2或一1(D)拉+1或1一0

7.已知函数/(x)=31og2X—2(x—1),则不等式/(x)〉0的解集是

(A)(1,4)(B)y,l)U(4,”)

(C)(0,l)U(4,e)(D)(0,4)

X2y2

8.设双曲线C:三-二=1(。〉0力＞0)的右焦点为八过点尸的直线/平行于双曲线C的一条渐近线，与

ab~

另一条渐近线交于点P,与双曲线。交于点。若。为线段尸产的中点，则双曲线。的离心率为

(A)-(B)—(C)V2

22

9.如图，在四棱锥中，底面A8CC是边长为3的

正方形，PZR平面ABCQ,点M为底面上的动点，M到

PD的距离记为d,若MC=2d,则点M在底面正方形内

的轨迹的长度为

(A)2(B)—

3

(C)x/5(D)—

4

10.市场占有率指在一定时期内，企业所生产的产品在其市场的销售量(或销售额)占同类产品销售量(或

销售额)的比重.一般来说，市场占有率会随着市场的顾客流动而发生变化，如果市场的顾客流动趋向

长期稳定，那么经过一段时期以后的市场占有率将会出现稳定的平衡状态(即顾客的流动，不会影响市

场占有率)，此时的市场占有率称为“稳定市场占有率”.有4,B,C三个企业都生产某产品，2022年

第一季度它们的市场占有率分别为：40%,30%,30%.经调查，2022年第二季度A,B,C三个企业之

间的市场占有率转移情况如下图所示：

10%

若该产品以后每个季度的市场占有率转移情况均与2022年第二季度相同，则当市场出现稳定的平

衡状态，最终达到“稳定市场占有率”时，A企业该产品的“稳定市场占有率”为

(A)45%(B)48%(C)50%(D)52%

第二部分(非选择题110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11.函数/0)=+jn斤的定义域是.

12.在等差数列{4}中，公差d不为0,4=9,且q,%，生成等比数歹U，则d=；当n=

时，数列{〃“}的前〃项和Sn有最大值.

13.已知集合A={(x,y)|x-y-〃z=0,x,yER},3={(x,y)|f+y?_2x+2y=O,x,ywR},若AplB为2

个元素组成的集合，则实数机的取值范围是.

14.已知函数/•")=sin((yx+工)(<y>0),若/(马=/(二)，且/(x)在区间(二,马上有最小值无最大值，则

66262

/=.

15.已知函数/(x)=alnx-(x-l)2(a£R)存在两个极值点石,工2(百</)，给出下列四个结论：

①函数/(X)有零点；②。的取值范围是(一L+oo);

③々>1；®/(x2)>0.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16.(本小题13分)

如图，已知正方体ABCD-A4Gq中，点E是棱8c的中点.

(I)求证：〃平面£>C|E；

(II)若点尸是线段8R的中点，求直线OF与平面OGE所

成角的正弦值.

17.(本小题14分)

在△43C中，2asinB=6b.

(I)求A；

(H)若。=2及，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得AABC存在且唯一确定，求△ABC的

面积.

条件①：8$。=一』过；

10

条件②：a=2；

条件③：sinB=心~.

5

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.(本小题14分)

非物质文化遗产(简称“非遗”)是优秀传统文化的重要组成部分，是一个国家和民族历史文化成就的

重要标志.随着短视频这一新兴媒介形态的兴起，非遗传播获得广阔的平台，非遗文化迎来了发展的春天.为

研究非遗短视频受众的年龄结构，现从各短视频平台随机调查了1000名非遗短视频粉丝，记录他们的年龄，

将数据分成6组：[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70],并整理得到如下频率分布直

方图：

(I)求a的值；

(H)从所有非遗短视频粉丝中随机抽取2人，记取出的2人中年龄不超过40岁的人数为X,用频率估计

概率，求X的分布列及数学期望E(X)；

(111)在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组粉丝年龄的平均数，估计非遗短视

频粉丝年龄的平均数为“若中位数的估计值为"，写出相与〃的大小关系.(结论不要求证明)

19.(本小题15分)

已知椭圆E:「■+/=1(。＞。＞0)过点A(-2,0)，离心率为等.

(I)求椭圆E的方程；

(II)设点P(2,〃z)(加＞0),直线出与椭圆E的另一个交点为C,。为坐标原点，3为椭圆E的右顶点.

记直线O尸的斜率为勺，直线BC的斜率为％2,求证：为定值.

20.(本小题15分)

已知函数/(x)=lnx+sinx.

(I)求曲线y=f(x)在点(1J⑴)处的切线方程;

(II)求函数/(x)在区间[1同上的最小值；

(III)证明函数/(x)只有一个零点.

21.（本小题14分）

设♦为正实数,若各项均为正数的数列｛勺｝满足:VneN*,都有。向之4+九.则称数列｛““｝为PQ）

数列.

（I）判断以下两个数列是否为P（2）数列：

数列A：3,5,8,13,21；

数列B：log?5,兀，5,10.

（II）若数列｛2｝满足4>0且〃川=b„+而5-^A不，是否存在正实数2,使得数列｛a｝是PQ）数列？

若存在，求4的取值范围；若不存在，说明理由.

（III）若各项均为整数的数列｛4｝是P⑴数列,且｛〃“｝的前胴（〃栏2）项和弓+生+%+…+4为150,求

am+m的最小值及取得最小值时am的所有可能取值.

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.

题号12345678910

答案BCBADCACBC

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.1-1,0)U(0,4w)12.-2：513.(0,4)

14.415.①④

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.(本小题13分)

(I)证明：连接C",交。G于点

依题意知，四边形为正方形，所以“是

线段的中点，

连接石因为E为棱5c的中点，

所以

因为EMu平面£>GE，B.Z平面。GE，

所以平面£>GE.5分

(II)解：设正方体ABCD-A8cA的棱长为1,

以。为坐标原点，DA,DC,DDt所在的直线分别为

x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，

则0(0,0,0),8(1,1,0),0,(0,0,1),C,(0,1,1),

C(0,L0)，

因为点尸是线段的中点，E为棱5c的中

点,

所以尸(万,万,万)，E(—,i,o)>

所以而=(g,g,；),DC'=(0,1,1),DE=(l,l,0).

设〃=(x,y,z)是平面£)GE的一个法向量，则

u-DC[=y+z=0,

,—►1八

w-D£=—x+y=0.

取y=l,则x=-2,z=—l.

于是〃=(1,一2,-1)是平面DQE的一个法向量.

设直线。尸与平面。GE所成角为。，

1

-1--

22>/2

所以sin0=|cos<DF,“>|==

j~3

,娓

2

所以直线DF与平面DCF所成角的正弦值为当

13分

17.（本小题14分）

b

解：（I）在AABC中，由正弦定理，得。sinB=bsinA,

sinAsinB

因为2asin8=V2Z?

所以2bsinA=W,

因为AwO,

所以sinA=遮,

2

因为0＜4＜兀，

所以A=四或A=包；7分

44

（ID若选择①,

在△ABC中，0＜。＜兀，

因为…一噜,所以si©曙

又因为A=至，A+B+C=it

4

兀71

所以sinB=sin(A+C)=sin—cosC+cos—sinC

44

也号（3啊二6

2①丽

在△ABC中，由正弦定理可得。=”必—1—=6

sinB

5

所以SAW=，0csinA='仓也&6?—6.14分

ZA/IOI.222

若选择②,

在aABC中，因为‘一二—纹，所以sinB=M4

sinAsinBa

因为。=2,b-2\[2，sinA=,

2

所以20x—■

所以sinB=------2_=1

2

因为Bw(O,兀)，所以8二个，

2

所以/J?=a?+c?,所以/=4,

所以c=2,

所以S—8C=，8csinA=,仓也贬2?2.

△ABC222

18.(本小题14分)

解：(I)由题意10(0.004+0.012+0.014+a+0.024+0.028)=l

所以a=0.018；............3分

(II)记“一位非遗短视频粉丝的年龄不超过40岁”为事件A,

P(A)=10(0.004+0.012+0.014)=0.3,

所以估计一位非遗短视频粉丝的年龄不超过40岁的概率为03

X可能取值为0,1,2.

,2

P(X=0)=C*0.7=0.49;

P(X=1)=《0.3x0.7=0.42；

P(X=2)=C；0.32=0.09.

所以X的分布列为

X012

p0.490.420.09

E(X)=0x0.49+1x0.42+2x0.09=0.6...........11分

(或因为乂~5(2,0.3),所以E(X)=2x0.3=0.6)

(Hl)m<n.............]4分

19.(本小题15分)

a=2、

解：(I)由题意得£=迎，

a2

CT=b2+c2,

解得〃=4,b2=2.

22

所以椭圆E的方程是工+二=1.

5分

42

(H)因为A(-2,0),P(2,m),所以直线AP的方程为y='(x+2)(加＞0).

4

m/八、

y=——(x+2)

4得(m2+8)x2+4m2x+4m2-32=0,

x2+2y2=4

即(1x+2)[(m2+8)x+(2m2-16)]=0.

2

9>n_1A

因为点A的横坐标为-2,所以点C的横坐标为一=-2一

"+8

216

代入直线AP的方程可得点C的纵坐标为y=-(_%-+2)=犁一

4M+8"+8

即。(-驾潸福-

又点B的坐标为(2,0),

8m

所以N=—或隹一=—2,

2m~-16m

又因为匕=‘，所以匕.幺=里.(_2)=_1.

22m

即《•修为定值............15分

20.(本小题15分)

解：(I)由题意得，fr(x)=—4-COSX,所以/'⑴=1+COS1,

X

又/(l)=sinl,

所以曲线y=f(x)在点(!,/(1))处的切线方程为y-sinl=(14-cosl)(x-l),

即y=(14-cosl)x+sinl-cosl-l；............4分

(II)因为/'(%)=—+cosX,

x

因为y='和y=cosx均在区间因为［l,e］上单调递减，

x

所以/'(X)在区间［l,e］上单调递减，

因为/,(l)=l+cosl>0,f'(e)=-+cose<-+cos—=--—<0>

ee3e2

所以/"(幻=0在(l,e)上有且只有一个零点，记为％,

所以xe［l,不)时，((x)>0；X€(/工］时，―")<0,

所以/(x)在区间工/)上单调递增，在区间(x0,e］上单调递减.

因为/(I)=sin1,/(e)=1+sine,所以/(x)在区间［l,e］上的最小值为sin1.

......................10分

(III)函数/(x)的定义域为｛x|x>0｝,

由(II)知，/(x)在区间［l,e］上的最小值sinl>0,

又当xe(e,+oo)时，f(x)>Ine+sinx=1+sinx>0»

所以/(x)在区间［1,+oo)上没有零点；

当xe(0,l)时，/,(x)=-+cosx>0,所以/(x)在区间(0,1)上单调递增，

X

因为/(I)=-l+sin-<(),/(l)=sin1>0,

ee

所以.(x)在区间(0,1)上仅存在一个零点；

综上所述，函数/(x)有且仅有一个零点.............15分

21.(本小题14分)

解：(I)数列A是P(2)数列，

数列3不是P(2)数列.............3分

(II)不存在正实数2,使得数列｛6“｝是尸(外数列.

说明理由如下：假设存在正实数;L