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1机械振动理论基础24.4.1固有频率、主振型。

任意两自由度系统，其无阻尼振动的微分方程组，写成矩阵形式为:给出初始条件,系统将做自由振动，如何求其振动规律呢？

类似于单自由度系统，求微分方程组的解。以下面的例子来说明：一绷紧的钢丝，其上有两个小球，结构如图示。[设k已知]4.4无阻尼二自由度的自由振动31）寻找同步特解A式为齐次常系数线性微分方程，位移和必有形式相同的解，类似于单自由度，可设：两个质量按同样的频率和相位角作简谐振动。[同步解]

代入上式[A式]得：4这是关于和的线性齐次代数方程组。显然是它的解——

是对应系统处于静平衡的情况，不是我们需要的；由于对任意瞬时，上式均应满足，即则有：5根据线性代数可知，具有非零解的条件是：上式的系数行列式必须等于零。即：展开后：此式称之为频率方程或特征方程。6从下一求根表达式看：根号内数值大于零，

——

式有两个实根；[因为根式为实数]从上一求根表达式看：根式值小于–b项

——

所以频率方程有两个正实根，

2）求频率

为系统的固有频率，它们取决于系统本身的物理性质。一般地称之为——

一阶固有频率[基频]，二阶固有频率。[可证：大于零，][据一元二次方程求根公式：]7该方程组是振幅的齐次微分方程组，故只能求出其比值，这个比值称为振幅比,以和表示：[的下标、的上标、表示对应第阶固有频率。]将特征值和代入前面的式中：3）振型下面分析同步解的振幅。8总结：虽然振动的大小与振动的初始条件有关，但当系统按任一固有频率作同步振动时，振幅比和固有频率一样取决于系统本身的物理性质。振幅比决定了系统振动形态——称之为主振型。9

到此，我们找到了弦——质量系统的同步特解：第一主振动或：第二主振动或：10设两球的质量相等，即由结构的对称性可知：刚度带入固有频率式、振型公式，计算出振幅比：对应的振幅比称为第一阶主振型；对应的振幅比称为第二阶主振型。11式中的任意常数和由初始条件决定。4）通解上面讲述的两种主振动是微分方程的两组特解，将它们线性叠加，即得通解：12一般情况下：（1）系统的自由振动是两种不同频率主振动的叠加，其合成结果不一定是简谐振动，若两频率可通约[成倍数关系]，运动才是周期的。（2）[在特殊情况下]，若初始条件给的合适，系统可按某一固有频率和相应主振型作主振动。（3）强迫振动中发生共振现象时，振型恰是对应该频率的主振型。

（4）系统的固有频率和主振型求解问题，称为特征值问题。重要基本概念：13特征值问题求解步骤归纳如下：

1、写出系统的惯性矩阵和刚度矩阵，求得振幅的系数矩阵；

2、由特征值行列式等于零的条件求得

3、将

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