高三一轮总复习理科数学课时跟踪检测65合情推理与演绎推理

[课时跟踪检测][基础达标]1．(2017届洛阳统考)下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析：A项中小前提不正确，选项C、D都不是由一般性结论到特殊性结论的推理，所以选项A、C、D都不正确，只有B项的推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确．答案：B2．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是()A．设数列{an}的前n项和为Sn.由an＝2n－1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推断：Sn＝n2B．由f(x)＝xcosx满足f(－x)＝－f(x)对∀x∈R都成立，推断：f(x)＝xcosx为奇函数C．由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，推断：椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的面积S＝πabD．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n∈N*，(n＋1)2>2n解析：选项A由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{an}是等差数列，其前n项和等于Sn＝eq\f(n1＋2n－1,2)＝n2，选项D中的推理属于归纳推理，但结论不正确．答案：A3．已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A．an＝3n－1 B．an＝4n－3C．an＝n2 D．an＝3n－1解析：a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.答案：C4．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“eq\f(ac,bc)＝eq\f(a,b)”类比得到“eq\f(a·c,b·c)＝eq\f(a,b)”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是()A．1 B．2C．3 D．4答案：B5．(2018届济宁模拟)对于数25，规定第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，如此反复操作，则第2016次操作后得到的数是()A．25 B．250C．55 D．133解析：由题意知，第3次操作为53＋53＝250，第4次操作为23＋53＋03＝133，第5次操作为13＋33＋33＝55，….因此每次操作后的得数呈周期排列，且周期为3，又2016＝672×3，故第2016次操作后得到的数是250.答案：B6．给出以下数对序列：(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)…记第i行的第j个数对为aij，如a43＝(3,2)，则anm＝()A．(m，n－m＋1) B．(m－1，n－m)C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m)解析：由前4行的特点，归纳可得，若anm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴anm＝(m，n－m＋1)．答案：A7．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照图中的规律，第n个“金鱼”需要火柴棒的根数为________．解析：由题意知，第1个图中有8根火柴棒，笫2个图中有8＋6根火柴棒，第3个图中有8＋2×6根火柴棒，…，依此类推，第n个“金鱼”需要火柴棒的根数为8＋6(n－1)＝6n＋2.答案：6n＋28．(2017届云南名校联考)观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n个等式为________．解析：由第一个等式13＝12，得13＝(1＋0)2；第二个等式13＋23＝32，得13＋23＝(1＋2)2；第三个等式13＋23＋33＝62，得13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；第四个等式13＋23＋33＋43＝102，得13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可猜想第n个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)))2.答案：13＋23＋33＋43＋…＋n3＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)))29．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有eq\f(fx1＋fx2＋…＋fxn,n)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n))).若y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．解析：由题意知，凸函数满足eq\f(fx1＋fx2＋…＋fxn,n)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n)))，又y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则sinA＋sinB＋sinC≤3sineq\f(A＋B＋C,3)＝3sineq\f(π,3)＝eq\f(3\r(3),2).答案：eq\f(3\r(3),2)10．设n为正整数，f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)，计算得f(2)＝eq\f(3,2)，f(4)>2，f(8)>eq\f(5,2)，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．解析：∵f(21)＝eq\f(3,2)，f(22)>2＝eq\f(4,2)，f(23)>eq\f(5,2)，f(24)>eq\f(6,2)，∴归纳得f(2n)≥eq\f(n＋2,2).答案：f(2n)≥eq\f(n＋2,2)11．已知O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长分别交对边于A′，B′，C′，则eq\f(OA′,AA′)＋eq\f(OB′,BB′)＋eq\f(OC′,CC′)＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”：eq\f(OA′,AA′)＋eq\f(OB′,BB′)＋eq\f(OC′,CC′)＝eq\f(S△OBC,S△ABC)＋eq\f(S△OCA,S△ABC)＋eq\f(S△OAB,S△ABC)＝eq\f(S△ABC,S△ABC)＝1.请运用类比思想，对于空间中的四面体A－BCD，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．解：在四面体A－BCD中，任取一点O，连接AO，DO，BO，CO并延长，分别交四个面于E，F，G，H点．则eq\f(OE,AE)＋eq\f(OF,DF)＋eq\f(OG,BG)＋eq\f(OH,CH)＝1.证明：在四面体O－BCD与A－BCD中，eq\f(OE,AE)＝eq\f(h1,h)＝eq\f(\f(1,3)S△BCD·h1,\f(1,3)S△BCD·h)＝eq\f(VO－BCD,VA－BCD).同理有eq\f(OF,DF)＝eq\f(VO－ABC,VD－ABC)；eq\f(OG,BG)＝eq\f(VO－ACD,VB－ACD)；eq\f(OH,CH)＝eq\f(VO－ABD,VC－ABD).∴eq\f(OE,AE)＋eq\f(OF,DF)＋eq\f(OG,BG)＋eq\f(OH,CH)＝eq\f(VO－BCD＋VO－ABC＋VO－ACD＋VO－ABD,VA－BCD)＝eq\f(VA－BCD,VA－BCD)＝1.12．在锐角三角形ABC中，求证：sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC.证明：∵△ABC为锐角三角形，∴0<A<eq\f(π,2)，0<B<eq\f(π,2)，且A＋B>eq\f(π,2)，∴eq\f(π,2)>A>eq\f(π,2)－B>0.∵y＝sinx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是增函数，∴sinA>sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))＝cosB，同理可得sinB>cosC，sinC>cosA，∴sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC.[能力提升]1．(2017届湖北武汉模拟)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A．289 B．1024C．1225 D．1378解析：观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{an}，则a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…an＝an－1＋n，所以a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)，即an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).观察正方形数：1,4,9,16，…，记该数列为{bn}，则bn＝n2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1225.答案：C2．(2017届东北三省四校联考)在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说：“甲没有得优秀”；乙说：“我得了优秀”；甲说：“丙说的是真话”．事实证明：在这三名同学中，只有一个人说的是假话，那么得优秀的同学是________．解析：分析题意可知甲、丙所说的话同真同假，又因为只有一个人说了假话，故甲、丙说的是真话，乙说的是假话，易知得优秀的是丙．答案：丙3．(2018届广东深圳质检)若函数式f(n)表示n2＋1(n∈N*)的各位上的数字之和，如142＋1＝197,1＋9＋7＝17，所以f(14)＝17，记f1(n)＝f(n)，f2(n)＝f[f1(n)]，…，fk＋1(n)＝f[fk(n)]，k∈N*，则f2017(17)＝________.解析：由题意可知，f1(17)＝f(17)＝11，f2(17)＝f(11)＝5，f3(17)＝f(5)＝8，f4(17)＝f(8)＝11，f5(17)＝f(11)＝5，f6(17)＝f(5)＝8，f7(17)＝f(8)＝11，…所以fn(17)是从第一项起以3为周期的周期函数，所以f2017(17)＝f3×672＋1(17)＝f1(17)＝11.答案：114．观察下列不等式：1>eq\f(1,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)>1,1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,7)>eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,15)>2,1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,31)>eq\f(5,2)，…，由此猜想第n个不等式为________(n∈N*)．解析：观察给出的式子可得出如下规律：1>eq\f(1,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,22－1)>1＝eq\f(2,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,7)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,23－1)>eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…