陕西省商洛市2024届高三第四次模拟检测数学试题（理）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省商洛市2024届高三第四次模拟检测数学试题（理）第Ⅰ卷一、选择题1.已知复数，复数是复数的共轭复数，则（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗根据复数的运算性质，可得.故选；C．2.已知集合，集合，则（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，解得，所以，所以．故选：B.3.的展开式中常数项为第（）项A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗B〖解析〗的通项为，令有.故展开式中常数项为第5项.故选：B4.已知是等差数列的前项和，且满足，则（）A.65 B.55 C.45 D.35〖答案〗D〖解析〗设数列的公差为，则，．故选：D5.近年来商洛为了打造康养之都，引进了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初的污染物数量）．如果前3小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（）A.2.6小时 B.6小时 C.3小时 D.4小时〖答案〗C〖解析〗由题意可得，可得，设，，解得，因此，污染物消除至最初的还需要3小时．故选：C.6.在中，点是的中点，点分的比为与相交于，设，则向量（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意三点共线，所以存在，使得，同理三点共线，所以存在，使得，由平面向量基本定理可得，解得，所以.故选：C.7.已知点在抛物线上，抛物线的准线与轴交于点，线段的中点也在抛物线上，抛物线的焦点为，则线段的长为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗如图，不妨设点在第一象限，依题知是的中位线，可知，过向准线做垂线，垂足分别为，同理是的中位线，，由抛物线定义知，故得，又，则点横坐标是，代入可得其纵坐标为，故.故选：C．8.已知一棱锥的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，正视图为直角梯形，正视图为直角梯形，则该棱锥的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由三视图可得，该几何体是以底面为直角梯形的四棱锥，如图所示：其底面积为，高，故体积为，故选：B.9.已知函数，，下图可能是下列哪个函数的图像（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗对于，但定义域为，满足，为偶函数.同理可得：为奇函数.记，则所以且，所以为非奇非偶函数；同理可证：为非奇非偶函数；和为奇函数.由图可知，图像对应函数为奇函数，且.显然选项A，B对应的函数都不是奇函数，故排除；对C:，为奇函数.当时，，故错误；对D，，为奇函数.当时，.故正确.故选：D.10.已知函数与函数的图象的对称轴相同，给出下列结论：①的值可以为4；②的值可以为；③函数的单调递增区间为；④函数的所有零点的集合为．其中正确的为（）A.①② B.②③ C.③④ D.①④〖答案〗B〖解析〗对于①，因为两函数图象的对称轴相同，且两相邻对称轴之间的距离等于周期的一半，所以两函数的周期也相同，因此，解得，故①说法错误；对于②，因为，所以，当时，，此时与的图象关于轴对称，它们的对称轴相同，故②说法正确；对于③，令，则，所以的单调递增区间为，故③说法正确；对于④，的所有零点满足，解得所有零点的集合为，故④说法错误；综上②③说法正确.故选:B11.已知是双曲线右支上的动点，是双曲线的左、右焦点，则的最小值为（）A.12 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为是双曲线右支上的动点，由双曲线定义，得，则，当且仅当取得最小值．故选：C.12.已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，不等式即，进而转化为，令，则，当时，，所以在上单调递增.则不等式等价于恒成立.因为，所以，所以对任意恒成立，即恒成立.设，可得，当单调递增,当单调递减．所以有最大值，于是，解得．故选：B第Ⅱ卷二、填空题13.在区间上随机取两个实数，则事件的概率为______．〖答案〗〖解析〗如图，在区间上随机取两个实数，构成的点的集合为图中正方形区域，面积为16，其中满足的点构成的区域为直线及上方正方形内区域，面积为，故由几何概型的概率公式可得，事件概率为．故〖答案〗为：14.曲线的一条切线方程为，则______．〖答案〗〖解析〗，设切点为，则，又在切线上，所以，解得，所以.故〖答案〗为：15.矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为________.〖答案〗π〖解析〗因为球心到球面各点的距离相等，即可知道外接球的半径，就可以求出其体积了．由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，矩形对角线AC=5，则.16.已知函数满足，则满足的最大正整数的值为______．〖答案〗12〖解析〗，所以数列是公比为2的等比数列，所以所解不等式：当时，则，可解得：，最大值为12，当时，符合要求，当时，不符合要求，因此的最大值为12，故〖答案〗为：12.三、解答题（一）必考题17.在中，角所对的边分别为，且满足．（1）求角的大小；（2）若，求的面积．解：（1）在中，因为，由正弦定理得，即，即，即，又，所以，所以，即；（2）在中，，由余弦定理得，即，，所以．18.现从某学校高三年级男生中随机抽取50名男生测量身高，测量发现被测学生的身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组，第2组，…，第6组．如图，这是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）试评估该校高三年级男生的平均身高；（2）求这50名男生身高在以上（含）的人数；（3）从这50名身高在以上（含）的男生中任意抽取2人，将这2人中身高在（含）以上的人数记为，求的数学期望．解：（1）由频率分布直方图，样本平均数为，据此可估计该校高三年级男生的平均身高为.（2）由频率分布直方图知，后3组频率为，人数为，即这50名男生身高在以上（含）的人数为10．（3）由频率分布直方图，50人中以上的有人．所以随机变量可取0，1，2，结合（2）男生身高在172cm以上（含172cm）的人数为10．于是，.19.如图1，在矩形中，，，将沿矩形的对角线进行翻折，得到如图2所示的三棱锥.（1）当时，求的长；（2）当平面平面时，求平面和平面的夹角的余弦值.解：（1）由，，且，平面，可得平面，又平面，则，在中，根据勾股定理，.（2）如图，过点作于点，由代值易得：.由平面平面，平面平面，平面，可知平面.在平面中，过点作的垂线为轴，，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系.则，，，，有，，，.设平面的法向量，则，令，解得其中一个法向量；设平面的法向量，则，令，解得其中一个法向量.于是，，故平面和平面夹角的余弦值为.20.已知椭圆C：（）的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆C经过点．（1）求椭圆C的方程．（2）设A是椭圆C的右顶点，P，Q是椭圆C上不同的两点，直线的斜率分别为，，且．过A作，垂足为B，试问是否存在定点M，使得线段的长度为定值？若存在，求出该定点；若不存在，请说明理由．解：（1）因为椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，所以，则椭圆C的方程为．又椭圆C经过点，所以，解得，，所以椭圆C的方程为．（2）设，，若直线斜率为0，不妨设，此时是方程的两根，所以，但，不满足题意；若直线斜率不为0，直线PQ的方程为，且，联立方程组，消去x得，由，得，所以，．又因为，所以，整理得，即，化简得．所以，化简得，解得，即直线PQ恒过点．因为，所以点B在以线段为直径的圆上，取线段的中点，则，所以存在定点，使得线段的长度为定值．21.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）当时，若函数和的图象在上有交点，求实数的取值范围．解：（1）函数的定义域为，．令，得①当时，，在上单调递减；②当时，列表如下：0极大值所以在上递增，在上递减；③当时，列表如下0极大值所以在上递增，在上递.综上，当时，在上递减；当时，在上递增，在上递减；当时，在上递增，在上递减.（2）当时，设函数和的图象在有交点，等价于函数和的图象在上有交点，即函数和的图象在上有交点，等价于的图象在有零点，的单调递增区间是，单调递减区间是．，由（1）知当时，在为增函数，在上有零点，则或，；当时，在递增，在递减，，即，综合得：实数的取值范围为.（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22.已知曲线的参数方程为(为参数)直线与曲线相交于两点，以极点为原点，轴的负半轴为极轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线的极坐标方程；（2）记线段的中点为，若恒成立，求实数的取值范围．解：（1）曲线