2024年中考数学一轮复习全国版知识点07 分式

2024年中考数学一轮复习一、选择题甘肃省3.【2023·兰州3题】计算：（）A. B. C.5 D.a【答案】D广西3．【2023·广西3题】若分式1x+1有意义，则xA．x≠﹣1 B．x≠0 C．x≠1 D．x≠2【答案】A河北省3．【2023·河北3题】化简x3A．xy6 B．xy5 C．x2y5 D．x2y6【答案】A天津7．【2023•天津7题】计算1x−1A．﹣1 B．x﹣1 C．1x+1 D．【答案】C【解析】1x−1−2x2−1=湖南省4．【2023·邵阳】下列计算正确的是（）A．a6a3=a2 B．（a2）3C．a(a+b)2+b(a+b)2=a【答案】D8．【2023·娄底】一个长方体物体的一顶点所在A、B、C三个面的面积比是3：2：1，如果分别按A、B、C面朝上将此物体放在水平地面上，地面所受的压力产生的压强分别为PA、PB、PC（压强的计算公式为P=FS），则PA：PB：PA．2：3：6 B．6：3：2 C．1：2：3 D．3：2：1【分析】根据A、B、C三个面的面积比是3：2：1，设出A、B、C三个面的面积分别是3a，2a，a，再根据压强的计算公式为P=FS表示PA=F3a，PB=F2a，PC=Fa，计算化简P【答案】A【解析】设A、B、C三个面的面积分别是3a，2a，a，则PA=F3a，PB=F2a，PC=Fa，∴PA：PB：PC=F3a：F2a：F【点评】本题以物理上的压强为背景，考查了分数比的化简，通分是关键．湖北省8．【2023·武汉】已知x2﹣x﹣1＝0，计算(2A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出x2＝x+1，继而可得答案．【答案】A【解析】原式＝[2xx(x+1)−x+1x(x+1)]•(x+1)2x(x−1)=x−1x(x+1)•(x+1)2x(x−1)=【点评】本题考查分式的化简求值，化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．广东省5．【2023·广东5题】计算3aA．1a B．6a2 C．5【答案】C内蒙古9.【2023·赤峰】化简的结果是（）A.1 B. C. D.【分析】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案．【答案】D【解析】．【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则．四川省8．【2023·凉山州】分式x2−xx−1A．0 B．﹣1 C．1 D．0或1【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算．【答案】A【解析】∵分式x2−xx−1的值为0，∴x2﹣x＝0且x【点评】本题考查的是分式的值为零的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．河南省5．【2023·河南5题】化简a−1aA．0 B．1 C．a D．a﹣2​【答案】B二、填空题宁夏9．【2023·宁夏9题】计算：1x−1+【答案】4北京9.【2023·北京9题】若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．【答案】福建省15．【2023·福建15题】已知1a+2b=1，且a≠﹣b，则ab−a【答案】1【解析】∵1a+2b=1，∴bab+2aab=2a+bab【点评】本题考查了分式的加减法和分式的值，熟练掌握分式的运算法则是关键．上海8．【2023·上海】化简：21−x−2x1−x的结果为【答案】2新疆10．【2023·新疆生产建设兵团】要使分式有意义，则x需满足的条件是．【答案】x≠5浙江省12．【2023·宁波】要使分式有意义，x的取值应满足．【答案】x≠2四川省19．【2023·成都】若3ab﹣3b2﹣2＝0，则代数式（1﹣）÷的值为．【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【答案】【解析】（1﹣）÷＝•＝•＝b（a﹣b）＝ab﹣b2，∵3ab﹣3b2﹣2＝0，∴3ab﹣3b2＝2，∴ab﹣b2＝，当ab﹣b2＝时，原式＝．11．【2023·南充】若x+1x−2=0，则x的值为【分析】分母不为0，分子为0时，分式的值为0．【答案】﹣1【解析】根据题意，得x+1＝0且x﹣2≠0，解得x＝﹣1．【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．15．【2023·自贡】化简：x2−1【答案】x﹣1湖南省15．【2023·衡阳】已知x＝5，则代数式3x−4−24x【答案】13【解析】原式=3x+12(x+4)(x−4)−24当x＝5时，原式=3黑龙江17．【2023·绥化】化简：（x+2x2−2x−x−1【分析】先通分计算括号里的分式加减，再计算除法．【答案】1x−2【解析】（x+2x2−2x−x−1x2−4x+4）÷x−4x2−2x＝[x+2【点评】此题考查了分式混合运算的能力，关键是能准确确定运算顺序，并能进行正确地计算．三、解答题北京19.【2023·北京19题】已知，求代数式的值．解：原式．由可得．将代入原式可得，原式．福建省20．【2023·福建20题】先化简，再求值：（1−x+1x）÷x2解：原式=x−(x+1)x•x(x−1)(x+1)(x−1)=−1当x=2−1时，原式江西省15．【2023•江西15题】化简（xx+1+x（1）甲同学解法的依据是，乙同学解法的依据是；（填序号）①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．解：（1）②③（2）选择乙同学的解法．（xx+1+=x=x＝x﹣1+x+1＝2x．陕西省16．【2023·陕西】化简：（3aa2−1解：（3aa2=[3a=3a−(a+1)=2a−1=1安徽省15．【2023·安徽15题】先化简，再求值：x2+2x+1x+1，其中解：原式=(x+1)当x=2原式=2−1+1甘肃省19．【2023·甘肃省卷19题】化简：a+2ba+b解：原式=a+2ba+b−a−ba−2b浙江省17．【2023·温州】计算：（2）a2解:（2）原式=a2+2−3山东省19．【2023·泰安】（1）化简：（2−x−1x+2）解：（1）原式=2(x+2)−(x−1)x+2=2x+4−x+1x+2•=x+5x+2•=x−215.【2023·潍坊】（1）化简：解：（1）；17.【2023·威海】先化简，再从的范围内选择一个合适的数代入求值．解：，∵且，∴当时，原式．19．【2023·东营】（2）先化简，再求值：x2−xx2+2x+1÷（解：（2）原式==x(x−1)(x+1)2•∵x≠﹣1，x≠0，x≠1，∴当x＝2时，原式=417.【2023·日照】（2）先化简，再求值：，其中．解：（2）将代入可得，原式．16．【2023·菏泽】先化简，再求值：（3xx−y+xx+y）÷xx2−y【分析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．解：（3xx−y+=3=2x(2x+y)＝2（2x+y），∵2x+y﹣3＝0，∴2x+y＝3，∴原式＝2×3＝6．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．17．【2023·临沂】（2）下面是某同学计算a2a−1解：a2a−1=a=a=a=a−1a−1上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程．（2）上述解题过程从第①步开始出现错误，正确的解题过程如下：a2a−1−a﹣1=a2a−1−（a18．【2023·聊城】先化简，再求值：（aa2−4a+4+a+22a−解：原式＝[a(a−2)=a2−(a+2)(a−2)=4a(a−2)=2当a=2原式=217．【2023·烟台】先化简，再求值：a2−6a+9a−2÷（a+2+5解：原式=(a−3)2a−2÷4−a2+5∵a−12≤1，解得∵a是使不等式a−12≤1成立的正整数，且a﹣2≠0，∴a＝1.∴原式=1−318．【2023·滨州】先化简，再求值：a−4a÷（a+2a2−2a解：原式=a−4a÷=a−4a÷=a−4=a−4a•＝（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，∵a2∴a2﹣4a+3＝0，∴a2﹣4a＝﹣3，∴原式＝﹣3+4＝1．17．【2023•枣庄】先化简，再求值：(a−a2a2−1)÷解：（a−a2＝（a−a2＝a•a2−1=a=a∵a2﹣1≠0，a≠0，∴a≠±1，a≠0.∴a＝2.原式=2湖南省20．【2023·娄底】先化简，再求值：（xx+1−2x−1）÷1x2−1解：（xx+1−＝[x(x−1)(x+1)(x−1)−=x2−3x−2(x+1)(x−1)•（＝x2﹣3x﹣2，∵x2﹣3x﹣4＝0，∴x2﹣3x＝4，∴原式＝4﹣2＝2．18．【2023·湘潭】先化简，再求值：（1+2x+1）•x2解：原式=x+1+2x+1=x+3x+1•=x当x＝6时，原式=619．【2023·常德】先化简，再求值：x+3x2−4【分析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．解：x+3=x+3=x+3=1当x＝5时，原式=1【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．16．【2023·张家界】先化简（x﹣1−3x+1）解：（x﹣1−3x+1＝[(x−1)(x+1)x+1−=x＝x+1，∵x+1≠0，x2+2x+1≠0，∴x≠﹣1，将x＝1代入上式，得：原式＝1+1＝2．18．【2023·郴州】先化简，再求值：x+3x2−2x+1•x−1x2解：原式=x+3(x−1=1=xx(x−1)当x＝1+3时，原式=20．【2023·永州】先化简，再求值：（1−1x+1）÷x解：（1−1x+1=x+1−1x+1•=xx+1•＝x+1，当x＝2时，原式＝2+1＝3．20．【2023·株洲】先化简，再求值：(1+1x+1)⋅解：原式=x+1+1x+1•当x＝3时，原式=3+218．【2023·怀化】先化简（1+）÷，再从﹣1，0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值．解：原式＝•＝•＝．当a＝1或2时，分式无意义．故当a＝﹣1时，原式＝﹣，当a＝0时，原式＝﹣．湖北省16．【2023·宜昌】先化简，再求值：a2−4a+4a2解：原式=(a−2)2=a−2a+2•＝a+3，当a=3−3时，原式=317.【2023·鄂州】先化简，再求值：，其中．【分析】根据题意，先进行同分母分式加减运算，再将代入即可得解．【解析】解：原式，当时，原式．【点评】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的加减，约分等相关计算法则是解决本题的关键．17．【2023·随州】先化简，再求值：4x2−4解：4x2−4÷2x−2=4(x+2)(x−2)18．【2023·十堰】化简：（1−4a+3）解：原式=a+3−4a+3•2(a+3)(a−1)217．【2023·黄冈】化简；x2解：原式==(x−1＝x﹣1．17．【2023·荆州】先化简，再求值：（2x−yx+y−x2−2xy+y2x2−y2）解：原式＝[2x−yx+y−＝（2x−yx+y−x−yx+y）•x+yx−y∵x＝（12）﹣1＝2，y＝（﹣2023）0∴原式=217．【2023·恩施州】先化简，再求值：2x2−4÷（1−解:2x2−4=2=2(x+2)(x−2)•=−1当x=5−2时，原式江苏省19．【2023·扬州】计算：（2）a−ba+b÷（b﹣（2）原式=a−ba+b=−120.【2023·宿迁】先化简，再求值：，其中．解：，当时，原式．19．【2023·苏州】先化简，再求值：•﹣，其中a＝．解：原式＝•﹣＝﹣＝＝，当a＝时，原式＝＝﹣1．内蒙古19．【2023·通辽】以下是某同学化简分式a−ba解：原式=a−b=a−b=a−b……（1）上面的运算过程中第一步开始出现了错误；（2）请你写出完整的解答过程．解：（1）上面的运算过程中第一步开始出现了错误；故答案为：一；（2）原式==a−ba•=1四川省18．【2023·雅安】（2）先化简，再求值：（1+4a−1）÷a解:（2）原式＝（a−1a−1+4a−1）•a(a−1)(a+3当a＝2时，原式=216．【2023·达州】（2）先化简，再求值：（a+2−5a−2）÷3−a2a−4，其中【分析】（2）利用分式的混合运算的法则化简后，将x＝1代入运算即可．解：（2）原式==a=(a+3)(a−3)＝﹣2（a+3）＝﹣2a﹣6．∵a为满足0＜a＜4的整数，∴a＝1，2，3，∵a﹣2≠0，a﹣3≠0，∴a＝1．当a＝1时，原式＝﹣2﹣6＝﹣8．【点评】本题主要考查了实数的运算，用二次根式的性质，绝对值的意义，零指数幂的意义和特殊角的三角函数值，分式的化简求值，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．17．【2023·遂宁】先化简，再求值：•（1+），其中x＝（）﹣1．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可．解：原式＝•＝•＝＝1﹣，∵x＝（）﹣1＝2，∴原式＝1﹣＝．【点评】本题考查的是分式的化简求值及负整数指数幂，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．18．【2023·广安】先化简（a2a+1−a+1）÷【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即可．解：（a2a+1−=a2−=1∵﹣2＜a＜3且a≠±1，∴a＝0符合题意．当a＝0时，原式=1【点评】本题考查的是分式的化简求值、实数的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．19．【2023·宜宾】（2）化简：（﹣）÷．【分析】（2）通分先算括号内的，把除化为乘，再将分子，分母分解因式约分即可．解：（2）原式＝•＝•＝．【点评】本题考查实数的运算和分式的混合运算，解题的关键是掌握实数相关运算的法则和分式的基本性质．19．【2023·巴中】（3）先化简，再求值（+x﹣1）÷，其中x的值是方程x2﹣2x﹣3＝0的根．【分析】（3）根据整式的混合运算化简后代入x的值计算即可．解：（3）（+x﹣1）÷＝＝x+1，解方程x2﹣2x﹣3＝0得x1＝3，x2＝﹣1，∵x2（x+1）2≠0，∴x≠0，x≠﹣1.∴x＝3.∴原式＝3+1＝4．【点评】本题考查了一元二次方程的解，实数的运算，分式的化简和求值，解一元一次不等式，正确地进行运算是解题的关键．19．【2023·重庆A卷】计算：（2）x2x2+2x+1+【分析】（2）先将括号内的进行合并，除法变成乘法，再约分化简即可．解：（2）x2x2+2x+1+（x−xx+1【点评】此题主要是考查了分式的混合运算，整式的混合运算，能够熟练运用平方差公式，完全平方公式是解答此题的关键．19．【2023·重庆B卷】计算：（2）（3+nm）【分析】（2）按照分式的混合运算法则进行计算即可．解：（2）(3+n=3m+nm⋅【点评】本题考查了分式的混合运算和整式的混合运算，熟练掌握混合运算法则是解题的关键，计算时一定要细心．20．【2023·眉山】先化简：（1−1x−1）÷x【分析】先把括号里进行通分，再计算除法，最后代入求解．解：（1−1x−1=x−2x−1•=1∵x≠1且x≠±2，∴当x＝﹣1时，原式＝1．【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握因式分解是解题的关键．18．【2023·广元】先化简，再求值；（3x+yx2−y2+2xy2解:原式＝（3x+yx2=3x+y−2x(x−y)(x+y)•=x+y(x−y)(x+y)•=xy当x=3+1，y=3黑龙江21．【2023·龙东地区】先化简，再求值：（1−2m+1）÷m解：原式==m−1m+1×当m＝tan60°﹣1=3原式=3−1321．【2023·牡丹江】先化简，再求值：（1−2x−1）÷x−3解：（1−2x−1=x−1−2x−1•=x−3x−1•＝x+1，当x＝sin30°=12时，原式=120．【2023·大庆】先化简，再求值：2xx+2−x解：原式==2=x=x(x−2)=x当x＝1时，原式=1辽宁省17.【2023·营口】先化简，再求值：，其中．解：，∵，，∴原式．19．【2023·抚顺、葫芦岛】先化简，再求值：2m−6m2−9解：原式==1=1−m∴当m＝2时，原式=1−219．【2023·本溪】先化简，再求值：（2x−1x−2−1）÷x+1【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．解:原式＝（2x−1x−2−=x+1x−2•＝x+2，当x＝3时，原式＝3+2＝5．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．17.【2023·大连】计算：．解：吉林省15.【2023·吉林】下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式．请写出单项式M，并将该例题的解答过程补充完整．例先化简，再求值：，其中．解：原式……解：由题意，第一步进行的是通分，∴.∴.原式，当时，原式．一、选择题甘肃省2．【2023·甘肃省卷2题】若a2=3A．6 B．32 C．1 D．【答案】A贵州省9.【2023·贵州】《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程正确的是（）A. B. C. D.【答案】C湖南9．【2023·衡阳】《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡免同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡免各几何．”设有x只鸡，y只兔，依题意，可列方程组为（）A．x+y=354x+2y=94B．x+y=944x+2y=35 C．x+y=352x+4y=94 【答案】C4．【2023·永州】关于x的一元一次方程2x+m＝5的解为x＝1，则m的值为（）A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7【答案】A6．【2023·张家界】《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210文购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）A．3（x﹣1）=6210x−1 B．3（xC．3（x﹣1）=6210x D．6210【分析】设6210元购买椽的数量为x株，根据单价＝总价÷数量，求出一株椽的价钱为6210x【答案】C【解析】设6210元购买椽的数量为x株，则一株椽的价钱为6210x，由题意得：3（x﹣1）=【点评】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找出等量关系是解题关键．浙江省8．【2023·宁波】茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中10%的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为（）A．B．C．D．【答案】B6．【2023·绍兴】《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛，则可列方程组是（）A．x+5y=35x+y=2B．5x+y=3x+5y=2 C．5x=y+3x=5y+2【答案】B7．【2023·温州】一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为x（g），y（g），可列出方程为（）A．52x+y＝30 B．x+52y＝30 C．32x+y＝30 D．【答案】A湖北省8．【2023·荆州】我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？若设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（）A．y=x+4.50.5y=x−1B．y=x−4.50.5y=x+1 C．y=x+4.5y=2x−1【分析】根据“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【答案】A【解析】设木条长x尺，绳子长y尺，所列方程组为：y=x+4.50.5y=x−1．故选：A【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．江苏省3.【2023·无锡】下列4组数中，不是二元一次方程的解是（）A. B. C. D.【答案】D6.【2023·宿迁】《孙子算经》中有个问题：若三人共车，余两车空：若两人共车，剩九人步，问人与车各几何？设有x辆车，则根据题意可列出方程为（）A. B. C. D.【答案】D辽宁省8.【2023·营口】2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷．1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，根据题意，可列方程组为（）A.B.C. D.【答案】C黑龙江9．【2023·齐齐哈尔】为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为150cm的导线，将其全部截成10cm和20cm两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（）A．5种 B．6种 C．7种 D．8种【分析】设截成10cm的导线x根，截成20cm的导线y根，根据“长度为150cm的导线”列出二元一次方程，求正整数解即可．【答案】C【解析】设截成10cm的导线x根，截成20cm的导线y根，根据题意得10x+20y＝150，∴x＝15﹣2y，∵15﹣2y＞0，∴y＜7.5，∵y是正整数，∴y的值为1，2，3，4，5，6，7，即截取方案共有7种．【点评】本题主要考查了二元一次方程的应用，根据题意列出二元一次方程是解决问题的关键．7．【2023·龙东地区】某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（）A．5种 B．6种 C．7种 D．8种【分析】当购买5本A种图书时，设购买x本B种图书，y本C种图书，利用总价＝单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，可得出当购买5本A种图书时，有3种采购方案；当购买6本A种图书时，设购买m本B种图书，n本C种图书，利用总价＝单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，可得出当购买6本A种图书时，有3种采购方案，进而可得出此次采购的方案有6种．【答案】B【解析】当购买5本A种图书时，设购买x本B种图书，y本C种图书，根据题意得：30×5+25x+20y＝500，∴x＝14−45y，又∵x，y均为正整数，∴x=10y=5或x=6y=10或x=2y=15，∴当购买5本A种图书时，有3种采购方案；当购买6本A种图书时，设购买m本B种图书，n本C种图书，根据题意得：30×6+25m+20n＝500，∴n＝16−54m，又∵m，n均为正整数，∴m=4【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．山东省10．【2023·泰安】《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两．根据题意得（）A．11x=9y(10y+x)−(8x+y)=13 B．10y+x=8x+yC．9x=11y(10y+x)−(8x+y)=13 D．【答案】C4．【2023•枣庄】《算学启蒙》是我国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（）A．240x+150x＝150×12 B．240x﹣150x＝240×12 C．240x+150x＝240×12 D．240x﹣150x＝150×12【答案】D7.【2023·日照】《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，可列方程为（）A. B. C. D.【答案】D8.【2023·威海】常言道：失之毫厘，谬以千里．当人们向太空发射火箭或者描述星际位置时，需要非常准确的数据．的角真的很小．把整个圆等分成360份，每份这样的弧所对的圆心角的度数是．．若一个等腰三角形的腰长为1千米，底边长为4.848毫米，则其顶角的度数就是．太阳到地球的平均距离大约为千米．若以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为（）A.24.24千米 B.72.72千米 C.242.4千米 D.727.2千米【分析】设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为x毫米，根据顶角相等的两等腰三角形相似，相似三角形的对应边成比例，可列出方程，求解即可．【答案】D【解析】设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为x毫米，根据题意，得，解得：.∴等腰三角形底边长为毫米千米．【点评】本题考查一元一次方程的应用．根据相似三角形判定与性质列出方程是解题的关键，注意单位换算．四川省5．【2023·南充】《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺＝10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为（）A．12（x+4.5）＝x﹣1 B．12（x+4.5）＝xC．12（x﹣4.5）＝x+1 D．12（x﹣4.5）＝【答案】A5．【2023·遂宁】《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组（）A． B． C． D．【答案】D6．【2023·宜宾】“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？若设鸡有x只，兔有y只，则所列方程组正确的是（）A． B． C． D．【答案】B7．【2023·成都】《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（）A．（x+4.5）＝x﹣1 B．（x+4.5）＝x+1 C．（x+1）＝x﹣4.5 D．（x﹣1）＝x+4.5【答案】A7．【2023·眉山】已知关于x，y的二元一次方程组3x−y=4m+1x+y=2m−5的解满足x﹣y＝4，则mA．0 B．1 C．2 D．3【分析】把方程组的两个方程相减得到2x﹣2y＝2m+6，结合x﹣y＝4，得到m的值．【答案】B【解析】∵关于x、y的二元一次方程组为3x−y=4m+1①x+y=2m−5②，①﹣②，得：∴2x﹣2y＝2m∴x﹣y＝m+3，∵x﹣y＝4，∴m+3＝4，∴m＝1．【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是把方程组的两个方程相加得到m的方程，此题难度不大．9．【2023·南充】关于x，y的方程组3x+y=2m−1，x−y=n的解满足x+y＝1，则4m÷2nA．1 B．2 C．4 D．8【分析】根据方程组①﹣②得，2x+2y＝2m﹣n﹣1，即x+y=2m−n−12，再根据x+y＝1，得2m﹣n＝3，所以4m÷2n＝22m÷2n＝22m﹣n＝2【答案】D【解析】∵方程组3x+y=2m−1①x−y=n②，∴①﹣②得，2x+2y＝2m﹣n﹣1，∴x+y=2m−n−12，∵x+y＝1，∴2m−n−12=1，∴2m﹣n＝3，∴4m÷2n＝22m÷2n＝22m【点评】本题考查了二元一次方程组的解，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法法则，能熟练掌握运算法则是解此题的关键．9．【2023·巴中】某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（）A．6 B．8 C．12 D．16【分析】设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为2x个，底面的数量为3y个，然后根据等量关系：底面数量＝侧面数量的2倍，列出方程组即可．【答案】C【解析】设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，由题意得，，解得，∴用6张卡纸做侧面，用8张卡纸做底面，则做出侧面的数量为12个，底面的数量为24个，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12个．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．还需注意本题的等量关系是：底面数量＝侧面数量的2倍．二、填空题浙江省15．【2023·丽水】古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（古代中国1斤等于16两）．今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为斤．【答案】2【解析】设原有生丝为x斤，x：12＝30：（30﹣31216），解得x=96715．【2023·嘉兴、舟山】我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花100钱买了100只鸡．若公鸡有8只，设母鸡有x只，小鸡有y只，可列方程组为．【答案】15．【2023·台州】3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12棵；第二组比第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有人．【答案】3湖南省18．【2023·株洲】已知实数m，x满足：（mx1﹣2）（mx2﹣2）＝4．①若m=13，x1=9，则x②若m，x1，x2为正整数，则符合条件的有序实数对（x1，x2）有个．【答案】①18②7【解析】①（13×9﹣2）×（13x2﹣2）＝4，解得x2＝18．②当m，x1，x2为正整数时，（mx1﹣2），（mx2﹣2）均为整数，mx1≥1，m2≥1，mx1﹣2≥﹣1，mx2﹣2≥﹣1，而4＝1×4＝2×2＝4×1，∴mx1−2=1mx2−2=4或mx1−2=2mx2−2=2或mx1−2=4mx2−2=1，∴mx1=3mx2=6或mx1=4mx2=4或mx1=6mx2=3，当mx1=3mx2=6时，m＝1时，x1＝3，x2＝6；m＝3时，x1＝1，x2＝2，故（x1，x2）为（3，6），（1，2），共2个；当mx1=4mx2=4时，m江苏省16.【2023·无锡】《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是__________尺．【分析】设门高尺，则竿长为尺，门的对角线长为尺，门宽为尺，根据勾股定理即可求解．【答案】8【解析】设门高尺，依题意，竿长为尺，门的对角线长为尺，门宽为尺，∴，解得：或（舍去），故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理，根据题意建立方程是解题的关键．内蒙古15．【2023·通辽】点Q的横坐标为一元一次方程3x+7＝32﹣2x的解，纵坐标为a+b的值，其中a，b满足二元一次方程组2a−b=4−a+2b=−8，则点Q关于y轴对称点Q'的坐标为【分析】结合已知条件分别求得x，a+b的值，然后根据关于y轴对称的点的坐标性质即可求得答案．【答案】（﹣5，﹣4）【解析】3x+7＝32﹣2x，移项，合并同类项得：5x＝25，系数化为1得：x＝5；2a−b=4①−a+2b=−8②①+②得：a+b＝﹣4；则Q（5，﹣4），那么点Q关于y轴对称点Q'的坐标为（﹣5，﹣4），故答案为：（﹣5，﹣4）．【点评】本题考查解一元一次方程及二元一次方程组和关于y轴对称的点的坐标性质，结合已知条件求得x，a+b的值是解题的关键．四川省18．【2023·德阳】在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m＝．【分析】设九宫格中最中间的数为x，由于第1列中间数与第2行的最左侧的数重合，建立方程16+4＝7+x，求得x，根据九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和等于最中间数的三倍所以m＝3x．【答案】39【解析】设九宫格中最中间的数为x，∵第1列中间数与第2行的最左侧的数重合，∴16+4＝7+x，∴x＝13，根据九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和等于最中间数的三倍，∴m＝3x＝39，【点评】本题考查了九宫格的知识，根据九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等的规律，观察九宫格中数的排列特征建立方程是解决问题的关键．河南省12．【2023·河南12题】方程组3x+y=5x+3y=7的解为【答案】x=1y=2吉林省12.【2023·吉林】《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x人，可列方程为__________．【分析】根据题中钱的总数列一元一次方程即可．【答案】【解析】设合伙人数为x人，根据题意列方程；故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键．山东省13.【2023·威海】《九章算术》中有一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，该物品价值y元，根据题意列方程组：___________．【答案】辽宁省15.【2023·大连】我国的《九章算术》中记载道：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问有几人．”大意是：今有人合伙购物，每人出元钱，会多钱；每人出元钱，又差钱，问人数有多少．设有人，则可列方程为：_______________．【分析】设有人，每人出8元钱，会多3钱，则物品的钱数为：元，每人出7元钱，又差4钱，则物品的钱数为：元，根据题意列出一元一次方程即可求解．【答案】【解析】设有人，每人出8元钱，会多3钱，则物品的钱数为：元，每人出7元钱，又差4钱，则物品的钱数为：元，则可列方程为：.故答案为：．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键．三、解答题北京21.【2023·北京21题】对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一幅对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）对联中的字换为右边的字对联中的字换为右边的字解：设天头长为．由题意天头长与地头长的比是，可知地头长为，边的宽为．装裱后的长为．装裱后的宽为．由题意可得，，解得．∴.答：边的宽为，天头长为．陕西省20．【2023·陕西】小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元．已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价．【分析】设该文具店中这种大笔记本的单价是x元，根据买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元，得4x+6（x﹣3）＝62，即可解得答案．【答案】解：设该文具店中这种大笔记本的单价是x元，则小笔记本的单价是（x﹣3）元，∵买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元，∴4x+6（x﹣3）＝62，解得：x＝8；答：该文具店中这种大笔记本的单价为8元．【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程解决问题．安徽省16．【2023·安徽16题】根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价．解：设调整前甲地该商品的销售单价为x元，乙地该商品的销售单价为y元，由题意得y−x=10，(y−5)−(1+10%)x=1答：调整前甲地该商品的销售单价40元，乙地该商品的销售单价为50元．河北省20．【2023·河北20题】某惯性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投．计分规则如下：投中位置A区B区脱靶一次计分（分）31﹣2在某一局中，珍珍投中A区4次，B区2次．脱靶4次．（1）求珍珍第一局的得分；（2）第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．解：（1）由题意可得4×3+2×1+4×（﹣2）＝6（分）.答：珍珍第一局的得分为6分.（2）由题意可得3k+3×1+（10﹣k﹣3）×（﹣2）＝6+13，解得k＝6．山东省20．【2023·临沂】大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M型平板电脑一台和1500元现金．当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金．（1）这台M型平板电脑价值多少元？（2）小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬（用含m的代数式表示）？解：（1）设这台M型平板电脑价值x元，根据题意得：2030（x+1500）＝x+300，解得x∴这台M型平板电脑价值2100元.（2）由（1）知，一台M型平板电脑价值2100元，∴工作一个月，她应获得的报酬为2100+1500＝3600（元），∴若工作m天，她应获得的报酬为m30×3600=12021．【2023·聊城】今年五一小长假期间，我市迎来了一个短期旅游高峰．某热门景点的门票价格规定见如表：票的种类ABC购票人数/人1～5051～100100以上票价/元504540某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共102人（甲团人数多于乙团）．在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元．（1）求两个旅游团各有多少人？（2）一个人数不足50人的旅游团，当游客人数最低为多少人时，购买B种门票比购买A种门票节省？【分析】（1）设甲旅游团有x人，乙旅游团有y人，根据“甲、乙两个旅游团共102人（甲团人数多于乙团），在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设游客人数为m人，根据购买B种门票比购买A种门票节省，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．解：（1）设甲旅游团有x人，乙旅游团有y人，根据题意得：x+y=10245x+50y−40×102=730解得：x=58y=44答：甲旅游团有58人，乙旅游团有44人；（2）设游客人数为m人，根据题意得：50m＞45×51，解得：m＞45.9，又∵m为正整数，∴m的最小值为46．答：当游客人数最低为46人时，购买B种门票比购买A种门票节省．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．湖北省18．【2023·黄冈】创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶．若购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元．（1）求两种型号垃圾桶的单价；（2）若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型垃圾桶多少个？解：（1）设A型垃圾桶单价为x元，B型垃圾桶单价为y元，由题意可得：3x+4y=5806x+5y=860，解得：x=60答：A型垃圾桶单价为60元，B型垃圾桶单价为100元；（2）设A型垃圾桶a个，由题意可得：60a+100（200﹣a）≤15000，a≥125，答：至少需购买A型垃圾桶125个．22．【2023·宜昌】为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍．豆沙粽数量肉粽数量付款金额小欢妈妈2030270小乐妈妈3020230（1）求豆沙粽和肉粽的单价；（2）超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）；①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为（80﹣4m）包，（4m+8）包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值．【分析】（1）设豆沙粽的单价为x元，肉粽的单价为2x元，由购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，列出方程可求解；（2）①设豆沙粽优惠后的单价为a元，肉粽优惠后的单价为b元，由题意列出方程组，即可求解；②由A，B两种包装的销售总额为17280元，列出方程，即可求解．解：（1）设豆沙粽的单价为x元，肉粽的单价为2x元；由题意可得：10x+12×2x＝136，解得：x＝4，∴2x＝8（元），答：豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元；（2）①设豆沙粽优惠后的单价为a元，肉粽优惠后的单价为b元，由题意可得：20a+30b=27030a+20b=230，解得：a=3答：豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；②由题意可得：[3m+7（40﹣m）]×（80﹣4m）+[3×（40﹣m）+7m]×（4m+8）＝17280，解得：m＝19或m＝10，∵m＜12（40﹣m），∴m＜40【点评】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．江苏省18．【2023·连云港】解方程组．解：，①+②得：5x＝15，解得x＝3，将x＝3代入①得：3×3+y＝8，解得y＝﹣1，故原方程组的解为：．20.【2023·徐州】（1）解方程组解：（1）把①代入②得，，解得，把代入①得，，∴；湖南省18．【2023·常德】解方程组：x−2y=1⋯①3x+4y=23⋯②【分析】利用加减消元法求解即可．解：①×2+②得：5x＝25，解得：x＝5，将x＝5代入①得：5﹣2y＝1，解得：y＝2，所以原方程组的解是x=5y=2【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．17．【2023·张家界】为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：甲型客车乙型客车载客量（人/辆）4560租金（元/辆）200300（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？【分析】（1）本题中的等量关系为：45×45座客车辆数+15＝学生总数，60×（45座客车辆数﹣1）＝学生总数，据此可列方程组求出第一小题的解；（2）需要分别计算45座客车和60座客车各自的租金，比较后再取舍．解：（1）设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆45座客车．根据题意，得45y+15=x60(y−3)=x，解得x=600答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车；（2）租45座客车：600÷45≈14（辆），所以需租14辆，租金为200×14＝2800（元），租60座客车：600÷60＝10（辆），所以需租10辆，租金为300×10＝3000（元），∵2800＜3000，∴租用14辆45座客车更合算．【点评】本题考查二元一次方程的应用，注意租车时最后一辆不管几个人都要用一辆，所以在计算车的辆数时用“收尾法”，而不是“四舍五入”．内蒙古22.【2023·赤峰】某集团有限公司生产甲乙两种电子产品共8万件，准备销往东南亚国家和地区．已知2件甲种电子产品与3件乙种电子产品的销售额相同：3件甲种电子产品比2件乙种电子产品的销售多元．（1）求甲种电子产品与乙种电子产品销售单价各多少元？（2）若使甲乙两种电子产品销售总收入不低于万元，则至少销售甲种电子产品多少件？【分析】（1）设甲种电子产品的销售单价元，乙种电子产品的销售单价元，根据等量关系：件甲种电子产品与件乙种电子产品的销售额相同，件甲种电子产品比件乙种电子产品的销售多元，列出方程组求解即可；（2）可设销售甲种电子产品万件，根据甲、乙两种电子产品的销售总收入不低于万元，列出不等式求解即可．解：（1）设甲种电子产品的销售单价是元，乙种电子产品的单价为元．根据题意得：，解得：；答：甲种电子产品的销售单价是元，乙种电子产品的单价为元．（2）设销售甲种电子产品万件，则销售乙种电子产品万件．根据题意得：．解得：．答：至少销售甲种电子产品万件．【点睛】本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系及等量关系．吉林省18.【2023·吉林】2022年12月28日查干湖冬捕活动后，某商家销售A，B两种查干湖野生鱼，如果购买1箱A种鱼和2箱B种鱼需花费1300元：如果购买2箱A种鱼和3箱B种鱼需花费2300元．分别求每箱A种鱼和每箱B种鱼的价格．解：设每箱A种鱼的价格是元，每箱B种鱼的价格是元，由题意得：，解得.答：每箱A种鱼的价格是700元，每箱B种鱼的价格是300元．辽宁省21．【2023·本溪】某礼品店经销A，B两种礼品盒，第一次购进A种礼品盒10盒，B种礼品盒15盒，共花费2800元；第二次购进A种礼品盒6盒，B种礼品盒5盒，共花费1200元．（1）求购进A，B两种礼品盒的单价分别是多少元；（2）若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A种礼品盒多少盒？【分析】（1）设购买每盒A种礼品盒要x元，每盒B种礼品盒要y元，由题意即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设该公司需要购买m个A种礼品盒，则购买（40﹣m）个B种礼品盒，由题意即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．解:（1）设购买每盒A种礼品盒要x元，每盒B种礼品盒要y元，由题意得，10x+15y=28006x+5y=1200，解得：x=100答：购买每盒A种礼品盒要100元，每盒B种礼品盒要120元；设需要购买m个A种礼品盒，则购买（40﹣m）个B种礼品盒，由题意得，100m+120（40﹣m）≤4500，解得：m≥15，答：最少需要购买15个A种礼品盒．【点评】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的数量关系，列出方程组和不等式．四川省18．【2023•乐山】解二元一次方程组：x−y=13x+2y=8解：x−y=1①3x+2y=8②①×2得：2x﹣2y＝2③，②+③得：5x＝10，解得：x＝2，把x＝2代入①中得：2﹣y＝1，解得：y＝1，∴原方程组的解为x=2y=121．【2023·自贡】某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位．求该客车的载客量．【分析】设该客车的载客量为x人，根据去研学的人数不变，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．解：设该客车的载客量为x人，根据题意得：4x+30＝5x﹣10，解得：x＝40．答：该客车的载客量为40人．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．23．【2023·眉山】习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元；（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？【分析】（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，根据“购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设该校购买甲种书m本，则购买乙种书（100﹣m）本，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过3200元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．解：（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，根据题意得：2x+y=1003x+2y=165，解得：x=35答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元；（2）设该校购买甲种书m本，则购买乙种书（100﹣m）本，根据题意得：35m+30（100﹣m）≤3200，解得：m≤40，∴m的最大值为40．答：该校最多可以购买甲种书40本．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．24．【2023·成都】2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元．（1）求A，B两种食材的单价；（2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程；（2）设A种食材的单价为m元/千克，B种食材的单价为（36﹣m）元/千克，总费用为w元，由题意得：w＝38m+30（36﹣m）＝8m+1080，根据题意可以列出相应的不等式，求出m的取值范围，从而可以解答本题．解：（1）设A种食材的单价为x元/千克，B种食材的单价为y元/千克，由题意得：，解得：，∴A种食材单价是每千克38元，B种食材单价是每千克30元；（2）设A种食材的单价为m元/千克，B种食材的单价为（36﹣m）元/千克，总费用为w元，由题意得：w＝38m+30（36﹣m）＝8m+1080，∵m≥2（36﹣m），∴24≤m≤36，∵k＝8＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝24时，w有最小值为：8×24+1080＝1272（元），∴A种食材购买24千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，为1272元．【点评】本题主要考查二元一次方程组、一次函数的性质、不等式在实际生活当中的运用，考查学生的理解能力与列式能力．25．【2023·凉山州】凉山州雷波县是全国少有的优质脐橙最适生态区．经过近20年的发展，雷波脐橙多次在中国西部农业博览会上获得金奖，雷波县也被誉名为“中国优质脐橙第一县”，某水果商为了解雷波脐橙的市场销售情况，购进了雷波脐橙和资中血橙进行试销．在试销中，水果商将两种水果搭配销售，若购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78元人民币；若购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币．（1）求雷波脐橙和资中血橙每千克各多少元？（2）一顾客用不超过1440元购买这两种水果共100千克，要求雷波脐橙尽量多，他最多能购买雷波脐橙多少千克？【分析】（1）设雷波脐橙每千克x元，资中血橙每千克y元，根据“购买雷波脐橙3千克，资中血橙2千克，共需78元人民币；购买雷波脐橙2千克，资中血橙3千克，共需72元人民币”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买雷波脐橙m千克，则购买资中血橙（100﹣m）千克，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过1440元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．解：（1）设雷波脐橙每千克x元，资中血橙每千克y元，根据题意得：3x+2y=782x+3y=72，解得：x=18答：雷波脐橙每千克18元，资中血橙每千克12元；（2）设购买雷波脐橙m千克，则购买资中血橙（100﹣m）千克，根据题意得：18m+12（100﹣m）≤1440，解得：m≤40，∴m的最大值为40．答：他最多能购买雷波脐橙40千克．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．一、选择题甘肃省6．【2023·甘肃省卷6题】方程2xA．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝﹣4 D．x＝4【答案】A5.【2023·兰州5题】方程的解是（）A. B. C. D.【答案】A云南省11．【2023·云南】阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是x米/分，则下列方程正确的是（）A． B． C． D．【答案】D上海2．【2023·上海】在分式方程2x−1x2+x22x−1A．y2+5y+5＝0 B．y2﹣5y+5＝0 C．y2+5y+1＝0 D．y2﹣5y+1＝0【答案】D湖南省8．【2023·湘潭】某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米．师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（）A．50x=501.2x+16B．50x+10=【答案】A7．【2023·株洲】将关于x的分式方程32xA．3x﹣3＝2x B．3x﹣1＝2x C．3x﹣1＝x D．3x﹣3＝x【答案】A7．【2023·郴州】小王从A地开车去B地，两地相距240km．原计划平均速度为xkm/h，实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达．由此可建立方程为（）A．2400.5x−240x=1B．240x−2401.5x=1 【答案】B湖北省8．【2023·恩施州】分式方程xx−3A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝2 D．x＝0【分析】方程两边同乘最简公分母（x﹣3）（x﹣1），化为整式方程求解，然后再进行检验可得出方程的解．【答案】B【解析】xx−3=x+1x−1，方程两边同乘最简公分母（x﹣3）（x﹣1），去分母得x（x﹣1）＝（x+1）（x﹣3），解得x＝﹣3，把x＝﹣3代入（x﹣3）（【点评】此题主要是考查了分式方程的解法，能够正确去得分母化为整式方程是解答此题的关键，注意分式方程要检验．5．【2023·随州】甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修x千米，则可列出方程为（）A．9x−12x+1C．9x+1−12【答案】A6．【2023·十堰】为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个．如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（）A．1500x+20−800xC．800x−1500【分析】直接利用根据单价，表示出篮球与足球价格，再利用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个得出等式即可．【答案】A【解析】设每个足球的价格为x元，可列方程为：1500x+20−800【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等量关系是解题关键．11．【2023·宜昌】某校学生去距离学校12km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，汽车的速度是（）A．0.2km/min B．0.3km/min C．0.4km/min D．0.6km/min【分析】设学生的速度为xkm/min，根据一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．列出方程，即可求解．【答案】D【解析】设学生的速度为xkm/min，由题意可得：12x−20=122x，解得：x＝0.3，经检验：x＝0.3是原方程的解，且符合题意；∴2x＝0.6（km/【点评】本题考查了分式方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．江苏省7．【2023·连云港】元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（）A．＝ B．＝﹣12 C．240（x﹣12）＝150x D．240x＝150（x+12）【答案】D山东省7．【2023·聊城】若关于x的分式方程xx−1+1=mA．m≤1且m≠﹣1 B．m≥﹣1且m≠1 C．m＜1且m≠﹣1 D．m＞﹣1且m≠1【分析】解含参的分式方程，然后结合已知条件及分式有意义的条件列得不等式并计算即可．【答案】A【解析】xx−1+1=m1−x，两边同乘（x﹣1），去分母得：x+x﹣1＝﹣m，移项，合并同类项得：2x＝1﹣m，系数化为1得：x=1−m2，∵原分式方程的解为非负数，∴1−m2≥0，且【点评】本题考查根据含参分式方程解的情况确定参数的取值范围，结合已知条件解含参分式方程求得x=1−m5．【2023·东营】为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程．课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（）A．96001.5x−6000x=0.4C．60001.5x−9600x=【答案】A10.【2023·日照】若关于方程解为正数，则的取值范围是（）A. B. C.且 D.且【分析】将分式方程化为整式方程解得，根据方程的解是正数，可得，即可求出的取值范围．【答案】D【解析】∵方程的解为正数，且分母不等于0，∴，.∴，且．【点评】此题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解不等式，将方程化为整式方程求出整式方程的解，列出不等式是解答此类问题的关键．四川省7．【2023·达州】某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价，设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（）A．12000x=11000x−5−40 C．12000x+5+40=11000x 【答案】A8．【2023·宜宾】分式方程＝的解为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】先去分母化为整式方程，解出x的值，再检验即可．【答案】C【解析】两边同时乘以（x﹣3）得：x﹣2＝2，解得x＝4，把x＝4代入最简公分母得：x﹣3＝4﹣3＝1≠0，∴x＝4是原方程的解，故选：C．【点评】本题考查解分式方程，解题的关键是掌握将分式方程化为整式方程的方法，注意要检验．8．【2023·广安】为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，y1、y2分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用y（单位：元）与行驶路程S（单位：千米）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为（）A．25x=103x−0.1B．25x=103x+0.1【答案】D9．【2023·广元】近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高40%，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/时，依题意，可列方程为（）A．10x−7(1+40%)xC．7(1+40%)x−10【答案】A9．【2023•内江】用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意得方程正确的是（）A．26402x=2640xC．26402x=2640【分析】有工作总量2640，求的是工作效率，那么一定是根据工作时间来列等量关系的．关键描述语是：“甲比乙少用2小时输完”．等量关系为：甲用的时间＝乙用的时间﹣2×60．【答案】D【解析】乙每分钟能输入x个数据，根据题意得：26402x【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．辽宁省6.【2023·大连】将方程去