2024年中考数学专项复习第11章专题一元一次不等式（组）专题42 一元一次不等式的整数解含解析

2024年中考数学专项复习第11章专题一元一次不等式（组）专题42一元一次不等式的整数解含解析专题42一元一次不等式的整数解类型一求一元一次不等式的整数解1．我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．类似地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫做这个二元一次不等式的一个解．对于二元一次不等式x＋2y≤8，它的正整数解有________个．2．若关于的不等式的正整数解是，，，，则整数的最小值是______．3．如图，若满足输出值，则输入的正整数的最小值为______．4．三个连续正整数的和不大于33，这样的正整数有_________组．5．若一个多边形所有内角与其中一个外角的和是1000°，这是_____边形．6．若满足不等式的整数k只有一个，则正整数N的最大值_____7．已知不等式的最小正整数解是方程的解，求a的值．8．已知关于的方程，(1)若该方程的解满足，求的取值范围；(2)若该方程的解是不等式的最小整数解，求的值．9．我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．同样地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫做这个二元一次不等式的一个解．对于二元一次不等式2x+3y≤10，它的正整数解有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．无数个类型二已知整数解求参数或参数范围10．已知关于的不等式只有3个正整数解，则的取值范围为（）A． B． C． D．11．已知关于x的不等式你只有两个正整数解，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．12．关于x的不等式只有3个正整数解，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．13．已知关于的一元一次方程的解为正整数，则所有满足条件的整数有（）个A．3 B．4 C．6 D．814．关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围为（

）A． B． C． D．15．关于x的不等式x-b>0恰有两个负整数解，则b的取值范围是A． B． C． D．16．若不等式的正整数解是1、2、3，则k的取值范围是__________．17．若关于x的不等式只有2个正整数解，则a的取值范围为______．类型三不等式整数解应用18．随“双减”政策的落地，学生的课业负担得到减轻，因而周末参与艺体培训学习的孩子相应有所增加．某舞蹈培训学校计划开设初级班、中级班、高级班，其中初级班与高级班每班人数之比为5：3，中级班每班40人，且中级班每班人数多于高级班每班人数而少于初级班每班人数.去年12月预约报名时各班人数刚好满员，初级班和中级班一共刚好18个班，中级班和高级班共同报了300人；今年3月正式报名时初级班和中级班的报名人数均没有变化，而高级班少报了一个班且还有一个班差2人才满员，且初级班和高级班共报了628人．则该舞蹈培训学校去年12月预约报名共_______人．19．美林湖小区内有甲、乙两种出租用儿童电动汽车，租用一次甲种电动汽车前15分钟内收费15元，超过15分钟后每超过1分钟加收1元（不足1分钟都按1分钟收费）；乙种电动汽车前10分钟内收费5元，超过10分钟后每超过2分钟加收3元（不足2分钟都按2分钟收费）．（1）小明租用的是乙种电动小汽车一次用时15分钟需缴费________元；（2）如果小明租用了其中一种电动小汽车一次用时x分钟，那么当x满足_________时单独租用甲种电动小汽车一次比乙种电动小汽车一次费用更少．20．贴春联是我国过春节时的重要传统习俗，春联有长有短，有五字联，七字联，十二字联等．一副完整的春联由上下两联配一个四字横批组成，如一副五字联“人开致富路，猪拱发财门”，横批“恭喜发财”，共由14个字组成．春节期间，开州书法协会开展现场书写并赠送春联的公益活动，按计划，会员甲需书写五字春联，会员乙需书写七字春联，会员丙需书写十二字春联各若干副，且他们分别书写一副完整的五字、七字和十二字春联所需时间分别是10分钟，15分钟和20分钟，若按计划完成任务，甲与丙的时间之和不超过10小时，且是乙的两倍．实际开展活动时，甲帮丙写了1副横批，乙帮丙写了n副横批，活动结束后，协会统计员惊讶地发现三人书写的字数一样多．则原计划丙需书写十二字春联_______副．三、解答题(共0分)21．为了庆祝中国共青团100周年诞辰，某校将举办“激情五月，青春心向党”为主题的演讲比赛活动，计划用80元钱购买甲、乙两种水晶奖杯作为奖品(两种都买)已知甲种奖杯每个8元，乙种奖杯每个12元，则购买水晶奖杯的方案共有(

)A．3种 B．4种 C．5种 D．6种22．一个自然数能分解成A×B，其中A，B均为两位数，A的十位数字比B的十位数字少1，且A，B的个位数字之和为10，则称这个自然数为“双十数”．例如：∵4819＝61×79，6比7小1，1＋9＝10，∴4819是“双十数”；又如：∵1496＝34×44，3比4小1，4＋4≠10，∴1496不是“双十数”．(1)判断357，836是否是“双十数”，并说明理由；(2)自然数N＝A×B为“双十数”，将两位数A放在两位数B的左边，构成一个新的四位数M．例如：4819＝61×79，M＝6179，若A与B的十位数字之和能被5整除，且M能被7整除，求所有满足条件的自然数N．23．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分：又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了45个48边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．202524．某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a的值至少为（

）A．10 B．9 C．8 D．725．喜迎二十大，学校准备举行诗词大赛．小颖积极报名并认真准备，她想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：①将诗词分成4组，第1组有首、第2组有首、第3组有首、第4组有首；②对于第组诗词，第天背诵第一遍，第天背诵第二遍，第天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵；③每天最多背诵14首，最少背诵4首．7天后，小颖背诵的诗词最多为（

）首．A．21 B．22 C．23 D．2426．在数轴上，点表示1，现将点沿轴做如下移动：第一次点向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次将点向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，如果点与原点的距离不小于30，那么的最小值是（

）A．19 B．20 C．21 D．22专题42一元一次不等式的整数解类型一求一元一次不等式的整数解1．我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．类似地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫做这个二元一次不等式的一个解．对于二元一次不等式x＋2y≤8，它的正整数解有________个．【答案】12【分析】先把作为常数，解不等式得，根据，是正整数，得，求出的正整数值，再分情况进行讨论即可．【详解】解：，，，是正整数，，解得，即只能取1，2，3，当时，，正整数解为：，，，，，，当时，，正整数解为：，，，，当时，，正整数解为：，；综上，它的正整数解有12个．故答案为：12．【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，求出的整数值是本题的关键．2．若关于的不等式的正整数解是，，，，则整数的最小值是______．【答案】【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围．【详解】∵，∴，∵不等式的正整数解恰是，，，，∴，∴的取值范围是．∴整数的最小值是．故答案为：．【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解出不等式的解集，确定的范围是解决本题的关键．解不等式时要用到不等式的基本性质．3．如图，若满足输出值，则输入的正整数的最小值为______．【答案】【分析】分两种情况：当为奇数时，当为偶数时，列出一元一次不等式，进行计算即可解答．【详解】解：当为奇数，由题意得：，解得：，的最小值是，当为偶数，由题意得：，解得：，的最小值是，综上所述，输入的正整数的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，代数式求值，分两种情况进行计算是解题的关键．4．三个连续正整数的和不大于33，这样的正整数有_________组．【答案】10【分析】设三个连续正整数中最小的数为x，则另外两个数分别为（x+1），（x+2），根据三个数之和不大于33，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出结论．【详解】解：设三个连续正整数中最小的数为x，则另外两个数分别为（x+1），（x+2），依题意得：x+x+1+x+2≤33，解得：x≤10．又∵x为正整数，∴符合题意的x值有10（个），则这样的正数有10组．故答案为：10．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．5．若一个多边形所有内角与其中一个外角的和是1000°，这是_____边形．【答案】7【分析】设该多边形为x边形，其中一个外角为y(0°<y<180°)，利用多边形内角和定理结合题意即可完成．【详解】设该多边形为x边形，其中一个外角为y(0°<y<180°)，根据题意可得，(x-2)×180+y=1000，所以y=1360-180x，即可得0<1360-180x<180，解得，因为x是整数，所以x=7，即这个多边形为7边形.故答案为：7.【点睛】本题考查了多边形内角和定理及解不等式，运用方程思想是解题的关键．6．若满足不等式的整数k只有一个，则正整数N的最大值_____【答案】112【分析】对不等式进行变换求出k的范围，再将两分数变成同分母，根据整数k只有一个可得n的值．【详解】已知，则8n+8k＜15n，解得k＜，且，则7n+7k＞13n，解得k＞所以＜k＜通分得．又因为k只有一个．∴只有n=112时，故答案为：112【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的应用、分式的值的问题，正确对分式进行转化是解决本题的关键．7．已知不等式的最小正整数解是方程的解，求a的值．【答案】【分析】首先求出不等式的解集，然后求出x的最小正整数值，最后将x的值代入方程列出关于a的一元一次方程，从而得出a的值．【详解】解：解不等式得，∴不等式的最小正整数解为，把代入，得，解得：．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解，解题的关键是求出x的最小正整数值．8．已知关于的方程，(1)若该方程的解满足，求的取值范围；(2)若该方程的解是不等式的最小整数解，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出方程的解，再根据方程的解满足，得到关于x的不等式，即可求解；（2）求出不等式的解集，根据该方程的解是不等式的最小整数解，可得，即可求解．【详解】（1）解：，解得：，∵该方程的解满足，∴，解得：；（2）解：去括号得：，移项合并同类项得：，解得：．∵该方程的解是不等式的最小整数解，∴，∴，解得：．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次方程，解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．9．我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．同样地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫做这个二元一次不等式的一个解．对于二元一次不等式2x+3y≤10，它的正整数解有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．无数个【答案】B【分析】先解不等式，得到，结合x、y是正整数，则，即可得到答案．【详解】解：∵，∴，∵x、y是正整数，∴，∴，∴y能取1、2、3，当时，有，∴，，，当时，有，∴，，当时，，无正整数解；∴正整数解有5个，故选：B．【点睛】本题考查了新定义以及解不等式，二元一次不等式2x+3y≤0正整数解，求出y的整数值是本题的关键．类型二已知整数解求参数或参数范围10．已知关于的不等式只有3个正整数解，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先解不等式求得不等式的解集，再根据不等式只有三个正整数解，可得到一个关于a的不等式，最后求得a的取值范围即可．【详解】解：解不等式，解得：，不等式有三个正整数解，一定是1、2、3，根据题意得：，解得：，故选：A．【点睛】本题主要考查了不等式的整数解，正确求解不等式得到解集是解答本题的关键．11．已知关于x的不等式你只有两个正整数解，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出关于x的一元一次不等式的解集，根据整数解的个数确定a的取值范围．【详解】解：关于x的不等式ax-a+6＞0只有两个正整数解，∴a＜0，∴不等式的解集为x＜，又∵关于x的不等式ax-a+6＞0只有两个正整数解，∴2＜≤3，解得-6＜a≤-3，故选：B．【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解，掌握一元一次不等式的解法以及整数解定义是正确解答的关键．12．关于x的不等式只有3个正整数解，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先解不等式求得不等式的解集，然后根据不等式只有三个正整数解即可得到一个关于a的不等式，求得a的值．【详解】解：解不等式2x+a≤1得：，不等式有三个正整数解，一定是1、2、3，根据题意得：3⩽<4，解得：-7＜a≤-5，故选：B．【点睛】本题考查了不等式的整数解，解题的关键是正确解不等式，求出解集．13．已知关于的一元一次方程的解为正整数，则所有满足条件的整数有（）个A．3 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】可将原方程化为x关于a的二元一次方程，然后根据x＞0，且x为整数来解出a的值．【详解】解：，，，而，，，，为正整数．所以所有满足条件的整数有4个．故选：B．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握一元一次方程的方法是解题的关键．14．关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先解不等式求得不等式的解集，然后根据不等式只有两个正整数解即可得到一个关于a的不等式，求得a的值．【详解】解：解不等式2x+a≤1得：,不等式有两个正整数解，一定是1和2，根据题意得：解得：-5＜a≤-3．故选C．【点睛】本题考查了不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．15．关于x的不等式x-b>0恰有两个负整数解，则b的取值范围是A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可得不等式恰好有两个负整数解，即-1和-2，再结合不等式计算即可．【详解】解：根据x的不等式x-b>0恰有两个负整数解，可得x的负整数解为-1和-2综合上述可得故选A【点睛】本题主要考查不等式的非整数解，关键在于非整数解的确定．16．若不等式的正整数解是1、2、3，则k的取值范围是__________．【答案】15≤k＜20【分析】首先解关于x的不等式，根据正整数解即可确定k的范围．【详解】解：由不等式5x-k≤0，得：，∵不等式的正整数解是1、2、3，∴3≤＜4，解得：15≤k＜20，故答案为：15≤k＜20．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定k的范围，是解答本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．17．若关于x的不等式只有2个正整数解，则a的取值范围为______．【答案】【分析】先解不等式得，再根据关于的不等式只有2个正整数解，得出不等式的正整数解为1，2，据此得到答案．【详解】解：∵，∴，∵关于x的不等式只有2个正整数解，∴不等式的正整数解为：1，2，∴，故答案为：．【点睛】本题考查解一元一次不等式及其正整数解的情况，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．类型三不等式整数解应用18．随“双减”政策的落地，学生的课业负担得到减轻，因而周末参与艺体培训学习的孩子相应有所增加．某舞蹈培训学校计划开设初级班、中级班、高级班，其中初级班与高级班每班人数之比为5：3，中级班每班40人，且中级班每班人数多于高级班每班人数而少于初级班每班人数.去年12月预约报名时各班人数刚好满员，初级班和中级班一共刚好18个班，中级班和高级班共同报了300人；今年3月正式报名时初级班和中级班的报名人数均没有变化，而高级班少报了一个班且还有一个班差2人才满员，且初级班和高级班共报了628人．则该舞蹈培训学校去年12月预约报名共_______人．【答案】900【分析】根据题意可以列出相应的不等式，然后即可求得初级班和高级班人数的取值范围，再根据题目中的数据，即可求得初级班和高级班的人数、班数，然后即可计算出该舞蹈培训学校去年12月预约报名的总人数．【详解】解：设去年12月份预约报名时，中级班有a个，则初级班有（18-a）个，初级班每班有5x人，高级班每班有3x人，高级班有b个，由题意可得：3x＜40＜5x，解得8＜x＜，∵x为整数，∴x=9，10，11，12或13，40a+3xb=300，解得或或，当a=3，x=10，b=6时，3x=30，5x=50，50×（18-3）+30×（6-1）-2=898≠628，不合实际，舍去；当a=3，x=12，b=5时，3x=36，5x=60，60×（18-3）+36×（5-1）-2≠628，不合实际，舍去；当a=6，x=10，b=2时，3x=30，5x=50，50×（18-6）+30×（2-1）-2=628，符合题意；∴该舞蹈培训学校去年12月预约报名的学生有：50×（18-6）+300=900（人），故答案为：900．【点睛】本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程的应用，解答本题的关键是求出初级班、中级班、高级班的人数．19．美林湖小区内有甲、乙两种出租用儿童电动汽车，租用一次甲种电动汽车前15分钟内收费15元，超过15分钟后每超过1分钟加收1元（不足1分钟都按1分钟收费）；乙种电动汽车前10分钟内收费5元，超过10分钟后每超过2分钟加收3元（不足2分钟都按2分钟收费）．（1）小明租用的是乙种电动小汽车一次用时15分钟需缴费________元；（2）如果小明租用了其中一种电动小汽车一次用时x分钟，那么当x满足_________时单独租用甲种电动小汽车一次比乙种电动小汽车一次费用更少．【答案】

14

或【分析】（1）根据题意列出算式求解即可；（2）小明租用了其中一种电动小汽车一次用时x分钟，根据题意列出两种收费方式，列出不等式，根据甲种电动车不足1分钟都按1分钟收费，乙种电动车不足2分钟都按2分钟收费，分别讨论当时，当时，甲乙的费用，进而求得也符合题意，也可采用表格的方式求得时间段内的缴费，作比较即可求解．【详解】（1）乙种电动汽车前10分钟内收费5元，超过10分钟后每超过2分钟加收3元（不足2分钟都按2分钟收费）．则小明租用的是乙种电动小汽车一次用时15分钟需缴费，则（元）（2）当时，租用甲种电动车需缴费15元，租用乙种电动车需缴费5元，不符题意，当时，租用甲种电动车需缴费15元，由（1）可知租用乙种电动车需缴费最多元，不符题意，当时，解得.甲种电动车不足1分钟都按1分钟收费，乙种电动车不足2分钟都按2分钟收费，当时，租用甲种电动车缴费元，租用乙种电动车缴费5+元，此时费用相等，当时，租用乙种电动车仍为20元，而甲种电动车需要19元，符合题意，当时，甲的费用比乙高，不符合题意，综上所述，或故答案为：或【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意分类讨论是解题的关键．20．贴春联是我国过春节时的重要传统习俗，春联有长有短，有五字联，七字联，十二字联等．一副完整的春联由上下两联配一个四字横批组成，如一副五字联“人开致富路，猪拱发财门”，横批“恭喜发财”，共由14个字组成．春节期间，开州书法协会开展现场书写并赠送春联的公益活动，按计划，会员甲需书写五字春联，会员乙需书写七字春联，会员丙需书写十二字春联各若干副，且他们分别书写一副完整的五字、七字和十二字春联所需时间分别是10分钟，15分钟和20分钟，若按计划完成任务，甲与丙的时间之和不超过10小时，且是乙的两倍．实际开展活动时，甲帮丙写了1副横批，乙帮丙写了n副横批，活动结束后，协会统计员惊讶地发现三人书写的字数一样多．则原计划丙需书写十二字春联_______副．【答案】8【分析】由题意得每副五字春联有2×5+4=14（字）；每副七字春联有2×7+4=18（字）；每副十二字春联有2×12+4=28（字）；若设甲、乙、丙三人最终每人都写了x字，则由题意可得甲社员原计划用时为分钟，乙社员原计划用时分钟，丙社员原计划用时分钟．然后根据等量关系列出方程求解即可．【详解】解：设活动结束时每人都写了x个字，则甲社员计划用时为分钟，乙社员计划用时为分钟，丙社员计划用时为分钟，由题意列方程整理得解得由，把代入解得∵又∵应为整数∴式中应是7的倍数∴∴∴原计划丙需书写十二字春联（副）故答案为：8．【点睛】本题考查了方程与不等式的应用．解题的关键在于审清题意，根据等量关系列方程．21．为了庆祝中国共青团100周年诞辰，某校将举办“激情五月，青春心向党”为主题的演讲比赛活动，计划用80元钱购买甲、乙两种水晶奖杯作为奖品(两种都买)已知甲种奖杯每个8元，乙种奖杯每个12元，则购买水晶奖杯的方案共有(

)A．3种 B．4种 C．5种 D．6种【答案】A【分析】设购买甲种奖杯x个，乙种奖杯y个，利用总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出共有3种购买方案．【详解】设购买甲种奖杯x个，乙种奖杯y个，依题意得：8x+12y=80，∴．又∵x，y均为正整数，∴．∴，且y为偶数∴或或，∴共有3种购买方案．故选：A．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．22．一个自然数能分解成A×B，其中A，B均为两位数，A的十位数字比B的十位数字少1，且A，B的个位数字之和为10，则称这个自然数为“双十数”．例如：∵4819＝61×79，6比7小1，1＋9＝10，∴4819是“双十数”；又如：∵1496＝34×44，3比4小1，4＋4≠10，∴1496不是“双十数”．(1)判断357，836是否是“双十数”，并说明理由；(2)自然数N＝A×B为“双十数”，将两位数A放在两位数B的左边，构成一个新的四位数M．例如：4819＝61×79，M＝6179，若A与B的十位数字之和能被5整除，且M能被7整除，求所有满足条件的自然数N．【答案】(1)357不是“双十数”，是“双十数”(2)【分析】（1）根据定义求解即可；（2）设，，根据定义求得，，根据若A与B的十位数字之和能被5整除，求得或，根据是7的倍数，分类讨论求得的值，进而即可求得(1)解：，比小1，，∴357不是“双十数”．，比小1，，是“双十数”(2)设，，自然数N＝A×B为“双十数”，，A与B的十位数字之和能被5整除，且M能被7整除，，，为正整数且为正整数∴2a+1=5，a=2,2a+1=10,a不是整数，舍去，2a+1=15，a=7,2a+1=20，a不是整数，舍去，或，或是7的倍数①当时，是7的倍数，则即能被7整除不存在使能被7整除的数，此情况不存在②当时，即能被7整除，当时，能别7整除，则当时，，则综上所述，或或【点睛】本题考查了数的整除，二元一次方程组，一元一次不等式，理解新定义是解题的关键．23．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分：又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了45个48边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】C【分析】根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，则各部分的内角和增加．于是，剪过k次后，可得个多边形，这些多边形的内角和为．因为这个多边形中有45个48边形，可求它们的内角和，其余多边形有（个），而这些多边形的内角和不少于．可得不等式，解不等式即可求得答案．【详解】解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，则各部分的内角和增加．于是，设剪过k次后，可得个多边形，这些多边形的内角和为．因为这个多边形中有45个48边形，它们的内角和，其余多边形有（个），而这些多边形的内角和不少．所以，解得：．故至少要剪的刀数是刀．故选C．【点睛】此题考查了多边形的内角和的应用，关键是理解用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加．24．某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a的值至少为（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【分析】根据15名工人前期的工作量+12名工人后期的工作量<2160，列出不等式进行解答即可.【详解】设原计划m天完成，开工x天后3人外出培训，则有15am=2160，得到am=144，由题意得15ax+12(a+2)(m-x)<2160，即：ax+4am+8m-8x<720，∵am=144，∴将其代入得：ax+576+8m-8x<720，即：ax+8m-8x<144，∴ax+8m-8x<am，∴8(m-x)<a(m-x)，∵m>x，∴m-x>0，∴a>8，∴a至少为9，故选B.【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，有一定的难度，解题的关键在于灵活掌握设而不求的解题技巧.25．喜迎二十大，学校准备举行诗词大赛．小颖积极报名并认真准备，她想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：①将诗词分成4组，第1组有首、第2组有首、第3组有首、第4组有首；②对于第组诗词，第天背诵第一遍，第天背诵第二遍，第天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵；③每天最多背诵14首，最少背诵4首．7天后，小颖背诵的诗词最多为（

）首．A．21 B．22 C．23 D．24【答案】C【分析】根据题意列不等式，即可得到结论．【详解】∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，第1组有首、第2组有首、第3组有首、第4组有首；②对于第组诗词，第天背诵第一遍，第天背诵第二遍，第天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵；即第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1组aaa第2组bbb第3组ccc第4组ddd∴由第2天，第3天，第4天，第5天得，a+b≤14①，b+c≤14②，a+c+d=14③，b+d≤14④，①+②+2×③+④≤70得，a+b+b+c+2（a+c+d）+b+d≤70，∴3（a+b+c+d）≤70，∴a+b+c+d≤，7天后背诵首，取整数解即23∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首，故答案为：23．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．26．在数轴上，点表示1，现将点沿轴做如下移动：第一次点向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次将点向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，如果点与原点的距离不小于30，那么的最小值是（

）A．19 B．20 C．21 D．22【答案】B【分析】先根据数轴的定义求出的值，再归纳总结出一般规律，然后根据“点与原点的距离不小于30”列出不等式求解即可．【详解】由题意得：表示的数为，点与原点的距离为表示的数为，点与原点的距离为表示的数为，点与原点的距离为表示的数为，点与原点的距离为表示的数为，点与原点的距离为归纳类推得：当移动次数为奇数时，点与原点的距离；当移动次数为偶数时，点与原点的距离为（其中，n表示移动次数，n为正整数）（1）当移动次数为奇数时由题意得：解得则此时n的最小值为（2）当移动次数为偶数时由题意得：解得则此时n的最小值为综上，n的最小值为故选：B．【点睛】本题考查了数轴的应用、一元一次不等式的应用，掌握理解数轴的定义，并归纳类推出规律是解题关键．专题43根据不等式性质倒范围或最值类型一根据不等式性质倒范围1．阅读下列材料：数学问题：已知，且，，试确定的取值范围．问题解法：，．又，，．又，．①同理得．②由②①得，的取值范围是．完成任务：（1）在数学问题中的条件下，写出的取值范围是_____．（2）已知，且，，试确定的取值范围；（3）已知，，若成立，试确定的取值范围（结果用含a的式子表示）．2．定义：对于任意数，符号表示不大于的最大整数，例如：，，．若，则的取值范围是（

）．A． B． C． D．3．已知三个实数a，b，c满足，，下列结论正确的是（

）A．， B．， C．， D．，4．若，且，，设，则t的取值范围为______．5．若，，，，则________．6．如图，在中，，，点P是的动点（不与点B，C重合），、分别是和的角平分线，的取值范围为，则_______，________．7．已知，为实数，下列说法：①若，且，互为相反数，则；②若，，则；③若，则；④若，则是正数；⑤若，且，则，其中正确的说法有个．A．2 B．3 C．4 D．58．【阅读理解】定义：数轴上给定不重合两点、，若数轴上存在一点，使得点到点的距离等于点到点的距离的2倍，则称点为点与点的“双倍绝对点”．请解答下列问题：(1)【特例探究】若点表示的数为，点表示的数为1，点为点与点的“双倍绝对点”，则点表示的数为______．(2)【抽象探究】若点表示的数为，点表示的数为，则点与点的“双倍绝对点”表示的数为______（用含的代数式表示）．(3)【拓展应用】点表示的数为，点表示的数分别是，，点为线段上一点，设点表示的数为，且点在、两点之间，若点可以为点与点的“双倍绝对点”，直接写出的取值范围．类型二根据不等式性质倒最值9．若a＜b＜c，x＜y＜z，则下面四个代数式的值最大的是（

）A．ax+by+cz B．ax+cy+bz C．bx+ay+cz D．bx+cy+az10．若实数、满足，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．311．已知两个整数a，b，有2a+3b=31，则ab的最大值是______．12．当常数____时，式子的最小值是．13．对任意一个四位数，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称为“幸运数”；如果一个正整数是另一个正整数的平方，则称正整数是完全平方数.若四位数为“幸运数”，且的三十三分之一是完全平方数，则符合条件的最大一个的值为_______．三、解答题(共0分)14．点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c满足：（b+2）2+|c﹣4|＝0，且多项式x|a+3|y﹣axy2﹣1是四次三项式．（1）求a，b，c的值；（2）点D是数轴上的一个点（不与A、B、C重合），当D点满足CD﹣2AD＝4时，求D点对应的数．（3）点S为数轴上一点，它表示的数为x，求|3x+a|+|x﹣a|﹣2|x+b|+|x+c|+|x﹣b|的最小值，并回答这时x的取值范围是多少．15．对于一个四位数n，将这个四位数n千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调后可以得到一个新的四位数，将交换后的数与原数求和后再除以101，所得的商称为原数的“一心一意数”，记作F（n）＝，如n＝5678，对调数字后得＝7856，所以F（n）＝＝134．（1）直接写出F（2021）＝；（2）求证：对于任意一个四位数n，F（n）均为整数；（3）若s＝3800＋10a＋b，t＝1000b＋100a＋13（1≤a≤5，5≤b≤9，a、b均为整数），当3F（t）－F（s）的值能被8整除时，求满足条件的s的所有值．16．已知，其中a，b，c是常数，且.（1）当时，求a的范围.（2）当时，比较b和c的大小.（3）若当时，成立，则的值是多少？专题43根据不等式性质倒范围或最值类型一根据不等式性质倒范围1．阅读下列材料：数学问题：已知，且，，试确定的取值范围．问题解法：，．又，，．又，．①同理得．②由②①得，的取值范围是．完成任务：（1）在数学问题中的条件下，写出的取值范围是_____．（2）已知，且，，试确定的取值范围；（3）已知，，若成立，试确定的取值范围（结果用含a的式子表示）．【答案】（1）；（2）的取值范围是；（3）的取值范围是．【分析】（1）仿照例子，根据不等式的基本性质即可求解；（2）仿照例子，注意由0＜y＜1到-1＜-y＜0的转化，再由不等式同号可加性进行求解；（3）仿照例子，注意确定不等式有解集时，a的取值范围，因此要先确定当a＜-2时，关于x、y的不等式存在解集．【详解】（1），．，，．故答案为．（2），．又，，．又，，．同理得，，的取值范围是．（3），．又，，．又，，．当时，．同理得，，∴当时，的取值范围是．【点睛】本题考查不等式的性质；能够根据例子，仿照例子结合不等式的基本性质解题，注意不等式的同号可加性，是隐含的限定条件．2．定义：对于任意数，符号表示不大于的最大整数，例如：，，．若，则的取值范围是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】符号表示不大于的最大整数，即为小于等于a的最大整数.【详解】因为为小于等于a的最大整数，所以，若＝－6，则的取值范围是，故选B.【点睛】本题考查了对不等关系的理解，解题的关键是理解符号的本质是小于或等于a的最大整数.3．已知三个实数a，b，c满足，，下列结论正确的是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】先把变形为，然后整体代入即可求出，把代入进行化简成，即可判断.【详解】解：∵，∴，又，∴，∴，∵，∴，∴.故选：A.【点睛】此题考查了不等式的性质，完全平方公式等知识点，把代入化简是解题的关键.4．若，且，，设，则t的取值范围为______．【答案】【分析】由条件可得先求解b的取值范围，再把化为，再结合不等式的基本性质可得答案．【详解】解：，，∴解得：而，∵，∴∴t的取值范围是：故答案为：【点睛】本题考查的是不等式的性质，方程思想的应用，求解及是解本题的关键．5．若，，，，则________．【答案】＜【分析】根据绝对值的代数意义来计算．【详解】解：∵∴又∵，∴∴即故答案为：＜．【点睛】本题考查了绝对值的代数意义，熟悉绝对值的代数意义并且正确应用绝对值的计算是解决本题的关键．6．如图，在中，，，点P是的动点（不与点B，C重合），、分别是和的角平分线，的取值范围为，则_______，________．【答案】

105°

150°【分析】根据三角形内角和等于180°及角平分线定义即可表示出∠AIC，从而得到m，n的值即可．【详解】解：设∠BAP=α，则∠APC=α+30°，∵∠BAC=90°，∴∠PCA=60°，∠PAC=90°-α，∵AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，∴∠IAC=∠PAC，∠ICA=∠PCA，∴∠AIC=180°-（∠IAC+∠ICA）=180°-（∠PAC+∠PCA）=180°-（90°-α+60°）=α+105°，∵0＜α＜90°，∴105°＜α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，∴m=105°，n=150°．故答案为：105°，150°．【点睛】本题考查了角平分线的定义，不等式的性质，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．7．已知，为实数，下列说法：①若，且，互为相反数，则；②若，，则；③若，则；④若，则是正数；⑤若，且，则，其中正确的说法有个．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】①除0外，互为相反数的商为，可作判断；②由两数之和小于0，两数之积大于0，得到与都为负数，即小于0，利用负数的绝对值等于它的相反数化简得到结果，即可作出判断；③由的绝对值等于它的相反数，得到为非正数，得到与的大小，即可作出判断；④由绝对值大于绝对值，分情况讨论，即可作出判断；⑤先根据，得，由和有理数乘法法则可得，，分情况可作判断．【详解】解：①若，且，互为相反数，则，本选项正确；②若，则与同号，由，则，，则，本选项正确；③，即，，即，本选项错误；④若，当，时，可得，即，，所以为正数；当，时，，，所以为正数；当，时，，，所以为正数；当，时，，，所以为正数，本选项正确；⑤，，，，，当时，，，不符合题意；所以，，，则，本选项正确；则其中正确的有4个，是①②④⑤．故选：．【点睛】本题考查了相反数，不等式的性质，绝对值和有理数的混合运算，熟练掌握各种运算法则是解本题的关键．8．【阅读理解】定义：数轴上给定不重合两点、，若数轴上存在一点，使得点到点的距离等于点到点的距离的2倍，则称点为点与点的“双倍绝对点”．请解答下列问题：(1)【特例探究】若点表示的数为，点表示的数为1，点为点与点的“双倍绝对点”，则点表示的数为______．(2)【抽象探究】若点表示的数为，点表示的数为，则点与点的“双倍绝对点”表示的数为______（用含的代数式表示）．(3)【拓展应用】点表示的数为，点表示的数分别是，，点为线段上一点，设点表示的数为，且点在、两点之间，若点可以为点与点的“双倍绝对点”，直接写出的取值范围．【答案】(1)对应的数为或．(2)对应的数为或．(3)【分析】（1）设对应的数为，由，再建立方程求解即可；（2）设对应的数为，由，再建立方程求解即可；（3）如图，设对应的数为，可得，，由，可得，结合，从而可得答案．【详解】（1）解：设对应的数为，而点为点与点的“双倍绝对点”，点表示的数为，点表示的数为1，∴，∴，即，∴或，解得：或，∴对应的数为或．（2）设对应的数为，而点为点与点的“双倍绝对点”，点表示的数为，点表示的数为，∴，∴，即，∴或，解得：或，∴对应的数为或．（3）如图，设对应的数为，∴，，∵点可以为点与点的“双倍绝对点”，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查的是新定义运算，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，不等式的性质的应用，理解题意，利用方程与不等式的思想解题是解本题的关键．类型二根据不等式性质倒最值9．若a＜b＜c，x＜y＜z，则下面四个代数式的值最大的是（

）A．ax+by+cz B．ax+cy+bz C．bx+ay+cz D．bx+cy+az【答案】A【分析】先两个多项式的差，然后将它们的差因式分解，判断正负即可．【详解】解：∵b＜c，y＜z，∴b﹣c＜0，y﹣z＜0，∴（ax+by+cz）﹣（ax+bz+cy）＝by+cz﹣bz﹣cy＝b（y﹣z）﹣c（y﹣z）＝（y﹣z）（b﹣c）＞0，∴ax+by+cz＞ax+bz+cy，即A＞B．同理：A＞C，B＞D，∴A式最大．故选：A．【点睛】本题主要考查了整式的加减、不等式的性质、不等式的传递性等知识点，掌握运用作差法比较代数式的大小成为解答本题的关键．10．若实数、满足，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．3【答案】A【分析】将化为（a+3）（b+1）-3的的形式，由求得（a+3）（b+1）≥0，进而解答即可；【详解】解：由，可得a2≤1，b2≤1，∴﹣1≤a≤1，﹣1≤b≤1，=a（b+1）+3（b+1）-3=（a+3）（b+1）-3，∵a+3＞0，b+1≥0，∴（a+3）（b+1）≥0，当b=-1时，有最小值﹣3，故选：A；【点睛】本题考查了等式的变形，不等式的性质；通过变形来判断代数式（a+3）（b+1）的取值范围是解题关键．11．已知两个整数a，b，有2a+3b=31，则ab的最大值是______．【答案】40【分析】由（2a-3b）2≥0变形ab≤（2a+3b）2，即可求得ab的最大值．【详解】解：∵（2a-3b）2≥0，∴（2a+3b）2-4（2a•3b）≥0，∴（2a+3b）2≥4（2a•3b），若ab取的最大值，则a、b都是正整数，∴ab≤（2a+3b）2，∴ab≤，∵a，b是整数，∴ab的最大值为40，故答案为：40．【点睛】本题考查了不等式的性质及应用，主要考查学生的计算能力和思维转换能力，是基础题．12．当常数____时，式子的最小值是．【答案】2或-8【分析】分类讨论当时和当时，再具体分类，最后去绝对值并利用原式的最小值为5即可求出m．【详解】分类讨论（1）当时，①当时，原式．则；②当时，原式；③当时，原式，则．∵原式的最小值为5，∴，∴．（2）当时，①当时，原式．则；②当时，原式；③当时，原式，则．∵原式的最小值为5，∴，∴．综上，m为2或-8．故答案为：2或-8．【点睛】本题考查解不等式及去绝对值，利用分类讨论的思想是解答本题的关键．13．对任意一个四位数，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称为“幸运数”；如果一个正整数是另一个正整数的平方，则称正整数是完全平方数.若四位数为“幸运数”，且的三十三分之一是完全平方数，则符合条件的最大一个的值为_______．【答案】7425【分析】根据题意设出“幸运数”m，求出m＝99（100−10y−x），然后可得，再利用完全平方数的定义确定出的值，进而得出答案．【详解】解：设“幸运数”m的个位数字为x，十位数字为y（x是0到9的整数，y是0到8的整数），∴百位数字为（9−x），千位数字为（9−y），∴m＝1000（9−y）＋100（9−x）＋10y＋x＝9900−990y−99x＝99（100−10y−x），∵x是0到9的整数，y是0到8的整数，∴100−10y−x是整数，∵m＝99（100−10y−x）是四位数，∴1000≤99（100−10y−x）＜10000，∵，∴，∴既是3的倍数，也是完全平方数，∴只有36，81，144，225这四种可能，∴的值为1188或2673或4752或7425，即符合条件的最大一个的值为7425，故答案为：7425．【点睛】此题主要考查了列代数式，整式的加减，不等式的性质以及新定义的理解和掌握，熟记300以内的完全平方数会使解题事半功倍．14．点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c满足：（b+2）2+|c﹣4|＝0，且多项式x|a+3|y﹣axy2﹣1是四次三项式．（1）求a，b，c的值；（2）点