高中数学基础知识基本方法基本学法(文科)

高中数学

基本知识•基本思想•基本方法

•基本学法

主■编刘福生

2006年

高中数学

基本知识•基本思想•基本方法

一、集合与简易逻辑

1.必须弄清集合的元素是什么，是函

数关系中自变量的取值？还是因变

量的取值？还是曲线上的点？…；

2.数形结合是解集合问题的常用方

法，解题时要尽可能地借助数轴、直

角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的

代数问题具体化、形象化、直观化，

然后利用数形结合的思想方法解决；

3.一个语句是否为命题，关键要看能

否判断真假，陈述句、反诘问句都是

命题，而祁使句、疑问句、感叹句都

不是命题；

4.判断命题的真假要以真值表为依据.

原命题与其逆否命题是等价命题，

逆命题与其否命题是等价命题，一

真俱真，一假俱假，当一个命题的真

假不易判断时，可考虑判断其等价命

题的真假；

5.判断命题充要条件的三种方法：（1）

定义法；（2）利用集合间的包含关系

判断，若AC,则A是B的充分条件

或B是A的必要条件；若A=B,则A

是B的充要条件；（3）等价法：即利

用等价关系”AEOXA判断，对于条件或

结论是不等关系（或否定式）的命题，

一般运用等价法；

6.(1)含n个元素的集合的子集个数

为2、真子集(非空子集)个数为2n

-1;

(2)

(3)C;(AUB)=C,AflC,B,C,(AflB)=C,A^C,B-

二、函数：研究函数的问题一定要注

意定义域优先的原则.

L复合函数的有关问题

(1)复合函数定义域求法：若已知

f(x)的定义域为[a,b],其复合函数

f[g(x)]的定义域由不等式aWg(x)Wb

解出即可；若已知f[g(x)]的定义域为

[a,b],求f(x)的定义域,相当于x£[a,b]

时，求g(x)的值域(即f(x)的定义域)

(2)复合函数的单调性由“同增异减”

判定；

2.函数的奇偶性

(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(一

X)二〃|x|)；

(2)定义域含零的奇函数必过原点

(可用于求参数)；

(3)判断函数奇偶性可用定义的等价

形式：f(x)±f(-x)=O或"(f(x)WO);

/(x)

(4)若所给函数的解析式较为复杂，

应先化简，再判断其奇偶性；

(5)奇函数在对称的单调区间内有相

同的单调性；偶函数在对称的单调区

间内有相反的单调性；

3.函数图像(或方程曲线的对称性)

⑴证明函数图像的对称性，即证明图

像上任意点关于对称中心(对称轴)

的对称点仍在图像上；

(2)证明图像G与C2的对称性，即

证明G上任意点关于对称中心(对称

轴)的对称点仍在C2上，反之亦然；

(3)曲线Ci：f(x,y)=O,关于y=x+a(y=

—x+a)的对称曲线C2的方程为f(y—

a,x+a)=O(或f(—y+a,—x+a)=O);

(4)曲线Ci：f(x,y)=O关于点(a,b)

的对称曲线C2方程为：f(2a—x,2b—

y)=o；

(5)若函数y=f(x)对x£R时，

f(a+x)=f(a—x)恒成立,则y=f(x)图像

关于直线x=a对称；

(6)函数y=f(x—a)与y=f(b—x)的图

像关于直线x二学对称；

4.函数的周期性

(l)y=f(x)对x£R时，f(x+a)=f(x—a)

或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立，则

y=f(x)是周期为2a的周期函数；

(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关

于直线x=a对称，则f(x)是周期为2

Ia|的周期函数；

(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于

直线x=a对称，则f(x)是周期为4|a

I的周期函数；

(4)若y=f(x)关于点(a,O),(b,O)对称，

则f(x)是周期为2|”司的周期函数；

(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a

Wb)对称,则函数y=f(x)是周期为2\a-b\

的周期函数；

(6)y=f(x)对x£R时，f(x+a)=—

f(x)(或f(x+a)=__L,则y=f(x)是周期

,f(x)

为2同的周期函数；

5.方程k=f(x)有解=k£D(D为f(x)的

值域)；

6.a2f(x)=a2[f(x)]max,;aWf(x)

=aW[f(X)]min；

n+

7.(1)log。b=loga„b(a>0,aWl,b>0,n£R);

(2)1ogN=i^(a>0,aWl,b>0,bW

'alogia

1)；

(3)logab的符号由口诀“同正异负”

记忆；

(4)a,0§aN=N(a>0,aWl,N>0);

8.能熟练地用定义证明函数的单调

性，求反函数，判断函数的奇偶性.

9.判断对应是否为映射时，抓住两点:

(DA中元素必须都有象且唯一;(2)

B中元素不一定都有原象，并且A中

不同元素在B中可以有相同的象；

10.对于反函数，应掌握以下一些结

论：(1)定义域上的单调函数必有反

函数；(2)奇函数的反函数也是奇函

数；(3)定义域为非单元素集的偶函

数不存在反函数；(4)周期函数不存

在反函数；(5)互为反函数的两个函

数具有相同的单调性；(5)y=f(x)与

y=fi(x)互为反函数，设f(x)的定义域

为A,值域为B,则有f[fi(x)]=x(x£

B),f1[f(x)]=x(xeA).

11.处理二次函数的问题勿忘数形结

合；二次函数在闭区间上必有最值，

求最值问题用“两看法”：一看开口

方向；二看对称轴与所给区间的相对

位置关系；

12.恒成立问题的处理方法：(1)分离

参数法；(2)转化为一元二次方程的

根的分布列不等式(组)求解；

13.依据单调性，利用一次函数在区间

上的保号性可解决求一类参数的范

围问题：

一、，(ae0-，(aHO

/(〃)=g(x)u+h(x)20(或WOXaWuWb)O“(b巨0(个f(bH0)；

aC

14.掌握函数=a+^-(b-ac^O)-,y=x+-(c>0)的

x+cx+cX

图象和性质;

y=-ax-+h=a-\-b--a-c

函a.八、

x+cx+cy=x+—X(a>07

(b-acNO)

数

定

义(-00,-c)U(c,+oo)(-oo,0)u(0,+oo)

域

值(一8M)5。,+0°)(-oo,-u[2,x/^,+oo)

域

奇

偶

非奇非偶奇函数

性

函数

当b-ac>0在

时：(-oo,-Va],[Va,+oo)H.

单分别在单调递增；

(-00-c),(c,+oo)在[-疯0),(0,上

调单调递减；单调递增；

当b-ac<0

性时：

分别在

(-00,一c),(c,+oo)_E1

单调递增；

1.由Sn求ama={^（rt：1）注意验

nS">2,neN）

证由是否包含在后面的公式中，

若不符合要单独列出.一般已知条件

中含an与Sn的关系的数列题均可考

虑用上述公式；

2.等差数列

{4}oafl=d（d为常数）<=>2an=an+x+an_^n>2,nEN*）

2

0c1n=+bo=An+Bn；

3.等比数列

nl

{ajoa；=3^-an+1（n>2,neN）«an=a,-q;

4.首项为正（或为负）的递减（或递

增）的等差数列前n项和的最大（或

最小）问题，转化为解不等式

忆:轲：口解决；

5.熟记等差、等比数列的定义，通项

公式，前n项和公式，在用等比数列

前n项和公式时,勿忘分类讨论思想；

6.等差数列中，a=a+（n—m）d,小9;

mnm-n

等比数列中…产amqmm；q=p；

7.当m+n=p+q（m>n>p>q£N*）

时，对等差数列｛an｝有：am+an=ap+aq；

对等比数列｛an｝有:aman=apaq；

8.若｛a，、｛6｝是等差数列，则

｛kan+bbn｝（k>b、a是非零常数）是等

差数列；若｛an｝、｛bn｝是等比数列,则

｛ka^、但口及｝等也是等比数列;

9.等差（或等比）数列的“间隔相等

的连续等长片断和序列”（如

^1+^2+^3^4+^5+^6^7+^8+^9**«）仍是等

差（或等比）数列；

10.对等差数列｛an｝，当项数为2n时，

S偶S奇=nd；

项数为2n—1时，S奇一S偶

=a中（n£N*）；

11.若一阶线性递归数列a^kan-j+b（k

W0,kWl），则总可以将其改写变形成

如下形式:上）（nN2）,于是可

k-1k-1

依据等比数列的定义求出其通项公

式；

四、三角函数

1.三角函数符号规律记忆口诀：一全

正，二正弦，三是切，四余弦；

2.对于诱导公式，可用“奇变偶不变，

符号看象限”概括；

3.记住同角三角函数的基本关系，熟

练掌握三角函数的定义、图像、性质；

①倒数关系：tanacotcr=1

②商数关系：^=tana;*=cota.

cosasincr

③平方关系：sin为+cos2a=1

4.熟知正弦、余弦、正切的和、差、

倍公式，正余弦定理，处理三角形内

的三角函数问题勿忘三内角和等于

180°,般用正余弦定理实施边角互

化.

①cos（a

土力）=cosacos力+sincasing

（2）sin（cr±0）=sinacos0±cososin4

③…二m

sin2a=2sin«coscr

（5）cos2a=cos%-sin26z=1-2sin2a=2cos2«-1

_2tan6z

tan2a=....-

®1-tana

⑦sin技1-cos2aa1+cos2a

2,cos—=-----------

222

sina

⑨.积化和差公式

sin改os尸=—[sin(a+/7)+sin(«-尸)]

2

coscffiin夕=-[sin(cr+4)-sin(a一夕)]

2

sinosin.=——[cos(a+/?)-cos(«-尸)]

2

cosacos夕=[cos(cr+0+cos(a-/)]

a+Ba-B

sin«+sin/?=2sin------cos------

22

⑩.和差化积公式

a+B.cc—B

sina-sin/?=2cos------sin......-

22

a+Ba-B

cosa+cos尸=2cos-------cos------

22

a+B.(X—B

cosa-cosy?=-2sin------sm------

22

11.万能公式

i,2a

2tan-1-tan

.a2a

sin—=-----------«cos—______2_

2i,,2a2i,2a'

1+tan1+tan

22

〜

2tana

a

tan—=2

21—tan

2

5.正弦型函数y=Asin(6wx+°)的对称轴为

-El二对称中心为匕工。)《3；

类似可得余弦函数型的对称轴和对

称中心；

注：图像变换易错点：

y=sint()xfy=sin(Gx+°)(平移—)

CD

6.(1)正弦平方差公式：sin2A—

sin2B=sin(A+B)sin(A-B);(2)三角

形的内切圆半径r=4；(3)三角形

a+b+c

的外接圆直径a_b_c

2R=sinAsinBsinC'

五、平面向量

1.两个向量平行的充要条件，设

a=(xi,yi),b=(X2,y2»为实数.(D向量

式：a〃b(bWO)oa3b;(2)坐标式:

a/7b(b^0)ox1y2—x2yx=0;

2.两个向量垂直的充要条件，设

a=(xBy1),b=(x2,y2),(1)向量式：a

_Lb(bN0)oa・b=0;(2)坐标式：a

±box1x2+yiy2=0;

3.设a=(xi,y)b=(x2,y2),则

a*b=ppcos^=xiX2+yiy25^^

a.b等于a的长度与b在a的方向上

的投影的乘积；

4.设A(xbx2)>B(x2,y2)，则S/AOB=

272Ml9

5.平面向量数量积的坐标表示：

(1)若a=(xi,y)b=(x2j2),则

2

卜J(x-x)2；

a.b=xix2+yiy2;|AByl2+(j]-y2)

(2)若a=(x,y),则

222____

a=a>a=x+y丽=7777；

六、不等式

1.掌握不等式性质，注意使用条件；

2.掌握几类不等式(一元一次、二次、

绝对值不等式、简单的指数、对数不

等式）的解法，尤其注意用分类讨论

的思想解含参数的不等式；勿忘数轴

标根法，零点分区间法；

3.掌握用均值不等式求最值的方法，

在使用a+b22Ha>0,b>0）时要符合

“一正二定三相等”；注意均值不等

式的一些变形，如>（叱尸；M4（3）2；

222

七、直线和圆的方程

直线方程的五种形式：点斜式：

y-y0=k（x—x°）斜截式：y=kx+b；两点

截距式：二白1,一般式：

ab

Ax+By+C=0(A2+B2wO)

圆的方程：

标准式：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)

一般式:x?+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)

参数式:[x=a+rcos6g为参数)

y=b+rsm3

L设三角形的三个顶点是A（、,yD、

B（X2j2）、c（X3,y3）,则/ABC的重心

G为（%+x?+%4+%+%）；

3'3'

2.直线h：AiX+Biy+C产0与12:

A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是

AiAz+BiB2=。;

3.两条平行线Ax+By+Cx=O与

Ax+By+C=0的距离是八至与；

2yjA2+B2

4.Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆

的充要条件：A=CW0且B=0且

D2+E2-4AF>0；

5.过圆x2+y2=/上的点M（x（）,yo）的切

2

线方程为：x0x+y0y=r;

6.以A（xi，y。、B（X2,y2）为直径的圆的

方程是（x—XiNx—xaHG—yLKy-

yzAO；

7.求解线性规划问题的步骤是：（1）

根据实际问题的约束条件列出不等

式；(2)作出可行域，写出目标函数;

(3)确定目标函数的最优位置，从

而获得最优解；

八、圆锥曲线方程

L椭圆焦半径公式：设P(xo,yo)为

椭圆(a>b>0)上任一点，焦点

a-h

为FI(・C,0),F2(C,0),则附|=。+倏,忸叫"(e

为离心率)；

2.双曲线焦半径公式：设P(x0,yo)

为双曲线Ui(a>0,b>0)上任一点,

a2b2

焦点为FiGc,O)H(c,O),则:

(1)当P点在右支上时，

|「制=a+ex0,\PF2\=-a+%；

(2)当P点在左支上时，

|PF1|=-a-exn,\PF2\=a-ex0,(e为离心率)；

另：双曲线..(a>0,b>0)的

a2b2

渐进线方程为

a2b2

3.抛物线焦半径公式：设P(x0,y。)

为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，F

为焦点，则|PF|="0+多y2=2px(p<0)±

任意一点，F为焦点，贝!J|P个-%+力

4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解

题；

5.共渐近线一1的双曲线标准方程为

a

小马山为参数，/WO);

a2h-

6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径

公式，

一般地，若斜率为k的直线被圆锥

曲线所截得的弦为AB,A、B两点

分别为A(xi，yx)>B(x2,y2)，则弦长

|AB|=Jl+Y.|x2-x,|=)(1+，)］区+々)2-4占々］

=J"},|乃-W=J。+*)•［(%+丫2)2—4必力］,

注：这里体现了解析几何“设

而不求”的解题思想；

7.椭圆、双曲线的通径(最短弦)为空a,

焦准距为抛C物线的通径为2p,

焦准距为p;双曲线之a24b2I(a>0,b>0)

的焦点到渐近线的距离为b;

8.中心在原点，坐标轴为对称轴的椭

圆，双曲线方程可设为AX2+BX2=1；

9.抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦(过焦

点F的弦)为AB,A(xbyx)>B(x2,y2),

则有如下结论：(1)M=xi+x2+p；(2)

yiy2=—p2,XIX2=AL；

⑶高+白二.(4)|AB|=普(a是直线

|FA||FB|psin

AB的倾斜角)

10.过椭圆事a2金b।2(a>b>0)左焦点的焦

点弦为AB,则\AB\=2a+e(x]+x2),过右焦点

的弦\AB\=2a-e(X]+x2)；

11.对于y2=2px(pW0)抛物线上的点的

坐标可设为(手，y°),以简化计算；

12.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中

点问题常用代点相减法，设A(xi，y。、

B(x2j2)为椭圆(a>b>0)上不同

ab

的两点，M(xo,y°)是AB的中点，贝!J

KABKOM=-(；对于双曲线匚匚1(a>0,

a-b~

b>0),类似可得：KAB・KOM=(；对于

a~

y2=2px(pW0)抛物线有KAB=^

%+为

13.求轨迹的常用方法：

(1)直接法：直接通过建立x、y之

间的关系，构成F(x,y)=O,是求轨迹

的最基本的方法；步骤为：建(建系)

设(设点)现(将动点M满足的等量

关系列出)代(将M点的坐标代入上

述等量关系)化(将等式化简).最后

要检验纯粹性.

(2)待定系数法：所求曲线是所学

过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可

先根据条件列出所求曲线的方程，再

由条件确定其待定系数，代回所列的

方程即可；

(3)代入法(相关点法或转移法)：

若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(xi,yi)

的变化而变化，并且Q(xi,y。又在某

已知日线上，则可先用x、y的代数

式表示Xi、yi，再将Xi、yi带入已知

曲线得要求的轨迹方程；

(4)定义法：如果能够确定动点的

轨迹满足某已知曲线的定义，则可由

曲线的定义直接写出方程；

(5)参数法：当动点P(x,y)坐标

之间的关系不易直接找到，也没有相

关动点可用时，可考虑将x、y均用

一中间变量(参数)表示，得参数方

程，再消去参数得普通方程.

九、直线、平面、简单几何体

L从一点O出发的三条射线OA、OB、

OC,若NAOB=NAOC,则点A在

平面NBOC上的射影在NBOC的平

分线上；

2.已知:直二面角M—AB—N中，AE

uM,BFuN,NEABj,NABF=%,

异面直线AE与BF所成的角为则

cos6=cos4cos/；

3.立平斜公式：如图，AB和平面所成

的角是、AC在平面内，AC和AB

的射影AB成％,设NBAC-则

cos仇cos%=cos%;

4.异面直线所成角的求法：

(1)平移法：在异面直线中的一条

直线中选择一特殊点，作另一条的平

行线；

(2)补形法：把空间图形补成熟悉

的或完整的几何体，如正方体、平行

六面体、长方体等，其目的在于容易

发现两条异面直线间的关系；

5.直线与平面所成的角

斜线和平面所成的是一个直角三角

形的锐角，它的三条边分别是平面的

垂线段、斜线段及斜线段在平面上的

射影.通常通过斜线上某个特殊点作

出平面的垂线段，垂足和斜足的连

线，是产生线面角的关键；

6•二面角的求法

(1)定义法：直接在二面角的棱上

取一点(特殊点)，分别在两个半平

面内作棱的垂线，得出平面角，用定

义法时，要认真观察图形的特性；

(2)三垂线法：已知二面角其中一

个面内一点到一个面的垂线，用三垂

线定理或逆定理作出二面角的平面

角；

(3)垂面法：已知二面角内一点到

两个面的垂线时，过两垂线作平面与

两个半平面的交线所成的角即为平

面角，由此可知，二面角的平面角所

在的平面与棱垂直；

(4)射影法：利用面积射影公式S射

=3原8§夕,其中，为平面角的大小，此

方法不必在图形中画出平面角；

特别:对于一类没有给出棱的二面

角，应先延伸两个半平面，使之相交

出现棱，然后再选用上述方法(尤其

要考虑射影法).

7.空间距离的求法

(1)两异面直线间的距离，高考要

求是给出公垂线，所以一般先利用垂

直作出公垂线，然后再进行计算；

(2)求点到直线的距离，一般用三

垂线定理作出垂线再求解；

(3)求点到平面的距离，一是用垂

面法，借助面面垂直的性质来作，因

此，确定已知面的垂面是关键；二.

是用转化法，转化为线面距,三是用等

体积法.不作出公垂线，转化为求三棱

锥的高，利用等体积法列方程求解；

8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相

等，记为09贝1flM.cos6=S底；

9.已知:长方体的体对角线与过同一顶

点的三条棱所成的角分别为“因此

有CoLe+cosZ/j+CoJ尸1;若长方体的体

对角线与过同一顶点的三侧面所成的

角分别为a,/3,y,则有

222f

COSa+cosZ?+COSz=2;

10.正方体和长方体的外接球的直径

等与其体对角线长；

1L欧拉公式：如果简单多面体的顶点

数为V,面数为F,棱数为E.那么V+F

-E=2；并且棱数后=各顶点连着的

棱数和的一半=各面边数和的一半；

12•球的体积公式表面积公式

s.4成2；掌握球面上两点A、B间的距

离求法：(1)计算线段AB的长，(2)

计算球心角NAOB的弧度数；(3)用

弧长公式计算劣弧AB的长；

十、排列组合和概率

1.排列数公式:A=n(n-l)(n-2)•・・(n-m

+l)=7^(mWn,m、n£N*),当m=n时

为全排列A：=n(n・l)(n.2)…3.2.1;

2•组合数公式：c："』=-1)…(…-1)(m

"mlw—1)•—2)•••3•2•1

Wn),c：=c；=i；

3.组合数性质：C：=c,3+C3=以；

4.常用性质:n.n!=(n+l)!-n!;BP

*=A,；—+」+…+C；=C；：；;

(IWrWn);

5.二项式定理：(1)掌握二项展开式

的通项：丁川=C；a"W(r=0，l，2，・“，〃)；

(2)注意第r+1项二项式系数与第

r+1系数的区别；

6.二项式系数具有下列性质：

(1)与首末两端等距离的二项式系数

相等；

(2)若n为偶数，中间一项(第之+1

项)的二项式系数最大；若n为奇数,

中间两项(第等和一+1项)的二项

式系数最大；

(3)c：+c：+c"..+c：=2"£+c"..=c：+c"..=2"T；

7.F(x)=(ax+b)n展开式的各项系数和

为f(l);奇数项系数和为^[/(1)-/(-1)15

偶数项的系数和为g"(l)+/(T)]；

8.概率：

(1)等可能事件的概率公式：P(A)

9

rn

(2)互斥事件分别发生的概率公式

为：P(A+B)=P(A)+P(B)；

(3)相互独立事件同时发生的概率

公式为P(AB)=P(A)P(B)；

(4)独立重复试验概率公式

Pn(k)=C,"(l-p)i；

⑸如果事件A、B互斥，那么事件A

与八才与方及事件彳与方也都是互斥

事件；

(6)如果事件A、B相互独立，那么

事件A、B至少有一个不发生的概率

是：

1-P(AB)=1-P(A)P(B)；

(6)如果事件A、B相互独立，那么

事件A、B至少有一个发生的概率是:

1-P(A.B)=—P⑴P⑴；

文科选修内容基本知识

十一、抽样方法、总体分布的估计与

总体的期望和方差

1.掌握抽样的二种方法：（1）简单随

机抽样（包括抽签符和随机数表法）;

（2）分层抽样，常用于某个总体由

差异明显的几部分组成的情形；

2.总体分布的估计：用样本估计总体,

是研究统计问题的一个基本思想方

法，一般地，样本容量越大，这种估

计就越精确，要求能画出频率分布表

和频率分布直方图；

3.总体特征数的估计：（1）学会用样

本平均数4…+…力/去估计总体平

nn

均数；（2）学会用样本方差

52=-[（x,-x）2+（x-x）2+.••+（%„-x）2]

n2

」£区-方,-港）去估计总体方差，及总

〃/=inJ=i

体标准差；（2）学会用修正的样本方

方差小会用s*去估计T

十一导数乃应用

1.魄的定义：f(x)在点X。处的导数

记作小.=f'(x0)=[m"x°+、)7(x。);

2.根据导数的定义，求函数的导数步

骤为：

(1)求函数的增量Ay=/(x+Ax)-f(x);

⑵求平均变化率包=/(x+Ar)-/(x)•

AxAx

(3)取极限，得导数小小包;

Ax

3.导数的几何意义：曲线y=f(x)在

点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是八%).

相应地，切线方程是y-y0=f'M(x-x0\

4.常见函数的导数公式：

(7=0©为常数)；(*"7=11«-'」(111€(2)；

5.导数的应用：(1)利用导数判断函

数的单调性：设函数y=f(x)在某

个区间内可导，如果八＞0,那么f(x)为

增函数;如果八…那么f(X)为减函数;

如果在某个区间内恒有")=0,那么f(X)

为常数；

(2)求可导函数极值的步骤：①求导

数八X)；②求方程r(x)=o的根；③检验人)

在方程八)=。根的左右的符号，如果左

正右负，那么函数y=f(x)在这个根处

取得最大值；如果左负右正，那么函

数y=f(x)在这个根处取得最小值；

(3)求可导函数最大值与最小值的步

骤：①求y=f(x)在(a,b)内的极值；②

将y=f(x)在各极值点的极值与f(a)、

f(b)比较，其中最大的一个为最大

值，最小的一个是最小值.

中学数学重要数学思想

一、函数方程思想

函数方程思想就是用函数、方程的观点

和方法处理变量或未知数之间的关系，

从而解决问题的一种思维方式，是很重

要的数学思想.

1.函数思想：把某变化过程中的一些相

互制约的变量用函数关系表达出来，并

研究这些量间的相互制约关系，最后解

决问题，这就是函数思想；

2.应用函数思想解题，确立变量之间的

函数关系是一关键步骤，大体可分为下

面两个步骤：（1）根据题意建立变量之

间的函数关系式，把问题转化为相应的

函数问题；（2）根据需要构造函数，利

用函数的相关知识解决问题；（3）方程

思想：在某变化过程中，往往需要根据

一些要求，确定某些变量的值，这时常

常列出这些变量的方程或（方程组），

通过解方程（或方程组）求出它们，这

就是方程思想；

3.函数与方程是两个有着密切联系的数

学概念，它们之间相互渗透，很多方程

的问题需要用函数的知识和方法解决，

很多函数的问题也需要用方程的方法

的支援，函数与方程之间的辩证关系，

形成了函数方程思想.

二、数形结合思想

数形结合是中学数学中四种重要思想

方法之一，对于所研究的代数问题，有

时可研究其对应几何的性质使问题得

以解决（以形助数）；或者对于所研究

的几何问题，可借助于对应图形的数量

关系使问题得以解决（以数助形），这

种解决问题的方法称之为数形结合.

L数形结合与数形转化的目的是为了发

挥形的生动性和直观性，发挥数的思路

的规范性与严密性，两者相辅相成，扬

长避短.

2.恩格斯是这样来定义数学的：“数学是

研究现实世界的量的关系与空间形式

的科学”.这就是说：数形结合是数学的

本质特征，宇宙间万事万物无不是数和

形的和谐的统一.因此，数学学习中突出

数形结合思想正是充分把握住了数学

的精髓和灵魂.

3.数形结合的本质是：几何图形的性质

反映了数量关系，数量关系决定了几何

图形的性质.

4.华罗庚先生曾指出：“数缺性时少直

观，形少数时难入微；数形结合百般好,

隔裂分家万事非.”数形结合作为一种数

学思想方法的应用大致分为两种情形：

或借助于数的精确性来阐明形的某些

属性，或者借助于形的几何直观性来阐

明数之间的某种关系.

5.把数作为手段的数形结合主要体现在

解析几何中，历年高考的解答题都有关

于这个方面的考查(即用代数方法研究

几何问题).而以形为手段的数形结合在

高考客观题中体现.

6.我们要抓住以下几点数形结合的解题

要领：

(1)对于研究距离、角或面积的问题，

可直接从几何图形入手进行求解即可；

(2)对于研究函数、方程或不等式(最

值)的问题，可通过函数的图象求解(函

数的零点，顶点是关键点)，作好知识

的迁移与综合运用；

(3)对于以下类型的问题需要注意：

(1)7(%a)2+(yb)2-,(2)y~a-O)Ax+By-(4)F(cos^,sin^);(5)a2+ab+b2;可

x-h

分别通过构造距离函数、斜率函数、截

距函数、单位圆x?+y2=l上的点(cossin。)及

余弦定理进行转化达到解题目的.

三、分类讨论的数学思想

分类讨论是一种重要的数学思想方法，

当问题的对象不能进行统一研究时，就

需要对研究的对象进行分类，然后对每

一类分别研究，给出每一类的结果，最

终综合各类结果得到整个问题的解答.

1.有关分类讨论的数学问题需要运用分

类讨论思想来解决，引起分类讨论的原

因大致可归纳为如下几种：

(1)涉及的数学概念是分类讨论的；

(2)运用的数学定理、公式、或运算

性质、法则是分类给出的；

(3)求解的数学问题的结论有多种情

况或多种可能性；

(4)数学问题中含有参变量，这些参

变量的不同取值导致不同的结果的；

(5)较复杂或非常规的数学问题，需

要采取分类讨论的解题策略来解决的.

2.分类讨论是一种逻辑方法，在中学数

学中有极广泛的应用.根据不同标准可

以有不同的分类方法，但分类必须从同

一标准出发，做到不重复，不遗漏，

包含各种情况，同时要有利于问题研究.

四、化归与转化思想

所谓化归思想方法，就是在研究和解决

有关数学问题时采用某种手段将问题

通过变换使之转化，进而达到解决的一

种方法.一般总是将复杂的问题通过变

化转化为简单的问题，将难解问题通过

变换转化为容易求解的问题，将未解决

的问题转化为已解决的问题.

立体几何中常用的转化手段有

1.通过辅助平面转化为平面问题，把已

知元素和未知元素聚集在一个平面内，

实现点线、线线、线面、面面位置关系

的转化；

2.平移和射影，通过平移或射影达到将

立体几何问题转化为平面问题，化未知

为已知的目的；

3.等积与割补；

4.类比和联想；

5.曲与直的转化；

6.体积比，面积比，长度比的转化；

7.解析几何本身的创建过程就是“数”

与“形”之间互相转化的过程.解析几何

把数学的主要研究对象数量关系与几

何图形联系起来，把代数与几何融合为

一体.

中学数学常用解题方法

1.配方法

配方法是指将一代数形式变形成

一个或几个代数式平方的形式，其基本

形式是：ax2+bx+c~+—…•高考

中常见的基本配方形式有：

(1)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+

2ab;

(2)a2+b2+ab=(.+*+(亭炉；

(3)a2+b2+c2=(a+b+c)2-2ab-2

ac-2be;

(4)a2+b2+c2-ab-be-ac=

|[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2];

(5)x~+4=(x+—)~—2W

%-x

配方法主要适用于与二次项有关

的函数、方程、等式、不等式的讨论，

求解与证明及二次曲线的讨论.

2.待定系数法

㈠待定系数法是把具有某种确定性时

的数学问题，通过引入一些待定的系

数，转化为方程组来解决.待定系数法的

主要理论依据是：

(1)多项式f(x)=g(x)的充要条件是：

对于任意一个值a,都有f(a)=g(a);

(2)多项式f(x)三g(x)的充要条件是:

两个多项式各同类项的系数对应相等；

㈡运用待定系数法的步骤是：

(1)确定所给问题含待定系数的解析

式(或曲线方程等)；

(2)根据恒等条件，列出一组含待定

系数的方程；

(3)解方程或消去待定系数，从而使

问题得到解决；

㈢待定系数法主要适用于：求函数的

解析式，求曲线的方程，因式分解等.

换元法是指引入一个或几个新的

变量代替原来的某些变量(或代数式),

对新的变量求出结果之后，返回去求原

变量的结果.换元法通过引入新的元素

将分散的条件联系起来，或者把隐含的

条件显示出来，或者把条件与结论联系

起来，或者变为熟悉的问题.其理论根据

是等量代换.高中数学中换元法主要有

以下两类：

(1)整体换元：以“元”换“式々

(2)三角换元，以“式”换“元”；

(3)此外，还有对称换元、均值换元、

万能换元等；换元法应用比较广泛.如解

方程，解不等式，证明不等式，求函数

的值域，求数列的通项与和等，另外在

解析几何中也有广泛的应用.运用换元

法解题时要注意新元的约束条件和整

体置换的策略.

4,向量法

向量法是运用向量知识解决问题

的一种方法，解题常用下列知识：

(1)向量的几何表示，两个向量共线

的充要条件；(2)平面向量基本定理及

其理论；

(3)利用向量的数量积处理有关长度、

角度和垂直的问题；

(4)两点间距离公式、线段的定比分

点公式、平移公式；

5.分析法、综合法

(1)分析法是从所求证的结果出发，

逐步推出能使它成立的条件，直至已知

的事实为止；分析法是一种“执果索因”

的直接证法.

(2)综合法是从已经证明的结论、公

式出发，逐步推出所要求证的结论.综合

法是一种“由因导果”，叙述流畅的直

接证法

(3)分析法、综合法是证明数学问题

的两大最基本的方法.分析法“执果索

因”的分析方法，思路清晰，容易找到

解题路子，但书写格式要求较高，不容

易叙述清楚，所以分析法、综合法常常

交替使用.分析法、综合法应用很广，

几乎所有题都可以用这两个方法来解.

6.反证法

反证法是数学证明的一种重要方

法，因为命题p与它的否定非p的真假

相反，所以要证一个命题为真，只要证

它的否定为假即可.这种从证明矛盾命

题(即命题的否定)为假进而证明命题

为真的证明方法叫做反证法.

㈠反证法证明的一般步骤是：

(1)反设：假设命题的结论不成立，

即假设结论的反面成立；

(2)归谬：从命题的条件和所作的结

论出发，经过正确的推理论证，得出矛盾

的结果.

（3）基论：有矛盾判定假设不正确，

从而肯定的结论正确；

㈡反证法的适用范围：（1）已知条件

很少或由已知条件能推得的结论很少

时的命题；

（2）结论的反面是比原结论更具体、

更简单的命题，特别是结论是否定形式

（“不是”、“不可能”、“不可得”）等的

命题；（3）涉及各种无限结论的命题；

（4）以“最多（少）、若干个”为结论

的命题；（5）存在性命题；（6）唯一性

命题；（7）某些定理的逆定理；

（8）一般关系不明确或难于直接证明

的不等式等.

㈢反证法的逻辑依据是“矛盾律”和

“排中律”.

7.另外:还有数学归纳法、同一法、整体

代换法

高中数学学法指导

一、崭新的数学观：

1988—1991年，我国数学家群体两

次云集南开大学，召开了世人关注的

“二十一世纪中国数学展望学术讨论

会。国家自然科学基金会向大会的报

告中明确指出：“今天可以说，数学是

关于模式和秩序的科学”.

1.什么是数学模式？

数学中的所有定义、定理、公式、

法则、原理和具体方法（如待定系数法,

数学归纳法等）都是数学模式.

2.什么是数学秩序？

秩序就是有条理，不混乱.

数学秩序指的是①数学理论是有数

学模式组成的一个逻辑有序的系统结

构，即数学是一个有机的整体.②数学中

每个问题的解决，只能是从已知到目标

的一系列逻辑推理、演算的有序过程.

二、数学认知三角形：

1.数学知识的内化：知识的内化是数学

学习的起点.知识的内化要做到：了解

知识的发生过程，把握知识的结构特

征，弄清知识适用的条件，掌握知识

的本质和功能,并且能了解该知识点

在这一章乃至在整个数学学科中的地

位和作用.

2.数学技能的形成：数学技能是顺利

完成数学任务的一种活动方式或心智

活动方式.技能的形成要经历…规范

化…熟练化…自动化三个步骤.

3.经验，思想，观念的获得：要获得经

验思想观念，一要有强烈的“收获意

识只

二只有通过不断的反思.

4.智力参与：在以上的三个环节中要积

极主动地参与到活动中去，不断提高

各环节的效率.

5.在认知三角形中，三个顶点和中心是

相辅相成的一个整体.

三、数学学习四步通法：

1.确认问题：要弄清楚问题的条件、

目标和性质.

2.探索发现：主动参与解决问题途径

的探索，力争自己独立解决这个问题.

3.交流对比：勇敢地参与交流吧；听

十遍不如自己讲一遍.

4.反思评价：在交流对比的过程中或

过程后，对别人的和自己的发现和体

会进行反思、评价，捕捉有用的观念

和思想，找出其中的不足和问题，是

使认识深化所必需的.

特别说明的是:反思要抓住重点.

如对问题解决来说，要反思：

①解法能不能进一步简化；

②能不能找到更好的解法？

③能不能讲问题推而广之.

大数学家希尔伯特在问题解决之后经

常做这种反思，

让我们也来体验其中的奥秘吧！

高二数学组全体教师

预祝同学们在5月份的数学会考中取得

优异成绩！

预祝同学们在2007年的数学高考中取

得优异成绩，

实现金榜题名的梦想！

2006年4月

天津市2003年8月高中毕业会考数学

试卷

第I卷（选择题共40分）

一、选择题：本大题共20个小题，每

小题2分，共40分.在每小题给出的

个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

(1)已知全集U={-2,-1,0,1,2},集合

A={-2,-1,0},集合8={0,1,2}9则(CL,A)U

5等于

(A){-2,-1}(B){1,2}(C){0,1,2}

(D){-2,-1,1,2}

(2)s彳的值等于

6

(A)-1(B)力(C)1

222

(D)旦

2

(3)函数y=tan2x,xeR且了工工+幺(AeZ)的最

42

小正周期是

(A)王(B)工

42

(C)TC(D)2兀

(4)函数八优Q>1)的图象大致是

(5)准线方程是户—2的抛物线的标准方

程是

222

(A)y-4x(B)y-8x(C)x-4y

(D)/=8y

(6)椭圆)+的离心率，等于

4

(A)1(B)3(C)

24

旦(D)与

22

(7)在下列方程所表示的曲线中，关

于x轴、,轴都对称的是

(A)x+y=0

22

(B)x-2x+y=0

(C)f

(D)3/_5y2-]

(8)已知＞0,则一+3的最小值为

X

(A)4(B)7(C)

8(D)11

(9)若«=(4,2),b=(6,〃7)，且不_L

B，贝h的值是

(A)一12(B)-3

(C)3(D)12

(10)为了得到函数-x£R的图

象，只需把函数y=3cos(2x+y)9x£R的图象

上所有的点

(A)向左平行移动？个单位长度

(B)向右平行移动晟个单位长度

(C)向左平行移动器个单位长度

(D)向右平行移动器个单位长度

(11)函数片/Q20)的反函数是

(A)yfQNO)(B)…QNO)

(C)Q2O(D)y=MQ2O)

(12)函数)，=71og2(x-3)的定义域是

(A)x>3(B)3VxW4

(C)A>4(D),24

(13)从5名男生和3名女生中选出3

人参加某项活动，如果选出的3人中既

有男生又有女生，则不同的选法有

(A)30种(B)45种(C)

56种(D)90种

(14)已知tana=3,tanJ3=2,贝Jtan(a-£)的值等于

(A)1(B)1

7

(C)-1(D)」

5

(15)下列函数中为奇函数的是

(A)f[x)-x3+x

(B)/(x)-2x+\

(C)f(x)-x'-lx

(D)〃x)=F

l-x

(16)若一个球的体积扩大到原来的27

倍，则球的表面积扩大到原来的

(A)3倍(B)36倍

(C)9倍(D)孑倍

(17)空间两条直线人，互相平行的一

个充分条件是

(A)「乙都平行于同一个平面

(B)乙，与同一个平面所成的角相等

(C)人平行于乙所在的平面

(D)㈠乙都垂直于同一个平面

(18)已知月V，若X>1,则下

x~+1X+1

列结论正确的是

(A)b<a<1

(B)a<b<l

(C)b<1<a

(D)l<a<b

(19)若两条直线Ax-y+2k+1=0和x+2y—4=0

的交点在第四象限，贝限的取值

范围是

(A)—6<<2

(B),>1

(C)——人V0

(D)-1<.<-1

26

(20)已知函数f(x)=-a(l-x)+ax9其中〃>0,

若/⑺在OWiWl上的最小值记为g⑷，则

g⑷的最大值等于

(A)0(B)1

(C)a(D)1

门舞］漕(非选择题共60芬)

3题翱本页密封线内的项目和

鲁受海(黑)色钢笔或圆珠

二、填空题：本大题共6个

小题，每小题3分,共18

分，请将答案填在题中横

线上.

(21)已知『2,3),―,则2方一3的坐

标为.

(22)已知等比数列｛%｝中，.&公比

则该数列的第5项％的值等

于.

(23)在△树中，已知-60、则a的

值等于.

(24)若直线(m-l)x+y=4m-1与直线2x-3y=5互

相平行，则加的值

为.

（25）若四面体〜胸的棱长均为3,则

点P到平面做的距离等

于.

（26）用0,1,2,3,4这五个数字组

成没有重复数字的三位数，其

中偶数有个

（用数字作答）.

三、解答题：本大题共5个小题，共42

分.解答应写出文字说明,演算步骤或

推理过程.

（27）（本小题满分8分）

aG（卷,2万）9试求（I）sin2a

的值；（II）sm（Y）的值.

4

评

卷

(28)(本小题满分8分)

人

解不等式丁代+1＞。.

X--8x+12

评

得

卷

分(29)(本小题满分8分)

在等差数列｛%｝中，a5=10,a%=31,

试求(I)%与公差”；(II)该数

列的前18项的和兀的值.

(本小题满分8分)

如图，在正方体ABCD—4B|C|Z)|中，棱AX

E、F分别为AB、BC的中点,

(I)求证：EF1BD、；号____________Ci

(II)求二面角用一炉"南辛®^1勺

正切值；!\/\

(III)求三棱锥…防的核磔

AEB

(31)（本小题满分10分）

已知点小B分别为双曲线的两个

焦点，。为坐标原点，

（I）求以。为圆心，以线段底为

直径的圆。的方程；

di）若一条直线,与圆。相切，并

与双曲线交于八8两点，有定点C,其

坐标为

(0,-2),当的面积为加时，求

直线/的方程.

天津市2004年6月高中毕业会考数学

试卷

第I卷(选择题共40分)

一、选择题：本大题共20个小题，每

小题2分，共40分.在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

(1)设全集U={a,b,c,d,e,

f},集合A={〃，c,d},B={b,d,

e},

则AUS)等于

(A){a,c}

(B){〃，c,d}

(C){a9c,f)

(D){a,c9d,f}

(2)4小的值等于

(A)1(B)-1

22

(C)2(D)一直

22

(3)函数y=cos2x9xGR.的最小正周

期是

(A)四(B)兀

2

(C)2兀(D)4兀

(4)函数的定义域是

x-\x\

(A)(—8,+OO)

(B)(-OO,0)U(0,+8)

(C)(一8,0)

(D)(0,+°°)

(5)经过点P(2,1)且与直线

2x一3),+1=0平行的直线的方程是

(A)2x_3y—l=0

(B)3x+2y-8=0

(C)2x_3y+4=0

(D)3x+2y-7=0

(6)抛物线的准线方程是

(A)X=-2(B)X=2

(C)x=-4(D)x=4

(7)双曲线的焦距是

(A)vis(B)2V15

(C)5(D)10

(8)为了得到函数y=2sina+9…eR的图

4

象，只需将函数y-2sinx,xGR的

图象上的所有点

(A)向左平行移动:个单位长

度(B)向右平行移动;个单位长度

(C)向左平行移动与个单位长

度(D)向右平行移动5个单位长度

(9)不等式一120表示的平面区

域(阴影部分)是

(B)

(C)

(D)

(10)已知z=(2,3),%=(-1,

0),则4H的坐标为

(A)(5,12)(B)(12,

5)(C)(4,9)(D)(9,4)

(11)函数y=1sinxI，xeR

(A)是奇函数

(B)是偶函数

(C)既不是奇函数也不是偶

函数(D)有无奇偶性不能确

定

(12)若〃>5,则下列不等式中一

定成立的是

(A)1a<1b(B)%a(C)

2">2〃(D)lg(a-fe)>0

(13)若a=19b=0.8、c=0.8。*，贝!J〃、〃、

c的大小关系是

(A)b<c<a(B)a<b

<c(C)c<b<a(D)a<c

<b

(14)不等式-IVO的解集是

x-4

(A){xI—1<X<1}

(B){xI-2<x<2}

(C){xI—2,或一IVx

<1,或x>2}

(D){xI-2<x<-l,或1

<x<2}

(15)若八八/表示平面，m>n

表示直线，则下列命题为真命题的是

(A)若机ua,n5,m//n

〃万,则a〃1

(B)若贝(Ja〃/

(C)若a〃尸,/flua,RuB,贝|J

m//n

(D)若a〃尸,则加〃尸

(16)如图,在正方体ABCD^G

B、/

中，P为棱4笈的A|

中点，则AP与即所在直线

角的余弦值等于APB

(A)g(B)半(C)l(D)

V5

而

4J§La>Be(0,—),

(17)已知sina考,cos/?=->

2

则sin(a+0)的值等于

(A)迪(B)如

1010

(C)±(D)竺

5050

(18)已知I%I=3,IbI=4,

且(a+b)-(a+3b)=33,贝!J)与B的夹角为

(A)150°(B)120°

(C)60°(D)30°

(19)如果将3,5,8三个数各加上

同一个常数，得到三个新的数

组成一个等比数列，那么这个

等比数列的公比等于

(A)|(B)1

(C)I