2.2 常用逻辑用语-2024年初升高数学无忧衔接

第第页第2.2章常用逻辑用语2.2常用逻辑用语高中要求1理解必要条件、充分条件与充要条件的意义；2通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义。3能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1充分条件与必要条件概念一般地，”若p，则q”为真命题，是指以p为已知条件通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.如果”若p，则q”和它的逆命题”若q，则p即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q此时p即是q的充分条件也是必要条件，我们说p是q的充要条件.②p是q的______条件(填写是否充分、必要)完成此题型，可思考从左到右，若p⇒q则充分，若p⇏q则不充分；从右到左，若q⇒p则必要，若【例】帅哥是男人的____________条件.解析从左到右，显然若A是个帅哥，那他肯定是男人，即充分；从右到左，若B是男人，他不一定是帅哥了，即不必要；故答案是充分不必要.③从集合的角度理解－－小范围推得出大范围(1)命题p、q对应集合A、B，若A⊆B，则p⇒q，即p是q的充分条件；若A⊈B，则p⇏q，即p不是q的充分条件.注若A⊆B，则称A为小范围，B为大范围.【例】帅哥是男人的____________条件.解析设集合A={帅哥}，集合B={男人}，显然A⊆B，{帅哥}是小范围，推得出{男人}这个大范围，即充分条件；故答案是充分不必要条件.(2)结论①若p是q的充分不必要条件，则A⊊B；②若p是q的必要不充分条件，则B⊊A；③若p是q的充分条件，则A⊆B；④若p是q的必要条件，则B⊆A；⑤若p是q的充要条件，则A=B.2全称量词与存在量词①全称量词(1)短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示．(2)含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”，记作∀x∈M,p(x)．Eg：对所有末位数是0的数能被5整除，∀x>0,x+1②存在量词(1)短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示．(2)含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”，记作∃x∈M,p(x).Eg：至少有一个质数是偶数，∃x>0,x全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，它们的真假性是相反的.【例】∀x>1,x2>1的否定是解析∃x>1,x2≤1.∀x>1,【题型1】判断充分条件与必要条件【典题1】设m,n是整数，则“m,n均为偶数”是“m,n是偶数”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件解析m,n均为偶数⇒m+n是偶数，则充分；m+n是偶数则m,n均为偶数或者m,n均为奇数，即m+n是偶数⇏m,n均为偶数，则不必要，故选A.【典题2】在关于x的不等式ax2+2x+1>0中，“a>1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析在关于x的不等式ax当a>1时，△=4－4a<0，∴“a>1”⇒“ax2+2x+1>0当△=4－4a<0时，a>1，∴“ax2+2x+1>0∴“a>1”是“ax2+2x+1>0故选：C．变式练习1.设集合M={x∣0<x≤3},N={x∣0<x≤2}，那么"a∈M"是"a∈N"的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析M的元素不一定是N的元素，比如：a=2.5，即M推不出N；而N中的元素一定是M的，即N推不出M.所以"a∈M"是"a∈N"的必要不充分条件，选B.2.已知a,b是实数，则"a>0且b>0"A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析对于"a>0且b>0"3.设a,b∈R,则(a−b)⋅a2<0A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析由(a−b)⋅a2<0得，a≠0且a<b即(a−b)⋅a2<0是a<b4.已知a、b∈R，则“a2>b2A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件答案C解析a2>b∴“a2>b故选：C．5.|x−1|≤1是x2A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析设命题p:|x−1|≤1⇔0≤x≤2，命题q:x所以q⇒p，但p⇏q，故p是q的必要不充分条件．6.若a,b是正整数，则a+b>ab充要条件是()A．a=b=1 C．a=b=2答案B解析∵a+b>ab，∴ab−a−b<0⇒ab−a−b+1<1⇒(a−∵a,b是正整数，∴a≥1，b≥1，则a−1≥0，b−若(a−1)(b−即a=1或b=1，即a,b有一个为1，即a+b>ab充要条件是a,b有一个为1，故选B．7.“|x|<2”是“xA.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案A解析|x|<2得−2<x<2,由x2−x−6<0得−2<x<3.故选8.条件p：关于x的不等式a−4x2+2a−4x−4<0(a∈A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案B解析条件p：关于x的不等式(a−4)x2+2(a−4)x−4<0(a∈当a=4时，−4<0恒成立，当a≠4时，则a−4<0△=4(a−4)2综上所述p中a的取值范围为0<a≤4，所以则p是q的必要不充分条件，故选：B．【题型2】全称量词与存在量词【典题1】判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)∀x∈N,x3>x2；3∃x0∈解析(1)全称命题，当x=命题的否定：∃x∈N(2)全称命题，所有可以被5整除的整数，末位数字都是0或5；为假命题．命题的否定：存在可以被5整除的整数，末位数字不都是0；(这里不能写“都不是”)(3)特称命题，x0命题的否定：∀x∈(4)特称命题，菱形的对角线互相垂直，真命题．命题的否定：任意的四边形，它的对角线不互相垂直．【典题2】命题“∀x∈[0,+∞)，A．∀x∈(−∞,0),x3C．∃x0∈[0,+∞解析∵命题“∀x∈[0,+∞)∴其否定命题为：∃故选：C．变式练习1.命题“∀x∈R，x3A．∃x∈R,x3−C．∃x∈R,x3−答案解析将量词否定，结论否定，可得∃故选：B．2.若命题“∀x∈[1,4]时，x2−4x−m≠0”是假命题，则m的取值范围答案−4≤m≤0解析∵“∀∴该命题的否定"∃x即方程x2−4x−∴(1−43.若“存在实数x，使x2−2x+m=0”为真命题，则实数m的取值范围是答案解析∵“存在x∈R，x2−2x+m=0”∴实数m的取值范围是：m≤1．【题型3】综合运用【典题1】若“x2−3x−4>0”是“解析由x2−3x−4>0得x>4或x<−1，即不等式的解集为由x2−3ax−10a若a=0，则不等式的解为x≠0，此时不等式的解集为为若a>0，则不等式的解集为B=若a<0，不等式的解集为B=(求解含参的不等式，注意分类讨论)若“x2−3x−4>0”是“(从集合的角度去思考充分必要条件问题)则当a=当a>0时，则满足5a≥4−2a<−1，即a≥45当a<0时，则满足−2a≥45a≤−1，得a≤−2a≤−1综上实数a的取值范围{a|a≤−2或变式练习1.已知命题p:1−x−12≤3；q:x2−2x+1−答案解析命题p中不等式可化为−3≤x≤9q可化为1−m≤x≤1+m(m>0)∵q是p的充分非必要条件∴q⇒p∴&1+m≤9&1−m≥−3∴实数m的范围是0<m≤4.1.命题“∃x∈R,xA．∀x∈R，x2−x+1≥0 B．∀x∈R，C．∃x∈R，x2−x+1≥0 D．∃x∈R答案A解析因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R,x2−x+l<0”故选：A．2.设集合M={x∣1<x≤3},N={x∣0<x≤1}，那么"a∈M"是"a∈N"的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：D解析：集合M,N不存在子集间的关系，所以两者都相互推不出，即"a∈M"是"a∈N"的既不充分也不必要条件.3."m<14"是“一元二次方程xA．充分不必要条件B．充分且必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案A解析方程x2+x+m=0有解，则m<14是m≤14.设x∈R，则“x2−5x<0”是“|x−1|<1A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案B解析∵x2−5x<0∵|x−1|<1，∴0<x<2，∵0<x<5推不出0<x<2，0<x<2⇒0<x<5，∴0<x<5是0<x<2的必要不充分条件，即x2−5x<0是故选：B．5.条件p：|x−m|≤2，条件q：−1≤x≤n，若p是A．1 B．2 C．3 D．4答案C解析条件p：|x−m|≤2，可得m−2≤x≤m+2．条件q：−1≤x≤n，若p是q的充分条件，则−1≤m−2，m+2≤n，解得m≥1，n≥3．则n的最小值为3．故选：C．6.已知命题p：x<2m+1,q：x2A．m>12 B．m≥12答案D解析∵命题p：x<2m+1，q：x2−5x+6<0p是q的必要不充分条件，∴(2,3)⫋(−∞,2m+1)，∴2m+1≥3，解得m≥1．实数m的取值范围为m≥1．故选：D．7.已知命题p：∃x0∈R答案假解析由于x0所以，不存在任何数使x0故该命题为假命题．故答案为：假．8.若命题“∃x0∈R，3x02答案[−解析命题“∃x0∈R,3x∵命题“∃x0∴“∀x∈R,3x则△=4a2−12≤0∴实数a的取值范围是：[−3故答案为：[−3,3]．9.已知p：x2−8x−20>0,q：x2−2x+1−a答案0<a≤3解析p：x<−2或>10，q：x<1−a或x>1+a∵由p是q的充分而不必要条件，∴1−a≥−21+a≤10，即10..若“x2−3x−4>0”是“x2−3ax−10a答案(−∞,−2]∪[解析由x2−3