第5讲 三角形四心与圆配套练习及答案（训练篇）-2020年数学初高中衔接讲与练

第5讲三角形四心与圆练习（A）1.选择题：（1）已知小明同学身高1.5米，经太阳光照射，在地面的影长为2米，若此时测得一塔在同时的影长为60米，则塔高为（A）90米(B)80米(C)45（2）设⊙P的半径为4cm，直线l上一点A到圆心的距离为4cm，则直线l与⊙O的位置关系是……………（d）A、相交B、相切C、相离D、相切或相交2.填空题：题（4）题（3）题（1）（1）如图，梯形ABCD中，AD∥BC∥EF，AE︰EB=3题（4）题（3）题（1）（2）D、E分别是△ABC的边AB、AC的反向延长线上的点，如果,当的值是_______时，DE∥BC.（3）如图，已知l1∥l2∥l3，AB=1.6，BC=2.4，DF=3，则EF=.（4）如图，点G是Rt△ABC的重心，过点G作矩形GECF，当GF：GE=1：2时，则∠B的正切值为．（5）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB只有一个交点，则R的范围是_________.（6）如图，过圆外一点作一条直线交圆于两点，过另作一直线交这圆于两点.已知，则=_________.3.如图，G是△ABC的重心，EF过点G，且EF∥BC，求EF：BC的值.4.如图，AE∥BF∥CG∥DH，AB=BC=CD，AE=12，DH=16，AH交BF于M。求BM与CG的长.5.如图，已知AD=AE，求证：BF·CE=BD·CF。6.如图，在⊙中，为弦上一点，，交⊙于，求证：7.如图，是⊙的切线，为切点，是割线，它与⊙的交点是，与直径的交点是.已知，，，求的长.8.从圆外一点引圆的切线，割线，是的平分线，分别交于.求证：.9.如图，△ABC中，∠B=60°，AD垂直于BC于D，CE平分∠ACB交AD于E.若AB=2，AC=3DC，求DE的长10.如图，为⊙的直径，为⊙的切线，与相交于点，且点在⊙上，若，求的长度.三角形四心与圆测试（B）1.选择题：（1）直线，，，则DF的长（）.（A）4（B）10（C）18（D）12 （2）已知⊙A的直径为6，点A的坐标为（-3，-4），则⊙A与Y轴的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.不确定2.填空题：（1）如图，已知l1∥l2∥l3，AM=3，BM=2，BC=4，DF=15，则DM=（2）如图，G是△ABC的重心，GE∥AB交BC于E，题（2）那么ED：BC=题（2）题（题（1）（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB没有公共点，则R的取值范围是_________.（4）已知△ABC的三边之比为3：4：5，且其外接圆半径R=3，则△ABC的面积为_____________.题（6）题（5）（5）如图，为圆直径延长线上一点，的长为方程两根，则以长为根的一元二次题（6）题（5）方程为_______________.（6）如图，圆O的直径AB=10，P是OA上一点，弦MN过点P,且AP=2，MP=22则弦心距OQ=_________.3.如图，点O位梯形ABCD的对角线的交点，过电O作MN∥AB,点M,N分别在两腰AD,BC上，若MN=1,求+的值4.如图，已知：BD：DC=3：2，AE：ED=2：1，求：AF：FB的值5.锐角中，以边为直径画圆与边相交于，与该圆切于点，在上取，作，且与的延长线交于，求证：（1）AEAB=ACAF（26.过⊙外一点作⊙的切线，切点为，令中点为，过和的圆与⊙交于，的延长线与交于，求证：.7.如图，在中，AC：AB=1：2，∠BAC的内、外角平分线分别为AE和AF，分别交BC及延长线于点E、F，求S∆ABC：S∆ABE： 8.如图，是⊙的直径，为延长线上一点，切⊙于，过点的切线和交于，和的延长线交于.（1）求证：是等腰三角形；（2）当时，求的值.9.如图，⊙是等边的外接圆，，分别是的中点，直线交⊙于两点，交直线于点，求出的长。10.与圆心为的圆相切于点，点在圆内.与圆相交于，若，，，求⊙的半径______.三角形四心与圆（A）1.选择题：（1）C提示：1.5:2=x：60，求得：x=45（2）D提示：2.填空题：（1）4.2提示：过A点作DC的平行线分别交EF、BC于M、N，则MF=AD=NC=3,EM:BN=AE:AB，求得EM=1.2,所以EF=4.2（2）23提示：当AE:AC=AD:AB时，满足DE∥（3）1.8提示：由l1∥l2∥l3，则DF:EF=AC:BC，求得EF=1.8（4）0.5提示：，联结AG并延长交BC于D点,所以BC=2CD,设GF=k，GE=2k，由G为重心，可得：DC=3k，AC=3k，所以BC=6k，则∠B的正切值为0.5（5）R=2.4或3<R≤4提示：一种情况是圆与AB相切，由面积法可求R=2.4,另一种情况是与AB直线有两个公共点，其中一个在线段AB上，另一个在线段BA的延长线上，此时3<R≤4（6）3+22提示：由割线定理：3.23提示：如图，联结AG并延长，交BC于点P,因为G为∆ABC的重心所以AG=2GP,即：AG:AP=2:3因为EF过点G且EF//BC,所以∆AGF~∆APC所以AF:AC=AG”:AP=2:3又因为EF//BC所以∆AEF~∆ABC所以EF4.BM=4，CG=15提示：如图所示，取BC边的中点P,作PQ//DH交EH于点Q，则PQ是梯形ADHE的中位线因为AE//BF//CG//DH,AB=12所以AB:AD=1:4,BM:DH=AB:AD所以BM=4又因为PQ是ADHE的中位线所以PQ=AE+DH同理CG是PDHQ的中位线所以CG=PQ+DH5.提示：过C点作AB的平行线交DF于G点，G则CG:BD=CF:BF，GCG:AD=CE:AE，因为AD=AE,所以CG=CESU所以：CE:BD=CF:BF则：BF·CE=BD·CF6.提示：延长CP交圆于D，联结OC,OD根据相交弦定理，得PA·PB=PC·PD因为OC=OD,PO⊥PC所有PC=PD7.20提示：因为AD·BD=CD·DT,所以TD=AD∙BD因为CD=2,AD=3,BD=4,所以TD=6.因为PT是圆O的切线，PA是割线,所以PT2因为CT为直径,所以PT2=PD2即PB+7PB=(PB+4)28.提示：由切割线定理得：PT×PT=PA×PB，所以由角平分线定理得TE所以TEEA×9.34提示:在直角∆ADB中，因为∠B=60°,AB=2,所以BD=1,AD=3在∆ADC中,因为CE是∠ACD的平分线，且AC=3DC,所以AE=3DE,则DE=AD10.3613提示：由AC、BD为圆O的切线，所以AC//BD，所以AE:ED=AC：BD=9:4可设AE=9k，ED=4k，在直角三角形ABD中，∠ABD=90°,∠AEB=90°,由射影定理可得：BD2=DE×AD，解得k=413数与式测试（B）1.选择题：（1）B提示:因为，所以AB:AC=DE:DF（2）B提示：A点到y轴的距离=3=半径2.填空题：（1）5提示：由l1//l3，得AM:AC=DM:DF，所以3：9=DM:15,则DM=5（2）1:6提示：因为G是△ABC的重心，所以DG:AD=1:3,D为BD的中点，即BC=2BD;因为GE//AB，所以DE:BD=DG:AD=1:3,所以ED:BC=1:6（3）0<R<2.4或R>4提示：第一种情况是圆与直线AB位置关系为相离，而点C到AB的距离为2.4，所以0<R<2.4；第二种情况是圆与直线AB位置关系为相交，但交点都在AB线段的两边延长线上，临界状态为B点恰好在圆内，所以R>4（4）54提示：设三边长为3k、4k、5k，且这个三角形为直角三角形，由切线长定理可得，3k-3+4k-3=5k，所以k=3，所以面积=54（5）x2-5x+3=0提示：解方程得PA=1，PB=3，由割线定理得：PA×PB=PC设半径为r，则3=（2.5+r）×（2.5-r），所以PC+PD=5,PC×PD=3,由韦达定理可得：PC、PD长为根的一元二次方程为x（6）1提示：联结OM，设PQ=y，则由勾股定理得：9-y2=25-（3.2提示：因为MN//CD,所以MOCD因为MN//AB,所以MOAB所以1AB=所以1=DOBD+BOGG4.0.8提示：.过D点作DG//AB交FC于G点,所以DG:BF=DC:BC=2:5;DG:AF=DE:AE=1:2,则AF:BF=4:5.5.提示：（1）联结CG，则∠CGB=90°,因为EF⊥AB,所以CG//EF,所以AG:AE=AC:AF.因为AD是切线，AGB是割线,所以AD2因为AD=AE,所以AE2=AG∙AB,所以AE:AB=AG:AE,所以(2)因为CG//EF,所以CGEF因为AEAB=ACAF,所以CGEF=AEAB,所以6.提示：因为PN为切线,所以NQ2设QM=x，QN=y,则MP=MN=x+y（x>0,y>0）,所以QP=x+（x+y）=2x+y,所以y2所以(x+y)(2x-y)=0,所以2x=y，或x=-y（舍去）,所以MP=x+y=3x=3MQ.7.2:3:6提示：因为AF是外角平分线所以F到AB、AC的距离相等所以S因为AE是内角平分线所以E到AB、AC的距离相等所以S设S所以S所以S所以S所以这三个三角形的面积比为2：3：68.(1)(2)2提示：（1）联结OT因为CD切圆O于B，PC切圆O于T所以∠ABD=∠OTP=90°所以在直角△ABD中，∠ADB=90°—∠A且∠DTC=180°-∠OTC-∠AT0=90°-∠ATO因为AO、OT为圆O的半径所以AO=OT所以∠A=∠ATO所以∠TDC=∠CTD所以在△TDC中，TC=DC（2）设圆O半径为R，由题意得AO=OT=OB=R,∠OTP=90°,∠P=45°所以OP=2所以BC=CT=BP=(所以tanA=.9.3-提示：因为M、N分别是AB、AC的中点所以MN//BC,MN=又因为BD//AC所以∠DBA=∠A=60°因为BM=AM,∠BMD=∠AMN所以∆BM